距離の最小問題は応用範囲が広いですね。 ある自治体は学校を作る計画を立てている。市内には大きな集合住宅が 3 つある。それらの集合住宅の子供が 学校に通いやすい最適な場所を探している。集合住宅の位置を A, B, C, 学校の位置を P としたとき PA + PB + PC を最小にする学校の建設候補地 P を求めよ。 みたいな問題とか。
考え直した結果、下記のように整理しました。 L = max{ PA, PB, PC } とおく。最大値の定義から PA = AB/2 。同様に L >= BC/2, L >= AC/2 。これより L >= max{ AB, BC, AC }/2 …① ( i ) 三角形ABC が鈍角三角形、または直角三角形のとき C が鈍角とする。また A, B, C が直線上に並んでいるときは線分の両端が A, B のとき ∠C = π として これも鈍角三角形として扱う。このとき三角形の辺の中で鈍角の対辺の長さが最長なので AB >= BC, AB >= AC 。 線分 AB の中点を M とおく。点 M を中心に半径 AB/2 の円を描き、その円周および内部を D とおく。 円周角の定理から点 C は円 D に含まれる。よって、 MC = OA 。とくに P = O のときは L = OA となり、このとき L は最小。
男には微分しなきゃいけないときがある……
（もちろん女性もです）
f(x) = √(x²-2x+2)+√(x²-6x+13)と置くと
f'(x)
= (x-1)/√(x²-2x+2)+(x-3)/√(x²-6x+13)
すべての実数xに対して
√(x²-2x+2)>0かつ√(x²-6x+13)>0である
このことより
x≦1のときf'(x)
コメントにしたら多く感じるけど、紙に書いたらまだマシかな
いや計算量多スギィ
感動です！
こういう一見難しそうに見えて発想の転換でスッキリ解ける問題大好きなのでもっとやってほしいです！
数式と図形を紐付ける問題は気持ち良い
平方完成は分かっても手詰まりでした…
はっとさせられる解法ですね！
xが2箇所にあってかつ有理化しても意味がなく、同時に最大最小を議論するには数式では複雑になってしまうということ、√の中が平方数の和になっていたことから、座標平面上における距離の和として考えるのが最善という発想に至り、解き切ることができました。
平方完成までで詰まってしまいました…
2乗+2乗のルートって聞いた時にあああっ！とめちゃくちゃスッキリしました♪
ただ、三平方の定理が学習指導要領から消えたっていう事実に一番驚きました💦
発想の転換というか作問側がその事実をもとに問題を作ってるというだけだよね。
座標に落とせばできる問題って、作問側としてはパラメータいじっても間違った問題にならないから作りやすいし汎用性がある。
距離の最小問題は応用範囲が広いですね。
ある自治体は学校を作る計画を立てている。市内には大きな集合住宅が 3 つある。それらの集合住宅の子供が
学校に通いやすい最適な場所を探している。集合住宅の位置を A, B, C, 学校の位置を P としたとき
PA + PB + PC
を最小にする学校の建設候補地 P を求めよ。
みたいな問題とか。
max{ PA, PB, PC } を最小化するには P は三角形 ABC の外心がよさそうです。
三角形 ABC の外心を O, 外接円の半径を r, L = max{ PA, PB, PC } とおく。
このとき最大値の定義から PA
@@田村博志-z8y A,B,Cがほぼ一直線上に立地してた場合、外心に学校置くと無限遠に飛んで行ってしまいます
@@まんまる-u2e さん
ご指摘ありがとうございます。その通りですね。嘘言いました。
max{ PA, PB, PC } を最小にするにはバランスが保たれる PA = PB = PC のときかな、と安易に考えてました。
初心にかえって問題を考えなおします。
L = max{ PA, PB, PC } とおきます。まず PA = CA/2
よって L >= max{ AB, BC, CA }/2
うーん、ここからどうしましょうね。これだと任意の 2 つの円は重なるけど 3 つ同時に重なるわけでは
ないのでややこしいですね。少なくとも最小値は max{ AB, BC, CA }/2 以上です。
考え直した結果、下記のように整理しました。
L = max{ PA, PB, PC } とおく。最大値の定義から PA = AB/2 。同様に L >= BC/2, L >= AC/2 。これより
L >= max{ AB, BC, AC }/2 …①
( i ) 三角形ABC が鈍角三角形、または直角三角形のとき
