BEWEIS durch vollständige Induktion - Summe, Summenzeichen, Beispiel
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- Опубліковано 2 сер 2024
- Beweis durch vollständige Induktion
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) Schritt für Schritt ein Beispiel für den Induktionsbeweis für eine Summe. Wir lösen das Summenzeichen auf und verwenden die Induktionsvoraussetzung, um die Gleichung zu beweisen. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Beweis durch vollständige Induktion
0:20 Induktionsanfang
2:00 Induktionsvoraussetzung
3:22 Induktionsschritt
12:50 Bis zum nächsten Video :)
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#Induktion #vollständig #MathemaTrick
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Wow, Dankeschön. In 12 Minuten mehr verstanden als in 3 Vorlesungssitzungen..
Wirklich geniale Idee das Ganze einfach umzudrehen. Du rettest mir damit wirklich das Leben! Danke :)
Super, freut mich sehr! 🥰
Ich habe mein Studium, lange nach meiner Ausbildung begonnen und hatte Mathetechnisch gar nix mehr drauf. Deine Videos sind echt super und hätten mir so einiges im Studium erspart. Du erklärst richtig toll die Hintergründe, so wie hier mit der Induktionsvorrausetzung. Ich habe das damals erst einfach nicht verstanden und mich gefragt was der "Blödsinn" soll. Hättest du nicht ein paar Jahre früher mit den Videos starten können? ;) Richtig toller Kanal, großes Lob. Mach weiter so.
Das ist das erste Mal, dass ich die VI verstanden habe! Chapeau! 😅👍🏻
fantastisch. als ob du gewusst hättest was ich gerade lernen muss!
Göttliche Eingebung! 😜
Cool! Höhere Mathematik! Wird mir im nächsten Semester sehr zu gute kommen. Bitte mehr davon :)
Freut mich! Na dann hoffe ich doch, dass ich dir im nächsten Semester mit meinen Videos gut weiterhelfen kann! :)
@@MathemaTrick Bestimmt!
hab während dem semester nicht viel gemacht und erst vor 1 woche angefangen für die klausur zu lernen aber durch deine videos ist mir so vieles direkt klar geworden, selbst wenn ich verkacke beim 2ten Versuch wird es mit solchen Videos safe machbar sein. Falls hiwi warst, hat jeder in dem Kurs Glück gehabt.
Ich mach das gerade n Paar Stunden vor der Klausur
@@Venom-kf5no Wie lief´s ? xD
das hilft mir ungemein viel beim informatikstudium!! danke hoch hundert
Das freut mich riesig! 🤩 Weiterhin ganz viel Erfolg im Studium! 🥳
mega, vielen tausend Dank, dass du diesen Trick erklärst, wie man am Ende des Induktionsschritts einfach umgekehrt rechnet :D kannst du auch ein Video machen, wie man mit der Induktion von n-1 auf n beweist?
Amazing video.. Thank you for all your efforts ❤️🙂🇲🇦
Tausend Dank, Du erklärst es wundervoll.
Dankeschön :)
Danke! 👍
Gerne 😊
Wir hatten Vollständige Induktion damals im Mathe-LK in der 12... normalerweise kapiere ich ganz gut, aber da hätte ich dringend dieses tolle Video gebraucht... 1987 war das...^^
Vielleicht klappt's ja im nächsten Leben mit uns beiden! 😋
@@MathemaTrick ganz bestimmt. 😉
Hab ich jetzt ne Eule...?
Tolles Video, ich mag, dass du immer alles mit jedem kleinen Minischritt und jedem Gedanken erklärst, genau was ich brauche!
Andere Mathe Videos skippen irgendwie zu oft Gedankenschritte und ich komm nicht mit🙈
Ach und: 69. Kommentar, nice :D
Omg, ich bestehe meinen Logik Kurs! Ich rechne es einfach rückwärts!!!! Ich liebe dich, nein wirklich. Ich. Liebe. Dich.
Absolut klasse. Vielen Dank 🙂
So gut danke ❤
Super erklärt
Dankeschön 🌹
Sehr gerne 😊
jaaa endlich mal wieder höhere Mathematik ;)
Extra nur für dich! 😜
Danke du bist meine Rettung
Super Video, vielen Dank 🙏
In letzter Zeit, fällt mir auf, dass das ein oder andere Video jenen Inhalt hat, den ich gerade im Studium habe. Ich war leider nicht so richtig gut in Mathe, später im Abi, und verstehe daher gerade leider total wenig. Daher durchforste ich immer auch YT und deine (ich hoffe das du ist okay^^) Videos sind halt auch schon echt hilfreich. Wenn ich nachher mit einer drei durchkomme bin ich schon "zufrieden" :D
Super, freut mich, dass ich dir mit meinen Videos ein wenig weiterhelfen kann! 😍 Was studierst du denn? 😊
Vielen Dank tolle Erklärung
Sehr gerne! :)
Dankeschön ❤️
Konnte keine Video finden, welche für jede Art von Iduktionsbeweis passt, die auch verständlich erklären würde... Dann habe diese Video gesehen und alles ziehmlich schnell verstanden und eigenes beispiel gelöst! Danke schön ^_^
Cool, das freut mich total, dass ich dir helfen konnte!
