Я достраивал треугольник до равнобедренного ("удвоил" его) и выразил радиус по формуле такового для вписанной окружности, т.е. частное от деления площади на полупериметр: R=BC*AC/(AB+BC), преобразуем R=х*(R+у)/(10+х). Затем в исходном треугольнике из т. О опустил перпендикуляр ОD к АВ, и в получившемся треугольнике АОD выразил радиус через подобие с исходным (АВС) R: R/(10-x)=x/(R+y). В обоих равенствах выражаем R+y и приравниваем, избавляясь т.о. от "y". Затем в полученном равенстве R^2*(10+x)=x^2*(10-x) меняем множитель R^2, т.к. R^2=45-x^2. Получаем в конечном счёте кв. ур-е 4x^2-9x-90=0, х=6 (2-й корень х=-3,75 НЕ подходит). А дальше уже находим по т-ме Пифагора с упомянутым ур-ем R=3.
Весьма интересная задача. Далеко не сразу получилось решить. Решение геометрическое через подобие. 1. КB=BC=x; АК=10-х; полуокружность пересекает АО в точке М и пусть МК=у 2. Четырёхугольник ОКВС вписанный. Угол КВО равен углу ОВС, равен углу ОСК, который равен углу АКМ (по св-ву касательной и секущей). 3. Тр-к АКМ подобен АВО, получаем первое соотношение: 10/3√5=(10-х)/у 4. Тр-к МКС подобен ОВС, получаем второе соотношение: у/2r=r/3√5 5. Из тр-ка ОВС по т.П.: 45=r^2+x^2 6. Решая три ур-я совместно, приходим к ур-ю: 4*х^2-9х-90=0, откуда х=6 7. Из п.5 находим r=3 Касательно кубического уравнения. При делении уголком кубического ур-я 4*а^3+31*а^2-180а-900=0 на (х-6) получится выражение: 4*а^2+55а+150, корни которого а1=-10; а2=-3.75; т.е. оба не подходят.
Проведем полную окружность и построим тр. DBL с вписанной в него окружностью .Продолжим биссектрису ОВ до пересечения с DL в т.М . Из т.О опустим перпендикуляр на DL в т.N .Тр.ОВС и тр. МОN подобны. В т.О биссектриса ВМ делится на отрезки ОВ=2/3ВМ и МО=1/3ВМ , откуда ОМ= ОВ/2. Составим пропорцию ОВ/ВС как ОМ/R , откуда ВС=2R . Из тр.ОВС по т.Пифагора ОВ^=R^+(2R)^=5R^=45, откуда R=3.
Для прямоугольного треугольника длина биссектрисы L^2 = 2ca^2/(a+c), для египетского L=3k√5/2 со сторонами 3k;4k;5k, в нашем случае 3√5= 3k√5/2, т.е. k=2, стороны 6;8;10. Радиус вписанной окружности r=k, при k=3 стороны 9;12;15, а r=3, обрезаем этот треугольник по диаметру и получаем наш ∆АВС.
Если использовать формулу длинны биссектрисы острого угла прямоугольного треугольника l = b*√2c/(c+b), то можно сразу найти катет ВС. ВО^2 = 2* ВС^2 * AВ/(AB + BC), пусть ВС = x 45 = 20*x^2/(10+x) 20x^2 - 45x - 450 = 0 x=6 А дальше по теореме Пифагора R^2 + BC^2 = BO^2 R = √(45-36) = 3
Но ведь сказано, что надо решить максимально геометрически, т.е. без тригонометрии и АЛГЕБРЫ, точнее сведя её к минимуму и БЕЗ специальных формул. А так хорошо. Для тех, кто уже решал много задач, подобные в уме решаются исходя из известных и знакомых соотношений.
Геометрически слишком громоздко получается у Вас. Там если К соединить с левым "углом" полуокружности, то эта линия параллельна ВО (доказывается, а не просто пристальный взгляд), ну и там далее подобия.
