ピタゴラスも絶賛！！解き方5通り！
Вставка
- Опубліковано 8 вер 2024
- オンラインプロ家庭教師始めました！！zoomを利用して直接川端が指導します。
ホームページはこちら
peraichi.com/l...
数学を解く楽しさを伝えたい
数が苦→数楽に！！
チャンネル登録はこちら▶︎ bit.ly/39v2H5B /
Twitterはこちら
/ cefojw7wwv5x6z0
ハリネズミと生活してます🦔
動画はこちら▶︎ • ハリネズミのログ
インスタもやってます！川端哲平で検索を！
川端哲平の自己紹介
昼は、私立の中高一貫校の非常勤講師、夜は、塾講師として数学を教えて math
問題の解説のリクエストは基本的に受け付けていません。ご了承下さい。
学校は、明大明治、本郷、洗足学園などで教えていました。
塾は、大学時代から、個別指導のトーマスで指導を始め、２０歳から早稲田アカデミーで高校入試、大学入試の数学を教えていました。
良かったらチャンネル登録よろしくお願いします
数学を数楽にする高校入試問題81
amzn.to/3l91w2K
オンライン個別指導をしています。数学を個別に習いたい方は是非！
sites.google.com/view/kawabatateppei
最後の解説で相似と三平方の定理で解くという解説でしたが、AM-BM＝xとおいて三角形PMQと三角形PIQで三平方の定理で式を作り、両方の式を引いてx^2=abという結果を出して三角形PMQに対する三平方の定理の式に代入してa+bの値を出しました。なので、相似を使うとスムーズですが、相似に気付かなくても三平方の定理の式だけでも答えが出ました☆
全体を180度回転し、ABを境界として下側に複製する。
Pの移った点をP'、Qの移った点をQ'とすると、PQP'Q'は四角形である。
対角線PP'とQQ'のつくる角は、すべて90度である。
よってPQP'Q'は平行四辺形であり、ひし形である。
ひし形なので、PQ=P'Q'である。
よってa+bは7である。
ヤバイ、良問すぎる。
この解説動画は家宝にします。
どこかの高校入試で使うと面白いですね‼️何故なら、超難問題じゃないし、相似と三平方の定理の知識の組み合わせを上手く使う数的センスが必要だからです。
こういうクソ以下の汚い日本語は大嫌いです。
同じのを180度回して上にくっつける
長方形の中の小長方形ができて
対角線の長さは7だから対称性よりほかの対角線も7。
これはa+bと等しいので答えは7,,
補足
回転して作図されたAとMに対応する点をA'とM'とすると、M'MBA’は長方形になる。
↑これに気付くのに時間が掛かってしまい、混乱してしまいました。
図を描いてみたら分かったけど、描くまで分からなかったw
お陰さまで出来ました。自分は合同系の別解です。角PMA+角QMB=90度なのでMを頂点に△QMBを回転させAとBを重ねてできる新たな直角三角形PQMと元の直角三角形PQMは直角を挟む二辺の長さが同じなので合同。新しくできた方の斜辺a+bは元の方の斜辺7と同じ長さ。よってa+b=7
相似を使わないで三平方だけでゴリゴリやって解けました（笑）。
AM=MB=xとして
PM^2=a^2+x^2
QM^2=b^2+x^2
よって
①PM^2+QM^2=a^2+b^2+2x^2=7^2
またPからQBに垂線を引いて交点をIとしたとき
②PI^2+QI^2=4x^2+(b-a)^2=7^2
xを消すために①の両辺をそれぞれ2倍してから①-②を計算すると
a^2+2ab+b^2=49となり、因数分解すると
(a+b)^2=49、よってa+b=±7、マイナスはありえないのでa+b=7
これは良問で楽しい。 皆さんのコメントで「上に同じ台形を左右ひっくり返してのせる」やり方が個人的には好きです。
図形の相似は当時苦手だったが、この動画の説明を観ていたら鮮明に理解できました。ありがとうございますm(_ _)m
相似と三平方の定理で川端先生と全く同じ(一旦xと置くところも)方法で解きました😃
計算途中は少し不安だったが
a^2+2ab+b^2と見たことある形になったところで「あっ、なるほど！」って笑みになった😁
AM、MBをxとおいて、三平方の定理から(a^2＋x^2)＋(b^2＋x^2)＝7^2
→(b－a)^2＋2ab＋2x^2＝49…①
また、(2x)^2＋(b－a)^2＝7^2→(b－a)^2＋4x^2＝49…②
①、②より2ab＋2x^2＝4x^2
即ちx^2＝ab
