Решите уравнение в целых числах 3x^2+5y^2=345 ✱ Диофантовы уравнения ✱ Как решать?
Вставка
- Опубліковано 4 жов 2024
- ✱ Новогоднее печенье • Новогоднее печенье ✱ Н...
@arinablog наш семейный канал
Поддержать: donationalerts....
Telegram: t.me/volkov_te...
Группа ВК: volkovv...
Instagram: / volkovege
Почта: uroki64@mail.ru
Отличное пояснение решения! Конечно кто-то скажет, что "можно проще и т.д. и т.п.", но тут главное именно подробное пояснение КАК решать и САМО решение в видео.
Я рассуждал гораздо проще:
Разделил обе части на 15:
x²/5 + y²/3 = 23
Каждое из слагаемых не может быть больше 23, а первое слагаемое должно быть кратно 5. Отсюда x=5, либо 10. Подходит только x=10. Тогда y=3. Поскольку x и y в квадрате, в ответ запишем ещё три пары с разной комбинацией знаков.
А почему первое слагаемое должно быть кратно 5? Может же быть две дроби, которые в сумме дают 23.
@@ВладимирПетров-и5д Ой, Владимир, уж пять месяцев прошло! Извините, но снова всё вспоминать как-то не хочется. Может я и не прав.
@@ВладимирПетров-и5д он имел в виду х в квадрате кратно 5, потому что делится на 5
Стандартные приёмы. Спасибо за понятное решение.
Благодарю вас за познавательные ролики.
Удачи в новом году, и побольше подписчиков и популярности.
Спасибо. С наступающим!
Вот вариант чуть быстрее, но быстрее из-за того, что числа у нас небольшие. У нас x должен делиться на 5, а y на 3. Можно просто выписать квадраты чисел, кратных 5 и 3, тогда для икса в квадрате у нас может быть 0, 25, 100, а для игрека в квадрате 0, 9, 36 (всё, что больше уже даёт перебор). Ну а дальше достаточно проверить все эти числа и получить ответ.
Идеальное объяснение! 🙂
Желаю вам успехов дальше , Можно видосов со школьных задании
На канале уже решено более 2 000 школьных задач, в том числе заданий ЕГЭ и ОГЭ, поищите в плейлистах то, что Вам нужно.
Норм задание. На олимпиаде попадалось)
Гениально!
Супер! Успехов! 👍
Спасибо. Кажется, что просто. Значит хорошо объяснили.
Jste pekelně chytrý chlap! Gratuluju!
Can't understand your language, but found the answer to this equation mentally before pressing play on your video. It is obvious that 3x^2 is a multiple of 5. Therefore if x = ±5 we get 75 =5Y^2 = 345. Then 5Y^2 = 270. Then Y^2 = 54, which has no integer solution. Next try X=10 and we get 300 + 5Y^2 = 345. Then 5Y^2 = 45. Then Y^2 = 9. Thus Y=±3. Integer solution is X=±10, Y=±3.
у делится на три, если модуль у больше чем 9 то 5у^2 =>405 , это значит что можно перебрать у в промежутке (-9;9), а это 5 чисел: -6 -3 0 3 6 и перебираем
Было очень интересно!
Очень необычное и интересное решение. Спасибо
Классный способ для решение диофантовых уравнений!
Спасибо, за прекрасный способ решения
Спасибо.Красиво и доступно.
Классная задачка. Спасибо за видео
👍👍👍👍
Спасибо большое. Супер.
Спасибо большое!!!
Зачем так усложнять
y = √(69 - 3x²/5)
Подберём такой x который кратен 5.
√ неотрицателен, поэтому 3x²/5 ≤ 69,
x²≤115, а значит x принимает значения где-то до 11 по модулю.
Сразу смотрим на 3x²/5.
Кратные 5 значения x.
5: вычисляем 69-15=54 такого квадратного корня нет целого
10: вычисляем 69-60=9
√9=3
y= ±3
x=±10
Ты забыл проверить х=0. Садись, но к сожалению только четверка.
