Задача от подписчика. Найдите sin9°.
Вставка
- Опубліковано 9 сер 2019
- Найдите sin9° в радикалах.
Индивидуальные занятия по Скайпу для школьников, студентов, учителей, репетиторов. ЕГЭ, ОГЭ, высшая математика. Начальный уровень значения не имеет.
Поддержать Проект: donationalerts.ru/r/valeryvolkov
Новая Группа ВКонтакте: volkovvalery
Почта: uroki64@mail.ru
Как находить синусы и косинусы нестандартных углов смотрите здесь: • Video
изумительная игра ума. более 15 лет назад закончил школу, никаких экзаменов мне уже сдавать не нужно - смотрю этот канал как развлечение для ума. спасибо автору!
Алгебра - гимнастика для ума. Тригонометрия - акробатика.
я бы назвал это решение несколько иным словом ... но не здесь это писать! Лучше бы научили детей считать тригонометрические функции для малых углов. Намного больше пользы было бы!
Королева геометрия
Суперское сравнение!
@@kpi6438 разве 9 градусов- не маленький угол?
@@glebdrozdov3204 Судя по Вашему вопросу Вы не понимаете тему "тригонометрические функции малых углов". Да это малый угол и его синус считается очень просто. Приблизительно, но с хорошей точностью.
Я , старый 1947 г.р. олимпиадник , с удовольствием смотрю ваши выпуски и даже что-то пробую решить.
Когда нашли соотношение a/b в конце четвёртой строки, можно было дальше не выражать одно через другое и подставлять, а просто перевернуть дробь - нам же надо было найти b/(2a), а мы уже получили a/b как (√5-1)/2. Двойки сократятся, и получим тот самый 1/(√5-1) = cos 36°
Спасибо. Интересно и поучительНО. НО можно иначе. 2*36=180-3*36. Получаем : cos(2x)=-cos(3x). Расписываем косинусы двойного и тройного аргумента, получаем: 2*t^2-1+4*t^3-3*t=0 ( t=cos(x) ). 4*t^3+2*t^2-3*t-1=0. (4*t^3+4*t^2)+(-2*t^2-2*t)-t-1=0. (t+1)*(4*t^2-2*t-1)=0. t=-1 соответствует х=180град. , получаем t=cos(36)=(1+sqrt(5))/4. sin(9)=sin(45-36)=......... А необходимый (sin(36))^2=1-( cos(36) )^2=(5-sqrt(5) )/8. Но вообще-то, это всё на большего любителя. С уважением, Лидий.
Всегда хочется написать "Браво" под каждым видео! Спасибо за вашу работу!
Математика, алгебра, геометрия, тригонометрия... Как же это интересно!!!! Жаль, что осознаёшь это через 19 лет после окончания школы...
у вас не был хорошего учителья. чтоб вас завлеч
Это вы ещё не изучали высшую алгебру )
@@user-eg1lw1yh2i А у вас очевидно не было хорошего учителя русского языка.
Я окончил нац школу. Наши учителья сами не знали по русски
Завлеч меня не надо🤣было. Я уже был в физмате
Теперь я понял, для чего изобрели калькулятор ....
Калькулятор нужен бухгалтеру
А я так и не понял смысл решать такие задачи в наше время
Калькулятор изобрели чтобы люди ДЕ-тренировали свои мозги и превращались в идиотов, а им проще "лапшу на уши вешать"!
@@user-eg1lw1yh2i ыввввч
@@Tester_SoftWare_Sergej29 Ложку тоже изобрели, чтобы люди ДЕ-тренировали свои пальцы?