Also der explizite Hinweis auf IV ist richtig gut, um den nächsten Schritt machen zu können! 😃
Immer und stetig frisch bleiben ,liebe Susa... wenn es um Gödels Parodoxon geht...
danke
Echt ein super Video das hat mir in meinem Studium total geholfen. Danke :)
Super, das freut mich riesig! 🥰
Suuuper erklärt. Daaaanke schön!! Mit dem sigma hab ich noch nie meine Freude gehabt.....ABER JETZT🥰
Gern geschehen 😜
Du machst das aber auch so was von guuut!!!! Also ich hör Dir gern zu, mach weiter so. Solche Menschen wie DU braucht die Welt. Gaaanz grosses Kompliment für Deine tollen Videos....LG aus dem Münsterland. Bleib gesund!!!!!!!!!
💛👍🏼
Bitte hör nicht auf bro brauche dich für mein Studium
Ich bin auch weiterhin für dich da, keine Panik! 😜
Ich hab nichts verstanden aber trotzdem alles mitgeschrieben und brauchte dafür 30 Minuten, weil rechnen musste ich ja nicht, das hast du ja gemacht Susanne. 💐🌸🍁
Dein Durchhaltevermögen ist echt super! Das hier ist Uni-Stoff, also mach dir nichts draus, wenn du davon noch nicht so viel verstanden hast. 😊
@@MathemaTrick Du spornst mich auch an mit deinen Videos. Wenn du neue Videos machst, dann beschämt es mich etwas, wenn ich in der Zeit "nichts" tue. Mich würde mal interessieren wie lange du für deine Videos brauchst, die Videolänge z.B. 12 Minuten ist doch nicht wirklich die Arbeitszeit die du da investierst oder?
P.S. Ich hätte mich auch schon längst als Mitglied in deinem Club angemeldet aber die Zahlungsmethoden gefallen mir nicht. Bleib dir aber auch so treu, keine Sorge. ❤💛💚💜💐🌸🌿
Super erklärt, aber jetzt frag ich mich, ob ich wirklich Maschinenbau studieren sollte.... 💯💪🏼
Ich hoffe ich habe dich nicht zu sehr abgeschreckt! 😅
hey, ich bin grad noch in der Schule, überlege aber ab Herbst dann Mathe auf Lehramt zu studieren und wollte dir nur mal sagen, dass deine Videos echt super sind :) eine Frage bezüglich des Studiums hätte ich aber: wie schwierig ist uni-Mathe im Vergleich zum Mathe aus der Schule? In der Schule tu ich mir mit Mathe nämlich eigentlich recht leicht, hab aber Angst, dass das Studium trotzdem irgendwie zu schwer ist?
Hey 😊 Ich hab hier ein Video über meine Erfahrungen gemacht: ua-cam.com/video/h4P3iOLHXf8/v-deo.html Vielleicht helfen dir auch die Kommentare etwas mehr über das Studium zu erfahren. Jeder erlebt so ein Studium natürlich anders und es schwankt natürlich auch von Uni zu Uni. Deswegen ist es immer schwer zu sagen, wie es dann für dich sein wird.
Dankeschön
Gerne 😊
Ich kann nicht die einzige sein die "für alle nein" im video gelesen hat. Zumindest ist die Aussage für mich zutreffend🤣🤣🤣🤣
Danke
Gern! 😊
Wie immer stark erklärt . Mehr kann man nicht hinzufügen. Weiter so!
Bitte hilf mir bei folgender Aufgabe :
Tritium hat eine Halbwertszeit von 10 Tagen. Nach diesem Zeitraum hat der menschliche Organismus jeweils die Hälfte der ursprünglichen Menge ausgeschieden.
a) wie viel mg Tritium sind von ursprünglich 20 mg nach 7 Tagen noch vorhanden?
b) in einem menschlichen Organismus werden 3 mg Tritium nachgewiesen. Wie viel mg diese Substanz waren es vor 15 Tagen?
