[EM#6] Sommes d'entiers, de carrés et de cubes d'entiers (Démonstration)
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- Опубліковано 19 лис 2017
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Dans cette vidéo, je calcule la somme des premiers entiers naturels, de leurs carrés et de leurs cubes. L'on revoit ainsi la méthode de calcul de la somme des termes d'une suite arithmétique, la formule du binôme de Newton pour faire apparaître une somme télescopique, un raisonnement par récurrence et Honoré de Balzac.
⏱️ Quelques repères temporels:
00:18 Résumé de l'émission
00:38 Calcul de la somme des premiers entiers
02:29 Calcul de la somme des premiers carrés d'entiers
05:15 Calcul de la somme des premiers cubes d'entiers
- 05:35 Méthode #1: raisonnement par récurrence
- 07:57 Méthode #2: splendide raisonnement géométrique !
Lors des explications de la méthode #2, je confonds les formes géométriques carrés et cubes: il s'agit bien de carrés, à chaque fois. Seulement, l'objectif étant de calculer la somme des cubes, mon cerveau a déraillé :-).
🌞 Bonne écoute !
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---- Sources ----
🎨 Portrait de Honoré de Balzac, peinture d'après un daguerréotype de Louis-Auguste Bisson (1842), DeAgostini Picture Library/Scala, Florence.
📜 Honoré de Balzac, Adieu !
![[EM#7] Croissances comparées (Démonstration)](http://i.ytimg.com/vi/KJj2LKBPc5c/mqdefault.jpg)
![[EM#7] Croissances comparées (Démonstration)](/img/tr.png)
![[EM#11] Formule du binôme de Newton (Démonstration)](http://i.ytimg.com/vi/WAfXv5PyJKY/mqdefault.jpg)
Cher spectateur, salutations !
Si tu veux rentrer directement dans le vif du sujet, je te suggère de lire mes livres, qui sont mes produits les plus aboutis:
📘 Les principes d'une année réussie:
amzn.to/33RoTUH
📗 Le petit manuel de la khôlle:
amzn.to/35AeFZ9
Cette émission fait partie de mon défi personnel 100 jours, 100 émissions, entamé le 28 août 2017 [87/100]. Depuis, de l'eau a coulé sous les ponts et la qualité du contenu produit s'est considérablement améliorée. Ainsi, si tu viens d'arriver sur la chaîne, je te recommande le visionnage d'une de mes dernières émissions, qui te donnera une meilleure idée de ce que je produis, ainsi que de la vidéo d'introduction de la chaîne.
🎥 La vidéo d'introduction de la chaîne (2'30''):
ua-cam.com/video/7ywKEsQCwpE/v-deo.html
Enfin, si tu souhaites me contacter, voici comment le faire.
📧 Contact: contact@oljen.fr
🌞 Bonne écoute !
Cher professeur,
J'aimerais savoir si ces manuels sont comme des annales.
Je veux les acheter pour préparer un concours.
Merci
Bravo Monsieur et surtout merci beaucoup. J'ai pas de cours de math, c'est une passion que j'ai découverte récemment, et vous réussissez à me faire comprendre cette vidéo ! Passez une excellente journée
Etant en manque de mathématiques élégantes, cette vidéo est du pain béni !
Merci encore de fournir cette délicate came au grand public :D
Un peu de poésie dans ce monde de brutes. Beau spectacle effectivement! Merci pour vos présentations, c'est du beau travail!
Merci 🙏🏻! Je me rappelle de cette émission, c'était l'une de mes tous débuts sur UA-cam, que de souvenirs 🥳!
omg le référence a balzac c'est trop !
Ca m'a donner envie d'apprendre cette démonstration par coeur !
Mort de rire ! Je ne garantis pas l'effet sur le khôlleur par contre 😢 !
Merci beaucoup pour cette vidéo incroyable, vous êtes mon héros
merci énormément prof !
A chaque vidéo, c est un régal.
Vos élèves sont bien chanceux...
Merci beaucoup 🙏🏻! C'était une vidéo de mes débuts, ça me rappelle bien des souvenirs 😁 !
Très bonne vidéo.
