Друзья-первокурсники, большая просьба: поделитесь этим роликом со своими одногруппниками и сокурсниками: уверен, видео поможет разобраться с темой. Всем-всем - спасибо за просмотр!
Вы даже не представляете, как вовремя сделали это видео. Только сегодня была пара и я сидела в ауте от всего этого. Но теперь у меня есть 100% вероятности того, что я пойму эту тему
В плане высшей математики многое зависит от спроса, так что посмотрим, как пойдет это видео. Повлиять на процесс можно напрямую: подкиньте этот ролик в чат своим одногруппникам: будет фидбек и просмотры - обязательно будет продолжение.
Есть ещё одна очень интересная интерпретация математической индукции - подъем по лестнице со ступеньками. База индукции - подъем по первым ступеньке, шаг индукции - из того, что мы можем взобраться на k-ую ступеньку, мы можем взобраться на (k+1)-ую. Эту интерпретацию рассказывал Нилов Фёдор Константинович на курсах по олимпиадной математике на Фоксфорде (агрессивный маркетинг)
Я хочу сказать автору этого канала огромное спасибо за столь информативный ролик, к тому же метод ассоциации отлично помогает запоминать информацию (пример с домино является очень удачным для понимания этого метода).
Вступление будет таким: «Начнем с того, что это тождество, несмотря на популярность, конечно же, неверное, хотя и имеет некоторый любопытный смысл... »
@@mathbyautistdimag.9330 Смотрел видео, там показывали как складывали 3 расходящихся ряда по чезаро, во первых так складывать нельзя, и к тому же я проделал тоже самое с другими рядами и получил совершенно другой результат.
Ё, только-только затронули тему мат. индукции, как Вы уже тут как тут со своим новым роликом! И как раз вовремя! Спасибо! В общем, срочно 1000 лайков этому господину!)
Это было супер!!!!! Всегда так понятно объясняешь!! Буду ждать Больше роликов по высшему матану!!!! Учусь на прикладной математике, без тебя будет сложно)
Разбери, пожалуйста, примеры посложнее Я могу скинуть тебе довольно сложные примеры по мат индукции (из мгту баумана) Буду очень признателен, если разберёшь, а то кроме нашего лектора (который их, судя по всему составил) никто не знает как их решать
Если это видео продолжит набирать обороты, то можно и что-нибудь потрудней разобрать. При желании можешь дать ссылочку на твои задачки: может, из них что-то выберу, но у меня на примете уже есть кандидаты.
@@WildMathing drive.google.com/file/d/1U6zH3ZOKJCmHMBcbPPPAWAQeb-ytEdho/view?usp=drivesdk Там в конце задания Спасибо тебе большое, что ответил, и за подготовку к егэ, поступил благодаря тебе и еще нескольким ютуб каналам
Помню, как давно учась в восьмом классе, вывел формулу суммы целочисленных значений показательной функции, с помощью метода мат.индукции. При этом не используя формулу суммы членов геометрической прогрессии.
Здравствуйте, а не могли бы вы привести пример, где, используя математическую индукцию, у нас бы получилось доказать, что формула не верна? И верен ли такой пример: Пусть дана формула: 1+2+...+n = n; 1) Базис индукции: 1 = 1 - верно 2) Пусть для n = k формула выполняется: 1+2+...+k = k; 3) Проверим для n = k + 1: 1+2+...+k+(k+1) = k+1 k+(k+1) = k+1 k=0 - неверно, т.к. k - натуральное. Получили противоречие => формула не верна. Правильно ли я провёл рассуждения?
День добрый! На мой взгляд, для доказательства ложности утверждения принцип мат.индукции не очень эффективен, но в вашем примере рассуждения приведены правильно. Другой пример: n+1=n+2 - база индукции неверна.
Здесь n взаимно уничтожаются (при n≠1) и остаётся 1+2+3+...+n-1=0. Сумма положительных чисел как минимум не может быть равной нулю. Противоречие. А вот для ≥n подойдёт
Я решил задачу с арктангенсами, она оказалась не на столько сложной как мне казалось. Я ещё доказал (не знаю нужно ли было это), что (1/n^2)×(1/(n+1)^2)
Спасибо за интерес! На самом деле предел последовательности/функции сам по себе неравенство не разрешит. Скажем, f(x)=sinx/x → 0 при x → +oo. Но это не значит, что отношение sinx/x всегда положительно (отрицательно). Однако если конкретно в твоем неравенстве подключить монотонность, ограниченность, то естественно, все получится по науке. Кстати, решение задачи с арктангенсом есть в описании к этому ролику: ua-cam.com/video/tLezPisYXr8/v-deo.html
Закинул в беседу еще до того как зашел в комментарии. PS Только один вопрос, на который семинарист физфака не ответил: мы говорим, пусть равенство выполнено для К (так это или нет мы не знаем). Потом мы просто подставляем это выражение в равенство с К+1, получаем равно и радуемся. Но почему ? Мы использовали в рассуждении равенство с К, правильности которого не знаем
Я тоже когда мат.индукцию пытался осмыслить тут путался.Если мз верности для произвольного натурального k следует верность для k+1 т.е следующего - утверждение верно. Ничто не мешает в качестве произвольного взять k=1 - базу индукции.Иначе говоря, если из допущения,что утвеждение верно для n следует, что утверждение верно и для n+1, автоматически следует что если есть стартовая точка n=1 (база индукции), то оно верно всеггда.Как смог обхяснил...
Или вот ещё - в рамках аналогии с домино.Доказывая что из верности из верности для к следует верность для к+1 мы доказываем, что падающая доминошка обязательно собьёт следующую.Поскольку первую доминошку к=1 мы сами толкнули из этого следует что сколько бы доминошек не было - все рухнут.