C が鈍角とする。また A, B, C が直線上に並んでいるときは線分の両端が A, B のとき ∠C = π として
これも鈍角三角形として扱う。このとき三角形の辺の中で鈍角の対辺の長さが最長なので
AB >= BC, AB >= AC 。
線分 AB の中点を M とおく。点 M を中心に半径 AB/2 の円を描き、その円周および内部を D とおく。
円周角の定理から点 C は円 D に含まれる。よって、
MC = OA 。とくに P = O のときは L = OA となり、このとき L は最小。
題意をみたす点は、フェルマー点が良いようです。外心は最小点というより等距離点ですね
すごい！発想の転換！！
● √（なんとかの2乗＋なんとかの2乗）から三平方の定理を思いつく。
● 座標を使って表したときに出現した図形は光の反射の問題で見たようなものだった。
この2つのステップを踏むと解けるというのは、いい冒険をさせてもらいました。
私も人生で1つくらいは良問を作れる人になりたい。
これは発想がすごいですね
最初に問題を世の中に送り出した人は天才ですわ
感動しました！！
中3の時さらっとこの話聞いて全然理解できなかったけど、大学受験を終えた今ならすんなりこの発想出てきた🤗
5:06ここで声が出ました。これはスゴイ発想だ。
自分史上トップクラスに好きな問題
見てて楽しかったです！
感動しました
qiita内でリンクしました。ありがとうございました。
グラフがでます。
√(x2-2x+2)+√(x2-6x+13)の最小値「【面白い数学クイズ】この発想、天才すぎません？ 」をChatGPTとMathematicaとWolframAlphaとsympyでやってみたい。
「あいだの2ですか～」俺だった。
5/3でしたね(笑)
たしかに 2 は違うみたいですが 4/3 < 5/3 < 2 なので f( 4/3 ) と f( 2 ) ではどちらが最小値に近いかという
別の問題にも発展します。単に代入して比較するだけですが。
捉え方がすごい勉強になった！！
4:17 点Aから点Pに移動したとすれば P(x, 1) A(1, 0) ではないですか？2乗したら結局1になるから問題ない？
とりあえず平方完成させて、x-1=tと置いて考えてみたけど、そこから進まず😅三平方の定理に帰着させる発想は思いつきませんでした！これは良問！ありがとうございました！
座標上に図示までした上で一直線上に並べばいいいってとこに気付かないという。
これは、めちゃ感動した。
サムネ段階で解けてよかった～ けど、この問題を作った人は天才ですね。すばらしい！
最終的にxの値が関係なくなるの痺れる🤩
本来この解法で解く為の与式の様ですね。微分使うととんでもなくめんどくさい。
感動した！😭
√(x-1)²+1が何かの距離を表してることまでは分かったけどその後、原点と点(x-1,1)の距離………？？うーん………ってなって詰んだ
そっちか……………
後ベクトルとして対応させて、三角不等式で解けると思ふ。言ってること同じだけど、
4:11からわからないです
最小値の求め方はわかりました
「大学への数学」別冊『数学ショートプログラム』の最初のページにある問題。
大学への数学の領域でも見たことあるので結構大事ですね！
これは、古来の「将軍飲馬」問題であり、物理世界の反射定理の入射角=反射角の数学表現です。
今日全く同じ問題を先生に出されました笑
色々数式をこねてみたけれど、何も見えてこず、お手上げでした。火曜日の問題ともども、困ったら図形的に考えるを肝に銘じておきます。
関数の最小値の問題を、座標上の２点間の距離に置き換え瞬殺で解く、解法ですね。
発想が素晴らしいですね。数学が得意な中学生ならば、十分解けると思います。
それにしても、線を引くの上手ですね。
終点にピッタリとあたる。
これは天才
こういう関数問題を図形に昇華する解き方は面白いよね。
問題自体は相加相乗で瞬殺っぽいけど
普通に相加相乗してできます？
@@しん-e3e 相加相乗の等号成立条件を使えば一次式ですね！
諸々の条件(＞0等)も気にかけてあげれば問題ないかと
@@keigok1895 さん
相加平均相乗平均の関係から不等式は求まりますが、どちらかが定数にならないと最大最小は求まりませんよ。
@@kskj5672 変数のままだと論証で1悶着すると思いますが。x=tのとき、、、等として上手く逃げれば解答としては成り立ちますよ。
@@keigok1895
例えば
f(x)=x^2+1
で相加平均相乗平均の関係により
x^2+1 ≧ 2√(x^2*1) =2|x|
等号成立はx^2 = 1、すなわちx=±1のとき最小値2?