これを(a^2＋x^2)＋(b^2＋x^2)＝49に代入し、a^2＋2ab＋b^2＝49より、a＋b＝7
と解きました
動画を観る前に解こうとして、解説とは違う所に補助線引いてみたけど答えが出せなかった(涙)
川端先生の動画を観ると数学の奥深さがわかって面白い。
サムネ見ながら頭の中だけで解けた時なんか嬉しくない？
わかる
基本それで解こうとするけど、なかなか難しい
そんな脳内妄想はちっともうれしくない。
簡潔にして明瞭明快な別解を見つけた時のほうが千倍うれしい。
めちゃめちゃ良問ですね
さすがに5通りは浮かびませんでした
3つ目の解き方で解いたけど、解いた後に出題条件的にa=bと置いてはいけない理由がない、と考えたら秒で解けました。
良い問題だな
頭堅いから三平方の定理で解いたけど1番目の解き方なら小学生でも解けるな
良い問題だぁ
合同や相似を用いずに、以下のように解きました。
①AM=BM=cと置き、PM^2=a^2+c^2, BM^2=b^2+c^2, PQ=7より (i) PQ^2=PM^2+BM^2=a^2+b^2+2c^2=49
②Pを通りABと平行なライン (14:10頃の緑線）を引くと、直線QBと直角に交わるので、その部分の三角形（解説中の△PIQ)についても三平方の定理を適用。(2c)^2+(b-a)^2=7^2即ち (ii) a^2+b^2-2ab+4c^2=49
③ (i)と(ii)を比較、2ab=2c^2即ちab=c^2を得て(i)に代入、a^2+2ab+b^2=49, a>0, b>0よりa+b=7を得る。
△PAM∽△MBQで、面積比がa:bなので、長さの比は√a：√b 、そこから計算してAM=MB＝√ab
三平方の定理より、PM=√(a^2+ab)、MQ=√(b^2+ab)
更に三平方の定理を使うと、a^2+ab+b^2+ab=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2=7^2
よって、a+bは７
合同で解くのはなるほどな
全体の台形をひっくり返してくっつけると縦の長さがa+bになる外側の長方形と対角線の長さが7になる内側の長方形ができる。
外側の長方形の縦の長さと内側の長方形の対角線線の長さは、MとMに対応する点の位置から同じになるので、求める値は7。
もう一つ、AB側でくっつけると、対角線が直交する平行四辺形、すなわち菱形になるので、それからもすぐにわかりますね。
x同士をくっつけてできる△PMQと△PQMが合同だからそのまま斜辺(a+b)＝7って感じで解きました。良問ですね。
△MQBをMを中心にして反時計回りに180°回転させた図形を作る、ということでしょうか？
その場合ならば回転させた図形の頂点の記号はQ'などのように変えたほうがいいですね。
こういうの、最初は相似を探すけども、
そのうち面倒になってa/x=x/b、(2x)^2+(b-a)^2=7^2として始めてしまうん
力押し大好き
「形が複雑でわかりにくかったら、同じ変の長さのところを切って貼ったり、変を書き足したりするんだ。」っていう高校の時の先生の言葉･･･、真意を理解していたら、当時本当に楽しくて仕方なかったかもしれないです。本当にもったいないことしました。
川端先生の動画をずっと見続けてこの問題を目の前にした時、「△PAMのAMをひっくり返して、BMにくっつけたら秒じゃん。」ってすぐ頭に思い浮かびました。最初の解き方です。
あぁ･･･、もっと真面目に勉強しておくんだった･･･。泣
すごくいい問題でした！図形は苦手だったなあ。勉強になります。
補助線でわかりました❗️
a*bだけならM原点の2直線の直交からa/-x*b/x=-1で出ます。余弦定理、正弦定理、試みたが無理っぽい。
もう数学を使わなくなってから何年か経ってしまって、自力で解けず解説を見てしまいましたが、解法が綺麗すぎて最後まで見てられません…
邪道な解き方。
こういった問題の場合、特定している事項以外は、どのような状態にしても、a+bの合計値は変動しません。
よって、線分PQと線分ABが平行な場合を想定すると、⊿PAM≡⊿QBM（いずれも直角二等辺三角形）になり、補助線を引く必要すらなく、秒で７という回答にたどり着きます。
自分は、
∠PMQ=180°であるから∠PMA+∠QMB=180°
Mを軸にして△PMAを180°回転して、△PMAと△QMBを合体させる。
この時の△をQMP'とする。
三平方の定理から、△QMPのPM^2+QM^2=PQ^2、PQ=7
△QMP'のPM^2+QM^2=PQ^2、PQ=a+b
よって、a+b=7
って解きました！
?