Je rentre en terminale cette année en ayant vu et travaillé le programme, alors je cherchais de quoi rassasier ma soif d'apprentissage... Me voilà comblé ! Votre sensibilité est exquise, merci mille fois.
Merci à toi pour ce gentil commentaire ! Toutes les vidéos estampillées « T » en haut à gauche sur la miniature pourraient t'intéresser, puisqu'elles sont directement conçues pour les étudiants de terminale, mais les « +1 » au même endroit peuvent te permettre d'entrevoir ce qui se cache après le bac, ça peut être chouette aussi 😉.
Merci beaucoup
merci le boss
Merci
Bravo
Bonjour, comment fais-tu pour "animer" ton écriture ? Est-ce que tu utilises une tablette graphique ? Une souris ?
Merci
J'ai déjà répondu à cette question par mail mais je réponds ici pour un éventuel futur lecteur:
✍️ Graphic Tablet: amzn.to/32Pe1VY
📝 Screen recording: Camtasia + Photoshop.
🎧 Audio recording & editing: Audacity.
🎬 Video montage: Adobe Premiere.
🙌
Très excellent travail.
Par quel logiciel vous avez réalisé cette vidéo??
Merci 🙏🏻! À l'époque : Camtasia, Photoshop, Premiere Pro… c'est de l'artisanat, pas du tout-en-un 😉.
On peut aussi les calculer les 3 en faisant le DL de (exp((n+1)x)-1)/(exp(x)-1), puis à la fin on identifie avec la somme géométrique !
C'est laborieux mais on a les 3 à la fois. Et on peut aller jusqu'à la somme des exposants n selon en faisant un dl à l'ordre n. C'est très beau.
J'ai pas encore fait cet exercice mais ça m'a l'air super chouette ! J'en ferai peut-être une vidéo alors 😃 !
Bonjour monsieur je sais que votre chaine va cartonner, en tout cas je l'espère.Je profite pour vous poser une question. Je souhaitez vous dire ou je peut trouver des exercices pour réviser la terminale voire le supérieur? Merci d'avance ☺️.
Salutations et merci pour la confiance ! Pour réviser la terminale, peu d'hésitations:
www.sujetdebac.fr/annales/specialites/spe-mathematiques/
Sur ce site, il y a toutes les annales de bac depuis un bon paquet d'années, et ça constitue des révisions assez chouettes sur un peu tous les thèmes abordés en terminale 👍🏻.
Bonjour pourquoi y'a-t-il un changement de signe opératoire brusque :
3Tn = (n+1)^3 -1 -3Sn - n
Ne devrait-t-il pas y avoir :
3Tn = (n+1)^3 -1 -3Sn + n
Parce que la brusquerie, c'est ma spécialité :o) ! Plus sérieusement: je passe de (n+1)^3-1 = 3Tn+3Sn+n à la ligne suivante en ôtant (3Sn+n) de chaque côté, avec -(3Sn+n) = -3Sn-n.
Bonjour, Dans votre raisonnement par récurrence, lors de la factorisation par (n+1)^2 je ne comprends pas comment vous trouvez ce qui est entre crochet? Merci
S'il s'agit bien du calcul fait à 7:20, on pourrait détailler: écrire (n+1)^3 comme 4(n+1)[(n+1)²/4], puis factoriser par (n+1)²/4, tout simplement. N'hésite pas à faire plus d'étapes si les lignes au tableau ne sont pas assez nombreuses (c'est un conseil très général) 👍 !
Bravo et merci pour cette vidéo très pédagogique et élégamment présentée.
Pou la somme des k^3 , il me semble que l'on peut utiliser la même méthode que pour la somme des k, en utilisant le retournement des compteurs et la somme télescopique. Ceci est relativement facile. On ne peut le faire que lorsque la puissance des K est impaire, semble-t-il.
Merci pour ce commentaire chaleureux 😁! Je m'y essaierai lorsque je rénoverai cette vidéo. J'aimerais effectivement présenter plusieurs démonstrations pour les k, pour les k² et les k³, c'est très instructif 😇.
genuis
bravo bravo bravo
Merci :-) !
vous des cours dalgebre ou danalyse ?????
J'enseigne en classes préparatoires, donc algèbre, analyse et probabilités, à peu près en quantités égales, si c'est bien la question.
où je peux trouver tes videos d'algebre et d'analyses ??