решение изящное, но до него гораздо сложнее догадаться. Мне больше нравится вариант с поиском сначала sin18. Тут хотя бы можно поиграться с тем, что 90 = 9*10 = 18*5, 90-18*2 = 18*3 и так далее. Аналитически тут хоть понятно куда копать. При этом если 18 = x, то надо решить уравнение sin2x=cos3x. А далее уже находим sin9, как у вас. У вас безусловно все очень элегантно, но последнее, что бы мне пришло в голову - это рисовать р/б треугольник с углами 72, 72 и 36 =)
"Попробуйте решить самостоятельно"
Очень красиво решено, но догадаться вряд ли реально на каком либо тесте, если не знать идею
Идея в том чтобы придумать идею. Тут только реально нереально догадаться как найти кос 36 градусов
@@AngryBro да, это классический ход
Ну, геометрическое решение не сильно красивее и проще, чем чисто аналитическое, которое тупо в лоб. У меня всегда был вопрос, а в чем смысл подобных заданий? Ну нашли мы этот синус, а что дальше? Чему мы научились, решая эту задачу? Разве что алгебре и умению правильно переписать предыдущую строчку, что важно, но не является основной темой математики как таковой
@@Andrey-cz9xo у меня есть товарищ который чисто ради удовольствия получил аналитические выражения для всех синусов и косинусов от 1 до 359 градусов (т.е все натуральные значения). Не думаю что всегда во всём нужно искать смысл, просто наслаждайтесь. Если же не видеть смысла в этом, то не делайте, а школьнику (и не только) который хочет набить руку задача очень даже подойдёт.
@@user-ew3ff3db3q А Филдовскую премию ему уже дали? В радикал можно выразить толькл тр.функции от углов кратных 3
Подумать не мог, что можно найти значение не табличных углов. Очень интересно
Комментарии к видео не менее интересны, чем само видео. Большое спасибо!
Невероятная благодарность советских учеников Вам, уважаемый автор!!
Дух захватывает!!!!!!!
Удовольствие от решения задач,конечно-по геометрии!!!.Невозможно хотелось бы Вы ам пожелать много хороших дней 🌿🌿🌿😉😉😉😉😉😉💕💕💕
Ну Валерий не могу найти слов. всё на высшем уровне. спасибо вам.
Девять градусов это примерно одна шестая радиана. Синус малых углов равен самому углу (в радианах). Приблизительный ответ равен 0,17.
Пи/20=9°=0,157 радиан3
Только нам нужно найти совсем другое! См. условие задачи)
Valeri Volkov! Вы Выдаюший гения вокруг всяких сферах математики ( елементарних и вышшей математике)- ета сенсация!!!!!!
Спасибо за подробное, красивое решение.
Интрига тянулась почти до конца. Еще теплилась надежда на то, что ответ будет не трехэтажным. Но нет...
Не представляю, кому это может понадобиться, но для неких прикладных нужд в отсутствие подручных таблиц Брадиса и инженерного куркулятора, приблизительное значение sin π/10 ~= 1/6.4 с округлением до десятых.
Улётно. Космическое решение!))
Благодарю.
Очень здорово! Спасибо за оригинальное решениее1
Я нашел более простое решение, без всякого треугольника:
sin36=cos54
далее записываем для 36 формулу двойного угла, а для 54 формулу тройного угла.
после сокращения, получаем квадратное уравнение для sin18,
находим sin18,
а дальше как у вас
Неожиданно вернулся к этой задаче - решил проверить величину погрешности расчёта, если считать угол 9° малым. Ведь тогда sinX ~= X. И что же? Sin 9° = sin (π/20) ~= π/20 ~= 0,157. Погрешность около 0,1%.
но ответ нужен в радикалах, как написано в условии
треугольник - это интересно. можно еще получить sin18 как решение уравнения sin(2x) = cos(3x)
Это как так?
@@user-yq9uh2gk8b sin(36°)=cos(54°) по формуле приведения ; sin(2*18°)=cos(3*18*) и дальше пошло поехало..
Очень интересно. Спасибо!
А можно чуток помедленнее, я тут записываю...
Класс, спасибо за решение!
Валерий, а зачем вы закрыли доступ к видео "Как находить синусы и косинусы нестандартных углов" у Вас на канале?
Эта та ссылка, которая скрыта в шапке под этим роликом.
понятное обьяснение, спасибо
Симпатично и очень хорошо объясняет, почему школьники обычно любят тригонометрию немного меньше, чем зубную боль. :). Добавлю, что решение чуть-чуть упростится, если принять a за 1.
Красиво, ничего не скажешь!
