Заметим, что вторая и третья скобка легко раскладываются на множители по теореме Виета. Что, если разложить? Тогда получится (x² - 3x + 1)(x + 1)(x + 2)(x - 4)(x - 5) И вот тут можно заметить, что 1 - 4 = -3 и 2 - 5 = -3. Т.е. если перемножить x + 1 на x - 4 и x + 2 на x - 5, то в обоих случаях появится слагаемое x² - 3x, которое уже есть в первой скобке. Это и наталкивает на мысль, что можно так перемножить и сделать соответствующую замену. Итак: (x² - 3x + 1)(x² - 3x - 4)(x² - 3x - 10) = -30 Здесь я заменил всю среднюю скобку: x² - 3x - 4 = t. Тогда будет: (t + 5)t(t - 6) = -30 t(t² - t - 30) = -30 t³ - t² - 30t = -30 t³ - t² - 30t + 30 = 0 t²(t - 1) - 30(t - 1) = 0 (t - 1)(t² - 30) = 0 (t - 1)(t - √30)(t + √30) = 0 Получается совокупность трёх квадратных уравнений: x² - 3x - 4 = 1 x² - 3x - 4 = √30 x² - 3x - 4 = -√30 Решаем каждое из уравнений по стандартной схеме через дискриминант. Получим, что корни первого уравнения: x = (3 ± √29)/2 Корни второго уравнения: x = (3 ± √(25 + 4√30))/2 И корни третьего уравнения: x = (3 ± √(25 - 4√30))/2 Все эти шесть корней я потом проверил на матлабе, подставив в исходное уравнение, и в каждом из шести случаев всё сошлось!
Такое ощущение, что в этой задаче и, особенно, в ее решении зашифровано какое-то одно из светлых и стройных произведений Моцарта). Спасибо Вам, Валерий!
Огромное спасибо за задачу. Я ее решила быстро. Простите, что хвастаюсь.Чувствую себя на седьмом небе от радости. Я не математик, но обожаю математику с детства
@@wvvwwwvvw-30 раскладывается на целые множители не большим числом способов, поэтому решив несколько несложных систем, мы это и находим. Но могли и не найти, тут просто везение, помноженное на опыт.
Раскладываем второй и третий сомножители слева как (x+1)(x+2) и (x-4)(x-5). Перемножаем скобочки попарно: (x+1)(x-4)=x^2-3x-4, (x+2)(x-5)=x^2-3x-10. Вводим переменную t=x^2-3x, тогда уравнение принимает вид (t+1)(t-4)(t-10)=-30. Угадываем корень t=5, после чего уравнение для t сводится к квадратному. Дальше всё просто, но надо брать бумажку и ручку, а мне лень.
Олимпиадная задача решается в ограниченное время и скорее требует озарения, какой-то нестандартный подход и дальше все просто и складно. Это задача скорее трудовая, требующая очень много времени на решение, ответы получаются слишком не красивые, что бы решающий поверил в их правильность.
Вот это действительно олимпиадная, уравнение 6-й степени и все корни иррациональные, тут надо догадаться до данного метода, иначе не решить. Не то что уравнения 4-й степени, которые можно решать общим методом, хоть и громоздко.
Интересные комбинации. Сначала перемножились вторая и третья скобки. Далее замена переменных. Затем манипуляции с уравнением третьей степени. И насколько громоздкие корни.
Здравствуйте. После того, как мы получили уравнение (t+1)(t-4)(t-10) + 30 = 0, можно заменить второй раз k = t - 7, тогда t = k + 7. Мы получим, что (k+8)(k+3)(k-3) + 30 = 0, т.е (k+8)(k²-9) + 30 = 0. Но k² - 9 = k² - 4 - 5, значит, левую часть можно представить как (k+8)(k²-4) - 5(k+8) + 30 = (k+8)(k-2)(k+2) - 5k - 10 = (k+8)(k-2)(k+2) - 5(k+2) = (k+2)((k+8)(k-2) - 5) = (k+2)(k²+6k-21). Нам осталось решить достаточно простое уранение, которое ранвосильно совокупности k = -2 или k²+6k-21 = 0, сделать обратные замены и всё.