Regarde ici, dans les playlists: ua-cam.com/channels/cacNh2WN9kTmG1_t05ng7A.htmlplaylists
À la louche, même si ce n'est pas exact, le contenu peut être vu comme cela:
[EM] Démonstrations de cours
[UT] Explications sur le cours, exemples
[LP] Exercices
le développement à partir de 7:07 est incompréhensible, d'où le 4 et le n carré sortent ?
Bonjour, tout d’abord merci pour cette vidéo mais j’aimerais vous poser une question svp.
Pour la démonstration de la somme des k^3 . Peut on démontrer juste en identifiant que la somme de (Sk)^2-(Sk-1)^2=Somme de k^3 , et comme la somme de (Sk)^2-(Sk-1)^2 vaut (Sn)^2-S0=(Sn)^2 donc la somme des k^3=(Sn)^2 . Tout ça, sans parler des Lk ?
Le problème que j’ai serai que S0 n’est pas définit dans ce cas ..
Bien sûr, c'est possible. Si S0 n'est pas défini, il suffit de le définir de manière à ce que le calcul reste cohérent, c'est ce dont je parle à 13:52 👍.
Bonjour, est t il possible de faire une vidéo qui exhibe une bijection entre la somme des n premiers entiers et les paires d'un ensemble à n+1 éléments car 1+2+...+n=(2,n+1) (nombre de paires dans un ensemble à n+1 éléments) ? merci d'avance
C'est très joli, je n'y avais même pas pensé. Considérons le nombre de paires de l'ensemble {1,2,...,n+1}. Par définition, on sait qu'il y en a 2 parmi n+1.
Par ailleurs, il y a:
🔹 n paires dont le plus petit nombre est 1: {1,2},...,{1,n+1}
🔹 n-1 paires dont le plus petit nombre est 2
...
🔹 1 paire dont le plus petit nombre est n: {n,n+1}.
On retrouve ainsi la valeur de la somme des n premiers entiers 🤩.
@@oljenmaths Excellent ! la démonstration est encore plus jolie 🙂🙂🙂 Merci beaucoup.
Vous etes tres fort; je suis prof de maths et je trouve que votre méthode efficace.
j'aimerai savoir ; vous utilisez quel logiciel pour vos vedeo.
merci bq
✍️ Graphic Tablet: amzn.to/32Pe1VY
📝 Screen recording: Camtasia + Photoshop.
🎧 Audio recording & editing: Audacity.
🎬 Video montage: Adobe Premiere.
Bonjour apres de multiples réflexions, je n’arrive toujours pas à m’expliquer comment vous calculer la somme télescopique à 3:28 .... Sinon la vidéo est de très bonne qualité, je m’abonne !!!
Le plus simple, c'est d'écrire la somme avec des points de suspension:
2^3 - 1^3 + 3^3 - 2^3 + 4^3 - 3^3 + ... + (n+1)^3 - n^3
On peut observer ainsi que la quasi-totalité des termes se simplifient, et qu'il ne reste que le -1^3, ainsi que le (n+1)^3.
Le même genre de mécanisme est utilisé ici:
[DET#5] Somme des termes d'une suite géométrique - ua-cam.com/video/5On3_TDPefg/v-deo.html
Après, d'un point de vue technique, avec le symbole Σ, il s'agirait de séparer la somme en deux et de procéder à un changement d'indice dans l'une des sommes, mais je ne sais pas si tu as déjà vu cela 🤔.
j'ai pas bien comprins d'ou venez le (n+1)puissance 3 dans la derniere somme (celle avec réccurence ) merci pour cette sublime explication
S'il s'agit du (n+1)^3 que je finis d'écrire à 6:47, il s'agit seulement d'isoler le dernier terme de la somme à gauche de l'égalité 👍.
Nous voulons des exercices pour les concours prof
Tu peux regarder la série [LP], dans laquelle il y a une quinzaine d'exercices issus d'oraux de concours ;-).
Bonjour, je ne comprends pas ce que vous entendez par retournement de compteurs
Bonjour !
