名古屋大 根号の計算 ４次方程式 Mathematics Japanese university entrance exam
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- Опубліковано 19 вер 2024
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「家族で行こう！自転車の旅」
#高校数学 #鈴木貫太郎 #オイラー
2)では、同値性が維持されている箇所／崩れている箇所を明確にしながら計算過程を残しておき、3)でこれを利用するのがよいしょう。（逆にたどりながら、完全に同値になるように修正していく。）
※なお、入試原文を当たってみますと、(2)には「4次の係数が1」という制約が付けられていたようです。入試原文（信頼性は保証できません）：2015年文系第３問
（理系第２問とほぼ同じ）
server-test.net/math/05_nagoya/
いずれにせよ、本来はそのような方程式の一意性を証明しなければならないはずなのですが、色々やって見てもうまくいかないようです。「本当に一意性が成り立つのか／成り立つとして高校数学の範疇で証明できるのか」、正直よくわかりません。以下においては、「４次の係数が1」に加えて、「～を1つ求めよ」となっていたものとして、解答いたします。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
p = 9 + 2√17, q = 9 - 2√17 とおく。
1) p+q = 18, pq = 81- 68 = 13 であるから、下記が従う。
(与式) = (√p + √q)^2 = p + 2√(pq) + q
= 18 + 2√13 ■
2) 1)の結果に注意して、論理関係
α = √13 + √p + √q ⇔ α - √13 = √p + √q
⇒ (α - √13)^2 = (√p + √q)^2
⇔ α^2 - 2α√13 + 13 = 18 + 2√13
⇔ α^2 - 5 = 2(α+1)√13
⇒ (α^2 - 5)^2 = {2(α+1)√13}^2
⇔ α^4 - 10α^2 + 25 = 52α^2+ 104α + 52
⇔ α^4 - 62α^2 - 104α - 27 = 0
が成り立つ。従って、αは4次方程式
x^4 - 62x^2 - 104x - 27 = 0
の解である。■
3) αをxに置き換えた上で、2)の論理関係を逆にたどりながら、同値性が確保されるように修正を施す。すると、以下のようになる。（全て、複号同順。なお、通常の定義とは異なるが、便宜上、同値式中の「±A」を「 Aまたは-A」の略記と見做す。）
x^4 - 62x^2 - 104x - 27 = 0
⇔ (x^2 - 5)^2 = {2(x+1)√13}^2
⇔ x^2 - 5 = ±2(x+1)√13
⇔ x^2 ∓ 2x√13 + 13 = 18 ± 2√13
⇔ (x ∓ √13)^2 = (√p ± √q)^2
⇔ (x - √13)^2 = (√p + √q)^2 または
(x + √13)^2 = (√p - √q)^2
⇔ x - √13 = ±(√p +√q) または x + √13 = ±(√p -√q)
⇔ x = √13 ±√p ±√q または x = -√13 ±√p ∓√q
よって、解答は
√13 ±√
(9 + 2√17) ±√(
9 - 2√17), -√13 ±√(9 + 2√17) ∓√(9 - 2√17)
（複号同順）■
(2)で4次方程式を作るときにどこで2乗してるかチェックしたら(3)はほとんど計算せずに答え出ますね
記憶が正しければこの問題、理系は(1)がない
つまり(2)の√13の移項が思いつかないと終わる
理系なら流石に3乗根残したまま√を3項で2乗しないと思う笑
コメントを見たところこれは文系の問題のようですね。理系だと(1)がなくなっていて、(2)からのスタートになります。
(2)だけを見て解く場合、右辺の√13が仲間外れに見えるので、√13だけ移項して2乗してみよう、という発想になるのでしょうか。(1)がなくなるだけで、かなり取り組みにくい問題になると言えそうです。
しい* 理系の15年数学の過去問でも難易度は1番高いDでしたしね
オススメに出てきたから、やってなかったかと思って、またやっちゃったけど、コメントがあったんで、やってたみたい。
どうもコメントによると1年前は苦戦したようなので、今回の方が楽に解けたな。
ここの動画を見続けてる成果が出てるゾ❗
ありがとうございます。
名古屋大学に入ったことあるけど、学生さんたち気さくで優しい人多かった
学生ご用達の地下ファミマ懐かしいw
ボードに書いてる数字とかが違ってても以前は動画内で訂正されてたのに、最近は編集されなくなりましたね。
余計な時間(今回のはすぐわかったので微々たるものですが)とられなくて助かってたんですけれども...
3問目の解答なので、文字乗せでも直した方が良さそうですね
結構式をいじり倒しましたが、あることに気がついたら解説と同じような流れの答案になりました。
正直これでいいのかな？と思いながら解説をみたので、これでいいんだ。という不思議な感覚でした。
Tough, tough, tough.
