Решение задач по теории вероятностей | Часть 2 | Формула полной вероятности и формула Байеса
Вставка
- Опубліковано 6 лют 2025
- Второе практическое занятие к курсу по теории вероятностей канала Элементарная Математика
Разбирается пять простых задач, для наилучшего понимания которых следует посмотреть серию лекций (три штуки) Основные теоремы теории вероятностей
Первая. Теорема сложения вероятностей
• Теорема сложения вероя...
Вторая. Теорема умножения вероятностей
• Теорема умножения веро...
Третья. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
• Формула полной вероятн...
Весь курс (имеющийся на данный момент) по теории вероятностей доступен в плейлисте по ссылке • Элементы теории вероят...
Сегодня будут задачи на формулу полной вероятности и формулу Байеса. Но мы не будем просто пользовать готовые формулы, применение которых вы всегда найдете в книжках и без моей помощи, а проделаем все на элементарных картинках, которые позволят получить решение практически устно, и при этом будут иллюстрировать и формулу полной вероятности, и формулу Байеса.
читает Игорь Тиняков для канала Элементарная Математика
#теориявероятностей #элементарнаяматематика #задачипотеориивероятностей #тервер
Игорь, здравствуйте! Благодарю Вас за очень полезные задачи, хорошее изложение материала (во всяком случае - для меня). Прошу Вас и далее проводить такие семинары с решением задач по теории вероятности, а также по математической статистике. С уважением, Сергей.
Сергей, здравствуйте! Да, такие семинары планируются и далее. К сожалению, не так часто они появляются, ввиду развития и других направлений. С уважением, И.Т.
Как люди могут быть такими умными? )))) Видно, что в голове полный порядок по этим темам, речь плавная без перескоков. Замечательный учительский талант
Ваша лекция это просо спасение! нам в универе задали задачку, как раз про стрелков, из которых два попали. Две недели мучалась, не знала, где тут полная группа событий, на что делить и как правильно применить Байеса. Спасибо Вам огромное, все просто, понятно, доступно и элегантно 😺
думал это видео только в конце октября опубликовать... выходит, не зря поменял дату)
Спасибо,спасибо,спасибо! Путалась в этой теме, сейчас осознание пришло. Очень понятно с рисунками стало!
Пожалуйста!)
Спасибо. Видео на канале просто отличные. Надеюсь у вас найдутся время, силы и желание для мат стата. ТОП
да, одно из этого набора уже имеется. теперь бы сил, да времени...
Хоть и с формулой полной вероятности и формулой Байеса уже ранее знаком, но вы очень доступно и легко объяснили концепции этих формул на примере диаграмм. Теперь понимание сформировано не только на уровне символов и логического смысла (что с чем считается), но теперь ещё и в образном мышлении (двух и трехмерное представление по решаемой задаче). Спасибо большое! Лайк и подписка! Безусловно ознакомлюсь с другими вашими материалами на канале!
🙏🏻 Может и среди других лекций найдете что-нибудь интересное...
Сама учительница, по теорий вероятности всегда путаюсь, забываю. Спасибо вам, за ваш труд.
Пожалуйста!)
СПАСИБО ТЕБЕ, ДОБРЫЙ ТЫ ЧЕЛОВЕК !!!!!!
Пожалуйста!)
большое спасибо за ролики!! изучаем новую программу в школе, вели вероятность и статистику отдельным уроком. приходится разбираться да и на егэ они будут. все понятно объяснили большое спасибо❤❤❤❤
Пожалуйста!)
Спасибо, приятно смотреть когда учителя решают)))
Пожалуйста!)
Спасибо за лекцию
Пожалуйста!)
Спасибо Вам за эти прекрасные видео, Вы лучший! 🥺
Спасибо!!!!!
Пожалуйста!)
Большое спасибо Вам за Вашу работу! Сейчас вспоминаю математику, почти забытую со времен школы, и с Вашими видео это очень увлекательно
Пожалуйста!)
Спасибо за ясность в решениях задач. Очень хотелось бы увидеть на вашем канале решение задачи про парадокс дня рождения именно через геометрическое предоставление, как отношение площадей соответствующих событий/гипотез. Распространенное решение через 1-p(несовпадения) не очень наглядно для понимания. Т.е что тут рассмотреть как несовместные гипотезы - пары? Если вы уже делали такое видео, прошу дать ссылку. Спасибо.
такого видео нет на канале. может однажды...
здоровья вам большого
🙏🏻
Очень круто
Добрый день. Скажите пожалуйста, событие H(i) не правильнее было определить как k/n+1, где k - количество белых шаров из начально ?
Здравствуйте! укажите, пожалуйста, время по видео, где про это речь. Не помню уже про что там было(((
@@elemath сори, 1 задача, 15-я минута...