Quand j'écris "somme de k=0 à n", je somme une expression pour des valeurs de k qui sont 0, 1, 2, ... n dans cet ordre. Ici, quand je parle de retournement de compteur, cela signifie que j'ai envie de compter n, n-1, ... 2, 1, 0. Pour cela, il y a un changement de variable simple à faire dans la somme: c'est poser j = n-k. Ainsi, quand k vaut 0, j vaut n. Quand k vaut 1, j vaut n-1, et ainsi de suite.
Bonjour, Merci de votre réponse j’espère qu'elle en aidera d'autre !
Moi la question qui m'interpelle, c'est quelles sont les idées qui permettent de trouver ces formules.
Par exemple, pour la première il suffit de remarquer la présence de couples égaux dans la somme et le tour est joué. Par contre, je ne vois pas quel est le raisonnement qui amène à penser à faire une difference de cube. Idem avec la dernière.
Il faudra que je me repenche sur la question lorsque je réhabiliterai cette antique vidéo et cette fois, j'espère pouvoir bâtir les démonstrations sur des idées tangibles, je reconnais que ce serait bien plus agréable 😇.
très bonne vidéo !
sinon on peut aussi trouver le polynôme de degré n tel que P(x+1) - P(x) = x^(n-1)
je suis sûr à 99.99% que ça fonctionne pour tout n... 😁
Le nombre de démonstrations de ces égalités est incroyable, je pense que j'en ferai une autre à l'occasion, il y a des choses très belles 🤩.
@@oljenmaths C'est vrai ! 🤗
Bonjour très bonne vidéo comme toujours mais je remarque une coquille avant d’énoncer votre prédicat pour la récurrence vous dites pour tout n or c’est ce qu’on veut montrer il serait mieux et ici approprié de dire soit n fixe quelconque appartenant à N. Voilà merci
Merci ! En réalité, ce n'est pas une coquille. Voici les étapes logiques:
🔹 J'associe, à chaque entier naturel non nul n, le prédicat que j'appelle HR(n). Je ne me prononce pas quant à la valeur de vérité qu'ont chacune de ces assertions.
🔹 Je démontre que HR(0) est vraie.
🔹 Je démontre l'assertion logique [Pour tout n, HR(n) implique HR(n+1)]. Pour cela, j'écris "Soit n" (ce qui, de fait, amène à considérer un n fixé et quelconque, sans qu'il soit nécessaire de le mentionner).
Et le tour est joué 👨🏫 !
Houlala.
Il y a largement de quoi effrayer le tout venant, je le concède 😱.
@@oljenmaths C'est sympathique de me qualifier de tout venant.
J'ai quelques notions.
En revisionnant j'arriverais a tout comprendre, Par contre l’analyse est pertinente et le contenu condensé, bravo.
Malheureusement, je ne connais pas grand chose en Mathématique, Bonne continuation.
@@fly7thomas "Tout venant" ne t'était pas destiné ! Je me suis dit qu'en fait, pour ma grand-mère, ces 18 minutes de blabla mathématique n'a probablement aucun sens... 🙃.
Je dois bien avouer que la dernière démonstration pour Un est plus sexy qu'une simple récurrence mais personnellement je ne la trouve pas du tout intuitive, même si on me disait de voir Sn^2 comme un gros carré j'aurais bien du mal à me dire qu'en dessinant des L dans ce carré, je vais retrouver k^3.
Comment on tombe sur ce genre de solutions en pratique ? (après c'est peut-être juste moi qui suis inexpérimenté)
Ah oui, je me souviens de cette démonstration ! Il faudrait que je la refasse et que j'explique bien davantage comment on peut tomber « naturellement » sur une telle solution, si tant est que c'est possible ! D'expérience, on n'y tombe vraiment qu'après tâtonnements, après avoir observé avec stupeur que la somme des cubes est le carré de la somme des entiers, et après s'être demandé s'il n'existe pas une raison naturelle pourquoi. Et après, c'est du bricolage. Mais si je trouve un truc de beau, je referai l'émission !
J'ai pas compris la troisieme somme .demonstration compliquée
Une alternative simple consiste à démontrer l'égalité par récurrence. Il est vrai que la démonstration proposée est assez technique !
La dernière méthode là on ne comprends rien
C'est fait pour, il faut brouiller les pistes de temps en temps.
@@oljenmaths j'ai trouvé une autre méthode