このチャンネルの動画を見続けて、学力上がったって人いますか？やっぱり見ると見ないのとでは違うものなんですか？
√13が嫌過ぎて気づいたら√3になって計算ミスやらかしたw
理系の同じ過去問解いたけど、誘導が全くなかった
(2)は求められた方程式以外に題意を満たす方程式が存在しないことは論証しなくてよいのでしょうか？
本来の問題文は「4次の係数が1であるものを求めよ」です。
たとえ「4次の係数が１であるものを…」となっていても問題の本質は変わらず、そのような方程式の一意性を述べなければ、完答と言えないはずなのですが…。
入試原文（信頼性は保証できません）：2015年文系第３問
（理系第２問とほぼ同じ）
server-test.net/math/05_nagoya/
結局、任意の整数S, T, U, Vに対し
Sα^3 + Tα^2 + Uα + V = 0 ⇒ (S, T, U, V) = (0, - 62, - 104, - 27)
であることを示さなければならないようですが、正直いろいろ考えてもうまくいきません。
（直感的には、成り立ちそうに思われますが、確信はありません。）
高校数学の枠内で証明できるのでしょうか？■
@@9cmParabellum さんへ：うーむ…。だとすれば、出題ミスとまでは言えないにしても、受験生にはやや不親切な問題文ですね。注意深い人ほど、一意性の証明を探して無駄に時間を費やすことになりかねません。
「…を１つ見つけよ」とするか、一言「一意性については無証明で用いて良い」とか書いて欲しいところです。
ところで、大学数学（線形代数？）の範疇で示すとすれば、どのようになるのでしょうか？シンプルに示せるようなものですか？ ■
@@9cmParabellum さんへ：そうなんですよね…。４次の係数を１に限定することで、有理数体上における線形独立性を示すよりは単純な問題になっているはずなんですがね…。ともかく、私にはさっぱりわかりません。有難うございました。■
確かに必要性の証明は要りますね(￣▽￣;)
2乗している時点で、逆は成り立たない(同値関係ではない)ですよね。
例えば
α=1+√2⇔(α-1)²=2⇔α²-1=2a⇔(α²-1)²=(2a)²⇔α⁴-6α²+1=0
のような解法で得られた方程式ですが、
α⁴-4α²-4α-1=0も
(α²)²=(2α+1)² ⇔ α²=2α+1 , α²=-2α-1 ⇔ α=1±√2 , α=-1(重解)
のようにα=1+√2の解を持つので、その解法では、他の方程式も存在する可能性があるため、私も一意性の証明は必須と思います。
おそらく、2ⁿ次方程式が整数係数に一意に決まる必要十分条件が、α=(n個の超越数以外の無理数の和)だとは思いますが.............
後で考えます(￣▽￣;)
雑で草
毎日応援してます(๑•̀o•́๑)۶
新高一で数学ちょっと得意だから理解自体は簡単だったけど和と差の積のところ成長しても試験中思いつくかわかんねーw
匿名 かっこさんまでできたの？すげぇな
サムネがいつもと違う！w
名古屋大学手に入れるかな、出来ないですよね！私は大学生活勉強頑張ります❗️
ちょっと戻ればいいだけなのに整式の割り算やらいろいろやったけど計算ミス
(4)まであることを他の方のコメで知り、一応やった。評価の練習にはなる
(4)だと思ったら大小比較が(3)なのですね。
動画の(3)の次の問題という意味で(4)と書いてしまった。
紛らわしく書いて申し訳ない
おはようございます！
（３）で「逆に辿る」という発想にいたりませんでした。
⑵の操作って同値性確認しなくていいんですか？
この方程式ならばαを解にもつは言えますけど、αをもつならこの方程式である
とはこれだけじゃいけなくないですか？
9cmParabellum 確認しました。ありがとうございます。
(2)の手順を逆？にして絶対値が出てくるからプラスマイナスごちゃごちゃしたら4つ出てきたのでそれでやった。……………………………………日本語力………
サムネにびっくりしました！
これって、簡単なの？根性で解いたけど、エライことになった。
@@9cmParabellum バカ方式で解いたんで、計算が大変だった。
元号、根号、複号
東京の人からすると東北とかと比べて名古屋大ってなぜか人気ないよね
やっぱ東京に戻ってくるっていう道が少ないからなのかなぁ
fasya めちゃくちゃ帰りやすいけどな。名古屋駅行けばバス一本で新宿いける
旧帝大時代の格が、東北のほうが上だからでは？
東、京、阪、東北、(あとだいたい同じ)
という感じかと。
サムネw
復号じゃなくて複合。はい減点
複号、であってますよね？あ、復が複か。でも複'号'ですね。
なんかやりにくい問題ですな
サムネが・・・！！
えちえちですね
あれ？これめちゃくちゃ簡単じゃないかw(動画開く前に解けたんだが…汗)
そりゃそうでしょ。まぁ本番の空気で如何にミスなくやれるのかは別だけどね
某K予備校が（1）を削除してテキストに載せてやがりました。
サムネ、、、？
サムネがいつもと違う！
問題文が長いからかな