В ролике доказательство проведено неверно. Нельзя в доказательстве методом математической индукции проводить над выражением манипуляции как с уравнением (например делить на что-то правую и левую часть ). Я сейчас прохожу эту тему в универе, преподователь сразу предупредила, выход на ответ типо 0=0 это не верно, на экзамене будут снижать баллы за такое.
Доказательство приведено верное. 0=0 - это просто логическая истина, она в том или ином виде пронизывает всю математику, ее нельзя запретить. Скорее всего ваш преподаватель (Джейсон Стейтэм?) имела в виду другую ошибку, следствием которой тоже оказывается результат 0=0. При желании, не ссылаясь на авторитет, укажите на ошибку в рассуждениях, и я обязательно проверю их
У меня возникло пару странных вопросов. Правильно ли я понял, что проверка базы индукции для n=1 это ,что-то типо запуска наших доминошек и на дальнейшее доказательство оно никак не влияет и не используется? И ещё во втором пункте вы пишите, что Aк=>Ак+1,как я понял это мы делаем предположение, что данное следствие верно и потом его доказываем или это следствие используется уже как факт? Извините, что так непонятно сформулировал вопросы, для меня эта тема почему-то даётся слишком туго, но надеюсь в будущем озарение придёт)
На самом деле проверка базы индукции - очень важная часть доказательства, ведь если «не запустить» первую доминошку, то не упадет вообще ни одна! Со следствием Aₖ ⇒ Аₖ₊₁ все интереснее. Наша цель в общем и целом - доказать, что утверждения A₁, A₂. A₃, ..., Aₙ верны для любого натурального n. На шаге индукции мы говорим: «Пусть утверждение Aₖ является верным. Опираясь на его истинность, докажем, что утверждение Аₖ₊₁ тоже является верным». Эту мысль логически можно записать так: Aₖ ⇒ Аₖ₊₁.
Да, формула из #1 всем хорошо знакома, и это нарочно для первой задачи: со знакомым равенством приятней иметь дело + полезно взглянуть на тождество иначе, нежели в школьных учебниках, так что в явном виде включил условие «пользуясь методом математической индукции».
1:51 вот меня вот эти вот k+1 дико смущают. Как бы это верно. Но можно ли было написать k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2 и потом разложить на множители вместо подстановки (k+1) вместо всех k?
перешла в этом году в профильный класс (10), и только вчера сидела пыталась с этой индукцией разобраться, потому что в профильных классах эту тему в 8 или 9 дают
Ох, спасибо! А оно, оказывается, достаточно простое. А то при слове "матиндукция" сразу возникал страх, что, якобы это что-то сложное. А почему метод называется матиндукция, т.е. почему индукция ?
Всегда пожалуйста! Дедукция - это рассуждения от общего к частному, индукция - рассуждения от частного к общему. И второй термин точно описывает суть: из базы и шага индукции мы делаем вывод о верности бесконечного количества суждений.
@@Владимир-й6о6ш, не совсем. База и шаг - это ровно два утверждения, доказав их, мы получаем бесконечное количество верных утверждений. И база, и шаг - частные факты, а верность равенства 1+2+3+...+n=(1+n)n/2 для каждого натурального n - это уже серьезное обобщение.
Проверка на понимание: докажем индукцией по n, что если максимум двух натуральных чисел a и b равен n, то a=b. База: n=1, если максимум двух натуральных чисел равен 1, то они равны и равны 1 (иначе кто-то меньше одного, но они натуральные). Переход: пусть верно для n=k, тогда докажем для n=k+1: max(a,b)=n+1 => max(a-1,b-1)=n => по предположению индукции a-1=b-1 => a=b, ЧТД. Очевидно, что исходный факт неверен, но по индукции мы его доказали. Где ошибка?
@@romansharafutdinov5262 тогда очевидно, что одно из чисел a или b =n, а второе - n-m, где m из множества Z+. А иначе max(a,b)≠n. Здесь a=b частный случай max(a,b)=n, но не общий. Это как утверждать, что x=y ДЛЯ ЛЮБЫХ x и у из N
@@WildMathing я вот про что: после предположения об истинности для n=к, ты говоришь вот это: 1^2+2^2+...+(к+1)^2 = (к+1)(к+2)(2к+1)/6 (т.е. то, что нам нужно доказать) и затем путем преобразований приводишь это равенство к 0=0
@@WildMathing но изначально мы не знаем, что 1^2+2^2+...+(к+1)^2 = (к+1)(к+2)(2к+1)/6 (т.е. это может быть ложью, а значит из лжи может получиться правда, из-за чего последующие рассуждения не верны)
@@natriumoh9752 , друг мой, я прекрасно понял твой вопрос с самого начала. Скажи, если при n=1 утверждение верно и из утверждения k следует утверждение k+1, можно ли сделать вывод, что для n=2 утверждение тоже верно?
Ну, это не теорема, которая требует доказательства, а скорее само доказательство, способ рассуждения. Но, если есть сомнения, можно попробовать с другой стороны взглянуть на это: предположим, что после наших рассуждений (базис индукции + шаг индукции) какое-то из утверждений Aₘ все-таки осталось неверным. Но тогда неверно и предыдущее ему утверждение Aₘ₋₁, поскольку по шагу индукции (Aₘ₋₁ - истина) ⇒ (Aₘ - истина). Следом неверными являются утверждения Aₘ₋₂, Aₘ₋₃ и так далее. Мы пронумеровали все утверждения натуральными числами, наименьшее из которых -1, а значит, таким спуском мы приходим к тому, что утверждение A₁ - ложно, что противоречит базису индукции: мы непосредственно убедились в верности A₁. Значит, метод математической индукции все-таки работает.
