Anche se effettivamente non influisce sul risultato finale, la derivata della funzione esponenziale è generalmente (a^x)*ln(a) quindi nell'ultimo limite al denominatore dovrebbe esserci: ((1,1)^x)*(ln(1,1))^2019 non ((1,1)^x)*(1,1)^2019, o sbaglio?
Il primo quesito si poteva anche dimostrare dicendo che x e' ovvia soluzione, ed e' anche unica perche' se x>0 la somma delle potenze dispari e' positiva. Se x
Anche io ho fatto più o meno lo stesso ragionamento: essendo gli esponenti tutti dispari, per x>0 tutti gli addendi sono positivi (e quindi la somma è > 0), il contrario per x
formalmente nella dimostratione con de l‘hôpital, manca la parte in cui si dimostra che ogni derivata è una forma indeterminata inf/inf e quindi la catena di limiti tutti uguali una volta risolto l‘ultimo. In linea di principio infatti non si puó passare alla derivata n-esima e trarre conclusioni sul limite originale.
beh, in ogni step intermedio hai comunque un polinomio con coefficienti tutti positivi sopra (che quindi tende a +inf se x tende a +inf) e sotto qualcosa della forma log^k(a)*1.1^x, quindi sempre inf/inf
Notando che la g(x),con qualche piccola modifica, si può ricondurre a una serie geometrica, si riesce a dimostrare molto tranquillamente la soluzione banale x=0. Allora, conoscendo il valore della g(x) il limite diventa semplice. Sbaglio? Grazie prof.
Alla fine (come spiegazione nel video intendo non nella risoluzione del quesito)ci poteva anche stare una rappresentazione grafica delle due funzioni polinomiale ed esponenziale in modo da far "capire" in modo visivo il perché i due infiniti sono di ordine diverso per x che tende a infinito
OK visto su wiki: De l'Hôpital è chiamato indistintamente "l'Hospital" e "l'Hôpital". Il marchese era solito usare la forma con la 's'; ma in francese la parola ha preso a scriversi senza 's' (comunque muta in questa parola) e con un accento circonflesso sulla vocale precedente.
Detta così è un po' debole...x^3-4x è una somma di potenze dispari di x, ma si scompone in x(x^2-4) e quindi in x(x-2)(x+2). È importante che i coefficienti siano tutti positivi, in modo che la scomposizione diventa, come nel video, x(1+[somma di coefficienti positivi e potenze pari]), che è sempre positiva appunto. Praticamente, il motivo per cui quanto affermi tu è vero (al netto della precisazione sul segno dei coefficienti) è proprio che raccogliendo x resta una somma di potenze pari con coefficienti positivi..quindi anziché dire che è vero ha fatto vedere il perché
A be la derivata sempre positiva per ogni reale un polinomio è continuo in tutto R . Il limite fa 0 perché l'esponenziale è di ordine superiore rispetto ai polinomi
Mi scuso per la precisazione "pedante": per la verità l'equazione "impossibile" perché sempre positiva, in realtà si annulla per valori complessi (con relativi coniugati, ed eventuali molteplicità). Qui entra in gioco il teorema fondamentale dell'algebra, che dimostra che un polinomio di grado n si annulla sempre per n valori (che possono essere reali e/o complessi, etc. con relative molteplicità)
Quindi chi passa la maturità dovrebbe essere un fenomeno,uno scienziato,ma allora come mai siamo circondati da idiotismo giovanile nella migliore delle ipotesi?
@@ValerioPattaroquando Ella ha ricordato il teorema dell’analisi matematica faccio rilevare che (almeno negli anni 80) non faceva parte del programma di matematica quindi non è così facile a meno che in quinta liceo oggi non si studino elementi di analisi 1. Ai miei tempi arrivavi al teorema di Lagrange di Rolle e di De l’hopital. Oltre non si andava.
L’ordine degli infiniti si fa nello studio dei limiti di funzione. È noto che la funzione esponenziale tende a infinito più velocemente di qualunque polinomio.
@@ValerioPattaro buon giorno professore ringrazio sentitamente per la Sua cortese disponibilità a rispondermi. Continui così ed arrivederci al prossimo video.
Molto ben risolto, bravissimo!
Anche se effettivamente non influisce sul risultato finale, la derivata della funzione esponenziale è generalmente (a^x)*ln(a) quindi nell'ultimo limite al denominatore dovrebbe esserci: ((1,1)^x)*(ln(1,1))^2019 non ((1,1)^x)*(1,1)^2019, o sbaglio?
Ho dimenticato di digitare ln alla fine
Il primo quesito si poteva anche dimostrare dicendo che x e' ovvia soluzione, ed e' anche unica perche' se x>0 la somma delle potenze dispari e' positiva. Se x
Anche io ho fatto più o meno lo stesso ragionamento: essendo gli esponenti tutti dispari, per x>0 tutti gli addendi sono positivi (e quindi la somma è > 0), il contrario per x
formalmente nella dimostratione con de l‘hôpital, manca la parte in cui si dimostra che ogni derivata è una forma indeterminata inf/inf e quindi la catena di limiti tutti uguali una volta risolto l‘ultimo. In linea di principio infatti non si puó passare alla derivata n-esima e trarre conclusioni sul limite originale.
beh, in ogni step intermedio hai comunque un polinomio con coefficienti tutti positivi sopra (che quindi tende a +inf se x tende a +inf) e sotto qualcosa della forma log^k(a)*1.1^x, quindi sempre inf/inf
@@ilmionomenonloso si, ma il punto non è che non è giusto, ma che non è correttamente giustificato.