@@SayXaNow а зачем проверять ? Основная теорема алгебры говорит что многочлен n степени имеет ровно n корней, с учётом их кратности. У нас многочлен степени 2, значит корней ровно два. Автор комментария нашел по два корня на каждую переменную x=+10,-10 y=+3,-3. Больше корней быть не может , зачем проверять ?
@@bohdankolesnychenko1802 Садись, двойка. Уравнение x^2+y^2=25 имеет 7 корней на каждую переменную, а уравнение x+y=17 вообще бесконечное количество решений в целых числах. У нас не многочлен степени n, а уравнение с двумя неизвестными.
Классненько!
Привет Валерий. Спасибо за интересное уравнение.
Спасибо, пока подбирал варианты в экселе, обратил внимание на коэффициенты 3 и 5. и решение просто открылось. смотреть не стал, но подписался
Класс!
С наступающим Новым Годом! Здоровья и удачи вам и вашим близким.
Спасибо, Юлия! С наступающим Новым годом! Здоровья и счастья!
Практически так же решил. Только сразу заметил, что уравнение симметрическое относительно (0; 0), т.е., если пара (x₀ y₀) является решением, то пары (-x₀; y₀); (-x₀; -y₀): (x₀; -y₀) - тоже решения. Значит, можно решить уравнение только в целых неотрицательных числах.
На мой взгляд можно проще. Достаточно заметить, у
Спасибо)
есть решение проще: нужно сразу заметить, что число 345 кратно 5, а в левой части одно из слагаемых заведомо кратно пяти, значит второе слогаемое тоже должно быть кратно 5, значит для x остаётся два вероятных варианта это либо 5, либо 10, если речь идёт только про положительные числа, конечно. Подставляем, и проверяем, целое ли x. Соответственно, для x=10 получаем решение. Если же речь идёт не только про целые положительные числа, тогда есть четыре пары решений: 10,3; 10,-3; - 10,3; - 10,-3. Да, я упустил из виду то, что y может быть равен нулю, но в таком случае просто раскладываем 345 на множители, ну и получаем 23, в качестве одного из множителей делаем соответствующий вывод:)
Спасибо!
Сразу по привьюшке видно 3*100=300 + 5*9=45 =345 Люблю уравнения в целых числах)
Ну и знаки из-за степени второй, в разных вариациях.
Cперва решаем уравн. 3а+5b=345, где а=x², b=y². Тогда а=100+5t>0 (t из Z) и b=9-3t>0. Притом t=-19, -18, -17, ..., -1, 0, 1, 2. Проверка этих чисел даёт такое подходящее число для t: 0. Следовательно, а=100 => x=+_10 и b=9 => y=+_3.
Волшебство :)
да!!
когда то решал , но сейчас тяжело успевать за тобой!
Это шахматы!
Мне стало интересно за какое время найдёт решение программа.
Код:
#include
#include
int main()
{
for(int x=-100; x
Спасибо
ГЕНИАЛЬНЕЙШЕЕ РЕШЕНИЕ!!!!!!!!!!+
Отличное решение
3x^2-300+5y^2-45=0
3(x-10)(x+10)+5(y-3)(y+3)=0
Отсюда корни (10; 3), (10; -3),(-10; 3), (-10; -3)
Осталось доказать что больше нет корней ....
Классно придумал! Спасибо.
Гораздо проще можно решить. Так как второе слагаемое и сумма делятся на 5, то и первое слагаемое делится на 5. Значит x тоже делится на 5. Значит x может быть равен 0, плюс минус 5, плюс минус 10, плюс минус 15 и т.д. Так как первое слагаемое не может быть больше суммы, то для x остаются только 3 варианта: 0, плюс минус 5, плюс минус 10.
Первые два отпадают, так как после подстановки в уравнение y не будет целым числом. Отстается одно решение x = плюс минус 10. После подстановки в уравнение получаем y = плюс минус 3. Итак вот ответ: x = плюс минус 10; y = плюс минус 3. Из эти чисел можно составить 4 пары и записать ответ более подробно, как у автора.
Если решение целочисленное, то 345 делится на 3 и 3х^2 делится на 3. Очевидно, что и 5y^2 делится на 3, а значит y = 3, 6, 9... 9*9*5 = 405, поэтому остаётся перебрать варианты у=3 и 6.