@@WildMathing Если честно я не понимаю сути метода до конца. Вот например если взять тест простоты чисел, есть такие тесты которые ошибались на каких то огромных значениях хотя до этого все простые числа легко определяли и если матиндукцию использовать для доказательства истинности теста ... может я что то не так понимаю но думая вы поняли что я имею ввиду
Ну, Дима, алгоритмы проверки чисел на простоту и ошибки, связанные с ними, имеют такое же отношение к математической индукции, как и к охоте на мамонтов в верхнем палеолите. Мат. индукцией нельзя доказать неверных утверждений: если хотя бы чуть-чуть изменить формулу на неверную из основной задачи или упражнений #1, #2 и #3, то либо базис индукции, либо шаг индукции дадут осечку.
Когда мы доказываем следствие Aₙ ⇒ Aₙ₊₁, то делаем это не конкретно для k=3 или k=7, а для совершенно любого натурального k. Это и значит, что верность не зависит от выбора k, и поэтому отдельно оговаривать общность рассуждений не требуется.
Все просто: в левой части исходной формулы было n штук слагаемых. Если n=1, то мы должны взять одно слагаемое - первое, то есть 1². Если не разберешься, дай знать!
Этот пример есть в 90% подборок задач на тему мат. индукции, конкретно его и упражнения #1, #2 взял из книги Куранта и Роббинса «Что такое математика?». Формула суммы квадратов натуральных чисел, на мой взгляд, актуальна, поскольку само тождество красивое и многим не знакомо, а, кроме того, задачу нельзя назвать ни сложной, ни легкой - отлично подходит для единственного разбора.
Да, конечно, #3 действительно интересный. При n=1 все верно и очевидно, а вот для того, чтобы доказать шаг индукции, рекомендую рассмотреть тангенсы левой и правой частей равенства: по свойству взаимно обратных функций tg(arctgx)=x. Если нужна будет вторая подсказочка - пиши!
Wild Mathing рассмотрел тангенсы правой и левой части. Справа все просто, а слева расписал по формуле тангенса суммы. После всех преобразований равенство не получилось. Оно должно было получится? Если нет, то нужна вторая подсказкочка, а если да, то, видимо, я считаю плохо...
Ринат, ты все верно понял, и тангенс суммы - то, что нужно! Но после преобразований равенство все-таки получается, при возникновении кубических многочленов - можно разбить их на множители с помощью деления уголком (или схемы Горнера). Если будет желание, сделаю решение текстом и выложу здесь. Это не займет много времени и, возможно, будет интересно другим.
По сути мы доказываем набор утверждений: вполне логично нумеровать их именно натуральными числами, как если бы мы начали считать овечек перед сном. Кроме того, важно, чтобы наше множество утверждений имело наименьший элемент - этакую первую «доминошку», и таким свойством как раз обладает любое непустое подмножество натуральных чисел (в том числе и само ℕ).
@@WildMathing , суммы квадратов ряда последовательных чисел. И как другими словами объяснить ее суть? То есть, число всех чисел в последовательности умножаем на все четные и т.п....
Архимед действовал так: files.school-collection.edu.ru/dlrstore/28022add-4a3d-4497-b59a-e297e92fcdc6/00145620227953185.htm Проще всего ее осознать вот так: ua-cam.com/video/aXbT37IlyZQ/v-deo.html Хотя, конечно, есть и другие (более алгебраические) подходы
Я правильно понимаю, что сами формулы, которые обычно требуют доказать методом мат. индукции, изначально появились с помощью подбора, опытным путем, в результате доказательств отдельных фактов?
Часто действительно бывает так, что эмпирически появляется некоторая формула, которую потом удается строго доказать с помощью мат. индукции. Но в случае с суммой квадратов натуральных чисел было по-другому: это тождество доказал еще Архимед, оперируя в первую очередь площадями. Мне известны и два других доказательства, тоже, судя по всему, не новых. Но уже имея предположительное равенство, конечно, проще всего использовать принцип мат. индукции.
Здесь можно очень красиво управиться без индукции. По малой теореме Ферма (n⁵-n) делится на 5. Кроме того, n⁵-n=n(n-1)(n+1)(n²+1) содержит произведение трех последовательных натуральных чисел, которое делится на 6. Стало быть, (n⁵-n) делится на 30. По индукции же проверь сначала n=1. Затем, опираясь на истинность утверждения (k⁵-k) делится на 30, докажи, что (k+1)⁵-(k+1) делится на 30. Группировка, которая была сделана первым способом сослужит службу.
Все зависит от вас, ребята! Не лукавлю. Делитесь роликом - будут просмотры и спрос - повышу приоритет роликов по высшей математике на фоне сотен (на самом деле тысяч) других тем и идей.
Друг мой, ты можешь спать спокойно, потому что без метода математической индукции и 80% других абстрактных вещей, можно прожить счастливую жизнь. А нужно это все математикам, благодаря которым ты и я имеем возможность, например, писать эти комментарии.
Здравствуйте Wild Mathing , я в этом году сдавал егэ, но не поступил в вуз "мечты", можно ли мне студенту первого курса заново сдать егэ? И если это возможно то как мне подготовиться?
можно конечно! главное готовиться и до 1 февраля подать заявление на сдачу ЕГЭ. и не стоит забывать об армии - отсрочка сгорает и тебя могут забрать осенью на первом курсе универа мечты(
Зачем заново сдвать ЕГЭ если можно попробовать перейти на втором курсе в вуз который тебе нравится. Вот видео об этом ua-cam.com/video/ic-kRxpLilE/v-deo.html
Друзья-первокурсники, большая просьба: поделитесь этим роликом со своими одногруппниками и сокурсниками: уверен, видео поможет разобраться с темой. Всем-всем - спасибо за просмотр!