@@tomtomspa sì, intendevo che effettivamente è abbastanza ovvio perché ad ogni iterazione si ripresenta la stessa "struttura"
Notando che la g(x),con qualche piccola modifica, si può ricondurre a una serie geometrica, si riesce a dimostrare molto tranquillamente la soluzione banale x=0.
Allora, conoscendo il valore della g(x) il limite diventa semplice.
Sbaglio? Grazie prof.
Mi e' piaciuto. Il secondo quesito e la dimostrazione era un po' difficile eh... Bisogna davvero conoscere l' analisi bene
Non direi, è una somma di monomi/esponenziali
Alla fine (come spiegazione nel video intendo non nella risoluzione del quesito)ci poteva anche stare una rappresentazione grafica delle due funzioni polinomiale ed esponenziale in modo da far "capire" in modo visivo il perché i due infiniti sono di ordine diverso per x che tende a infinito
Volevo chiederle se a conoscenza di un programma che conta ed elenca tutte le combinazioni di tot numeri ( calcolo combinatorio) .
Bella spiegazione come sempre!
Vorrei sapere qual'e il nome del teorema. Grazie!
Ordini di infinito e confronto tra infiniti
Perché il ln(a) è =1.1 nel denominatore dell'ultima espressione?????
Scusate, come avevo scritto in un altro commento è un refuso. Ho dimenticato di scrivere “ln“
Sei un grande prof.
Bellissimo grazie. Solo un appunto: il teorema è quello di de l'Hôpital senza "s", o sbaglio?
OK visto su wiki: De l'Hôpital è chiamato indistintamente "l'Hospital" e "l'Hôpital". Il marchese era solito usare la forma con la 's'; ma in francese la parola ha preso a scriversi senza 's' (comunque muta in questa parola) e con un accento circonflesso sulla vocale precedente.
L’ho scritto nel primo modo perché non trovavo l’accento circonflesso sulla tastiera
Nella prima parte sarebbe stato sufficiente dire che una somma di solo termini variabili ad esponenti dispari si annulla sempre e solo per x=0?
Detta così è un po' debole...x^3-4x è una somma di potenze dispari di x, ma si scompone in x(x^2-4) e quindi in x(x-2)(x+2). È importante che i coefficienti siano tutti positivi, in modo che la scomposizione diventa, come nel video, x(1+[somma di coefficienti positivi e potenze pari]), che è sempre positiva appunto.
Praticamente, il motivo per cui quanto affermi tu è vero (al netto della precisazione sul segno dei coefficienti) è proprio che raccogliendo x resta una somma di potenze pari con coefficienti positivi..quindi anziché dire che è vero ha fatto vedere il perché
Mi sembra ci sia un errore nel limite dove (1.1)^2019 dev'essere sostituito con ln(1.1)^2019
Sì nell’ultimo passaggio ho dimenticato il simbolo di logaritmo, ma il risultato finale è lo stesso
A be la derivata sempre positiva per ogni reale un polinomio è continuo in tutto R . Il limite fa 0 perché l'esponenziale è di ordine superiore rispetto ai polinomi
Se invece il limite tendesse a -∞?
Scusi prof cmq nella seconda parte il (lna)^2019 non può essere (1,1)^2019 ma un numero infinitamente piccolo che cmq non influisce sul risultato!
Sì, il fattore costante al denominatore è (ln 1,1)^2019. Il ragionamento comunque non dipende dal valore di tale costante e quindi non cambia.
@abramosia sì, ho dimenticato un “ln” nell’ultimo passaggio.
Però non influisce sul limite, è sempre una costante fratto una funzione illimitata
Mi scuso per la precisazione "pedante": per la verità l'equazione "impossibile" perché sempre positiva, in realtà si annulla per valori complessi (con relativi coniugati, ed eventuali molteplicità). Qui entra in gioco il teorema fondamentale dell'algebra, che dimostra che un polinomio di grado n si annulla sempre per n valori (che possono essere reali e/o complessi, etc. con relative molteplicità)
Infatti il problema specifica che x0 appartiene ad R
Quindi chi passa la maturità dovrebbe essere un fenomeno,uno scienziato,ma allora come mai siamo circondati da idiotismo giovanile nella migliore delle ipotesi?
In che senso dovrebbe essere un fenomeno?
È un quesito abbastanza facile
@@ValerioPattaroquando Ella ha ricordato il teorema dell’analisi matematica faccio rilevare che (almeno negli anni 80) non faceva parte del programma di matematica quindi non è così facile a meno che in quinta liceo oggi non si studino elementi di analisi 1. Ai miei tempi arrivavi al teorema di Lagrange di Rolle e di De l’hopital. Oltre non si andava.
L’ordine degli infiniti si fa nello studio dei limiti di funzione. È noto che la funzione esponenziale tende a infinito più velocemente di qualunque polinomio.
@@ValerioPattaro buon giorno professore ringrazio sentitamente per la Sua cortese disponibilità a rispondermi. Continui così ed arrivederci al prossimo video.