Winkel zwischen Ebene und Gerade - Analytische Geometrie
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- Опубліковано 2 тра 2024
- Analytische Geometrie
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man den Winkel zwischen einer Ebene und Gerade mit dem Richtungsvektor und Normalenvektor berechnen kann. Wir berechnen den Betrag eines Vektors, das Kreuzproukt und Skalarprodukt. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Winkel berechnen
1:06 Formel
2:46 Normalenvektor berechnen
5:38 Skalarprodukt
7:40 Betrag eines Vektors
9:20 Winkel berechnen
11:23 Bis zum nächsten Video :)
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Verstehe es nur bei ihnen Danke für die Nicen videos 💞
Hallo Susanne, herzlichen Dank für das Video 🙂🙏👌
b) der Winkel für Ebene in Koordinatenform ▶
g: v(x)= (1, 3, 2) + r(2, 1, 0)
e: 2x-y+3z= 4
⇒
→a= →r
→a= (2, 1, 0)
→b= →n
→n= (2, -1, 3)
→b= (2, -1, 3)
sin(α)= I→a.→bI/I→aI.I→bI
I→a.→bI = I (2, 1, 0) . (2, -1, 3)I
I→a.→bI = I 2*2-1*1+0*3I
I→a.→bI = I 4-1+0I
I→a.→bI = I3I
I→a.→bI = 3
I→aI= √2²+1²+0²
I→aI= √4+1
I→aI= √5
I→bI= √2²+(-1)²+3²
I→bI= √4+1+9
I→bI= √14
sin(α)= 3/√5*√14
sin(α)= 3/√70
α= arcsin(3/√70)
α= arcsin(0,358568)
α= 21,01° ist der Winkel ✅
👍
Hab genau gleich gerechnet und somit auch 21.01° herausbekommen! 😉
Kommt wie gerufen dieses Video. Da musste ich noch ein paar Lücken auffüllen. Wieder mal kurz und gut verständlich, danke :)
Ich schau diese Videos ja echt gerne, aber diesmal hab ich nur Bahnhof verstanden
Es gibt sie, diese Magie... Die Alten glaubten, dass der Kosmos (das schön Geordnete) sich in sohärenharmonischer Musik dreht.
Und wenn Susanne es uns kompetent, verständlich UND charmant erklärt.... Vielen Dank!
Schön gelöst! Ich hätte es genauso gemacht (Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt bzw. Vektorprodukt der beiden Spannvektoren berechnen). Allerdings kannte ich die Sinusformel in dieser Form noch nicht, sondern nur die Cosinusformel, und hätte daraus den Winkel zwischen Richtungsvektor der Geraden und Nomalenvektor der Ebene berechnet und dann von 90 Grad subtrahiert. Das läuft aber auf dasselbe hinaus, den es gilt ja sin(alpha) = cos(90° - alpha).
wie haben wir nur vor 50 Jahren dies Aufgabe gelöst? Da gab es noch keine Taschenrechner, in die man das einfach eingibt. Da musste noch das gute alte Tafelwerk ran!
Zeit, sich mal wieder Geo anzuschauen ... Andererseits denke ich das für Stochastik auch ;)
👍💯
Hallo Susanne, danke für deine schöne Videos. Ich möchte gerne wissen, was für Geräte und welche Apps versendest du für solche schönes Videos? 😊
Bitte mach mehr videos über komplexe zahlen 😅
11:29 Winkel zw. Vectoren, wie macht mann das?
Hallo Susanne!
Bevor ich die 2. Aufgabe angegangen bin, habe ich erst mal das Video von der 1. Aufgabe angeschaut (zur Auffrischung, weil schon so lange her).
Dann bin zu Aufgabe 2 genau so vorgegangen wie Du es gezeigt hast, und komme auf alpha ≈ 21,01°.
Stimmt es, daß die Ebene aus Aufgabe 2 die x-Achse bei 2, die y-Achse bei (-4), und die z-Achse bei 4/3 schneidet?
Wie nennt man diese Form der Ebenen Darstellung noch mal?
❤liche Grüße!
Bin gerade hochgradig verwirrt. Ist zwar schon ein paar Jahre her, aber der Winkel zwischen 2 Vektoren wird doch mit dem cos berechnet.
Mit der Anwendung des sin ergibt sich für den Winkel zwischen den parallelen Vektoren (1,0,0) und (2,0,0) sin a = 2 / 2 = 1. Und der sin ist 1 bei π/2 = 90°.