Это божественно , как раз матан задали (да да я первак)
Рад, что актуально!
за 4 лекции дошли только до модели Фреге-Рассела
Вы даже не представляете, как вовремя сделали это видео. Только сегодня была пара и я сидела в ауте от всего этого. Но теперь у меня есть 100% вероятности того, что я пойму эту тему
Виктор, это нормально! Но мат. индукция не за горами в любом случае.
Можно побольше роликов по высшей математике. Специально для тех, кому ролики для егэ больше не актуальны. Плиз!
В плане высшей математики многое зависит от спроса, так что посмотрим, как пойдет это видео. Повлиять на процесс можно напрямую: подкиньте этот ролик в чат своим одногруппникам: будет фидбек и просмотры - обязательно будет продолжение.
Я в 10 классе это прохожу...
@@squark3176 в 10-ом проходят вышку
@@squark3176 я в 8ом это прохожу...
@@leo_ndgi3339тоже
Какие же у вас профессиональные ролики)))
Ну, не то чтобы, но для стольких зрителей грех не постараться!
О Триша
Одни из лучших роликов по математике в русском сегменте)
Один из лучших моих учеников в мировом масштабе!
Проходил в 10 классе по профильной математике, учебник Мордковича. Но у вас все гораздо понятнее и интереснее!
Хорошо, что вообще мат. индукцию затрагивали в школе: часто бывает иначе!
Wild Mathing привет, 9 класс, в учебнике косвенно затрагивалась, но я решил углубиться в это дело.
@@WildMathing у нас в школе вообще эту тему не трогали, нав потому что у нас была обычная школа
Первый курс, первое занятие по линейной алгебре. С помощью этого видео ковырнул свою формулу для степени матрицы.
@@kirillalexeevsky6878 а какой факультет? О.о
Крыша на алгеме поехала от этой темы, но посмотрел этот ролик - крыша встала на свое место, спасибо!
Троекратное ура!
Спасибо, что разобрался!
Спасибо за подробный разбор метода математической индукции.
Получилось очень классно, сам не имею математического склада ума и было тяжко понять как происходит доказательство , но с помощью видео всё понял.
автор канала какой-то гиперактивный математик с приятным голосом (очень быстро тараторит, будто из автомата Калашникова)
Wild Mathing достоен Нобелевской премии!!! Поддержим канал, ставим лайк и распространим в соцсетях!
Есть ещё одна очень интересная интерпретация математической индукции - подъем по лестнице со ступеньками. База индукции - подъем по первым ступеньке, шаг индукции - из того, что мы можем взобраться на k-ую ступеньку, мы можем взобраться на (k+1)-ую.
Эту интерпретацию рассказывал Нилов Фёдор Константинович на курсах по олимпиадной математике на Фоксфорде (агрессивный маркетинг)
😮
Великолепнейшее объяснение.У меня просто нет слов
Рад, что понравилось!
Я хочу сказать автору этого канала огромное спасибо за столь информативный ролик, к тому же метод ассоциации отлично помогает запоминать информацию (пример с домино является очень удачным для понимания этого метода).
Запишите про сумму натуральных чисел =-1/12
Вступление будет таким: «Начнем с того, что это тождество, несмотря на популярность, конечно же, неверное, хотя и имеет некоторый любопытный смысл... »
Есть на эту тему потрясающие ролики у Mathloger с субтитрами
@@ИльдарГазизов-к1е Похоже мы с тобой разные видео смотрели.
Насчет противоречий, приведи привер, в ином случае это пустые слова.
@@mathbyautistdimag.9330 Смотрел видео, там показывали как складывали 3 расходящихся ряда по чезаро, во первых так складывать нельзя, и к тому же я проделал тоже самое с другими рядами и получил совершенно другой результат.
Это разве не результат от ζ(-1)
Я на онлайн уроке прохожу индукцию. Ничего не понял из слов учителя. Выключил у нее звук и просмотрел это видео. Чудеса - даже я понял что это такое!
Ё, только-только затронули тему мат. индукции, как Вы уже тут как тут со своим новым роликом! И как раз вовремя! Спасибо! В общем, срочно 1000 лайков этому господину!)
Дмитрий, тебе спасибо!
Это было супер!!!!! Всегда так понятно объясняешь!! Буду ждать Больше роликов по высшему матану!!!! Учусь на прикладной математике, без тебя будет сложно)
Спасибо за добрые слова!
Спасибо огромное, пересмотрел 3 раза и помогло
Разбери, пожалуйста, примеры посложнее
Я могу скинуть тебе довольно сложные примеры по мат индукции (из мгту баумана)
Буду очень признателен, если разберёшь, а то кроме нашего лектора (который их, судя по всему составил) никто не знает как их решать
Если это видео продолжит набирать обороты, то можно и что-нибудь потрудней разобрать. При желании можешь дать ссылочку на твои задачки: может, из них что-то выберу, но у меня на примете уже есть кандидаты.
@@WildMathing drive.google.com/file/d/1U6zH3ZOKJCmHMBcbPPPAWAQeb-ytEdho/view?usp=drivesdk
Там в конце задания
Спасибо тебе большое, что ответил, и за подготовку к егэ, поступил благодаря тебе и еще нескольким ютуб каналам
Евген Тернов, можешь, пожалуйста, посоветовать молодому поколению упомянутые каналы?