Sin 18 и Cos 18 (равно как и sin 9) можно получить и аналитически, но этот способ равнобедр. треугольника - очень красивый метод... Спасибо...
рассмотрим равенство: sin72=sin108, 2sin36cos36=3sin36-4(sin36)^3, делим все члены на sin36 и получаем 2cos36=3-4(sin36)^2 , по основному тригонометрическому тождеству переходим к квадратному уравнению относительно cos36. Решив его, получим cos36=(1+sqrt(5)):4
Синус 9 градусов?Очень изящное решение! Особенно мне понравилась фраза ,,решим кв.уравнение относительно а: в ,, С 97года не работаю в школе, и сейчас эти задания для меня звучат как музыка .Спасибо Вам Валерий.
Очень интересно
Сложная задача, такую не каждый учитель по математике решит.
Спасибо большое!
Учусь в 7 классе, ничего не понятно, но очень интересно.
Хорошо, что пишешь без ошибок ))
@@mmontana73 , йа арфаграфичиский троль
@@user-vr1tm3xu6k йя поняль
@@mmontana73 3''|''0 n0|-|9|''|''b HeJIb39l
Идея состоит в том, что мы легко выразим в радикалах sin(x) и cos(x), зная cos(2x).
Следовательно, для определения sin(9) нужно попробовать найти cos(18) или cos(36) или cos(72) и т.д.
Замечаем, что:
1) 5*18=90
2) Тригонометрические функции нечетных кратных углов, выражаются через многочлены от одноименных функций, содержащие только нечетные степени. В нашем случае
cos(5x)=A*cos(x)^5+B*cos(x)^3+C*cos(x),
причем если cos(5x)=0, а cos(x) отличен от 0, для cos(x) получим биквадратное уравнение.
Эти рассуждения говорят о том, что cos(18) может быть найден из биквадратного уравнения, и мы можем начинать решение по этому пути.
Сначала найдем выражение cos(5x) через cos(x). Это можно сделать различными способами, из которых я привожу самый элементарный, но не самый короткий (удобнее использовать степени exp(ix), но это требует знакомства с комплексными числами ).
По известным школьным формулам:
sin(4x)=sin(2*2x)=2sin(2x)*cos(2x)=4sin(x)cos(x)*(2cos(x)^2-1)
cos(4x)=2cos(2x)^2-1=2(2cos(x)^2-1)^2-1
cos(5x)=cos(4x)cos(x)-sin(4x)sin(x)=(2(2cos(x)^2-1)^2-1)cos(x)-4sin(x)^2*cos(x)*(2cos(x)^2-1)=
=(2(2cos(x)^2-1)^2-1)cos(x)-4(1-cos(x)^2)*cos(x)*(2cos(x)^2-1)=
раскрываем скобки и приводим подобные
cos(5x)=16cos(x)^5-20cos(x)^3+5*cos(x)
Следовательно, чтобы выразить t=cos(x) через cos(5x), нужно решить уравнение (16t^4-20t^2+5)t=cos(5x). При произвольном значении x мы имеем ур-е 5-й степени, которое в общем случае в радикалах не решается. Но если x=18 градусов, 5x=90, то cos(5x)=0, а ( cos(45)
Здорово... Особенно понравился вынос 0.5 из под корня...
Завидую я вам белой завистью, комментаторы! Как же я жалею, что забивал на точные науки .. 20 лет прошло со школы. Молодцы! И автор молодец!
Истинное наслаждение! Институт закончил в 1970м!
Здравствуйте. Спасибо за видео. Подсксжите, какую программу вы используете для того чтобы писать решения как -будто на доске?
Паинт
Спасибо!
Красивое решение, но неочевидное :)
Можно быть "и" не очевидное?)
@@ticTHEhero смотря какой смысл вкладываешь
А очевидные решения интереса не представляют - они для ремесленников: бери лопату и копай.
35 лет назад сдавал вступительный экзамен по математике, а у девочки в ответе стояло "5"(( полтора часа ждали завкафедрой для решения спорного вопроса, математика победила)) очень долго потом дружили с завкафедрой) удачи каналу!