Да, оригинально. ПОшел по пути выделения квадрата (дважды), в дебри зашеп... Не учел, что в "Целых числах"... Валерий , хрчу предложить решить задачу с олимпиады 60-х прошлого века:: найти мин количество и веса разновесов (гирь), чтоб можно было взвесить ЛЮБОЙ вес от 1 кг до 40. Ответ знаю решение, увы, нет... Спасибо
А мне лично сразу бросилось в глаза, что 345= (3*100)+(5*9)
Ну и соответственно получаем те же самые комбинации🙂
А что если разложить 345 на 300 и 45 и 300 разделить на 3 получим 100 получается корень из ста 10 и - 10 а 45 на 5 и получаем 9 и корень из 9 это 3 и - 3 и получаем решение уравнения
Да, этот корень сразу виден и находится за 5 секунд, вопрос лишь в том есть ли другие решения?
Если 300 ты делишь на, то и 45 тоже должен поделить
Редкий случай когда у меня проще получилось.
1. Доказываем что x делится на 5. (как у автора) Замечаем что y² >= 0. Значит (345-3x²)/5 >= 0. Т.е. x²
Я решал эты уровнения не много по другому из за этого частично пропускал пору ответов но ваше решение мне очень понравилось!
Ловушка для интеллекта. Мне понадобилось 5 секунд, чтоб решить это уравнение. x не может превосходить 11, т.к. 11*11*3 > 345. Значит x принадлежит [0; 10]. y в диапазоне [0; 4]. Переберем все возможныи y. Находим, что подходит только 3 и -3, откуда находим x = 10 или -10
Тот момент, когда решил уравнение, едва взглянув на него.
просто подбором?
Ого сколько комментариев про улучшение скорости и простоты решения. Напишу и я что ли свой.
int d = (int) Math.sqrt(345);
for (int i=0;i
Класно
Почему на ночь такие сложности?
Я их днём решить не могу))
х^2+у^2=125 как надо решать это уравнение, спасибо за внимание
@@ulugbeksaydalimov6740 так же, перебирать значения от 0 до 11. (±2,±11)(±5,±10)(±10,±5)(±11,±2).
я как решил, это даже банально в уме, если устный счет ок. мне правда было лень в свои года вспоминать квадраты чисел и умножать их на 3, и я воспользовался калькулятором... если в целых числах:
|x| 345)
|y|
А я просто представил 345, как 300 + 45, так как в левой части неизвестное умножается на 3 и 5.
А потом логикой подобрал)
Решение понятно, но сам не додумался бы
10 и 3, правда ответ сразу сам пришел :) без решения
3(5k)^2 + 5(3n)^2 = 345 = 15k^2 + 15n^2, делим на 15 обе части, k^2+n^2 =23? Почему 5k^2 + 3n^2 =23 ?
Если сумма целое число, то ведь возможно чтобы слагаемые были не целыми?
@Rophling ок ясно, от души за обьяснение.
Поскольку 345 делится на 5, то 3x^2 должно делиться на 5, т.е. x=5n
Поскольку 345 делится на 3, то 5y^2 должно делиться на 3, т.е. y=3k
После подстановки поучаем 5n^2+3k^2=23. Видим, что k и n по модулю не более 2, перебором находим пару (1,1), в итоге с учётом знака четыре пары решений
т.е. перебором находим пару (2,1)
Очевидно, что значения решений ограничены по абсолютной величине. Верно подмечено, что 345 делится на оба коэффициента, из чего следует делимость первой переменной на второй коэффициент, а второй - на первый. Дальше можно вслед за автором перейти к новым переменным с последующим сокращением на 15, а можно подметить, что 345 имеет остаток от деления на 4, равный 1. Первое слагаемое, 3x^2, может иметь остаток от деления на 4, равный 0 (если x делится на 2) или -1 (если не делится). Второе слагаемое соответ Ошственно, имеет остатки 0 или 1. Так что, единственной возможностью остаётся {x=10u; y=3(2v+1)}. Это ограничивает абсолютную величину x значениями 0 или 10. Первое значение не даёт решения: 345/5=69y^2. Второе, |x|=10, дает четыре варианта решений: {10;3}, {10,-3}, {-10,3}, {-10,3}. А вот если перед одним из слагаемых поставить минус, задачу к простому перебору уже не сведешь. Многие задачи автора легко решаются благодаря удачному подбору условий
мой руководитель любит диофантовы уравнения
Валерий Викторович, давайте это же уравнения, но теперь с сравнение по модулю числа?