Если бы домино "матанчик" продавалось в каждом магазине, то тогда бы каждый второй человек являлся бы великим математиком!
Спасибо большое за объяснение
Все для вас!
Плюсую к комментариям ниже! В 10 классе проф. курса объясняли мат. индукцию. Красивая и занимательная вещь :)
Про красоту и занимательность - солидарен!
Мы любим тебя
Взаимно!
Читал о мат. индукции в книжке "Что такое математика?"
Но все равно ваше объяснение более понятное
Посмотрел кучу видеороликов на эту тему. Понял ее только благодаря тебе :D
Рад, что ты все-таки разобрался!
Помню этот пример на доказательство из учебника 8 класса, естественно, ничего не понятно, а сейчас буквально прозрел! Отличное видео!
Помню, как давно учась в восьмом классе, вывел формулу суммы целочисленных значений показательной функции, с помощью метода мат.индукции. При этом не используя формулу суммы членов геометрической прогрессии.
Здравствуйте, а не могли бы вы привести пример, где, используя математическую индукцию, у нас бы получилось доказать, что формула не верна?
И верен ли такой пример:
Пусть дана формула: 1+2+...+n = n;
1) Базис индукции: 1 = 1 - верно
2) Пусть для n = k формула выполняется: 1+2+...+k = k;
3) Проверим для n = k + 1:
1+2+...+k+(k+1) = k+1
k+(k+1) = k+1
k=0 - неверно, т.к. k - натуральное.
Получили противоречие => формула не верна.
Правильно ли я провёл рассуждения?
День добрый!
На мой взгляд, для доказательства ложности утверждения принцип мат.индукции не очень эффективен, но в вашем примере рассуждения приведены правильно. Другой пример: n+1=n+2 - база индукции неверна.
Здесь n взаимно уничтожаются (при n≠1) и остаётся 1+2+3+...+n-1=0. Сумма положительных чисел как минимум не может быть равной нулю. Противоречие. А вот для ≥n подойдёт
О, как раз это проходить по матану начали:3
Это хорошо, что вовремя! Метод мат. индукции часто дают в начале курса, поскольку многие теоремы в дальнейшем будут доказаны с его помощью.
Мы это ещё в 9 классе изучили. Странно, ведь у многих это только на 1 курсе изучается.
В девятом - это очень хорошо! По учебникам Мордковича (профильный уровень) тема идет в 10-ом классе, но часто ее все равно пропускают.
@@WildMathing да, у нас профильный лицей, но мы по какому-то другому учебнику работали.
Отличное объяснение! Спасибо.
Рад, что понравилось!
Спасибо за доходчивое объяснение! :)
Были бы вы у нас преподавателем...
На здоровье!
Какого хрена я прохожу это в 10-ом классе?!
у меня эта тема в 9 классе
Слишком легко, или слишком трудно?
Какого хрена мне сказали это учить летом, когда я только закончила 8?
@@ВикторияЛарина-ы2й и че как оно?
@@samar3329 сложна
Боже, это самое понятное объяснение матиндукции в моей жизни!
Все для вас!
Классные видео. Давай только выпускай их почаще)
Было сложно, но я понял. Решал одну задачу целый час
Красавчик, так держать, удачи!
Классно, на пальцах прям объяснили😄 спасибо
Всегда пожалуйста!
Каждый раз, когда пытаюсь пользоваться мми, чувствую, будто читерю)
Я решил задачу с арктангенсами, она оказалась не на столько сложной как мне казалось. Я ещё доказал (не знаю нужно ли было это), что (1/n^2)×(1/(n+1)^2)
Спасибо за интерес!
На самом деле предел последовательности/функции сам по себе неравенство не разрешит. Скажем, f(x)=sinx/x → 0 при x → +oo. Но это не значит, что отношение sinx/x всегда положительно (отрицательно). Однако если конкретно в твоем неравенстве подключить монотонность, ограниченность, то естественно, все получится по науке. Кстати, решение задачи с арктангенсом есть в описании к этому ролику: ua-cam.com/video/tLezPisYXr8/v-deo.html
@@WildMathing спасибо за совет(каюсь что так поздно отвечаю)
Спасибо очень актуально сейчас
Всегда пожалуйста!
Ну шось, начинаем, в этом году ЕГЭ сдаю)
Да уж пора бы, пора бы!
Сдал
Сдал
На сколько ?
вернулся, обожаю, пили видосы по матанализу
тока мог бы че-нить посложнее в пример привести по мат индукции, понятно же, что мы все уже прошли этот пример((((((((
Обязательно будет!
круто делать ролики про матеш, актуально всегда
Класс! Только не понятно откуда взялась формула с 6 в знаменателе.
Например, вот отсюда: ua-cam.com/video/aXbT37IlyZQ/v-deo.html
вахуи
повему между изи лимитов и беконечно убывающей геометрической прогрессии мы изучали это
Закинул в беседу еще до того как зашел в комментарии.
PS
Только один вопрос, на который семинарист физфака не ответил: мы говорим, пусть равенство выполнено для К (так это или нет мы не знаем). Потом мы просто подставляем это выражение в равенство с К+1, получаем равно и радуемся. Но почему ? Мы использовали в рассуждении равенство с К, правильности которого не знаем
Я тоже когда мат.индукцию пытался осмыслить тут путался.Если мз верности для произвольного натурального k следует верность для k+1 т.е следующего - утверждение верно. Ничто не мешает в качестве произвольного взять k=1 - базу индукции.Иначе говоря, если из допущения,что утвеждение верно для n следует, что утверждение верно и для n+1, автоматически следует что если есть стартовая точка n=1 (база индукции), то оно верно всеггда.Как смог обхяснил...