Спасибо. Но , после 1:26 , можно чуть иначе . (1) x^2-3*x+5=v . ( пятёрку подобрал не глядя Ваше решение ) .Получаем : (2) (v+6)*(v-5)*(v+1)=-30 . После раскрытия скобок , приведения подобных членов и разложения на множители , получаем : (3) v*(v^2+2*v-29)=0 . Решаем (3) , подставляем корни в (1) . Получаем Ваш ответ . ( прием разложение на множители и их перегруппировка довольно известный ) . С уважением , Лидий
А Ткачук сам то решил? Ведь мало, кто решил. Не всегда результат зависит от постановки вопроса. "Один глупец может задать столько вопросов, что сотня мудрецов не ответят." Но Ваши объяснения хорошие, а заголовки бывают фейковые.
Думаю автору в конце надо было разъяснить, что "2" корень является не 2 корнями а 4-мя. Ведь у данного уравнения 6 корней. А то у не далёких зритель сложиться мнение, что их тока 4.
@@1luffiz Ой, я аж 2 ошибки сделала: если x²-3x=t, то x²+3x=t+6х и x²-9x=t-6х. Т.е. и "х" не исчез, и уравнение будет не таким, как я думала. (t+1)(t+6х+2)(t-6х+12)=-30, которое, конечно, сложнее решить, чем предложил Валерий.
Заметим, что вторая и третья скобка легко раскладываются на множители по теореме Виета. Что, если разложить? Тогда получится
(x² - 3x + 1)(x + 1)(x + 2)(x - 4)(x - 5)
И вот тут можно заметить, что 1 - 4 = -3 и 2 - 5 = -3. Т.е. если перемножить x + 1 на x - 4 и x + 2 на x - 5, то в обоих случаях появится слагаемое x² - 3x, которое уже есть в первой скобке. Это и наталкивает на мысль, что можно так перемножить и сделать соответствующую замену. Итак:
(x² - 3x + 1)(x² - 3x - 4)(x² - 3x - 10) = -30
Здесь я заменил всю среднюю скобку: x² - 3x - 4 = t. Тогда будет:
(t + 5)t(t - 6) = -30
t(t² - t - 30) = -30
t³ - t² - 30t = -30
t³ - t² - 30t + 30 = 0
t²(t - 1) - 30(t - 1) = 0
(t - 1)(t² - 30) = 0
(t - 1)(t - √30)(t + √30) = 0
Получается совокупность трёх квадратных уравнений:
x² - 3x - 4 = 1
x² - 3x - 4 = √30
x² - 3x - 4 = -√30
Решаем каждое из уравнений по стандартной схеме через дискриминант. Получим, что корни первого уравнения:
x = (3 ± √29)/2
Корни второго уравнения:
x = (3 ± √(25 + 4√30))/2
И корни третьего уравнения:
x = (3 ± √(25 - 4√30))/2
Все эти шесть корней я потом проверил на матлабе, подставив в исходное уравнение, и в каждом из шести случаев всё сошлось!
Лучший комментарий под этим видео. Спасибо, что не поленились и написали его для других.
Красавчик
Такое ощущение, что в этой задаче и, особенно, в ее решении зашифровано какое-то одно из светлых и стройных произведений Моцарта). Спасибо Вам, Валерий!
это сколько решений нужно перебрать, чтобы нащупать ту самую замену. Так просто её не увидишь. Спасибо вам, Валерий
ее не сложно заметить))
Спасибо большое, долго я решала, а до вашего способа не догадалась, в результате, посмотрела ваш способ
И ещё после решения произвести проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение 😂
Спасибо! Очень сложная, но интересная задача👍 Не удивительно, что её мало кто решил ))
Огромное спасибо за задачу. Я ее решила быстро. Простите, что хвастаюсь.Чувствую себя на седьмом небе от радости. Я не математик, но обожаю математику с детства
Всё понятно, но на моменте "уже просматривается корень t=5" завис. У меня так сходу не просматривается
Я так и не прозрел откуда t=5 просматривается...
@@wvvwwwvvw-30 раскладывается на целые множители не большим числом способов, поэтому решив несколько несложных систем, мы это и находим. Но могли и не найти, тут просто везение, помноженное на опыт.
Я бы не додумался сделать разложение скобок, а потом так перемножить, что бы вынести х^2-3х. Гениально!
Очень хорошо!
Ну наконец-то!
Раскладываем второй и третий сомножители слева как (x+1)(x+2) и (x-4)(x-5). Перемножаем скобочки попарно: (x+1)(x-4)=x^2-3x-4, (x+2)(x-5)=x^2-3x-10. Вводим переменную t=x^2-3x, тогда уравнение принимает вид (t+1)(t-4)(t-10)=-30. Угадываем корень t=5, после чего уравнение для t сводится к квадратному. Дальше всё просто, но надо брать бумажку и ручку, а мне лень.
