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数学特訓キャンプの申し込みはこちらからforms.gle/gpNwPeoecP2a2s3y7無料体験授業の申し込みはこちらからforms.gle/qaL5VieqKJzsJdQX9オンライン数学塾のホームページはこちらからsites.google.com/view/kawabatateppei
n⁴-3n²+1=n⁴-2n²+1-n²=(n²-1)²-n²=(n²+n-1)(n²-n-1)n²+n-1=1 n²+n-2=0 (n+2)(n-1)=0 n>0 , n=1 n⁴-3n²+1=-1 ×n²-n-1=1 n²-n-2=0 (n+1)(n-2)=0 n>0 , n=2 n⁴-3n²+1=3 〇
f(n):=n^4-3n^2+1=(n^2-1)^2-n^2=(n^2+n-1)(n^2-n-1)が素数のとき、任意の自然数nに対してn^2+n-1>n^2-n-1より、n^2-n-1=1でなくてはならない。(実際、n^2-n-1≧2のとき、n^2+n-1>n^2-n-1≧2となりf(n)は合成数となるので素数になり得ない。)またこのとき、n^2-n-1=1⇔n^2-n-2=0⇔(n+1)(n-2)=0が成立するので、これを満たす自然数nはn=2である。(このときf(n)=5となる。)と解いた。
中学生だとマーク試験のような穴埋めでは答えを出せる人はそこそこいそうだけど論証させるとなるとかなり大変だと思う
バカなので、n＝1から実験していったらn＝2で答えでちゃった。一見難しい問題でも、チャレンジすれば答えが出ることもあるよ（めったにないけど）、っていう問題なんだと信じてる。
2だけ の証明が難しいですね
n=5まで実験したあたりで因数分解したらちょうど積が階差数列みたいになってることに気づいて（語彙力）組み立てたら2:35の式が出てきたわ流石に2乗ー2乗のあの形初見じゃ気づかん
高校入試だとすれば、難関校での出題になるでしょうね。「素数」と見た時に1×◯◯を想定して、与式は必ず因数分解ができるはずだ、と見抜く力が必要ですからね。
和と差の積
こういう一見難しそうだが、実は中学の知識だけで解くことが出来る問題好きです。解説聞いて納得する……最近の私の趣味ですね。自力で解けないのが残念ですが
京大数学てきな感じでmod使ってなんかの倍数って示すんかなって思って何個か値入れてたらn＝2見つけちゃった
0, ±2 と思ったけど、自然数は2だけか
７０近い爺いです、きれいな問題、私が中学時代なら解けないし、見た事も無い問題です・・もはや頭の体操ですね・・
これはなかなか歯応えありますね…因数分解を自在に操れないと最初の展開にたどり着けないし、その後も当然ですが、整数問題のセンスや自然数の理解が必要になる時間にもよりますが、これを中３で解ける子は相当センスありますね
和と差の積の形持っていければなんとかなるかも？というレベルですね
複二次式の因数分解は和と差の席を使うのはお約束。これを和と差の積に持ち込むのはかなり難易度高い。
なるほどなぁ頭の良い中学生なら思いつきそうではあるこのやり方は納得の方法でした
もしも「コマネチ大学数学科(昔の深夜番組)」で出題されたら、コマ大生が一応正解できる問題だと思った。
最後は因数分解しなくても2も素数だから同じ要領でn(n-1)=2からn=2と分かる
このチャンネルの和差積バイアス分かれば中学生でも解けるという？
元塾教師です。1990年以前の國學院で全く同じ手法の問題が出ています。生徒に聞いたら数字を入れていった(n▽4－9n▽2＋1でn＝3)と言っていました。その数年後，(現在は中受のみの)浦和明の星高校で出題されました。特別な水準ではありません。
論理的思考=数学。そういう意味では、テスト関係なく 中学でやるのが望ましい。