Это какой-то детектив: что за девочка? что за "ответ", в котором "стояло 5"? "Математика победила" - победил завкафедрой или девочка? (и т.д.)
Проще это можно вычислить, используя первый замечательный предел, выразив угол в радианах: 9 градусов - это 0,157 радиана, следовательно синус 9 градусов равен этому числу.
Гениально!
А что насчёт формулы перехода от градусов к радикалам? a=(a*p)/180, получается же (9*p)/180, сокращаем и p/20, когда сверяя ваш ответ с моим предполагаемым решением приблизительное(Там же неточное) значение получается одинаковое. Может быть я что-то не вдупляю? Может формула не та, но решение на пять секунд(Объясните утопающему😆), но за такое сложное трехэтажное нечто однозначно лайк! Никогда бы не додумалась рисовать треугольник
Ну а чтобы посчитать корни нужно просто-напросто разложить в ряд, уместно это сделать с помощью синусов или косинусов. Немножко не дописали.
Ну и конечно эти все хитрости на фиг не нужны, они для неучей, не знающих математики . Просто проводим через все точки параллельные прямые. На пересечениях получаются симметричные углы и суммы углов по 360 градусов. Из чего строим систему уравнений первого порядка и по матрице считаем. Так решается любая задача на плоскости.
Ну, это ты, братан, клёво дал копоти, уважуха в натуре!
Интересно просмотреть на вариант приближенного решения с сходящимся рядом
Интересный дополнительный эффект от решения этой задачи; используя их можно при помощи только циркуля и линейки разделить окружность на 5 частей, то есть построить пятиконечную звезду
Можно найти синус приблизительно. По пропорции. Исходя, что синус 30 градусов равен =0,5. Пропорция 30/9= 0,5/х . Х = (9×0,5)/30=4,5/30=0,155. 5 тысячных- это поправка на криволинейность функции, так как расчет вели на прямолинейность. Надо брать известную величину,как можно ближе к неизвестной.
В решении полно сложной тригонометрии, "многоэтажых" алгебраических выражений, "радикальной" арифметики, нет только математической красоты и изящества. Одна гениальная мысль - учетверить угол, а дальше рутина без права на ошибку.
Согласимся
Нет, не согласна с Вами. Решение очень красивое. На мой взгляд, комментарии самого учителя - не достаточно строги. Слева квадрат, а справа +\-. Хорошо, что стёр с доски.
@@user-dl2yc5dg7k Ну, значит, плохой из меня математик.
Sergey Vens странная реакция. Я поддержала, что решение красивое. Так как мне не понравилось, что написали предыдущие зрители. Видимо, Вы поняли, что я права. Больше комментировать не буду. Успехов Вам!!!
@@user-dl2yc5dg7k Вы правы, а я не прав. Что же тут непонятного? Я вообще-то замечал, что в интернете не принято признавать свою неправоту. Увы.
Круто!
Классное решение, а можно пожалуйста 24 задачку из 100
красиво и мощно
Спасибо за чёткоё решение. Синус в 9 градусах найдены, то можно найти и sin3° и sin1°. То есть sin3a можно выразить через Sina да.
Синус 1 и 3 равен значению угла в радианах
Практически во всех прикладных задачах можно сказать, что ответ примерно π/20
Через приближенные вычисления с помощью дифференциала сделал ? :3
В условии сказано, что надо в радикалах найти.
@@hktundra угу , очень жаль ((
@@peaceDE4TH можно через дифференциал найти , тоже очень просто , правда с не большой погрешностью
Можно в калькулятор вбить, погрешность будет в четвертом знаке
Можно ли найти следующим образом:
π/6=1/2
π/20=?
И найти
Хорошо, что задача остановилась на 9 градусах - а то конца бы ей не было...
Кстати, 72 градуса - это центральный угол пентагона, и если эту задачку немного поскрести, можно получить формулу для стороны пентагона, выраженную через радиус описанной окружности и корень из пяти. Корень же из пяти легко строится "циркулем и линейкой" - отсюда получаем метод Эвклида (или, если угодно - его доказательство) деления окружности на пять равных частей.