Блин, а в ролике всё то же самое, даже обозначения!
Круто!!
Олимпиадная задача решается в ограниченное время и скорее требует озарения, какой-то нестандартный подход и дальше все просто и складно. Это задача скорее трудовая, требующая очень много времени на решение, ответы получаются слишком не красивые, что бы решающий поверил в их правильность.
Вот это действительно олимпиадная, уравнение 6-й степени и все корни иррациональные, тут надо догадаться до данного метода, иначе не решить. Не то что уравнения 4-й степени, которые можно решать общим методом, хоть и громоздко.
Интересные комбинации. Сначала перемножились вторая и третья скобки. Далее замена переменных. Затем манипуляции с уравнением третьей степени. И насколько громоздкие корни.
Красиво! Только не поняла почеау хештег относит к базовой математике...
Спасибо за решение валерий
Спасибо за решение валериц
Здравствуйте. После того, как мы получили уравнение (t+1)(t-4)(t-10) + 30 = 0, можно заменить второй раз k = t - 7, тогда t = k + 7. Мы получим, что
(k+8)(k+3)(k-3) + 30 = 0, т.е (k+8)(k²-9) + 30 = 0. Но k² - 9 = k² - 4 - 5, значит, левую часть можно представить как (k+8)(k²-4) - 5(k+8) + 30 = (k+8)(k-2)(k+2) - 5k - 10 = (k+8)(k-2)(k+2) - 5(k+2) = (k+2)((k+8)(k-2) - 5) = (k+2)(k²+6k-21).
Нам осталось решить достаточно простое уранение, которое ранвосильно совокупности k = -2 или k²+6k-21 = 0, сделать обратные замены и всё.
Спасибо!
В Италии мы используем правило Руффини для выполнения делений между полиномами (2:20) в некоторых случаях.
Спасибо. Но , после 1:26 , можно чуть иначе . (1) x^2-3*x+5=v . ( пятёрку подобрал не глядя Ваше решение ) .Получаем : (2) (v+6)*(v-5)*(v+1)=-30 . После раскрытия скобок , приведения подобных членов и разложения на множители , получаем : (3) v*(v^2+2*v-29)=0 . Решаем (3) , подставляем корни в (1) . Получаем Ваш ответ . ( прием разложение на множители и их перегруппировка довольно известный ) . С уважением , Лидий
Очень интересные задания. Хотелось бы узнать кто и как их придумывает. Может это просто все с потолка.
Я посмотрел, у меня на потолке нет
Муторная и не очень красивая задача на смелость). Спасибо за решение
Используется приём разложения на множители и их перегруппировки. Спасибо за решение и сам метод.
Наконец-то не разжевано, как для дураков, а вкратце
Now, I prepared a similar equation.
Let first term : x^2 - 3x - 3.
Then, all 6 solutions are real,
and no double square root.
А Ткачук сам то решил? Ведь мало, кто решил. Не всегда результат зависит от постановки вопроса. "Один глупец может задать столько вопросов, что сотня мудрецов не ответят." Но Ваши объяснения хорошие, а заголовки бывают фейковые.
а какая группа Галуа у этого уравнения?
Можно было обозначить x²-3x-4=t тогда легко получается (t-1)(t²-30)=0
Думаю автору в конце надо было разъяснить, что "2" корень является не 2 корнями а 4-мя. Ведь у данного уравнения 6 корней. А то у не далёких зритель сложиться мнение, что их тока 4.
Объясняет хорошо, но кто такой ткачук, который сочинил то, что мало кто решил, а он сам то и не решил?
Замену можно было сделать ещё раньше - прямо с самого начала: x^2-3x=t, то t(t+6)(t+12)=30.
разве t=5 подходит, если решать вашим способом?
@@1luffiz Ой, я аж 2 ошибки сделала: если x²-3x=t, то x²+3x=t+6х и x²-9x=t-6х. Т.е. и "х" не исчез, и уравнение будет не таким, как я думала.
(t+1)(t+6х+2)(t-6х+12)=-30, которое, конечно, сложнее решить, чем предложил Валерий.
Я решил😎, но у меня 4 из 6 корней неправильные, потому что √(120)=4√(30), а не как у всех 2√(30)
Решите что-нибудь интересное из Сканави.
Компьютер даёт 6 корней
Их и есть 6
не для средних умов
@user-yq8vi6rx4t вы правы !
Ема
Никогда не любил такие сложные ответы, думал что ошибся