最初にn^4-2n+1-n^2の形に気づけるかがポイントですね。そうすると、(n^2+n-1)(n^2-n-1)の積の形にもっていけます。後は大小関係からn^2-n-1=1と判断することができます😊
(n^2+n-1)(n^2-n-1)の式にnをn=1から順に代入していくと・n=1: 1x(-1)・n=2: 5x1・n=3: 11x5、n=4: 17x13、n=5: 29x19となって、「nが3以上の場合には必ず1,-1以外の２つの整数の積の形で表せる」が、題意からn=1は不適よって解はn=2に限定されるとすれば、n^2-n-1=1を解かなくても済むが厳密には「nが3以上の場合には必ず1,-1以外の２つの整数の積の形で表せる」ことを証明しておかないと減点扱いだろうから素直にn^2-n-1=1を解くべきなんだろうね
力技ですが(n^2＋◎)(n^2-△)＝0の形に因数分解できると仮定。◎-△＝-3nが自然数であることから、n^2は平方数。◎＝1、△＝4とおいてみる。(n^2＋1)(n^2-4)＝0nが自然数であることから、n=2n=2のとき 与式＝5 適
とっかかりで悩みましたが、因数分解できて簡単でした。
答えは不適になるけどn^2+n-1=-1は考えなくていいのかなあ？
n²+n-1=n(n+1)-1nが自然数でn≧1よりn(n+1)≧2n(n+1)-1≧1
@@FRcarowner そうなんですけど動画で触れられてなかったような気がしたので。
3:14からさらっと一番小さくても1で正って言ってる
n^4-3n^2+1=p とおくと、(n^2+n-1)(n^2-n-1)=p, n^2+n-1>n^2-n-1 より(n^2+n-1, n^2-n-1)=(p,1),(-1,-p)(-1,-p)の場合はちょっと考えて不適であることを示せばよさそうですね。
@@おにぎり-p7d9xありがとうございます。
素数といえば積の形😊
３n2を３つに分けると（）✖︎（）の形が作れる。あとはどちらが１になるか判断すれば答えは出る。
-3n^2=-2n^2-n^2だから、(n-1)^2の平方完成を考えて...、から始まるものだとばっかり。😅
むずかしいですね
大学入試で出題されてもおかしくない
与式の２つの因数の大小を比較する場面がないと論理的には不十分。残念！
うーん、習った時期なのか、謝って教えられたのか。自然数にゼロはアリと思っていたので、ゼロでまずは決まり、とか思っちゃった。ゼロ除く場合は「正の整数」として教えられたと思う。
高校入試でもかなり難しい。開成あたりで出てもおかしく無い
大学入試問題かと思った😅
大学入試です
@@うらしゅう なるほど😄
次補助線を引いてみる
－2も入れちゃった❗
いつも参考にさせてもらってます☺
因数分解の後、-1×マイナスの数＝素数になる可能性を検証しなくても良いでしょうか。答えは出せましたが、後から気になって検証してみて、最終的に条件を満たすnは2のみと確認しました。
一応動画内でも言っていますが。n^2-2n≦0 (nは自然数)を解けばいいのです。
問題の条件nは自然数より、n^2+n-1が0以上なのが確定しますからわざわざ検証する必要はないですね。
整数問題の頻出パターンの一つですね。基本的な考え方（積が素数p→1*pか(-1)*(-p)になる）を把握する必要があります。次、AC方向に1 [cm]進むたびに平行線は7/6 [cm]づつ伸びるというのは直感的に分かる。それを、「採点者に理解できるように、答案用紙にどう記載するか？」が重要になると考えます。
因数分解の別解ってことで数学的帰納法に持ち込んだら何とかなるかと思ったけど無理そうだな。N→N+1を代入して整理したら何か見えてくるかと思ったけど代入した奴を無理やり因数分解するなら元のやつをやるってことで。
︎︎16/3
次回の問題のヒント対角線ADかBCを引く→相似な図形の性質2連発
AからBDの平行線を引けば平行四辺形ができるから相似は一回で済む、、、