Ich habe es verstanden.
Hier Beleg:
a) 20•0,5^(7/10) =12,3 mg
b) komme ich auf 8,5%
Interessante Aufgabe. Nur Vermutungen:
a) Nach 10 Tagen sind noch 1/2 vorhanden, also gehen pro Tag 1/20 flöten. Nach 7 Tagen sind demnach 7/20 ausgeschieden und 13/20 noch vorhanden, bei 20 sind das dann tatsächlich 13mg.
b) Vor 10 Tagen waren es noch 3mg * 2 = 6mg, vor 15 Tagen demnach 3mg * 2.5 = 7.5 mg
Allerdings verlaufen die Mengen bei sowas exponentiell, falls das so gemeint ist habe ich keine Ahnung :D
Toll erklärt. Kann ich mir die Vorgehensweise eigentlich so merken wie dus vorgemacht hast? Also bis zum IS ist ja sowieso alles klar. Dann das Summenzeichen ergänzen, dann das zusätzliche Glied zum zu zeigenden Schritt zuaddieren. Dann umformen bzw. die Klammern auflösen bis zum gewünschten Ergebnis. Kann man das algorithmische Vorgehen beim Induktionsprinzip anwenden, also immer gleich vorgehen?
Ja sehr gut zusammengefasst, genauso kann man mit Summen immer umgehen. Ich hab hier ja noch ein anderes Video zur vollständigen Induktion mit einer Summe und da siehst du, dass man genauso vorgehen kann: ua-cam.com/video/bRR7tOdjOt4/v-deo.html
für den algorithmus
Mein Dozent sagt, der Existenzquantor in der Induktionsvoraussetzung nicht richtig ist, da man davon ausgeht, dass die Gleichung für ein beliebiges n gilt. Welche Variante ist jetzt richtig?
6:27 Warum gehst du hier nicht über ein zweites Summenzeichen, sondern benutzt die Schritte n+1 und n?
Ich frage, weil in einem anderen Video dazu hast du beim IS das Summenzeichen mit n+1 in zwei SZ(Summenzeichen) 1 bis n und das zweite SZ n+1 bis n+1 verwandelt.
Jedoch habe ich diese erangehensweise nicht nachvollziehen können. Da wir ja von 1 bis n und von n bis n+1 laufen. Das hast du hier ja auch bei 6:27 so geschrieben.
Gibt es hierbei Unterschiede oder ist das gleich?
Wow
Kann man das öfter machen oder eher nur bei bestimmten Aufgaben, bei vollständiger Induktion komme ich nie auf solche Ideen
Wie kann man eine Formel (auf der rechten Seite als die Funktion von n) für ein Summen Konstrukt (k³, 1/k², 1/k³, (2+k)/8^k, etc....) ableiten? Hier zum Beispiel, wer hat diese Formel und wie, herausgefunden, dass die Summe für k(k-1) = (n³/3)-(n/3) ist ?
Bin ich blöd, oder beweist diese Vorgehensweise dann nicht, wenn eine Funktion ein Limit hat (falls es sowas gibt), sodass z.B. ein A(n) bei n > 1.000.000 nicht zutrifft?
Interessant wird's ja, wenn es eben mal nicht stimmt. Kommt das auch häufiger vor oder werden eher wahre Aussagen bewiesen?
Ich frage, mich ob du das was du schreibst, mit einer Maus schreibst. Wenn ja, Respekt!😯
wow🌹😍👌
♥️von🇰🇬
Nur mal kurz so eine Frage zwischendurch. Das möge ja viel Spaß machen, aber am Ende kommt doch nicht wirklich was dabei heraus? Wenn dann die, die vollständige Induktion verstanden haben, wie auch ich, bis auf den Indukrionsschluss, der ist mir zu komplex, verstanden haben, bringt das auch nichts wenn alle BWL studieren.
Wie kann ich diese Summenformel beweisen ?; 5*2+3*8+...+(3*n-1)*n=n^3+n^2-2 Alle IN >/=2 ???
Kannst du vielleicht ein Video zur Differentialrechnung machen?
