Универсальная подстановка для любых уравнений
Вставка
- Опубліковано 3 лют 2024
- Решите уравнение ➜ sinx+cosx=1.
Другие способы решения здесь ➜ • Решите уравнение ➜ sin... и здесь ➜ • Решите уравнение ★ cos...
Предыдущее видео: • Хитрая супер ЖЕСТЬ ➜ Р...
Valery Volkov / valeryvolkov
Наш семейный канал: / @arinablog
Почта: uroki64@mail.ru
Мне больше всего вот такой способ нравится. Пусть u = sin x, v = cos x.
Тогда имеем систему
u + v = 1
u² + v² = 1.
Первое уравнение в координатах (u, v) - это прямая, второе - окружность. Они имеют не более двух общих точек. Легко видеть, что это (1; 0) и (0; 1). Возвращаемся к тригонометрии и дальше просто.
Красиво
@@user-nm9kg9js5i Честно говоря, я не видел где-либо эту задачу до меня. Я её придумал сам.
Александр Титов.
@@user-hz5ow9mw7c Да, всё верно. Не пойму, почему Ютуб удаляет комменты
@@user-nm9kg9js5i
Ну её не так сложно вывести и под силу любому школьнику.
Вот ещё данные с целочисленной площадью:
5; 7 и 14.
@@user-nm9kg9js5i Ответил Валерию.
От себя скажу, что задача действительно многоступенчатая, но школьнику вполне под силу. По крайней мере, такому, который увлекается математикой.
Как-нибудь выложу её разбор. Но решение довольно техничное, , простого, изящного и чисто геометрического решения я тоже пока что не нашёл.
Умножим обе части равенства cosx+sinx=1на √2/2, cosx×√2/2+sinx×√2/2=√2/2, так как cos(пи/4)=sin(пи/4)=√2/2, подставив получим cos(x)cos(пи/4)+sinxsin(пи/4)=√2/2, свернём по формуле косинус разности cos(x-пи/4)=√2/2, откуда x-пи/4=+-пи/4+2пи×n (минус можно брать, так как косинус функция чётная). При -пи/4 получим x=2пи×n, при +пи/4 получим x=пи/2+2пи×n. Те же ответы. Спасибо.
Большое спасибо Вам, уважаемый учитель.
Очень красивое уравнение, как минимум 4 споособа решения.
Но в тригонометрии надо востро уши держать всегда. Т.к. вероятность потерять нужные и приобрести лишние корни весьма велика.
Уравнение с засенлй выглядит куда страшнее первоначального уравнения)
Теперь опишу, как я решил это уравнение (ещё тогда):
1. Возводим обе части уравнения в квадрат (при этом, конечно же, правая часть как была равна 1, так и остаётся): (sin x + cos x)² = 1.
2. Раскрываем скобки: sin² x + 2 sin x cos x + cos² x = 1.
3. По основному тригонометрическому тождеству, sin² x + cos² x = 1, поэтому: 1 + 2 sin x cos x = 1.
4. Опускаем 1 в обеих частях уравнения: 2 sin x cos x = 0.
5. По формуле синуса двойного угла, получаем: sin 2x = 0.
6. Решаем уравнение и получаем: 2x = nπ, где n ∈ ℤ.
7. Делим обе части уравнения на 2: x = nπ/2.
8. Эта совокупность точек включает не только корни уравнения sin x + cos x = 1, но и корни уравнения sin x + cos x = -1, которые нужно исключить. Неравенство sin x + cos x < 0 выполняется при 3/4 π + 2nπ < x < 7/4 π + 2nπ, то есть нам нужно исключить точки x = π + 2nπ и x = 3/2 π + 2nπ. И получаем окончательный ответ, x = 2nπ или x = π/2 + 2nπ.
sin(x) + cos(x) можно представить как скалярное произведение радиус-вектора произвольной точки на единичной окружности (cos(x), sin(x)) и вектора (1, 1). Результат равен произведению длин векторов на косинус угла j между ними, т. е 1•√2•cos(j) = 1. Отсюда j = ±π/4 + 2πk, что соответствует точкам 2πk и π/2 +2πk
Нарисуем окружность с радиусом 1. Нарисуем луч выходящий из центра и пересекающий окружность. Угол между лучом и осью абцисс это и есть Х. У нас 4 области. Ответ может быть только в правой верхней области где синус и косинус угла положительны. Это соответствует икс от 0 до 90 град.
Угол 45 не является правильным ответом ибо это получится корень из двух равно еденица.
Значит правильных ответа два.