私はACとBDを延長した交点を頂点とする3つの三角形の相似を考えることで連立方程式を考えました
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n⁴-3n²+1=n⁴-2n²+1-n²=(n²-1)²-n²=(n²+n-1)(n²-n-1)
n²+n-1=1 n²+n-2=0 (n+2)(n-1)=0 n>0 , n=1 n⁴-3n²+1=-1 ×
n²-n-1=1 n²-n-2=0 (n+1)(n-2)=0 n>0 , n=2 n⁴-3n²+1=3 〇
f(n):=n^4-3n^2+1
=(n^2-1)^2-n^2
=(n^2+n-1)(n^2-n-1)
が素数のとき、任意の自然数nに対して
n^2+n-1>n^2-n-1
より、
n^2-n-1=1
でなくてはならない。
(実際、n^2-n-1≧2のとき、
n^2+n-1>n^2-n-1≧2
となりf(n)は合成数となるので素数になり得ない。)
またこのとき、
n^2-n-1=1
⇔n^2-n-2=0
⇔(n+1)(n-2)=0
が成立するので、これを満たす自然数nはn=2である。
(このときf(n)=5となる。)
と解いた。
中学生だとマーク試験のような穴埋めでは答えを出せる人はそこそこいそうだけど論証させるとなるとかなり大変だと思う
バカなので、n＝1から実験していったらn＝2で答えでちゃった。
一見難しい問題でも、チャレンジすれば答えが出ることもあるよ（めったにないけど）、っていう問題なんだと信じてる。
2だけ の証明が難しいですね
n=5まで実験したあたりで因数分解したらちょうど積が階差数列みたいになってることに気づいて（語彙力）
組み立てたら2:35の式が出てきたわ
流石に2乗ー2乗のあの形初見じゃ気づかん
高校入試だとすれば、難関校での出題になるでしょうね。
「素数」と見た時に1×◯◯を想定して、与式は必ず因数分解ができるはずだ、と見抜く力が必要ですからね。
和と差の積
こういう一見難しそうだが、実は中学の知識だけで解くことが出来る問題好きです。解説聞いて納得する……最近の私の趣味ですね。自力で解けないのが残念ですが
京大数学てきな感じでmod使ってなんかの倍数って示すんかなって思って何個か値入れてたらn＝2見つけちゃった
0, ±2 と思ったけど、自然数は2だけか
７０近い爺いです、きれいな問題、私が中学時代なら解けないし、見た事も無い問題です・・もはや頭の体操ですね・・
これはなかなか歯応えありますね…
因数分解を自在に操れないと最初の展開にたどり着けないし、その後も当然ですが、整数問題のセンスや自然数の理解が必要になる
時間にもよりますが、これを中３で解ける子は相当センスありますね
和と差の積の形持っていければなんとかなるかも？というレベルですね
複二次式の因数分解は和と差の席を使うのはお約束。
これを和と差の積に持ち込むのはかなり難易度高い。
なるほどなぁ
頭の良い中学生なら思いつきそうではある
このやり方は納得の方法でした
もしも「コマネチ大学数学科(昔の深夜番組)」で出題されたら、コマ大生が一応正解できる問題だと思った。
最後は因数分解しなくても2も素数だから同じ要領でn(n-1)=2からn=2と分かる
このチャンネルの和差積バイアス分かれば中学生でも解けるという？
元塾教師です。1990年以前の國學院で全く同じ手法の問題が出ています。生徒に聞いたら数字を入れていった(n▽4－9n▽2＋1でn＝3)と言っていました。その数年後，(現在は中受のみの)浦和明の星高校で出題されました。特別な水準ではありません。
論理的思考=数学。そういう意味では、テスト関係なく 中学でやるのが望ましい。
最初にn^4-2n+1-n^2の形に気づけるかがポイントですね。
そうすると、(n^2+n-1)(n^2-n-1)の積の形にもっていけます。
後は大小関係からn^2-n-1=1と判断することができます😊