@@vadimtikhonov3131Если Вы не меняете смысла Н(i) - изначальное количество белых шаров в урне равно i, то так как все случаи по числу белых шаров равновероятны по условию задачи, то вероятности (а речь в Вашем вопросе похоже идет именно о вероятностях) всех этих Н(i) должны быть одинаковы, т.е. они (вероятности) не зависят от изначального количества белых шаров в урне. Иными словами, вероятность, что в урне два белых шара должна совпадать с вероятностью, что в урне, например, 10 белых шаров. А в Вашем предположении - зависят. Кроме того сумма вероятностей всех Н(i) должна быть равна 1. А в Вашем предположении чему она равна?!
@@elemath Добрый день, Игорь. Хорошо, спасибо. Другой вопрос - по проверке на конкретных значениях, Как работает формула ? Если в корзине изначально было 2 шара и оба белых и добавили белый то вероятность = 1, а по формуле получается 2/3... ?
@vadimtikhonov3131 Вадим, здравствуйте! Вы несколько подменяете условие задачи, добавляя "и оба белых". По условию все события (по цвету шаров) изначально равновероятны, т.е. если шаров 2, то вероятность, что там два белых = вероятности, что белый один = вероятности, что белых нет = ¹/₃. Мы не можем утверждать, что оба шара непременно белые...
Из какого сборника вы берете задачи по теории вероятностей?
уже не вспомню. Может Гмурман или Вентцель, Овчаров. А может Феллер...
Я не понял что означает условие о равновозможности всех возможных предложений. Это не о том, что все шары в урне изначально белые?
что изначально в урне может быть любое количество белых шаров от 0 до n. Цвет других шаров может быть любым, что не имеет значения при выборе гипотез из решения, поэтому из цвет удобно считать "небелым". Это уже обсуждалось. Возможно, условие все же несколько неоднозначно сформулировано, но какое есть...
@@elemath спасибо большое
That's great
Вероятность - не площадь, а отношение площади к площади всей фигуры)
Площадь всей фигуры равна 1)
Задачка 1. Условие о равновероятном распределении цветов бесполезно без указания того, какие вообще шары/цвета бывают. При количестве возможных цветов больше 2 предложенные гипотезы не равновероятны.
Так как все цветовые комбинации в урне равновероятны, то и те, которые образовали нашу полную группу также равновероятны, независимо от других шаров и цветов.
Если в урне, например, нет белых шаров, то нет нужды считать все возможные цветовые комбинации из шаров других цветов, т.к. вероятность, что будет 0 белых шаров = вероятности, что будет 1 белый шар (=...).
Если добавить цвета и взять, например, гипотезы: "0 белых, остальные красные" и "0 белых, остальные черные", а все другие как в видео, то они уже не будут образовывать полную группу, хотя и останутся равновероятны.
n = 2
цвета: белый=0, синий=1, красный=2
Вариаций 9:
00, 01, 02
10, 11, 12
20, 21, 22
При этом
H0 (4/9)
H1 (4/9)
H2 (1/9)
________
Или проще
n = 1
цвета: белый=0, синий=1, красный=2
Вариации 3:
0, 1, 2
H0 (2/3)
H1 (1/3)
Если перекрасить все не белые шары в "небелый" цвет. Тогда при n=1 будет две комбинации НН и БН.
Удачно выбранные гипотезы упрощают решение, а Ваш путь с независимыми цветами в общем случае не приведет к решению (цветов может быть сколько угодно), хотя в каждом конкретном случае ответ должен получиться.
у вас доска новая, большая...Через год наверное еще больше будет)
нет, не будет. метр на полтора - для меня максимальный размер. так что новая доска (с середины апреля) такая же
и про больницу, по-моему,самые невеселые задачи
есть такое
.. в прошлом году прошли зима, весна и лето.
Эти 3 события несовместные или независимые?
...конечно хотелось бы, чтобы эти три события .".. в прошлом году прошли зима, весна и лето."
были несовместными, а ещё лучше, если бы они образовывали полную группу несовместных
событий, и тогда пряснился бы вопрос о несовместности некоторых событий, связанных с
работой мотора холодильника. Однако все перечисенные выше события, несмотря на холод,
слякоть и нестерпимую жару, произошли, а значит вероятность каждого из них равна 1,
и сумма вероятностей зтих событий равна 3, что никак не соответствует вероятности
четвёртого события ( в прошлом году прошли и зима и весна и лето.), равной 1.
Но если нйти произведение вероятностей первых трёх событий 1*1*1, то получим
1- вероятность четвёртого события.А это свидетельствует о первых трёх событий.
наступит весна и трава вырастет сама по себе...
@@elemath ... а с другой стороны: события "зима, весна и лето". не происходят одновременно,
значит они несовиестные и каждое из них происходит с вероятностью 1/3, тогда сумма
вероятностей всех событий 1/3+ 1/3+ 1/3 равна 1; события "зима, весна и лето" образуют
полную группу несовместных событий....т.е.. события "зима, весна и лето" -
несовместно- независимые события...?