1. Вы неправильно разделили. Если столбиком, то предпоследний остаток равен (55*а^2-180*а)-(55*а-330)=+150*а 2. Решал тоже алгебраически. Из подобия АКО и АВС получаем R^2*(a+10)=a^2*(10-a). Заменяя R^2 на (45-а^2), получим 20*а^2-45*а-450=0. Откуда а=6 и R=3 Ответ:3 А было бы красиво получить геометрически а/R=2:1
Можно выразить биссектрису через стороны а,с и косинус половинного угла.Затем выразить косинус как отношение а к длине биссектрисы. Тогда получим , что квадрат биссектрисы равен 2а в квадрате умножить на с и разделить на с+а.Возьмем теперь производную от квадрата биссектрисы .Легко видеть что при любом значении а она положительна.Это значит,что квадрат биссектрисы монотонно возрастающая функция от а.То есть данное значение квадрата биссектрисы,а значит и самой биссектрисы достигается при единственном значении а.То есть,если задана гипотенуза и биссектриса угла В,то катет а определен однозначно,а по гипотенузе и катету однозначно определен прямоугольный треугольник АВС.
там +150, а не -150 должно быть. Нужно просто внимательнее многочлены друг на друга делить :) В исходном кубическом уравнении свободный член отрицательный, значит если разложить на произведение двух многочленов, то в этих двух свободные члены должны иметь разный знак. Юрий Никулин такую шутку рассказывал: Заглядываю под стол, там 5 ног, как такое может быть? после нескольких версий ответов: Обсчитался просто.
Обычно я не комментирую повторы, но сейчас изменю себе. Ваше кубическое ур-е калькулятор решает так: a₁ = 6, а₂ = -3,75, а₃ = -10. Осмелюсь предположить, что ошибаетесь Вы, а не калькулятор. Скорее всего, ошибка в разложении, т. к. при перемножении Ваших скобок получается: 4а³ + 31а² - 480а + 900 = 0. И здесь калькулятор даёт Ваш ответ (почти): а₂ ≈ 2,3318. Вышеизложенное подтверждает: чудес не бывает. Прямоугольный тр-к определяется двумя любыми элементами ОДНОЗНАЧНО.
То есть, вы предлагаете мне придумать еще 1000 новых первоклассных геометрических задач или 10 зрителей, котрые с основания канала? А новых зрителей (а их добавилось 20 тыс) оставить без красивых задач? Все верно?
@@GeometriaValeriyKazakov Отнюдь! Всё неверно. Я ничего не предлагаю, и, тем более, ни в чём Вас не укоряю. Вы хозяин канала, Вам виднее. P. S. Не комментирую - не значит, что не ставлю лайки.
@@adept7474 Договорились. У меня вот проходимец "Этому не учат в школе" ворует мои лучшие ролики и выкладывет на ДЗЕН один за другим. И получает огромные донаты! Вот это проблема.
Я достраивал треугольник до равнобедренного ("удвоил" его) и выразил радиус по формуле такового для вписанной окружности, т.е. частное от деления площади на полупериметр: R=BC*AC/(AB+BC), преобразуем R=х*(R+у)/(10+х). Затем в исходном треугольнике из т. О опустил перпендикуляр ОD к АВ, и в получившемся треугольнике АОD выразил радиус через подобие с исходным (АВС) R: R/(10-x)=x/(R+y).
В обоих равенствах выражаем R+y и приравниваем, избавляясь т.о. от "y". Затем в полученном равенстве R^2*(10+x)=x^2*(10-x) меняем множитель R^2, т.к. R^2=45-x^2.
Получаем в конечном счёте кв. ур-е 4x^2-9x-90=0, х=6 (2-й корень х=-3,75 НЕ подходит). А дальше уже находим по т-ме Пифагора с упомянутым ур-ем R=3.
Весьма интересная задача. Далеко не сразу получилось решить. Решение геометрическое через подобие.
1. КB=BC=x; АК=10-х; полуокружность пересекает АО в точке М и пусть МК=у
2. Четырёхугольник ОКВС вписанный. Угол КВО равен углу ОВС, равен углу ОСК, который равен углу АКМ (по св-ву касательной и секущей).