ところどころだいぶ違う
@@monky1465 すみません他にどこか違う所はありますか？自分で気づけたところは直しました！
@@habicht7kc329 上から2行目も違いますね
a,bの長さに関する条件はないので、a=bの場合を考える。このとき、四角形PQBAはPA:AB＝1:2の長方形なので、a＝b＝3.5になる。よってa+b＝7。
@とある!
a＝bならPM＝QMで、△PQMは直角二等辺三角形。そしてPQ//ABだから錯角より、∠PMA＝∠MPQ(＝45°)。よって△PAMも直角二等辺三角形。AM＝aだから、PA:AB＝a:(a＋a)＝1:2
この手の高校受験の問題って、図形が一意的に書けるかどうかをまず考えたほうが良いですよね。
一意的に書けないのなら、自分の都合のいいような形を作れば答え(だと思われるもの)が出てくる。
還暦過ぎの爺です、私は「三平方の定理」を使ったが、これはダメだな、高校入試の場合、図形は図形で解く訓練する必要あり、この問題なら①の解法がベスト・・この先生の問題、解説は本としてまとめてこれをひたすら解けば高校入試は合格する・・今の時代はいいなあ・・こんな立派な先生と出会いができて・・
この動画でライバルの受験生に差をつけるぞ…
これは、あたかも「三平方の定理」台形図式に思わせる罠です。
単に、PMを伸ばしてQBの延長上に交点P’を取ります。
△AMP≡△BMP' が直ちに言える。BP'= a
PM=MP' & ∠PMQ=∠R から △QPP' はQを頂角とする二等辺三角形。
従って、QP=QP' =7
動画を見ていませんでした。最初に説明のある、（嫁の不自由を解放する）角だしです。
元の図をMで180°回転します。P,QのMに関する対称点をP',Q'とします。
辺PQ,P'Q'に対してMを通る垂線を下し交点をR,R'とします。
そうすると、RR'＝AB
菱形PQP'Q'の面積をSとすると S=(a+b)*AB=7*RR'
∴ a+b=7
これと同等の説明がありますが、△Q'PP'≡ △Q'PP'の構図から △RPM≡△PAMがより理解しやすいでしょう。
図形問題として補助線使えば感単位解けるということです。図形を見ると気が動転する私は当然ながら唯一の補助線を使わない解き方で・・・
それでも相似と３平方の定理で解こうと考えたので、かなり進歩したと思います（以前なら、線分ＡＢ、ＰＱ，ＰＭ、ＱＭの関係から式作って解いてたと思うので）。これは動画のおかげと感謝しています。，
神問題
MからPQに垂線を降ろすと、合同な三角形が2組できて、a+b=PQ=7・・・と思ったけど、
合同ってすぐ証明できないや・・・うーん・・・
△PAMと△MBQが内角の和から相似になるので△PMQも直角と辺の比から相似になって、
そうすると辺を共有して2角が等しいと言えて、合同と証明できる・・・でいいのかな。
補助線と２つの合同が最適な解法 か
相似と三平方でときましたけどあんまり美しくないかな…x2が消えるかどうかやってみてわかるというところが
aの上にbを書き足し、bの上にaを書き足して、図形を丁度反転させて上に書き足したら対角線が7cmの長方形ができたので、全体の中央に走る対角線も7cmになると思ったら、答えがあっていました。
考え方として正しいのでしょうか？
説明聞いている時はほぉーと思うんですが、時間が経つと解けなくなるんですよね😓どうやって先生、解答思いついているんだ？！その頭欲しい！！
秀才は解法を一回聞いただけで覚えますが、あなたのような凡才は同じ問題を日を置いて3回繰り返して解かないと覚えられません。私のような鈍才は5回繰り返さないと覚えられません。
教師は同じことを毎日毎日繰り返してるんですから覚えてて当然です。
非常に図形問題の理解に役立つ動画でした！
感激です。
これを何度も繰り返して見ることで、図形問題の苦手意識が解消できそうです。
ありがとうございます！
面白い問題！
別解が色々ありそうですが
三平方の定理から7を2通り出して答えを出しました。(△PMQと14:00からの三角形)
計算量は多くなりますが答えが見えやすいのでつられちゃいました
合同と相似については全く頭になかったです…反省
出やがったな二戦二敗の形！
△PAM∽△MBQ
a:AM=AM:b
AM²=ab
PM²=a²+ab
MQ²=b²+ab
PM²+MQ²=49
a²+b²+2ab=49
(a+b)²=49
a+b=7
綺麗すぎて逆に不安