...но три события не могут быть и несовместными и независимыми, вэтом случае между
ненулевыми вероятностями р1, р2 и р3 этихх событий должно быть справедливо равенство
р1+ р2+ р3 = р1*р2*р3, или р1*(1- р2*р3) + р2 + р3 =0, но оно неверно, т.к. 1 - р2*р3 не меньше 0,
а р2 и р3 положительные числа...
... очевидно, что три события с ненулевыми вероятностями р1, р2 и р3 не могут быть
и несовместными и независимыми, т.к. вэтом случае должно выполнаться равенство
р1 + р2 + р3 = р1* р2* р3 или р1*(1- р1* р2) + р2 + р3=0, но оно неверно т.к. 1- р1*р2
принимает неотрицательное значение.
Так какие всё же события "зима, весна и лето"-несовместные или независимые?
...процесс появления любой цифры 1 2 3 4 5 и 6 при бросании игрального кубика
не детерменирован в временном промежутке, наприер цифра 2 может появиться
и при первом и при втором и... при любом по счёту бросании кубика.
А климатические события "зима, весна и лето"-наступаают в определённом порядке:
первой наступает зима, потом весна и только потом лето, позтоому для нахождения
вероятности события "в прошлом году прошли зима, весна и лето". удобно воспользоваться
формулой дла нахождения условной вероятности события: ( р(З), р(В) и р(Л)- соответственно
вроятности прохождения зимы, весны и лета); вероятность прохождения весны при условии,
что прошла зима р(В/З) = р(З*В)/ р(З), вероятность прохождения лета при условии, что прошла
весна р(Л/ЗВ) = р(З*В*Л)/ р(З*В), значит р(З*В*Л)= р(Л/ЗВ)* р(В/З)* р(З) = р(Л)* р(В)* рЗ),
равенство р(З*В*Л) = Р(З)* р(В)* р(Л) удостоверяет независимость событий
"в прошлом году прошли зима, весна и лето.
" События "успешная работа мотора холодильника
более 1 года, ноне более 2 лет и успешная работа мотора более 2 лет" так же
являются независимыми!
...действительно: ( пусть р(1;2) р(2) и р(1)- соответственно вероятности успешной
работы мотора более 1года, но не более 2 лет, более 2 лет и , более 1 года, тогда
по формуле для условной вероятности события р(2) = р(1;2* 2)/ р(1;2) = р(1)/р(1;2)
или р(1;2)* р(2)= р(1), что свидетельствует о независимости событий
успешная работы мотора более 1года, но не более 2 лет, и успешная работы мотора более 2 лет
пример 1 : на конец 2года осталось 80, успешно работающих моторов из 100 на начало второго года,
а на конец наблюдения за моторами осталось 60 успешно работающих моторов из 80 на начало
3 года, тогда р(1;2) =80/100 =0,8 р(2)=60/80 =0,75 и р(1)=60/100= 0,6 равенство р(1;2)* р(2)= р(1)
примет вид 0,8* 0,75 = 0,6, оно верно
пример 2:
на конец 2 года осталось n, успешно работающих моторов из m на начало второго года,
а на конец наблюдения за моторами осталось k успешно работающих моторов изn на начало
3 года, тогда р(1;2) =n/m р(2)=k/n и р(1)=k/n равенство р(1;2)* р(2)= р(1)
примет вид n/m * k/n =k/n, оно верно
какая плохая больница
Одно непонятно, чем по этим задачам отличаются понятия доли и вероятности. на графиках вы рисуете доли, площади, объемы называя их вероятностями, хотя эти понятия всегда имеют точное числовое значение, а понятие вероятности - лишь предполагает, отсюда и непонимание условий у большинства нормальных людей этой темы. Неужели наш русский язык настолько беден, что не смогли подобрать более корректного слова для таких задач.
если кратко, то ничем не отличаются, а попытка найти отличие порой и порождает недопонимание.
А мне кажется, что в задачи по вероятности включают условия, которые не совсем подходят под само понятие вероятности. Если нужно найти площадь или объем, это уже должен быть другой тип задач. Ведь, согласитесь, "вероятность дождя, где все решает фортуна, кардинально будет отличаться от вероятности доли в квартире, где все решает обычная математика. А у нас же смешали все!))) @@elemath Спасибо за разбор задач. выписывая очень кратко условия задач, понимаешь, что они могут быть также разбиты на разные типы, т.е можно не придумывать ситуации - а сделать их схематичными. Например " фразы "кости кинули" заменить сразу словами "событие" ,"объект", положительный исход, отрицательный и т.п. и разбирать только вариации разных событий. А все эти сочинения про Вась и Петь для гуманитариев - только лишний шум. Я, например, когда читаю в условиях про стрелков- в голову сразу приходит подмножество других условий, которые в задаче не описаны, но включается здоровая жизненная логика и это уже мешает думать математически.
@TatyYar1 площадь или объем - лишь интерпретации. я бы порекомендовал Вам начать с первых лекций плейлиста Элементы Теории вероятностей. Возможно они помогут сформировать верное понимание. Удачи!
Просьба посмотрите , геометрическая квадратура круга точность +0,0002, на моем канале