これは間違いですよね。実際はx=0のとき最小値1です。
等号成立が即、最小値となるのはどちらかが定数となるときだけです。
これだから数学は面白い
楕円の導出をしたことがあれば思いつきそう…？
何事にも発想の転換は必要です。この問題のように、別の角度から見ると驚くほど簡単に解ける場合があります。エラそうなこと言ってますけど、これがなかなか出来ないんですよねェ^^。
出来る人が羨ましい限りですねwww
やばい鳥肌えぐい
ベクトルの三角不等式で解ける気がする
天才や
すまんこの問題はすまん
流石に面白すぎる
いやガチ天才や
気持ちよくて死ぬほど笑った
友達に出してくる
すごい
なんだ、数学かと思ったら理科だった。
面白っ！
これマジですごいです。
何なのこれ、アレ〜。オモロイ
平方完成後に O^2+O^2 ではなく
O^2 - O^2 となる場合は微分じゃないとダメなんでしょうか？
図形でいえば A,B の 2点とも y > 0 側に置いて P を x軸上で動かしたときの AP-BP の最小値を求める問題になります．線分 BP 上に A が乗るとき最小値 -AB を取ります．
2乗-2乗だとxの値によってはルートの中身がマイナスになるときがあるから、そもそも最小値を求めさせる問題は作れないんじゃないかな。一般的に複素数の大小関係は定義できないからね。
三平方の定理って中学生の学習指導要領からなくなったんですか？
コロナ禍を考慮して去年度だけ消えたらしいです。
高校入試で出さなかっただけじゃなかったっけ？
あ、そうですね笑
学習指導要領の意味を勘違いしてました
この点を一直線上に移動させるテクニックFOCUS GOLD乗ってました
すげえ
平方完成→相加相乗→コーシーシュワルツでいける！
と思ったけど、等号成立しなくて解けませんでした……
図形の発想苦手なので練習したいです
何事もトライアンドエラーです。いろいろ考えてたくさん失敗してもよいのです。
今回発想が間違っていたらその発想は他の場面で役に立つかもしれません。
等号が成立しなくても最小値の見当はつけられたはずです。
@wakatteないTV 言い方もうちょっと柔らかくても良いんじゃない？
シュワルツの不等式から三角形不等式が出てきますから、それで解けますね。それの組み合わせで3項以上になっても解けますね。
@katteにすればTV 二乗の中身が−1と−3なので絶対値が小さくなるにはXが正の数である必要があります。そのため最小値はX＞0だと分かりますよ
@katteにすればTV 与式ではxが負だと明らかに最小値は取らないからxが正の範囲として考えると断りを入れればいいんじゃないかな。
理科大で類題あったような気がする
その問題みせてもらうことってできます？
√○^2+○^2と聞いてtan置換だと思ってしまったwこれでもいけるのかな？
根本は同じだけどベクトルの大きさと見て三角不等式が定石だと思う
この問題
平方完成するとどっちの√は0以上であることがわかるから、相加・相乗平均で等号成立のx求めて、最小値出すことできないんですか？
たして因数分解するのはダメなのでしょうか？🤔
数学の基本は数式で表されたものは図形で、図形で表されたものは数式で表される。この性質が頭にあれば簡単！！
これは面白い問題ですね！
図形で解くとは・・・。目から鱗です。
多分、大数の数学ショートプログラムに載ってたきが、、、
10年以上前の記憶だから曖昧だけど
強いちゃってる
平方完成はまぁ思いつく。
ただ、その後2乗+2乗は？って言われて「円かな？」ってなってた時点で既に俺は終わっていた……
円の方程式も距離からきてる
中心からの距離が一定
時たま数学やりたくなるんだよね
これ友達に昔メールで、出されました😂😂
距離なんて初見じゃ気付きませんよね😭
三平方まで思いついたけどそこから上手くいかんかった
発想の転換ができる人間になりたい
図形から求める最小値問題ですかなるほど
覚えておこう…
いつも問題が難しめプラス私にはちょっと早口で理解が追いつかなかったけど、再生速度を0.75倍にしたらよく理解できました。
これはもう見た瞬間、解法が浮かんできた。去年の秋ぐらいに確か同じやつ解いた気がする。
3:22 １の２乗、２の２乗
ここでゾワワワって鳥肌が立った！
「発想が天才すぎる問題」うん。確かにそう。すごい（語彙力不足）
2変数でも似た問題作れますね。入試で出るかは分かりませんが。
最初の二乗の変形は気づいたけどその後が発想ゃぁばすぎ
何故PとAの距離になるのか教えてください！
三平方の定理より
名城高校の入試に出てた
三平方の定理かー‼️
相加・相乗平均かと思った一瞬
中学生にとっては高校入試で習う形なので高校生の方が戸惑うかもしれませんね！
根性で微分だ！
しいては、じゃなくてひいては
絶対値に置き換えようとして手詰まりましたが、座標として考える利便性を学びました！
この考え方、学校の実践模試(手作の共通テスト模試)で出た
どの部分が出たですか？
@@Anemone1665 点を軸に対称に移動させて、直線として見て最小値を求めるやり方じゃないすかね(適当)
「微分禁止」の文字を見て自分の手に負える問題では
ないことを悟った。
距離の和の最小値の問題を答えから逆算して気づかせないようにしてるのがバレバレや。
@wakatteないTV わかってるtvやん
@wakatteないTV あと普通に平方完成した時の中身が綺麗な二乗の和になってるから更に怪しいんよなぁ。8とか12とか18ぐらいの数字使ったらおもろかったな。素数でもいい
これ、2 点ではなく 3 点にすると図形で考えても難しいですよ。そもそも係数次第では
解がきれいに求まらないでしょうし。
てんとてんの距離でぱたん
迷ったら√13や
初めてなら難しいかもな〜
国立理系大学でて30年以上。数学って面白いなと初めて思えた。
うわー、すっごい感動だわ〜w 思いつかなかった〜(T ^ T)
面白い動画ありがとうございます♪
もうそもそもルートがなにかを忘れてしまったわ
なんだっけ、雨除け？
4:10
多分ここの座標変換が1番ややこしいと思うんだけど雑に進んでもう少し丁寧な方がよかったかも
x=5/3のときか
わーまじか
塾講師のバイトの問題で出た。解けんかったけど。