答えは合ってた！
時間はもう気にしない！()
最後の方の、相似→三平方→方程式で解いてしまった。全く同じ道筋。
でも解説の冒頭で目から鱗。。😭
これはガチ良問
超良問！！すげー！
この問題与えられてる条件が少なめなので、△PMQをPQが底辺の直角二等辺三角形にしてみると、四角形PABQが長方形になる(①)。また,△PAM,△QBMがそれぞれ合同な直角二等辺三角形になってAP=AM,BQ=BMになるからa+b=AM+MB=ABと言える。(②)
①,②よりa+b=PQ=7となるので答えが求められます
あとは超強引ですが,AとMとBを極限まで近づけて直線にすると、aが0になってbが7になるので一応答えは予測できます
「△PMQをPQが底辺の直角二等辺三角形にしてみる」
これが何を言っているかまったくわかりませんw
凄い面白いですね！
これは数楽ですね！
解としてはかなり遠回りになるため、別解というよりは蛇足ですが…
△PQM≡△CQM (動画3:19) なので、（動画の通り、この直後PQ=7=CQ=a+bで解に到達できちゃう）
∠QPM=QCM (=×) であり、すなわち∠PQM=(90°-×)=○ となるから
実は△PQM∽△PMA （∽△MQB）と3つの三角形はみなさん相似であるとわかる。
よって
PA:PM = PM:PQ
a : √(a^2 + x^2) = √(a^2 + x^2) : 7
ゆえに
7a = (a^2 + x^2) = a^2 + ab （動画11:45より x^2 = ab）
辺々 a (≠0) で割ると
7 = a + b
…と、解にたどり着くことはできるのでしたw
私は台形ABQPを180度回転させてPQの上にくっつけて、PMQM'の長方形を作りました。
△QMBをMで右回転させてAMとMBをくっつけて△PQMをつくる（AとBが重なる）、そうすると△PQMが２つできて2辺とその間の角が等しいので合同で７
良い問題ですね。私は中に半円を入れて解きました。
最近はおもしろく、汎用性のある問題が増えましたね。
難問を解けたときの達成感も楽しいですが、こう言う問題に数楽が詰まっているのだと思います。
ABQPを角PMQ=90°を満たす長方形と考えると、長方形の縦3.5かける2で答え7
良問ですね、中点連結で解きました
前半二つでお腹いっぱい
図形をコピーして半回転させてくっつけるとひし形。
五番目の方法で解きました。最初の解法を見て自分の頭の固さを思い知りました。最初の解法はスマートです。
小学生も中学生も、それぞれの段階で使える問題でGood。
つい、三平方の定理を使いがちですが......
頭が固くなっている。
これにはピタゴラスもびっくり
4番目の相似+三平方の定理の組み合わせで解きましたが、他にも多くの解き方があったんですねー。
これは凄く勉強になります。
PMで折ってMQで折ることを考えて、∠PMA+∠QMB＝90°なので、AMとMBがちょうど尽きあう→aとbは90°でつながるので直線に重なる、すなわちPQと重なる、よってa+b=7 じゃダメですか？ ２番目の解法を直感的な言葉に置き直しただけかもしれませんが。
7の直径の円を描くと簡単では？対角線が7の長方形が円に内接するから。ダメかな？
この問題って長方形MABQの点MをAB上に折り曲げたものっていう条件を加えると、角QMB=60°なのでaとbの値も求められそうですね。
a=7/4, b=21/4ですか？
∠QMBが60°の時はそのようになりますが、60°でなくても設問の図を描くことができます。
PQ(=7)の中点を中心として半径3.5の円を描くとM, P, Q はその円周上にあります。
線分ABはその円の接線で 、M が接点、A, B は P, Q から接線に下した垂線の足です。
このとき MA = MB となり設問の条件を満たします。
この作図はM が円周上のどこにあっても可能で、∠QMBが60°であるとは限りません。
ビデオの7分辺りで川端先生が台形と直角三角形について説明していますが、
作図に読み替えるとこんな風になると思います。
@@yuta1010blog
すみません。ミスです。
この図を長方形MABQの点MをAB上に折り曲げたものに見えてしまいまして....。
はやとちりでした。
ごり押し別解です、、、！！
xy平面上でMを原点に取り,
A(-c,0),P(-c,a),B(c,0),Q(c,b)とする.
ただしa>0,b>0,c>0とする.