Дополнительный бонус следуя примете "где есть корень из пяти, там ищи Золотое сечение (здесь это напрямую дробь a/b)", легко убеждаемся, что пятиконечная звезда буквально "набита" этим Золотым сечением..
Браво!
Спасибо
Ни чего не понял, но очень интересно, если быть в курсе, я это очень давно не практиковал, теперь понимаю как на меня злились одноклассники.
Одним словом, офигеть! Надо такую задачку на муниципальном этапе по математике в 11 классе дать, пусть школьники развлекаются! 😂😂😂
AlphaZero это слишком сложно для этого этапа муниципальный этап это хрень.Вот для всеросса норм
@@streetfighter5037 Заключительный этап Всеросса ЗНАЧИТЕЛЬНО сложнее, чем этот пример. Посмотри хотя бы задания, которые предлагались в 11 классе в предыдущем году. А пример из видео соответствует уровню сложности чуть выше муниципального и ниже регионального. (Но от этого он не перестаёт быть красивым).
ответ 0,157, поскольку угол 9 гр малый значит sin9 = углу 9 гр = 9 :57.3= 0,157. Нужен практичный подход
да вы, дяденька, инженер
Полезно
Другой способ. По моему легче.
Анатолий Балыка Sin30=1/2, Cos3x=4Cos^3(x)-3Cos(x)=1/2, Cos^3(x)-3/4Cos(x)-1/8=0.Далее находим по формулам Кардано: кубичечая корень из -q/2+sqrt(p^3/27+q^2/4)+всё также, только -sqrt. У нас p=-3/4, q=~1/8. Получаем Соs(x)=кубическая корень из 1/16+i*sqrt(7/512)+также, только -i*sqrt. Kубическая корень из (а+i*b)=кубическая корень из r*(Cos(A+2*k*Pi)/3+i*Sin(A+2*k*Pi)/3, k=0;1;2. CosA=a/r, r=sqrt(a^2+b^2)
Анатолий Балыка Oшибку сделал в первом ответе:Надо sin(3x)=-4sin^3(x)+3sin((x)=1/2. Daльше также.
как называется программа "доска" в которой вы работаете?
Я рисую в notability, у него очень похоже на это...
По идее подойдёт даже паинт, верно?
Алмас Абдугалиев улыбнул) но правда)
уже отвечали на этот вопрос - paint
Здравствуйте. В какой программе у вас так коасиво получается писать буквы и цифры?
Здравствуйте, программа Паинт.
Интересно
В идеале конечный ответ можно было бы упростить до √(6-2√2)/4
Красивое решение
Какой Вы умница! Так прекрасно объясняете решения со всеми подробностями. Огромное Вам спасибо. Дай Вам Бог здоровья, удачи и всего самого хорошего. С уважением М.А.
Валерий, каждое ли число вида sin(π/n), n натуральное, можно выразить в радикалах?
Нет, конечно
@@zzz942 а как это доказывать?
@@mathphys685 теорема гаусса-ванцеля
Это можно доказать, но вряд ли с использованием теории из школьной программы. Однако ответ, скорее всего, нет.
Каждое такое число алгебраическое.
Мне кажется, что скорее всего, можно.
я не знаю правильно ли, но я бы так решил: 9 градусов = 1/10 от 90 градусов = (1/10) * пи/2 = пи/20. Если вбить наши ответы в научный калькулятор, то у меня примерно 0.157, а у вас примерно 0.156
Именно так вычислялись приближенные значения в таблице Брадиса? ))) У Брадиса было много свободного времени однако. Но решение супер!
Брадис вряд ли шел таким образом к решению, ибо существует немало углов, которые таким способом не вычисляются...
Благо есть и другой метод, хоть и с погрешностью 😀
Тоже решал через треугольник. Получил уравнение 4sin18cos36=1, откуда cos36=-0,5. Подскажите пожалуйста, где ошибка
Решение хорошое
Надо уже было тогда сразу sin(3) находить это самый минимальный базовый угол, через который можно найти все алгебраические косинусы (можно показать, что все такие углы кратны 3)
К примеру, через углы: 15 и 18
Какие-то мудренные и решение и ответ. Если бы передо мной поставили такую задачу, я бы разложил синус в ряд Маклорена.