Da hab ich schon einige. Was bräuchtest du denn? 😊
Differentialquotient, Ableitungen und Differentiationsregeln
Hoffe meine Videos helfen dir:
Differenzenquotient: ua-cam.com/video/sXxK-JATrc0/v-deo.html
Differentialquotient h-Methode: ua-cam.com/video/FO3MZrCR97g/v-deo.html
Alle Ableitungsregeln: ua-cam.com/video/GtVWdeevZpw/v-deo.html
Brüche ableiten: ua-cam.com/video/y__6V_E8iNE/v-deo.html
Wurzeln ableiten: ua-cam.com/video/NYYbhj3qUAQ/v-deo.html
Falls du noch was suchst, melde dich 😊
Vielen Dank, deine Videos sind alle hervorragend!😊
@@MF-yo5oz Also formal haben technisch/mathematischen/naturwissenschaftlichen Studiengänge meistens keine Voraussetzung (außer der allg. oder fachgebunden Hochschulzugangsberechtigung). Es empfiehlt sich allerdings mindestens im Mathe Grundkurs sehr entspannt mitgekommen zu sein, besser im LK mindestens gut mitgekommen zu sein. Dann braucht man Interesse und Spaß sich an solche Aufgaben heran zu trauen. Wer auch nach Schulschluss mal ein Mathe/Physik- Buch aufgeschlagen hat, in der Pause mit Freunden über noch offene Fragen des letzten Themas etc... diskutiert hat, scheint ein geeigneter Kandidat zu sein. Falls du Interesse an einem Junior/Schülerstudium hast wende dich A) an deinen Mathelehrer / euren Lehrer zur Begabtenförderung und/oder B) an die Uni, bei der du reinschnuppern willst :)
was mache ich wenn ich n€N durch Induktionsbeweis berechnen muss und für i=0 und für n-1 habe?!
Ich küsse deine wunderschönen Lippen und Augen 🥰 vieeelen Dank für dieses Video ✌️🥺
Theoretisch muss ich gar nicht "rückwärts rechnen". Bei der vollständigen Induktion wird nirgendwo gefordert, dass ich den linken Ausdruck in den rechten n+1-Ausdruck umformen muss. Ich muss das ja nicht unbedingt so stehen lassen, ich kann den Ausdruck auch gleich umformen und vereinfachen, so dass bei z.z. gleich was Einfacheres steht. Da muss man das zwar auch quasi rückwärts rechnen, muss aber dabei nichts verheimlichen, warum auch. So lange am Ende auf beiden Seiten dieselbe Formel steht passt es ja.
Entschuldigung könnten Sie einen Beweis durch Widerspruch durchführen? Ich verstehe das nicht ganz. Danke schön
n³-n+3n(n+1) =(?) (n+1)³-(n+1) (1) es geht weiter: n(n²-1)+3n(n+1)=(n+1)((n+1)²-1)) (2) folgt: n(n-1)(n+1)+3n(n+1)= (n+1)((n+1)-1)*(n+1+1)) (3) folgt: n(n+1)((n-1+3))=(n+1)(n*(n+2)) (4) folgt: (n+1) fallen weg: n(n+2)=n(n+2) 🤗 oder ?
Oh mein Gott . . . heirate mich!!!!!
Geht ja nicht, bin ja schon . . .
🤣🤣🤣🤣🤣
Lösung:
Zuerst beweise ich, dass obige Behauptung für n=1 gilt:
1
Linke Seite: ∑[k*(k-1)] = 1*(1-1) = 0
k=1
Rechte Seite: 1³/3-1/3 = 0 . Beide Seiten sind gleich, also gilt die Behauptung für n = 1.
Nun beweise ich, dass die obige Behauptung für n+1 gilt unter der Voraussetzung, dass die obige Behauptung für n=1 gilt:
n+1
∑[k*(k-1)] = (n+1)³/3-(n+1)/3 muss gelten.
k=1
Es gilt nach Voraussetzung:
n
∑[k*(k-1)] = n³/3-n/3.
k=1
Nun ist:
n+1 n
∑[k*(k-1)] = ∑[k*(k-1)] + (n+1)*(n+1-1) = n³/3-n/3 + (n+1)*n
k=1 k=1
= n³/3-n/3+3*(n+1)*n/3 = [n³-n+3*(n+1)*n]/3 = (n³-n+3n²+3n)/3
= (n³+3n²+3n+1-n-1)/3= [(n³+3n²+3n+1)-(n+1)]/3 [mit n³+3n²+3n+1 = (n+1)³]
= [(n+1)³-(n+1)]/3 = (n+1)³/3-(n+1)/3 q.e.d.
Nun gilt also die obige Behauptung für n+1 unter der Voraussetzung, dass sie für n=1 gilt. Ich habe im Anfang bewiesen, dass die obige Behauptung für n=1 gilt, dann gilt sie also auch für n+1 = 1+1 = 2. Wenn sie aber für n=2 gilt, dann gilt sie auch für n+1 = 2+1 = 3. Wenn sie aber für n=3 gilt, dann gilt sie auch für n+1 = 3+1 = 4. Usw., q.e.d.
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