Кстати, прикольная идея с разложением b и c. Вроде в тч неплохо разбираюсь, но такую идею вижу впервые, и как-то она магически сработала. Обычно введение кучи новых переменных ни к чему хорошему не приводит, но данная задача - исключение
Есть довольно хрестоматийная задача в стиле дано, что ab = cd, докажите, что a + b + c + d составное. Тут как раз что-то очень похожее вылезло). Мне на кружке давали задачу как раз про ab = cd, я тоже немного прикольнулся от идеи), нестандартно-прямолинейный подход.
Суть задачи понятна, что a^2-bc это дискриминант уравнения f(x)=cx^2+2ax+b=0 Также понятно, что f(1)=2a+b+c то, что нам нужно. Но как дальше раскручивать вообще непонятно. Рассуждение про то, что уравнение имеет два рациональных корня ни к чему не приводит, так как мы не можем использовать теорему о рациональном корне многочлена из-за того, что ничего не можем говорить про несократимость дроби. Другие идеи вообще не возникают. Может дадите небольшую подсказку, я вообще в правильную сторону думаю?
Кстати идея прикольная, возможно её можно докрутить через теорему Безу для целочисленных многочленов, у нас P(a)-P(1) делится на a-1 для любого целого a...
Вопрос. Почему нельзя сделать так: Рассмотрим многочлен f(x)=bx^2+2ax+c. Во первых, его дискриминант D=4(a^2-bc)-полный квадрат. Из этого следует, что у f есть корни (два корня если D>0 и один корень кратности 2, если D=0), причём они целые из-за формулы для корней квадратного уравнения. Поэтому f(x)=b(x-u)(x-v), где u, v это корни нашего многочлена. Отсюда следует, что f(1)=2a+b+c=b(1-u)(1-v), и поэтому левая часть делится на b. Если b≠1, то так как b
Офигенная отсылка к звёздным войнам! Почаще делай так)))
Выздоравливайте
Кстати, прикольная идея с разложением b и c. Вроде в тч неплохо разбираюсь, но такую идею вижу впервые, и как-то она магически сработала. Обычно введение кучи новых переменных ни к чему хорошему не приводит, но данная задача - исключение
Есть довольно хрестоматийная задача в стиле дано, что ab = cd, докажите, что a + b + c + d составное. Тут как раз что-то очень похожее вылезло).
Мне на кружке давали задачу как раз про ab = cd, я тоже немного прикольнулся от идеи), нестандартно-прямолинейный подход.
Очень распространенный прием вроде
жаль долго ждать
блин крутое решение! я по другому решал когда мне дали эту задачу, и ещё вопрос, откуда эта задача?
Мне эту задачу давали на сборах ко Всероссу, кажется. Если Вы имели в виду олимпиаду, где ее давали, то не знаю(.
Суть задачи понятна, что a^2-bc это дискриминант уравнения f(x)=cx^2+2ax+b=0 Также понятно, что f(1)=2a+b+c то, что нам нужно. Но как дальше раскручивать вообще непонятно. Рассуждение про то, что уравнение имеет два рациональных корня ни к чему не приводит, так как мы не можем использовать теорему о рациональном корне многочлена из-за того, что ничего не можем говорить про несократимость дроби. Другие идеи вообще не возникают. Может дадите небольшую подсказку, я вообще в правильную сторону думаю?
Попробуйте другое квадратное уравнение, можно сделать коэффициенты такими, чтобы корни были целыми числами.
Кстати идея прикольная, возможно её можно докрутить через теорему Безу для целочисленных многочленов, у нас P(a)-P(1) делится на a-1 для любого целого a...
Вопрос.
Почему нельзя сделать так:
Рассмотрим многочлен f(x)=bx^2+2ax+c. Во первых, его дискриминант D=4(a^2-bc)-полный квадрат. Из этого следует, что у f есть корни (два корня если D>0 и один корень кратности 2, если D=0), причём они целые из-за формулы для корней квадратного уравнения. Поэтому f(x)=b(x-u)(x-v), где u, v это корни нашего многочлена. Отсюда следует, что f(1)=2a+b+c=b(1-u)(1-v), и поэтому левая часть делится на b. Если b≠1, то так как b
А почему вы решили, что корни целые? С тем что они рациональные я согласен.