では www.amazon.co.jp/Proofs-BOOK-Martin-Aigner/dp/3662442043 の 210 ページより引用します。 以下、(1) とは area(c_1 + c_2, d) = area(c_1, d) + area(c_2, d) という式、(2) とは area(R) = Σ_squares (□) という式です。 > Just note that by (1) area(R) equals the sum of the areas of all small rectangles in the extended tiling. Since any such rectangle is in exactly one square of the original tiling, we see (again by (1)) that this sum is also equal to the right-hand side of (2).
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![[Eng Sub] You Shouldn’t Change Order of Σ | Double Series](/img/n.gif)
「意図は分からないけど意味は分かる」
この言葉良い…。今後使ってこう。
この証明と同じ手法を使って、「2辺の長さが有理数の長方形を有限個の正方形で敷き詰めるならば、各正方形の辺の長さもまた有理数」も示せそうですね
有理数に0、無理数の基底に1を割り振れば全体の面積が0となりできそうですね
gcd(有理数, 無理数)を考えている雰囲気だけはわかりました（適当）
数論やってると思ったら線形代数が出てきて面白い！
四畳半神話大系のエンディングみたい
基底という言葉が出てきたところで詰まりました
大学数学で理解できるようになるんてすかね？
楽しみです。
うぽつです！美しい！！
以前告知してたEDPCの解説動画って…
ありがとうございます！
すみません、6月に出す……つもりです。（順調にいけば 6/14（金）あたりです。）
@@evimalab 頑張ってください！！
面積は大体正だから、(外の？)√2を-1に置き換えて1×√2の面積を特別に負とできる。そして置き換え後も正方形の面積は二乗≧0で確かに矛盾。
ここで更なる矛盾が見つかればその面積計算が成り立たないが、1と√2は有理数係数で基底になれるので（p=-q√2はp=q=0のみ）線形性がちゃんと成り立って無矛盾。
面積(1+√2)が0と見なされるみたいな圧縮はあっても、その面積計算上では何の問題もない。確かに可能性減るだけなら矛盾は起きなくて、逆に複数の可能性に分岐した時が危ないって感じ。
唐突な操作に狼狽えましたが考えてみればなるほど面白いですね。動画投稿ありがとうございます！
あーそういうことね完全に理解した
fが凄すぎワロタ
もっと初等的な証明がありそうな雰囲気はするけど、こんな証明がなされてるってことは無いのか
任意の無理数が有理数と独立なことってこんなことに使えるのか
fの定義がなんじゃこりゃじゃなくて丁寧にされてたらいい動画だった
終始頭の中が？でいっぱいだった
無知でごめんなさい。fの構成の仕方ってどのように決めたんですか？視聴者様の中でも、知っている方いたら教えて、、、、、
逆算すればいい
まず基本方針としては正方形の面積は1辺の2乗だからたとえ長さを-1とかに変換したとしても絶対に正になるわけだけどそれを使って矛盾を起こしたい
そもそもなんで元の長方形の面積は分割した正方形の面積の和で求まるのかを
純粋に計算式から考えると
(正方形の各辺を延長したときの長方形の各辺の分割を
1側の分割を1=a1+...+aN
a側の分割をa=b1+...+bM
また各正方形の1辺をc1,...,cLとする)
1*a
=(a1+...+aN)*(b1+...+bM)
=Σ[i=1~N,j=1~M]aibj ←展開した
=Σ[i=1~L]ci^2 ←適当に結合した
と出来るから
てことは
f(x+y)=f(x)+f(y) (線形性)
がなりたつ変換fをしても
同じ計算ができて
f(1)f(a)
=( f(a1)+...+f(aN) )( f(b1)+...+f(bM) )
=Σ[i=1~N ,j=1~M]f(ai)f(bj) ←展開した
=Σ[i=1~L] f(ci)^2( >=0 ) ←適当に結合した
となる
つまり
a1,..,.aN,b1,...bMとそれらの足し算したものに対して
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(1)f(a)
補足です。
動画後半で出てくるareaっていう関数は、単に長方形に対して何か値を返すだけの関数じゃなくて、有限個の長方形の和集合の形で書ける集合に対して値を返す関数にする必要があると思います。何故かというと、例えば元の長方形が下のように分割されている場合に2:33の議論が回らなくなるからです。(一つの正方形に正方形を何個も追加していって、もとの長方形にする過程で長方形以外の形、つまりareaが定義されていない形を経由せざるを得ないことが観察できると思います)