Also schließen die beiden parallelen (!) Vektoren einen Winkel von 90° ein. 🤯
Du hast absolut recht! Mir fehlte diese Erklärung auch, wenn man sich aber ein paar Gedanken darüber macht, ergibt das durchaus Sinn. Der Winkel a (der in der Skizze eingezeichnet ist) ist nicht der Winkel zwischen den Vektoren. Den Winkel zwischen den beiden Vektoren würden wir mit dem Cosinus berechnen, aber den Winkel auf der anderen Seite des Vektors würden wir mit 90°-cos(a) berechnen. Das ist aber gleich dem Sinus.
@@aqhatalhalef17 Gute Gedanken, falsche Schreibweise! Sehen Sie den Kommentar von goldfing5898. Er hat es verstanden und einfach und richtig erklärt.
Kann mir jemand erklären, warum ich auch dann gerne bei diesem Video zuschaue, auch wenn ich absolut nichts verstehe? Gibt es so etwas wie "Magie der Mathematik"? Und wer staunt noch über sich selbst?
Das liegt entweder an deiner Erwartungshaltung, doch noch vielleicht etwas zu lernen/verstehen, oder - was deutlich wahrscheinlicher ist - an Susannes symphathischer Art.
Wie dem auch sei, ich bin dankbar für deinen Kommentar, dann komme ich mir nicht so dumm vor, verstehe auch nur Bahnhof. LG 🙂
Verstehe ich, Aufgabe konnte ich vor 50 Jahren locker lösen aber bei nicht-gebrauch vergisst man es wieder. Natürlich haben wir alle Susanne abonniert, weil wir ihr zuhören wollen und ihr viele Follower gönnen.
Geht mir auch so…eigentlich hasse ich Mathe, aber bei Susanne mag ich es gern gucken..manchmal glaub ich sogar, etwas zu verstehen🫣
Lösung:
Ich ermittle mit den beiden Spannvektoren (1;-2;-1) und (0;-1;2) der Ebene den senkrechten Normalenvektor (nx;ny;nz) der Ebene und der Winkel α zwischen dem Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor (1;-1;3) der Geraden ist der Komplementärwinkel zu 90° zu dem gesuchten Schnittwinkel β zwischen der Gerade und der Ebene. Es gilt also: β = 90°-α
Ermittlung des Normalenvektors (nx;ny;nz) der Ebene mithilfe der beiden Spannvektoren:
Der Normalenvektor (nx;ny;nz) der Ebene steht senkrecht auf den beiden Spannvektoren (1;-2;-1) und (0;-1;2) der Ebene, das Skalarprodukt ist also jeweils 0. Das ergibt 2 Gleichungen (✹ = Zeichen für das Skalarprodukt):
(1) (nx;ny;nz)✹(1;-2;-1) = 0 ⟹
(1a) nx-2ny-nz = 0
(2) (nx;ny;nz)✹(0;-1;2) = 0 ⟹
(2a) -ny+2nz = 0 |+ny ⟹ (2a) ny = 2nz |in (1a) ⟹
(1b) nx-4nz-nz = nx-5nz = 0 |+5nz ⟹ (1c) nx = 5nz | ⟹ Der gesuchte Normalenvektor lautet also: n = (5nz;2nz;nz)
Da die Länge des Normalenvektors gleichgültig ist, kann ich den Wert für nz frei wählen. Ich wähle praktischerweise nz = 1. Dann lautet der Normalenvektor der Ebene: n = (5;2;1)
Nun gibt es 2 verschiedene Definitionen des Skalarproduktes, von denen bewiesen worden ist, dass sie gleich sind. Einmal werden die Längen der Vektoren miteinander mal genommen und dann auch noch mit dem Kosinus des Winkels α zwischen ihnen, bei der anderen Definition müssen die jeweiligen Komponenten miteinander malgenommen werden und dann addiert werden. Also lautet die Gleichung zwischen dem Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden:
|(5;2;1)|*|(1;-1;3)|*cos(α) = (5;2;1)✹(1;-1;3) ⟹
√(5²+2²+1²)*√(1²+1²+3²)*cos(α) = 5*1-2*1+1*3 ⟹
√30*√11*cos(α) = 6 ⟹ √330*cos(α) = 6 |/√330 ⟹
cos(α) = 6/√330 = sin(90°-α) = sin(β) ⟹
arcsin(β) = arcsin(6/√330) = 19,2863° = der gesuchte Winkel zwischen Ebene und Gerade
Es wäre noch wichtig zu erwähnen, dass es um den *geringsten* Winkel zwischen der Ebene und der Geraden geht, da wir uns im 3-dimensionalen Raum befinden. Wenn man das Ganze nämlich von einem beliebigen anderen Blickwinkel betrachtet, ist der Winkel anders: Wenn man parallel zur Linie schaut, ist der Winkel *immer* 90°. Wenn man den größten Winkel sucht, ist er 180° minus das im Video berechnete Ergebnis.