Или вот ещё - в рамках аналогии с домино.Доказывая что из верности из верности для к следует верность для к+1 мы доказываем, что падающая доминошка обязательно собьёт следующую.Поскольку первую доминошку к=1 мы сами толкнули из этого следует что сколько бы доминошек не было - все рухнут.
В ролике доказательство проведено неверно. Нельзя в доказательстве методом математической индукции проводить над выражением манипуляции как с уравнением (например делить на что-то правую и левую часть ). Я сейчас прохожу эту тему в универе, преподователь сразу предупредила, выход на ответ типо 0=0 это не верно, на экзамене будут снижать баллы за такое.
Доказательство приведено верное. 0=0 - это просто логическая истина, она в том или ином виде пронизывает всю математику, ее нельзя запретить. Скорее всего ваш преподаватель (Джейсон Стейтэм?) имела в виду другую ошибку, следствием которой тоже оказывается результат 0=0. При желании, не ссылаясь на авторитет, укажите на ошибку в рассуждениях, и я обязательно проверю их
А если перед первой домношкой будет большое расстояние до второй?
Спасибо чел
Учусь в девятом классе ,проболел и завтра контрольная ,спасибо за видео
Вам спасибо, что смотрите!
У меня возникло пару странных вопросов. Правильно ли я понял, что проверка базы индукции для n=1 это ,что-то типо запуска наших доминошек и на дальнейшее доказательство оно никак не влияет и не используется? И ещё во втором пункте вы пишите, что Aк=>Ак+1,как я понял это мы делаем предположение, что данное следствие верно и потом его доказываем или это следствие используется уже как факт? Извините, что так непонятно сформулировал вопросы, для меня эта тема почему-то даётся слишком туго, но надеюсь в будущем озарение придёт)
На самом деле проверка базы индукции - очень важная часть доказательства, ведь если «не запустить» первую доминошку, то не упадет вообще ни одна! Со следствием Aₖ ⇒ Аₖ₊₁ все интереснее. Наша цель в общем и целом - доказать, что утверждения A₁, A₂. A₃, ..., Aₙ верны для любого натурального n. На шаге индукции мы говорим: «Пусть утверждение Aₖ является верным. Опираясь на его истинность, докажем, что утверждение Аₖ₊₁ тоже является верным». Эту мысль логически можно записать так: Aₖ ⇒ Аₖ₊₁.
@@WildMathing Вроде как стало яснее. Радует, что вы отвечаете на вопросы даже на старых видео, это очень помогает. Спасибо вам большое!
Первое домашнее задание можно доказать через сумму арифметической прогрессии
Да, формула из #1 всем хорошо знакома, и это нарочно для первой задачи: со знакомым равенством приятней иметь дело + полезно взглянуть на тождество иначе, нежели в школьных учебниках, так что в явном виде включил условие «пользуясь методом математической индукции».
Спасибо)
Всегда пожалуйста!
1:51 вот меня вот эти вот k+1 дико смущают. Как бы это верно. Но можно ли было написать k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2 и потом разложить на множители вместо подстановки (k+1) вместо всех k?
После того как задаёшь вопрос почему-то всё начинает пониматся. Я понял. Впечатляющая вещь.
9-класс 3-четверть♡
Уже проходили
И это хорошо!
Домино "Матанчик" -- это школа.
перешла в этом году в профильный класс (10), и только вчера сидела пыталась с этой индукцией разобраться, потому что в профильных классах эту тему в 8 или 9 дают
Как успехи, разобралась?
Да, в сильных школах/классах эта тема не в новинку.
@@WildMathing да, особенно после этого видео всё окончательно прояснилось, спасибо!
Мне (и всем на потоке, как я понимаю) только в ВУЗе эту тему дали впервые... (НГУ).
иногдапишущий наблюдатель, это радует! Всегда пожалуйста!
Sycamorph, это нормально!
Прошли это вчера на уроке))0)
Мне кажется, или вы забыли раскрыть квадрат суммы (k+1) в конце?
Нет-нет, там все в порядке: обе части равенства поделили на (k+1)>0.
Ох, спасибо! А оно, оказывается, достаточно простое. А то при слове "матиндукция" сразу возникал страх, что, якобы это что-то сложное. А почему метод называется матиндукция, т.е. почему индукция ?
Всегда пожалуйста! Дедукция - это рассуждения от общего к частному, индукция - рассуждения от частного к общему. И второй термин точно описывает суть: из базы и шага индукции мы делаем вывод о верности бесконечного количества суждений.
@@WildMathing в случае индукции частное это n=1(база), а общее - шаг, верно?
@@Владимир-й6о6ш, не совсем. База и шаг - это ровно два утверждения, доказав их, мы получаем бесконечное количество верных утверждений. И база, и шаг - частные факты, а верность равенства 1+2+3+...+n=(1+n)n/2 для каждого натурального n - это уже серьезное обобщение.
Я думала Бердов как паровоз летит. А здесь ещё хуже. Этот ролик понятен только после Бердова.
Для кого-то хуже, для кого-то лучше. Но в том, чтобы образовательный контент на UA-cam должен быть разным, сомнений быть не может.
лучший
Проверка на понимание: докажем индукцией по n, что если максимум двух натуральных чисел a и b равен n, то a=b. База: n=1, если максимум двух натуральных чисел равен 1, то они равны и равны 1 (иначе кто-то меньше одного, но они натуральные). Переход: пусть верно для n=k, тогда докажем для n=k+1: max(a,b)=n+1 => max(a-1,b-1)=n => по предположению индукции a-1=b-1 => a=b, ЧТД. Очевидно, что исходный факт неверен, но по индукции мы его доказали. Где ошибка?
