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ガウス環のノルム使うのが手っ取り早いですねz=35+28i,w=35-28iとおくときz^n=a+bi(a,bは整数)とすればw^n=a-biで2009^n=(zw)^n=z^nw^n=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2となります
これは流石に誘導がないと手も足も出ませんね・・・
今思ったけど、パスラボで数学の問題を生放送にしてコメントで議論しながらやったらオンライン授業みたいになって盛り上がりそう。
誘導がなくてもn＝1,n＝2の場合を示しておいてn＝kからn＝k+2で帰納法を使えば単純にx,yを2009倍するだけでいけそう。n=2については、途中で出てくる41を2乗すると1681⇒これは40と9の2乗に分解できることに気づけばx,yは40x49と9x49で案外簡単に見つかる。
こういうときの数学的帰納法強すぎる
n=2でのx,yを出すの大変じゃない？
それな2009の二乗はむりやて
このBF恒等式の出題は2021に横国がBFになる伏線だったのか
この因数分解､結構好き
生放送とかですばるさんが難問を初見で解く様子を見てみたい！！
面白そう！
解けねぇよ
@@user-sexwannaonna ワロタ
9:54「Xk≦Ykとしても…」の部分は、絶対値で処理すればXk+1∈ℕがとれる、としても良さそうですかね？記述の面倒くささを考えると動画の方が楽だとは思います。
その場合、一般的に0は自然数ではないので、28xk-35ykが0ではないことは示す必要がありますが、これもxkとykを交換することで大丈夫そうですね。
問題文が全称命題なのか存在命題なのか分からない。
それなです。存在命題なら、実験の時点でfinishですもんね
よくない問題文ですよね。空気読んで全称だろうな…って感じですもんね。
0:24口頭ではちゃんと言ってるので、ギリOKですかね？(笑)
あんた頭いいやろ
組み合わせじゃない？
今日の、特に難しいな〜。でも頑張って数学得意になるぞ〜！
あなたは十分数強ですよ
@@学校で教わらない雑学 さんきゃー、ありがとうございます😊
絶対値つけてx_k+1 = | 28x_k - 35y_k |としまうのも一つの手
私もそう思ったんですが、絶対値の中身が0ではない、という議論をしないといけなくなりより面倒になる気がしますx_kとy_kを入れ替えても一般性を失わない、っていう着地になると思いますが、それなら動画の方が楽なんですよね…
「存在することを証明せよ」って言う問題を昨日法で証明しようとは思いつかないなあ
@task 別の問題で具体例１つ導き出して「解が１つ求められたため存在することが証明された」みたいな解き方は見たことあります
@@一端のハンドボーラー 実は今回、板書の問題文の表記が適切ではなくて、本動画の証明の条件に付いて「あらゆる自然数nについて」を書き忘れてる。(先生が口頭で言い添えている) だから1つ存在例を示せばOKとはならない。どんなｎを想定してもそれに対応するXn、Ynが常に存在することを示せというのが今回の内容。
nが偶数と奇数で場合分けすると少し強引に(x,y)の一般解がだせるような
どっかの国の数学オリンピックの問題で似たようなのみたなぁ
10:43 で、Xk≧Yk だったら、Xk+1=-28Xk+35Yk が負の数になり得ますけどそれについては言及しなくてもいいんですか？
同じとこ疑問に思いました
これ対称性からx_k＋1とy_k＋1が逆のときも答えないとダメじゃないですか？
これは誘導がないと相当厳しいと思います。私は誘導を見ずに散々考えましたが、全然進まず、、誘導あれば解けました。
ラグランジュの恒等式ってやつですね！
最後のところ、x_k≦y_kとしても一般性は失われない、というのを利用するのならば、x_k≦y_kならばx_(k+1)≦y_(k+1)も示しておかなければならないのではないでしょうか？
自己解決大小関係なくとにかく存在することさえわかれば、その都度x_k≦y_kになるように必要とあらばxとyを入れ替えればいいだけの話ですね。
9:14 よく帰納法で使われるk+1の形になってないけどxk+1,yk+1って置いていいのかな？
@@りょー-d8w2h うぅ...ちょっと難しいですね💦 xとyがkに関する数列になってるっていうのは 2009^k がxとyで表せるのと同じように 2009^k+1 がxとyで表せると言うことでしょうか？
えっっっぐ!!!