3. Тр-к АКМ подобен АВО, получаем первое соотношение: 10/3√5=(10-х)/у
4. Тр-к МКС подобен ОВС, получаем второе соотношение: у/2r=r/3√5
5. Из тр-ка ОВС по т.П.: 45=r^2+x^2
6. Решая три ур-я совместно, приходим к ур-ю: 4*х^2-9х-90=0, откуда х=6
7. Из п.5 находим r=3
Касательно кубического уравнения. При делении уголком кубического ур-я 4*а^3+31*а^2-180а-900=0 на (х-6) получится выражение: 4*а^2+55а+150, корни которого а1=-10; а2=-3.75; т.е. оба не подходят.
Проведем полную окружность и построим тр. DBL с вписанной в него окружностью .Продолжим биссектрису ОВ до пересечения с DL в т.М . Из т.О опустим перпендикуляр на DL в т.N .Тр.ОВС и тр. МОN подобны. В т.О биссектриса ВМ делится на отрезки ОВ=2/3ВМ и МО=1/3ВМ , откуда ОМ= ОВ/2. Составим пропорцию ОВ/ВС как ОМ/R , откуда ВС=2R . Из тр.ОВС по т.Пифагора ОВ^=R^+(2R)^=5R^=45, откуда R=3.
Перепроверьте решение. После системы уравнений у меня осталось только квадратное 4a2-9a-90=0
Для прямоугольного треугольника длина биссектрисы L^2 = 2ca^2/(a+c), для египетского L=3k√5/2 со сторонами 3k;4k;5k, в нашем случае 3√5= 3k√5/2, т.е. k=2, стороны 6;8;10. Радиус вписанной окружности r=k, при k=3 стороны 9;12;15, а r=3, обрезаем этот треугольник по диаметру и получаем наш ∆АВС.
Если использовать формулу длинны биссектрисы острого угла прямоугольного треугольника l = b*√2c/(c+b), то можно сразу найти катет ВС.
ВО^2 = 2* ВС^2 * AВ/(AB + BC), пусть ВС = x
45 = 20*x^2/(10+x)
20x^2 - 45x - 450 = 0
x=6
А дальше по теореме Пифагора R^2 + BC^2 = BO^2 R = √(45-36) = 3
Но ведь сказано, что надо решить максимально геометрически, т.е. без тригонометрии и АЛГЕБРЫ, точнее сведя её к минимуму и БЕЗ специальных формул. А так хорошо. Для тех, кто уже решал много задач, подобные в уме решаются исходя из известных и знакомых соотношений.
Геометрически слишком громоздко получается у Вас. Там если К соединить с левым "углом" полуокружности, то эта линия параллельна ВО (доказывается, а не просто пристальный взгляд), ну и там далее подобия.
1. Вы неправильно разделили.
Если столбиком, то предпоследний остаток равен (55*а^2-180*а)-(55*а-330)=+150*а
2. Решал тоже алгебраически. Из подобия АКО и АВС получаем R^2*(a+10)=a^2*(10-a). Заменяя R^2 на (45-а^2), получим
20*а^2-45*а-450=0. Откуда а=6 и R=3
Ответ:3
А было бы красиво получить геометрически а/R=2:1
Разложение кубичного многочлена неправильное.
Правильное такое: (a - 6)(4a^2 + 55a + 150) = 0; (т. е. перед 150 должен стоять плюс).
4a^2 + 55a + 150 = (a + 10)(4a + 15).
Можно выразить биссектрису через стороны а,с и косинус половинного угла.Затем выразить косинус как отношение а к длине биссектрисы. Тогда получим , что квадрат биссектрисы равен 2а в квадрате умножить на с и разделить на с+а.Возьмем теперь производную от квадрата биссектрисы .Легко видеть что при любом значении а она положительна.Это значит,что квадрат биссектрисы монотонно возрастающая функция от а.То есть данное значение квадрата биссектрисы,а значит и самой биссектрисы достигается при единственном значении а.То есть,если задана гипотенуза и биссектриса угла В,то катет а определен однозначно,а по гипотенузе и катету однозначно определен прямоугольный треугольник АВС.