Если числа а и b различны и max(-x,b)=1,где a
@@Astromega_ у нас числа натуральные, не целые, но, если я Вас правильно понял, Вы как раз утверждаете, что если взять b=1 и a
@@romansharafutdinov5262 извините, невнимательно прочитал
@@romansharafutdinov5262 тогда очевидно, что одно из чисел a или b =n, а второе - n-m, где m из множества Z+. А иначе max(a,b)≠n. Здесь a=b частный случай max(a,b)=n, но не общий. Это как утверждать, что x=y ДЛЯ ЛЮБЫХ x и у из N
Если взять для индукции n=2, то становится понятно, что одно из чисел может быть меньше другого, равного 2
Верно ли на 1:50 делать предположение, а затем приводить его к верному равенству? Как ни крути, а из лжи может следовать правда
Подумай, зачем мы проверяли, что при n=1 утверждение истинно. Если не разберешься, дай знать!
@@WildMathing я не об этом
@@WildMathing я вот про что: после предположения об истинности для n=к, ты говоришь вот это: 1^2+2^2+...+(к+1)^2 = (к+1)(к+2)(2к+1)/6
(т.е. то, что нам нужно доказать) и затем путем преобразований приводишь это равенство к 0=0
@@WildMathing но изначально мы не знаем, что 1^2+2^2+...+(к+1)^2 = (к+1)(к+2)(2к+1)/6 (т.е. это может быть ложью, а значит из лжи может получиться правда, из-за чего последующие рассуждения не верны)
@@natriumoh9752 , друг мой, я прекрасно понял твой вопрос с самого начала. Скажи, если при n=1 утверждение верно и из утверждения k следует утверждение k+1, можно ли сделать вывод, что для n=2 утверждение тоже верно?
гениально, из этого возникает вопрос: зачем сидеть 45 минут на уроке, если ты всё равно ничего не поймешь?
На месте домино, я бы опротестовал требование падать ничком, мат. индукция на то не обязывает.
Илья, мне кажется, у домино есть проблемы посерьезней: их продают, кидают, роняют, а в остальное время держат в темной коробке.
Такое задние может в егэ попасться? Или это вузовский материал?
Эта тема необязательна для ЕГЭ, хотя малый шанс того, что мат.индукция выручит в задаче №19 в качестве альтернативы, есть.
А существует доказательство истинности этого метода?
Ну, это не теорема, которая требует доказательства, а скорее само доказательство, способ рассуждения. Но, если есть сомнения, можно попробовать с другой стороны взглянуть на это: предположим, что после наших рассуждений (базис индукции + шаг индукции) какое-то из утверждений Aₘ все-таки осталось неверным. Но тогда неверно и предыдущее ему утверждение Aₘ₋₁, поскольку по шагу индукции (Aₘ₋₁ - истина) ⇒ (Aₘ - истина). Следом неверными являются утверждения Aₘ₋₂, Aₘ₋₃ и так далее. Мы пронумеровали все утверждения натуральными числами, наименьшее из которых -1, а значит, таким спуском мы приходим к тому, что утверждение A₁ - ложно, что противоречит базису индукции: мы непосредственно убедились в верности A₁. Значит, метод математической индукции все-таки работает.
@@WildMathing Если честно я не понимаю сути метода до конца. Вот например если взять тест простоты чисел, есть такие тесты которые ошибались на каких то огромных значениях хотя до этого все простые числа легко определяли и если матиндукцию использовать для доказательства истинности теста ... может я что то не так понимаю но думая вы поняли что я имею ввиду
Ну, Дима, алгоритмы проверки чисел на простоту и ошибки, связанные с ними, имеют такое же отношение к математической индукции, как и к охоте на мамонтов в верхнем палеолите. Мат. индукцией нельзя доказать неверных утверждений: если хотя бы чуть-чуть изменить формулу на неверную из основной задачи или упражнений #1, #2 и #3, то либо базис индукции, либо шаг индукции дадут осечку.
@@WildMathing хорошо, спасибо, терпеть не могу эту индукцию, но ничего не поделать
Всегда пожалуйста!
Уверен, в будущем понимание придет, а может, даже и удовольствие от того, какие факты удается доказать с помощью мат. индукции.
Я вот тут подумал, а надо говорить о том, когда рассказываешь про метод мат индукции, что доказательство должно не зависеть от выбора k?
Когда мы доказываем следствие Aₙ ⇒ Aₙ₊₁, то делаем это не конкретно для k=3 или k=7, а для совершенно любого натурального k. Это и значит, что верность не зависит от выбора k, и поэтому отдельно оговаривать общность рассуждений не требуется.
@@WildMathing спасибо за ответ!
@@ДанилПетров-ф8к, не за что!
Лайк у кого такая же домашка была на 1 курсе
Смотреть на скорости 0,25
А можете сказать почему в левой части 1^2 ?????
Все просто: в левой части исходной формулы было n штук слагаемых. Если n=1, то мы должны взять одно слагаемое - первое, то есть 1². Если не разберешься, дай знать!
@@WildMathing АААААААААААААААААААААААААААААААААААААА ТУП Я КОНЕЧНО КАК ДУБ)
У Волкова именно этот пример уже был.
Этот пример есть в 90% подборок задач на тему мат. индукции, конкретно его и упражнения #1, #2 взял из книги Куранта и Роббинса «Что такое математика?». Формула суммы квадратов натуральных чисел, на мой взгляд, актуальна, поскольку само тождество красивое и многим не знакомо, а, кроме того, задачу нельзя назвать ни сложной, ни легкой - отлично подходит для единственного разбора.