ちょうど昨日解いたーー！！
「x^2+y^2=aとなる自然数(x,y)が存在するとき、任意の自然数bに対してx^2+y^2=ab^2となる自然数(x,y)が存在する」っていう事を使えば誘導無くても帰納法で示せそう
数学的帰納法は演繹法
ベーコン、デカルト
n=1で実験して意味あるの？と思ったんですが…これは実験してないと詰みますね
円の方程式だと考えて解いたのではだめなのか？
いつも受験前西暦素因数分解してたわ
ルート(2009^n)は任意のnで存在する実数なので、これを半径とする円が存在するので存在する、じゃだめなん？
動画見て考えたけど、n=2も証明すればk→k+2でいけるかもしれん
@task k→k+2はx,y→2009x,2009yとすれば楽だと思ったのですが、確かにn=1,2の2回の証明するのは面倒臭いですよね、、
最後負のときはそれでいいとして=0のときを考えないと？
5yk=4xkのときx(k+1)=0(自然数ではない)となるので、どんな自然数に対しても5yk≠4xkを示すか、あるいは5yk=4xkを満たすもの以外で解が存在することを示さないといけないということです！
xk≦ykってしてるのがなんでか考えたら証明する必要ないことがわかる
ありがとうございます！うかつでした！
ホワイトボードの問題だけを見るとn=1でx=28,y=35のときx²+y²=2009ⁿを満たす自然数の存在が確認されてるので、これだけで題意を満たすのでは？と思いましたがどうなのでしょう
ありがとうございます、納得しました
ブラーマグプタ。。
アルファエクスプート
フェルマーの二平方和定理を証明しても解いたことになりますね！
n=1を満たすx,yをきれいに求められずに苦労しました
最後の気付けなかった
その年の素因数分解は知っとけって話しよな
問題の出し方が良くない。存在を示すのが一つのnなのか、すべてのnなのかわからないので、この動画は低評価とします
あるnに対して存在してるのを示すのか、すべてのnに対して存在してるのかわかんなくね？問題文悪いな
円を使って上手く説明できないかな受験から離れてもう数年経つから強くは言えないけどw
生活保護費を下さい。
ガウス環のノルム使うのが手っ取り早いですね
z=35+28i,w=35-28iとおくときz^n=a+bi(a,bは整数)とすればw^n=a-biで
2009^n
=(zw)^n
=z^nw^n
=(a+bi)(a-bi)
=a^2+b^2
となります
これは流石に誘導がないと手も足も出ませんね・・・
今思ったけど、パスラボで数学の問題を生放送にしてコメントで議論しながらやったらオンライン授業みたいになって盛り上がりそう。
誘導がなくてもn＝1,n＝2の場合を示しておいてn＝kからn＝k+2で帰納法を使えば単純にx,yを2009倍するだけでいけそう。n=2については、途中で出てくる41を2乗すると1681⇒これは40と9の2乗に分解できることに気づけばx,yは40x49と9x49で案外簡単に見つかる。
こういうときの数学的帰納法強すぎる
n=2でのx,yを出すの大変じゃない？
それな2009の二乗はむりやて
このBF恒等式の出題は2021に横国がBFになる伏線だったのか
この因数分解､結構好き
生放送とかですばるさんが難問を初見で解く様子を見てみたい！！
面白そう！
解けねぇよ
@@user-sexwannaonna ワロタ
9:54「Xk≦Ykとしても…」の部分は、絶対値で処理すればXk+1∈ℕがとれる、としても良さそうですかね？
記述の面倒くささを考えると動画の方が楽だとは思います。
その場合、一般的に0は自然数ではないので、28xk-35ykが0ではないことは示す必要がありますが、これもxkとykを交換することで大丈夫そうですね。
問題文が全称命題なのか存在命題なのか分からない。
それなです。
存在命題なら、実験の時点でfinishですもんね
よくない問題文ですよね。空気読んで全称だろうな…って感じですもんね。
0:24口頭ではちゃんと言ってるので、ギリOKですかね？(笑)
あんた頭いいやろ
組み合わせじゃない？
今日の、特に難しいな〜。
でも頑張って数学得意になるぞ〜！
あなたは十分数強ですよ
@@学校で教わらない雑学 さん
きゃー、ありがとうございます😊
絶対値つけて
x_k+1 = | 28x_k - 35y_k |
としまうのも一つの手