(n^2+n-1)(n^2-n-1)の式にnを
n=1から順に代入していくと
・n=1: 1x(-1)
・n=2: 5x1
・n=3: 11x5、n=4: 17x13、n=5: 29x19
となって、「nが3以上の場合には必ず1,-1以外の２つの整数の積の形で表せる」が、題意からn=1は不適
よって解はn=2に限定される
とすれば、n^2-n-1=1を解かなくても済むが
厳密には「nが3以上の場合には必ず1,-1以外の２つの整数の積の形で表せる」
ことを証明しておかないと減点扱いだろうから
素直にn^2-n-1=1を解くべきなんだろうね
力技ですが
(n^2＋◎)(n^2-△)＝0の形に因数分解できると仮定。
◎-△＝-3
nが自然数であることから、n^2は平方数。
◎＝1、△＝4とおいてみる。
(n^2＋1)(n^2-4)＝0
nが自然数であることから、
n=2
n=2のとき 与式＝5 適
とっかかりで悩みましたが、因数分解できて簡単でした。
答えは不適になるけど
n^2+n-1=-1は考えなくていいのかなあ？
n²+n-1=n(n+1)-1
nが自然数でn≧1よりn(n+1)≧2
n(n+1)-1≧1
@@FRcarowner
そうなんですけど動画で触れられてなかったような気がしたので。
3:14からさらっと一番小さくても1で正って言ってる
n^4-3n^2+1=p とおくと、
(n^2+n-1)(n^2-n-1)=p, n^2+n-1>n^2-n-1 より
(n^2+n-1, n^2-n-1)=(p,1),(-1,-p)
(-1,-p)の場合はちょっと考えて不適であることを示せばよさそうですね。
@@おにぎり-p7d9x
ありがとうございます。
素数といえば積の形😊
３n2を３つに分けると（）✖︎（）の形が作れる。
あとはどちらが１になるか判断すれば答えは出る。
-3n^2=-2n^2-n^2だから、(n-1)^2の平方完成を考えて...、から始まるものだとばっかり。😅
むずかしいですね
大学入試で出題されてもおかしくない
与式の２つの因数の大小を比較する場面がないと論理的には不十分。残念！
うーん、習った時期なのか、謝って教えられたのか。
自然数にゼロはアリと思っていたので、ゼロでまずは決まり、とか思っちゃった。
ゼロ除く場合は「正の整数」として教えられたと思う。
高校入試でもかなり難しい。開成あたりで出てもおかしく無い
大学入試問題かと思った😅
大学入試です
@@うらしゅう なるほど😄
次
補助線を引いてみる
－2も入れちゃった❗
いつも参考にさせてもらってます☺
因数分解の後、-1×マイナスの数＝素数になる可能性を検証しなくても良いでしょうか。答えは出せましたが、後から気になって検証してみて、最終的に条件を満たすnは2のみと確認しました。
一応動画内でも言っていますが。
n^2-2n≦0 (nは自然数)を解けばいいのです。
問題の条件nは自然数より、n^2+n-1が0以上なのが確定しますからわざわざ検証する必要はないですね。
整数問題の頻出パターンの一つですね。基本的な考え方（積が素数p→1*pか(-1)*(-p)になる）を把握する必要があります。
次、
AC方向に1 [cm]進むたびに平行線は7/6 [cm]づつ伸びるというのは直感的に分かる。
それを、「採点者に理解できるように、答案用紙にどう記載するか？」が重要になると考えます。
因数分解の別解ってことで数学的帰納法に持ち込んだら
何とかなるかと思ったけど無理そうだな。
N→N+1を代入して整理したら何か見えてくるかと思ったけど
代入した奴を無理やり因数分解するなら元のやつをやるってことで。
︎︎
16/3
次回の問題のヒント
対角線ADかBCを引く→相似な図形の性質2連発
AからBDの平行線を引けば平行四辺形ができるから相似は一回で済む、、、
私はACとBDを延長した交点を頂点とする3つの三角形の相似を考えることで連立方程式を考えました