Возможно, доберемся и до этого, но самый лучший ролик на эту тему уже сделан заморскими трудягами: ua-cam.com/video/aXbT37IlyZQ/v-deo.html
А где поставить второй лайк? И третий :)
Буду считать, что это и было сделано посредством комментария!
Никак не могу с диким примером разобраться, может, подсказку дадите?)
Да, конечно, #3 действительно интересный. При n=1 все верно и очевидно, а вот для того, чтобы доказать шаг индукции, рекомендую рассмотреть тангенсы левой и правой частей равенства: по свойству взаимно обратных функций tg(arctgx)=x. Если нужна будет вторая подсказочка - пиши!
Wild Mathing спасибо, буду пробывать!
Wild Mathing рассмотрел тангенсы правой и левой части. Справа все просто, а слева расписал по формуле тангенса суммы. После всех преобразований равенство не получилось. Оно должно было получится? Если нет, то нужна вторая подсказкочка, а если да, то, видимо, я считаю плохо...
Ринат, ты все верно понял, и тангенс суммы - то, что нужно! Но после преобразований равенство все-таки получается, при возникновении кубических многочленов - можно разбить их на множители с помощью деления уголком (или схемы Горнера). Если будет желание, сделаю решение текстом и выложу здесь. Это не займет много времени и, возможно, будет интересно другим.
Wild Mathing давайте!
Почему необходимо чтобы n было натуральным числом?
По сути мы доказываем набор утверждений: вполне логично нумеровать их именно натуральными числами, как если бы мы начали считать овечек перед сном. Кроме того, важно, чтобы наше множество утверждений имело наименьший элемент - этакую первую «доминошку», и таким свойством как раз обладает любое непустое подмножество натуральных чисел (в том числе и само ℕ).
Трансфинитная индукция тебе в помощь
Годно
Thnx!
Я это в 9 классе прохожу
А как прийти к выведению этой формулы?
Формулы суммы квадратов последовательных натуральных чисел?
@@WildMathing , суммы квадратов ряда последовательных чисел. И как другими словами объяснить ее суть? То есть, число всех чисел в последовательности умножаем на все четные и т.п....
Архимед действовал так: files.school-collection.edu.ru/dlrstore/28022add-4a3d-4497-b59a-e297e92fcdc6/00145620227953185.htm
Проще всего ее осознать вот так: ua-cam.com/video/aXbT37IlyZQ/v-deo.html
Хотя, конечно, есть и другие (более алгебраические) подходы
@@WildMathing , спасибо огромное!
Всегда пожалуйста!
Я правильно понимаю, что сами формулы, которые обычно требуют доказать методом мат. индукции, изначально появились с помощью подбора, опытным путем, в результате доказательств отдельных фактов?
Часто действительно бывает так, что эмпирически появляется некоторая формула, которую потом удается строго доказать с помощью мат. индукции. Но в случае с суммой квадратов натуральных чисел было по-другому: это тождество доказал еще Архимед, оперируя в первую очередь площадями. Мне известны и два других доказательства, тоже, судя по всему, не новых. Но уже имея предположительное равенство, конечно, проще всего использовать принцип мат. индукции.
крутой канал
Спасибо!
Доказать,что при любом натуральном n число n^5-n делится на 30. P.S помогите с этим
Здесь можно очень красиво управиться без индукции. По малой теореме Ферма (n⁵-n) делится на 5. Кроме того, n⁵-n=n(n-1)(n+1)(n²+1) содержит произведение трех последовательных натуральных чисел, которое делится на 6. Стало быть, (n⁵-n) делится на 30.
По индукции же проверь сначала n=1. Затем, опираясь на истинность утверждения (k⁵-k) делится на 30, докажи, что (k+1)⁵-(k+1) делится на 30. Группировка, которая была сделана первым способом сослужит службу.
больше матана, пожалуйста
Все зависит от вас, ребята! Не лукавлю. Делитесь роликом - будут просмотры и спрос - повышу приоритет роликов по высшей математике на фоне сотен (на самом деле тысяч) других тем и идей.
покажите мне того, кому это нужно в жизни. Ну кроме учителей по математике
Друг мой, ты можешь спать спокойно, потому что без метода математической индукции и 80% других абстрактных вещей, можно прожить счастливую жизнь. А нужно это все математикам, благодаря которым ты и я имеем возможность, например, писать эти комментарии.
в программировании, а точнее, в алгоритмизации используется схожая методика
там она называется инвариантом цикла
Это случайно задачи не из задачника Демидовича ?
Про сумму квадратов - классическая задача, часто встречается, и в Демидовиче есть в том числе.
Вауу супер! То что надо было
Рад, что ролик оказался актуальным!
Здравствуйте Wild Mathing , я в этом году сдавал егэ, но не поступил в вуз "мечты", можно ли мне студенту первого курса заново сдать егэ? И если это возможно то как мне подготовиться?
Хаджи Московский да, можно, только погугли как и когда. а вообще не жалей сил и готовься 24/7, только про свой универ не забывай. я, конечно, не wm..
@@xy9961 спасибо за ответ.
можно конечно! главное готовиться и до 1 февраля подать заявление на сдачу ЕГЭ. и не стоит забывать об армии - отсрочка сгорает и тебя могут забрать осенью на первом курсе универа мечты(
@@aqsolotlklijfsd9694 что делать, чтобы осенью меня не забрали в армию. Заранее спасибо.
Зачем заново сдвать ЕГЭ если можно попробовать перейти на втором курсе в вуз который тебе нравится. Вот видео об этом ua-cam.com/video/ic-kRxpLilE/v-deo.html