私もそう思ったんですが、絶対値の中身が0ではない、という議論をしないといけなくなりより面倒になる気がします
x_kとy_kを入れ替えても一般性を失わない、っていう着地になると思いますが、それなら動画の方が楽なんですよね…
「存在することを証明せよ」って言う問題を昨日法で証明しようとは思いつかないなあ
@task 別の問題で具体例１つ導き出して「解が１つ求められたため存在することが証明された」みたいな解き方は見たことあります
@@一端のハンドボーラー
実は今回、板書の問題文の表記が適切ではなくて、本動画の証明の条件に付いて「あらゆる自然数nについて」を書き忘れてる。(先生が口頭で言い添えている) だから1つ存在例を示せばOKとはならない。どんなｎを想定してもそれに対応するXn、Ynが常に存在することを示せというのが今回の内容。
nが偶数と奇数で場合分けすると少し強引に(x,y)の一般解がだせるような
どっかの国の数学オリンピックの問題で似たようなのみたなぁ
10:43 で、Xk≧Yk だったら、Xk+1=-28Xk+35Yk が負の数になり得ますけどそれについては言及しなくてもいいんですか？
同じとこ疑問に思いました
これ対称性からx_k＋1とy_k＋1が逆のときも答えないとダメじゃないですか？
これは誘導がないと相当厳しいと思います。私は誘導を見ずに散々考えましたが、全然進まず、、誘導あれば解けました。
ラグランジュの恒等式ってやつですね！
最後のところ、x_k≦y_kとしても一般性は失われない、というのを利用するのならば、
x_k≦y_kならばx_(k+1)≦y_(k+1)も示しておかなければならないのではないでしょうか？
自己解決
大小関係なくとにかく存在することさえわかれば、その都度x_k≦y_kになるように
必要とあらばxとyを入れ替えればいいだけの話ですね。
9:14 よく帰納法で使われるk+1の形になってないけどxk+1,yk+1って置いていいのかな？
@@りょー-d8w2h
うぅ...ちょっと難しいですね💦 xとyがkに関する数列になってるっていうのは 2009^k がxとyで表せるのと同じように 2009^k+1 がxとyで表せると言うことでしょうか？
えっっっぐ!!!
ちょうど昨日解いたーー！！
「x^2+y^2=aとなる自然数(x,y)が存在するとき、
任意の自然数bに対してx^2+y^2=ab^2となる自然数(x,y)が存在する」
っていう事を使えば誘導無くても帰納法で示せそう
数学的帰納法は演繹法
ベーコン、デカルト
n=1で実験して意味あるの？と思ったんですが…これは実験してないと詰みますね
円の方程式だと考えて解いたのではだめなのか？
いつも受験前西暦素因数分解してたわ
ルート(2009^n)は任意のnで存在する実数なので、これを半径とする円が存在するので存在する、じゃだめなん？
動画見て考えたけど、n=2も証明すればk→k+2でいけるかもしれん
@task
k→k+2はx,y→2009x,2009yとすれば楽だと思ったのですが、確かにn=1,2の2回の証明するのは面倒臭いですよね、、
最後負のときはそれでいいとして=0のときを考えないと？
5yk=4xkのとき
x(k+1)=0(自然数ではない)となるので、どんな自然数に対しても5yk≠4xkを示すか、あるいは5yk=4xkを満たすもの以外で解が存在することを示さないといけないということです！
xk≦ykってしてるのがなんでか考えたら証明する必要ないことがわかる
ありがとうございます！うかつでした！
ホワイトボードの問題だけを見るとn=1でx=28,y=35のときx²+y²=2009ⁿを満たす自然数の存在が確認されてるので、これだけで題意を満たすのでは？と思いましたがどうなのでしょう
ありがとうございます、納得しました
ブラーマグプタ。。
アルファエクスプート
フェルマーの二平方和定理を証明しても解いたことになりますね！
n=1を満たすx,yをきれいに求められずに苦労しました
最後の気付けなかった
その年の素因数分解は知っとけって話しよな
問題の出し方が良くない。存在を示すのが一つのnなのか、すべてのnなのかわからないので、この動画は低評価とします
あるnに対して存在してるのを示すのか、すべてのnに対して存在してるのかわかんなくね？
問題文悪いな
円を使って上手く説明できないかな
受験から離れてもう数年経つから強くは言えないけどw
生活保護費を下さい。