ロ|⁻⁻⁻⁻|口口
ロ|____||⁻⁻⁻⁻|
|⁻⁻⁻⁻|口|____|
|____|⁻⁻⁻⁻|口
口口|____|口
(以下は大学数学相当の内容を含んでいます。要約すると「長方形を何個かガッチャンコした図形に対してもareaが矛盾なく定義できるよね」ということになります。)
そこで、ℝ^d上のルベーグ測度を構成するときに作る有限加法的測度のアナロジーのような感じで、もとの長方形上の有限加法的集合関数(有限加法的測度のマイナスも許すバージョンみたいなものです)としてのareaを以下のように定義します。
b,c∈V(A) with b
動画中の説明が不明瞭でしたが、area は任意の長方形ではなく c, d ∈ V(A) であるような c × d の長方形のみを引数に取ります。
@@evimalab はい。それは分かっております。areaが長方形のみを因数に取る状況で2:33の等式が成立することをどうやって示せばよいのかが分からなかったため、不器用ですがareaの定義を拡張して考えてみました。
では www.amazon.co.jp/Proofs-BOOK-Martin-Aigner/dp/3662442043 の 210 ページより引用します。
以下、(1) とは area(c_1 + c_2, d) = area(c_1, d) + area(c_2, d) という式、(2) とは area(R) = Σ_squares (□) という式です。
> Just note that by (1) area(R) equals the sum of the areas of all small rectangles in the extended tiling. Since any such rectangle is in exactly one square of the original tiling, we see (again by (1)) that this sum is also equal to the right-hand side of (2).
@@evimalab 「extended tiling」は正方形の辺を延長することで得られる長方形分割のことでしょうか。
area(R)
=Σ_(exended tilingに現れる小さい長方形) area(□)
=Σ_squares area(□)
なので(2)が成り立つという理解で大丈夫ですか？確かにこれならareaの定義を拡張しなくても(2)が示せますね！
ユーグリッドの互除法の乱用で出来そう
分かりやすく解説してくれるのを期待して開いたけど、この説明で分かる人は自分で解けるんじゃないかな…
ゆっくり“解説”って銘打ってるのに何言ってるのかさっぱりすぎる…
> この説明で分かる人は自分で解けるんじゃないかな…
いえ、この問題を自力で解くのは説明を理解するのより遥かに難しいといえます。
（「難問」などと銘打ちませんでしたが、現時点でこのチャンネルの中では一番か二番目に難しく、UA-cam全体でもほぼ最難レベルだと思います。）
fについてなんですが、「f(1)f(a)
ダメだ、関数fの定義以降は酔っ払いには理解できんかった
明日見よう
待ってくれたまえ
ことばの洪水をワッといっきにあびせかけるのは！
矛盾を生み出すために意味を考えないギミックを用意する証明はなんか微妙にモヤッとしますね...
証明に矛盾があるとか分からない部分があるとかじゃなくてなんかこう直感的に捉えにくいというか
a-b√2=0を満たす整数a,bが無い事を示せばいい
√2=a/b (中略) よって題意は示された
（ジョークだとしても）題意を誤解されていると思います。
要するに「有理数の和で無理数を作れると仮定したら矛盾した」って理解で良い？
いいえ
あの…これってfの定義が矛盾しているだけの可能性はないですか？aが無理数かどうかの性質に寄らないというか、全ての正方形の一辺の長さを2つ以上に分類する方法さえあれば、qとaq1に分けて同じことができる気が…
a が無理数であることは {1, a} を V(A) の基底 B に延長する際に使っています。
動画では基底の正確な説明はできませんでしたが、基底は線形独立でなければなりません（今回の場合、何かがほかの何かの有理数倍であってはなりません）。
ja.m.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
@@evimalab ちょっと考えてみます
@@evimalabこのコメントでやっとこの関数を構成した気持ちがわかりました！
先行きを見てから議論を見返すとf(a)=-1やf(b_i)=0 (i >=3) に工夫が見て取れて納得ですね！
1:√2の長方形は黄金長方形で、幾らその時点での最大の正方形を敷き詰めても埋まることは無いから黄金の回転が生まれる……ってことだけ知ってる（）
正方形の2倍の長さに限ればできそう
単純な問題ほど証明が難しかったりするのよな…
言うほど単純か？
◯本太郎「背理法は爆発だ！」
自称、Mr.背理法です