Sehr guter Hinweis! Auch sonst hätte Susanne bei so einem Thema mehr Hintergrundwissen statt nur "Rechnen mit Formeln" vermitteln können. Sie hat's ja drauf.
🙂👻
Normalenvektor der Ebene im Schnittpunkt einzeichnen und schon ist das Problem beseitigt.
Nee, stimmt so nicht. Man sucht sich nicht den "Blickwinkel" aus. Wie beim Einheitskreis mathematisch positive Richtung ablaufen, hier: von Ebene zu Normalenvektor.
@@N7OmniTool Und voran richtet sich der Normalenvektor aus? DAS IST der Blickwinkel! Ich habe nur nicht den Fachbegriff verwendet...
Genau das war auch mein Gedanke. Da die Ebene ja durch unendlich viele Vektoren, die von einem Punkt ausgehen und rechtwinklig zum Normalenvektor stehen, aufgespannt wird, hat eine "schräg" durch diese Ebene stoßende Gerade mit jedem dieser Vektoren einen anderen Winkel. Klar definieren lässt sich nur der Winkel zwischen Gerade und Normalenvektor und 90 minus dieser Winkel ist dann der kleinste Winkel zwischen Ebene und Gerade. Und ja, sehe ich senkrecht auf den Zeiger der Sonnenuhr (der ja schräg nach Norden zeigt), so bildet ein gedachter Zeiger nach Osten (oder Westen) mit diesem Sonnenuhrzeiger einen 90° Winkel.
Hallo Susanne, ich erhalte 21,01 Grad, kann keinen Fehler finden und denke die beiden Ebenen (Parameterform/ Koordinatenform) sind nicht gleich.
Sie hat richtig gerechnet
Für mich zu kompliziert, liegt wahrscheinlich am Alter, aber toll erklärt
Ich hatte mal die Winkelfunktionen aber das war zu hoch 😢
Gott, wie viele Bots hast du denn in den Kommentaren? :( Tolles Video!
Aktuell mehr als normale User...
Auch bots bringen clicks. Könnte es vielleicht (😉) sein, dass genau deshalb (nicht nur hier natürlich!) praktisch nichts dagegen unternommen wird?
Das einzige, was wir als User tun können, ist nicht anklicken, denke ich. Helfen wird's wohl nicht viel...
🙂👻
@@roland3et Man kann sie als Spam reporten. Dann werden sie zumindest für sich selbst ausgeblendet und stören nicht mehr...
@@roland3et Negative Bots--> Browser-Add-on Dislike Button yt
Heftig. Ich mag ja eigentlich Mathe, aber nach diesem Video bin ich echt froh, dass ich das nicht lernen musste 😬
In welcher Klasse kommt so etwas dran?
Ich finde die Herleitung des Sinus nicht trivial, deswegen beschreibe ich diese nochmal kurz für interessierte. Der Cosinus bestimmt den Winkel zwischen dem Normalenvektor und dem Richtungsvektor der Geraden. Diesen Winkel könnten wir zwar berechnen nur ist das nicht der Winkel zwischen der Ebene und der Geraden. Hierfür müssten wir 90°-arccos(a) nehmen, da aber arcsin(x) + arccos(x) = 90° bzw. sin(x)+cos(x)=1 gilt, können wir 90°-arccos(a) auch als arcsin(a) schreiben.
Gute Gedanken, falsche Schreibweise! Sehen Sie den Kommentar von goldfing5898. Er hat es verstanden und einfach und richtig erklärt.
Och, da bin ich draußen vor. Hatte keinen Ansatz und habe nix verstanden🤷🏻♀️
Alles schön und gut, aber diese ganzen Nebenrechnungen sind allesamt kleines Einmaleins. Die Leute, die du in dem Moment, wo du z. B. "-2 * 2 - (-1) * (-1)" direkt zu "-5" zusammenfasst und das nur mündlich erklärst, abhängst, sind noch nicht reif für solche Geometrieaufgaben.
Das verstehe ich nicht.
Wer braucht denn so was?
Leute die wissen wollen, in welchem Winkel eine Linie eine Fläche durchdringt.
Schon mal ein Computerspiel mit 3D-Grafik gespielt? Es gibt auch Leute, die diese programmieren. Die brauchen das zum Beispiel.