Решил почти так же, только перебирал сразу квадраты умноженные на 5, их всего два 5 и 20 дальше уже больше 23. плюсы минусы на квадраты не действуют.
любопытно а такое решение имеет формулирвку в терминах всяких там колец и модулей?
x=10,y=3
В средней совковой школе Диофанта официально не проходили, в тех. ВУЗах тоже. Помню, в Перельмане упоминался, но в линейной части. Чейная программа это, мож гимназий?
Зачем нужна было замена на n и k, если можно было сразу приступить к следующему этапу?
чтобы меньше было подбирать)
Почему 3(5k)^2 + 5(3n)^2 = 345 / 15 получается 5k^2 + 3n^2 = 23, а не k^2 + n^2 = 23?
3*10²+5*3² = 3*100+5*9 = 300+45 = 345 - первое решение
Второе попробую найти:
3*x²+5*6²=345
3x²+180=345
3x²=345-180
x²=115-60
x²=55 - не является решением
А не возможно было: 5у^2
Там ещё корни √115 и 0 в разных сочетаниях.
Про 0 и корень из 69 почему не написали? Корень из 115 и 69 это не целое число.
А тут условие: решить в целых числах.
я решил на много быстрее методом подстановки но я не матаметик
Я сразу знал, что x=+-10, y=+-3
Проще и в уме...
1. |x|
что значит "у квадрата числа все делители парные"?
У 3 делитель только три, 3²=9, у него делитель тож только три, из простых, 3 и 3 - парный делитель
15 - делители 3 и 5, 15²=3*3*5*5, обоих делителей два, вот, парные делители
Если разложить на простые множители, они все будут в четной степени. То есть по парам.
А как называется этот метод решения?
Манипуляции с кратностью.
Подбором за 10 секунд
Автор решает методом Диофанта. И это хорошо. Но данный пример гораздо быстрее решается подстановкой, причём устно. Всего лишь 8 возможностей.
Решил через чет нечет. Суть та же.
Можно было сразу у^2=69-3x^2/5. Далее рассуждения такие же. x кратно 5 (0, 5, -5,10, -10,15...). Выбираем неотрицательное выражение и полный квадрат.
Как это на 15 поделили и такое уравнение получили
А что вы считаете этим уравнением?
Добрый день. На 2.30 минуте при делении на 15 должно получиться k^2 + n^2 = 23
Или я что-то пропустил?
Да, пропущено очевидное возведение в квадрат. И в результате: 3*25k^2+5*9n^2=345. Далее по тексту
Да. Спасибо. Невнимательный!
что-то ошиблись при подстановке и исправили при делении на 15
А я тупо перебрал все X от 0 до 10, посчитал (345 - 3x^2)/5 и посмотрел, можно ли из этого извлечь корень
Х=0, У=+-9 разве не является решением? 2 решения упущено
Нет. При таких значениях 5*9^2 равняется 5*81=405, а у нас по условиям задачи 345
х=10, у=3
Так тут сходк видно уравнение эллипса, любой перваш заметит!
Да, а если ты не перваш
@@trolltrollskiy ну тогда для тебя метод полного перебора 0
У это задачи есть другие варианты решения?
Да (см., напр., мой приём).
X=10
Y=3
Легко
Это какой класс?
Слишком просто...не знаю, не смотрел сколько воды было вылито за 6 минут
Я открыл видео лишь только коммент написать
345 = 300+45 = 3*100+5*9 => x = ±10; у = ±3
Мне хватило 10 секунд, чтоб сообразить
Бредятина. пара 10,3 находится перебором за 2 минуты. Других положительных пар нет (ибо х меньше или равен 10). Остальные это следствие симметрии. Три минуты максимум и без извращений.