直線PM:y=-ax/cと
直線MQ:y=bx/cは直交するから,
-ab/c²=-1
→c²=ab ・・・①
PQ²={c-(-c)}²+(b-a)²
=4ab+(a-b)² (①を利用)
=(a+b)²
PQ²=49より
a+b=7
13:58からの解法と似てますが、
相似気づかなくても解けるので、、、楽？？
二番目の時方。
緑色の直角三角形合同から、×の角度が等しいと言っているが、緑色の三角形合同であれば、すでに問題が解けているんですが、２番目のを解法と呼んでもいいのでしょうか？ｗ
最初の解法は幾何学的な解釈による解法ですね。小学生も分かる。
第一法が最もシンプルで加工度が低くわかり易い。
なかなか面白いですね！
良い問題ですね。
△MBQをMを中心に回転して線分AMとMBを重ねれば△PMQ≡△PMBでａ＋ｂ＝７
間違えた！△PMQ≡△PMQ’ です
合同条件知ってれば答えは早くでる😄
これ、MOがaとbの相加平均で、AMが相乗平均になってるの、非自明な気がするけど、なんでなんでしょう？
なんか別の解釈したり、相加平均と相乗平均の大小関係の証明できたいしないですかね
THANK YOU
한 문제로 여러가지 수학 개념들 연습하기^^
答えだけで良いなら実数を適当に当てはめれば良い
虚数当てはめる人がいたら笑う
三角形PAMをMを中心に回転させると二等辺三角形になると
言われてた。。悲しい
私は1番目の解き方で解きました！
ここのコメ欄の人達すご過ぎません…？
（こういう人たちと受験で戦うと思うと怖い)
大体、大人達なのでご安心を
別に大人だから凄い訳では無い。そもそも数学嫌いな人は絶対このチャンネルを観ない。そういうことだ。
@@Nogles 僕の理解力が無かっただけなのかもしれませんが、川端さんはコメ主の「このコメ欄にいるような人達と受験で戦うのが怖い」ということに対して「(このコメ欄の人の大抵は)大人ですから大丈夫(つまり、同年代じゃないから受験で会うことはほぼ無い)」と言ったんじゃないですか？
@@user-gg5fy6eb9k それでしょ
サンプルセレクションバイアス
PQは7しかないのにIQは100以上使う問題ってこれか
IQは使うものじゃなくないですか？
@@Y16_k9 ナイスツッコミ！
5番目の解き方で解きました。ひとつの問題にこんな沢山の別解があることに驚きですが、発想力がないとこんなに思いつかないなあ。ʕ⁎̯͡⁎ʔ༄
放物線とも関連があるような···
すげー
aとbの大小関係にかかわらず答えは同じってことはa=bでもいいはず。だとすれば一目瞭然でa=b=3.5。だだからa+b=7。
A≒BになるようにAを移動したらa=0、b=7になるのでa＋b=7ですね
パッと見て三平方でごり押し位しか思いつかなかった…
解けるけど時間かかりすぎるだろうなぁ
反省
コメント欄で別解を書いている人で、図形の回転や移動や折り返しの操作を、文章で正しく表現できていない人が結構いますね。
御自分ではわかっていても他人に伝えるには、数学の記述のルールに従って文章で表現しないと伝わりません。
aになんかの2乗がかかってんのがbだ！
⬇
１^2+上のなんか^2が49になる！
⬇
a+bは7だ！
a.bについて具体的な条件が無いことからa=bになるように変形して上に反転したものをくっつければそのままa+b=7になりますね
塾のテキスト（合同）に出てきた！
半円と補助線１本だね。
三角形PMQが二等辺直角三角形でも答えが同じだと信じてMH=7/2、2倍して7cmと求めました。
ライバルに教えたくないチャンネルNo.1
相似に気づいて終了しました。
X,Y,Zを使って方程式立てて無理やり解いたら、答えは7😁合ってたけど、図形のセンスなし。中学校３年の時より、見事に頭悪くなったよ🐩高校に行くべきでは、なかったよ😁🐩
∽使って計算してたら答え出てた
面白いです！
角度が分かれば正弦定理で解ける。
これは、いいね
a=bやa=0で実験するのもいいかも
角度確かめてからABを直径に持つ半円を描けることに気づいて解きました〜
数字7しかないから多分7!
って思ったらまじで7だった
(7の階乗じゃ)ないです
「！」は階乗を表す。と言ってないからセーフ
相似使っちゃった…笑
10:00 ので解きました
サムネで暗算で出来て嬉しい😃