Короче: 30 и 60 , и 60 и 30. А в радианах: пи/6 и пи/3. Что примерно. 1 и 0.5.
Правильный ответ: 0град и 90 град. Ого ошибся)) видимо подустал уже.
А если обе части возвести в квадрат, получить sinXcosX=0 и немного подумать?
After multiplying both side of the equation by (sqrt(2))/2 we get simple equation of sin(p/4+x)=(sqrt(2))/2
Как все сложно!😊 а почему немножечко не подумать...😊 Обозначу угол не "х" , а "а" чтоб не путаться! И представлю единичную окружность на координатной сетке, тогда sin(a)= y/1; cos(a)=x/1 => x+y=1 НО СУММА 2х катитов равна нулю только когда один из них равен нулю! Следовательно угол а=0° или 90° улы 180° (x=-1) и 270° (у=-1) нас не интересуют!
Окончательно: а=2pi*n; a=90°+2pi*n УСЁ, КОНЕЦ!😊
Сегодня на городской олимпиаде 8 го класса встретилась такая задача: если взять сумму цифр числа 2023³ затем из получишийсяго числа опять сложить все цифры и так нное количество раз то когда получится
Интересное уравнение👍 Я просто посмотрела в таблицу синусов и косинусов и сразу увидела эти 2 решения безо всякого решения☺ ))
А там доказано, что других решений нет?
@@mikaelhakobyan9363 да))
А разве по памяти с картинок волн над доской мы не помним, что синус нуля равен нулю, косинус нуля равен единице? Ну и обратная история с 90 градусами, то есть первым пи пополам. Ролик пока не смотрел.
Возвести левую и правую часть в квадрат
Получаем:
sin2x=0
2x=πn, nєz
x=πn/2, nєz
Как много страшных слов в этом ролике🤣
Почему нельзя возвести в квадрат? Потом вывести 2cos(x)sin(x)=0?
Кто сказал нельзя? Можно, но при этом нужно добавить в систему sinx + cosx >= 0
sinx + cosx = 1
sinx + v(1-sinx2) = 1
v(1-sinx2) = 1 - sinx
1 - sinx2 = 1 - 2sinx + sinx2
2sinx2 - 2sinx = 0
sinx * (sinx - 1) = 0
sinx = 0 => x = n*pi
sinx = 1 => x = n*2*pi +pi/2
Зачем? Домножить на корень из двух на два и по формуле синуса суммы привести к синусу (х +п/4). И все проблемы!
Возведение в квадрат , решает же вопрос?
Не-а. Теряешь корни
В этом случае получается посторенние корни.
Эх!!!
1+2sinxcosx=1
sinx*cosx=0
sinx=0→x=πn
cosx=0→x=π/2+πn в обоих случаях кофункция может принимать значение как 1, что нас устраивает, так и -1, что нас не устраивает, поэтому мы получаем лишние корни
Господа, господа ! Банальное дело, ПРОВЕРКА КОРНЕЙ! И выбор "n".
Чо
Пусть a = sin(x), b = cos(x)
a+b = 1 = a^2+b^2
(a+b)^2 = 1 = a^2 + b^2 +2ab
2ab = 0
ab = 0
Т.е. либо sin(x) = 0, либо cos(x) = 0
Я решал так:
sin(x)+cos(x)=1
[sin(x)+cos(x)]²=1²
sin²(x)+2sin(x)cos(x)+cos²(x)=1
sin²(x)+2sin(x)cos(x)+cos²(x)=cos²(x)+sin²(x)
2sin(x)cos(x)=0 |:2
sin(x)cos(x)=0
sin(x)=0 или cos(x)=0
Подстановка:
x=2πn; n€Z:
sin(2πn)+cos(2πn)=1 - верно
x=πn+2πn; n€Z:
sin(π+2πn)+cos(π+2πn)=-1 - неверно
sin(π/2+2πn)+cos(π/2+2πn)=1 -верно
sin(3π/2+2πn)+cos(3π/2+2πn)=-1 - неверно
То есть:
x=2πn; n€Z или
x=π/2+2πn; n€Z
А не лучше ли делать только равносильные переходы, чтобы в конце не проверять корни?
Либо 0, либо 90 градусов. Других решении я не вижу.
А возвести в квадрат и решить умишка не хватает???
Этим методом на этом канале уже решали
Скоро @AlexeyEvpalov напишет подлизвательный комментарий
Да, я тоже заметил. Одно и то же пишет, аж бесит. Мне кажется, это бот какой-то вообще
@@romanparkyrshik Ага, 3,7 тыс отметок понравилось автору...
Ага, 3,7 тыс отметок понравилось автору...