Красивая задача. Для отличников. ОК|_АВ, ОВ--биссект. Пусть АК=х, ОС=r=ОК. Отсюда: 10--x=3\/5*cosB/2. CosB/2=\/(1+cosB)/2. Сл-но, после подстановки: 4x^2--71x+220=0. х=4. КВ=6, r=3(Пифаг).
Претендовал на оригинальность решения, посмотрел комменты--не претендую...😜
P. S. Четвертое действие можно упростить:
sin(b) = sqrt(1 - 4/5) = 1/sqrt(5); r = OC = OB*sin(b) = 3*sqrt(5)/sqrt(5) = 3. (!!)
там +150, а не -150 должно быть. Нужно просто внимательнее многочлены друг на друга делить :) В исходном кубическом уравнении свободный член отрицательный, значит если разложить на произведение двух многочленов, то в этих двух свободные члены должны иметь разный знак. Юрий Никулин такую шутку рассказывал: Заглядываю под стол, там 5 ног, как такое может быть? после нескольких версий ответов: Обсчитался просто.
А также в тригонометрическом решении есть лишний шаг, AC находить не нужно, в треугольнике OBC есть всё необходимое: диагональ и косинус угла.
Тоже решал через косинус двойного угла:
cos β = a/(3√5)
cos 2β = a/10.
cos 2β = 2cos²β - 1.
a/10 = 2(a²/45) - 1 |•90
9a = 4a² - 90.
Тут хороший дискриминант. Нас интересует положительный корень квадратного уравнения. Он равен 6. Имеем Египет.
Дальше всё по лекалам: удваиваем треугольник, полупериметр 10 + 6 = 16, высота 8, площадь 6•8 = 48, искомый радиус r = S/p = 48/16 = 3.
Отлично.
а= 8/3 не является решением системы. Из формул длины биссектрисы и её свойств у квадратного уравнения 4а^2 -9a-90=0 один положительный корень а = 6.
KB=BC=t... св-во биссектр AO/10=r/t... AO=10r/t...пиф треуга АКО (10-t)^2+r^2=100r^2/t^2... r^2=(10-t)^2*t^2/(100-t^2)... пиф треуга ОВС ((10-t)^2*t^2)/(100-t^2) + t^2=45... t=6...r=3
отличное решение) не догадался я двойной косинус усмотреть... пришлось ур-е 4-й степени мучать... ну и поделом
Спасибо.
не понимаю, как OC получилось ab/(a+10)?
делим число b в отношении a:10 (это 5 класс).
@@GeometriaValeriyKazakovто есть по свойству биссектрисы?
Обычно я не комментирую повторы, но сейчас изменю себе.
Ваше кубическое ур-е калькулятор решает так: a₁ = 6, а₂ = -3,75, а₃ = -10.
Осмелюсь предположить, что ошибаетесь Вы, а не калькулятор.
Скорее всего, ошибка в разложении, т. к. при перемножении Ваших скобок
получается: 4а³ + 31а² - 480а + 900 = 0. И здесь калькулятор даёт Ваш ответ (почти):
а₂ ≈ 2,3318.
Вышеизложенное подтверждает: чудес не бывает.
Прямоугольный тр-к определяется двумя любыми элементами ОДНОЗНАЧНО.
То есть, вы предлагаете мне придумать еще 1000 новых первоклассных геометрических задач или 10 зрителей, котрые с основания канала? А новых зрителей (а их добавилось 20 тыс) оставить без красивых задач? Все верно?
@@GeometriaValeriyKazakov Отнюдь! Всё неверно. Я ничего не предлагаю,
и, тем более, ни в чём Вас не укоряю. Вы хозяин канала, Вам виднее.
P. S. Не комментирую - не значит, что не ставлю лайки.
@@adept7474 Договорились. У меня вот проходимец "Этому не учат в школе" ворует мои лучшие ролики и выкладывет на ДЗЕН один за другим. И получает огромные донаты! Вот это проблема.
@@GeometriaValeriyKazakov Сочувствую, но ничем помочь не могу.
У меня нет знакомого киллера.
@@adept7474