Да ... Математика - это поэзия)
sin9 это абцисса единичного радиус вектора, нарисуйте круг с радиусом 1 отмерьте 9 градусов сделайте проекцию на ось и будете иметь число которое равно синусу 9 градусов, и зачем вам все эти корни.
Вы с кафедры иньяза?
На кафедре математики раздаётся звонок:
- Как построить угол в 50 градусов?
- А кто это спрашивает?
- Это звонят с кафедры иньяза...
- Возьмите транспортир!
@@yuriydeynekin4532 нет я с исторического, узнайте для начала кто и зачем придумал синус и косинус.
@@rodnykut3689 Ну, допустим я выполнил это Ваше задание - "узнать сначала кто придумал". И что дальше? синус тридцати перестанет быть равным 1/2? Вы действительно верите, что имя "придумщика" - пусть он будет хоть Шуриком Маекдонским - что-либо определяет в математике как таковой?
всё просто. у задачи либо есть решение либо его нет. вопрос кто зачем и почему эту задачу придумал. @@yuriydeynekin4532
@@rodnykut3689, похоже, Вы просто балабол. То Вы даёте распоряжение кому-то, что ему "сначала нужно узнать", то по-ПТУшному заявляете, что "всё просто. у задачи либо есть решение либо его нет", что выказывает Вашу слабую математическую культуру; как раз для такого случая есть нелестная поговорка: "дураку всё просто" То у Вас снова зачесалось это "кто и зачем придумал?" - на сей раз "эту задачу". Кстати, это столь важное для Вас "кто?" на сей раз даже указано в заголовке, но Вы и этого не смогли увидеть. Потому что Вам даже не нужны ответы на Ваши никчёмные "вопросы", Вам важно просто трясти воздух, "обозначая присутствие". Вы из тех, от кого не только ничего интересного узнать нельзя, но кому и объяснять ч-л бессмысленно.
Оригинально
А не проще ли 45 - 36?
как ни странно, но не получится :(
можно и так, непринципиально. Основная проблема найти значение для 36
у меня получилось)
мужик, либо ты гений постиронии, либо ты не отличаешь арифметику от тригонометрии. Тут ф-ция тригонометрическая
Он про sin(45 - 36) = sin(45)cos(36)-cos(45)sin(36) = sin (9); где sin(36) = sqrt(1-sqr(cos(36))
видел нахождение sin36 у presh talwalkar , дальше не сложно было догадаться как найти sin9, но если бы я этого не знал, то врядли решил задачу
Talwalkar
mrbus2007 изменил
вывод cos18 последнее действие не понятно , придётся лист взять расписать .. Получилось. Как Вы это в голове делаете ?!
Он просто не человек. Это машины дают нам последний шанс найти с ними общий язык.
Синус малых углов равен углу (в радианах) с высокой точностью. Для 9 градусов (pi/40) ошибка в районе 4 тысячных.
Я не понял самое последнее преобразование. Они же одинаковые. Куда подевался корень из двух?
Vovan Torsionov
Корень из двух был в знаменателе. А в итоговом значении корень над всей дробью.
Решение понятно. Непонятно, как додуматься до использования треугольника 😉
Кажется кстати тоже без мягкого знака.
Теперь я знаю всё! ;-)
У меня была стратегия решения значительно сложнее: выразить через формулы синуса суммы и косинуса суммы значение синуса 45-ти градусов, т.е. формулу бы пришлось применять 5 раз.
Классный способ! Я через дифференциал приближённо посчитал, но разница не очень большая, у вас - 0,1564...., у меня - 0,1570.....
Все логично, ничего сложного ведь
Про то как из букв сделать цифры))
Получил тот же результат через sin 18°.
А можно просто воспользоваться таблицей косинусов
Математические технологии!
Раз уж так повелось, то можно и через производные приближенное значение посчитать :)
Занятно, что в очередной раз используется (SQR(5)-1)/2 - то бишь Золотое сечение.
👍