0:30 “Почти все” - ещё одно важное определение 2:15 Yet another определение предела 3:27 Свойство последовательности - “О пределе подпоследовательности” 5:30 Пример 1. Применение свойства частичных пределов (доказательство расходимости) 6:42 Пример 2. Применение свойства частичных пределов (поиск предела) 9:29 Принцип вложенных отрезков 11:34 Теорема Кантора о вложенных отрезках 17:17 О стягивающейся последовательности отрезков 22:18 Теорема Больцано-Вейрштрасса 32:29 Summary - Подпоследовательности 35:59 Верхний и Нижний частичные пределы (ч.п.) 37:52 О существовании верхнего и нижнего ч.п. у ограниченной последовательности 45:32 О существовании верхнего и нижнего ч.п. у неограниченной последовательности 49:23 Свойство верхнего и нижнего ч.п. 52:29 Summary
37:52 А можно доказывать это так, пусть последоаптельность x_n ограниченна. Тогда по теореме Больцано-Вейерштраса она имеет хотя бы один частичный предел. Обозначим множество всех частичных пределов за А. Посколько последовательность x_n ограниченна, то и множество A так же будет ограничено. В силу этого множество А имеет конечную точную верхнюю грань. Обозначим ее за b = supA. Если предположить, что b не принадлежит А, то в ее окрестности лежит лишь конечное число членов последовательности x_n => b не являеься точной верхней гранью. Получается противоречее.
До сих пор не могу уяснить: зачем доказывать теорему Больцано-Вейерштрасса "хитрыми" способами, если просто можно сослаться на ранее доказанный принцип Больцано -Вейерштрасса, который гласит, что любая ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку. Следовательно, мы можем выделить подпоследовательность, сходящуюся к данной предельной точке.
да, комментарий выше верен. без споров - такая окрестность точно будет существовать (поэтому и в той, и в той теореме есть фамилия Вейерштрасса). Но ЧТО это за последовательность? Начиная с КАКОГО N? Вот об этом мы и рассуждаем во второй теореме)
Все ясно ! Спасибо
Супер! Про теорему Больцано очень понятно и ясно рассказано. Спасибо)
Спасибо вам большое!
0:30 “Почти все” - ещё одно важное определение
2:15 Yet another определение предела
3:27 Свойство последовательности - “О пределе подпоследовательности”
5:30 Пример 1. Применение свойства частичных пределов (доказательство расходимости)
6:42 Пример 2. Применение свойства частичных пределов
(поиск предела)
9:29 Принцип вложенных отрезков
11:34 Теорема Кантора о вложенных отрезках
17:17 О стягивающейся последовательности отрезков
22:18 Теорема Больцано-Вейрштрасса
32:29 Summary - Подпоследовательности
35:59 Верхний и Нижний частичные пределы (ч.п.)
37:52 О существовании верхнего и нижнего ч.п. у ограниченной последовательности
45:32 О существовании верхнего и нижнего ч.п. у неограниченной последовательности
49:23 Свойство верхнего и нижнего ч.п.
52:29 Summary
37:52 А можно доказывать это так, пусть последоаптельность x_n ограниченна. Тогда по теореме Больцано-Вейерштраса она имеет хотя бы один частичный предел. Обозначим множество всех частичных пределов за А. Посколько последовательность x_n ограниченна, то и множество A так же будет ограничено. В силу этого множество А имеет конечную точную верхнюю грань. Обозначим ее за b = supA. Если предположить, что b не принадлежит А, то в ее окрестности лежит лишь конечное число членов последовательности x_n => b не являеься точной верхней гранью. Получается противоречее.
Верхний предел - это верхняя грань частичных пределов а не наибольший частичный предел.
действительно. в компактах это значения не имеет
До сих пор не могу уяснить: зачем доказывать теорему Больцано-Вейерштрасса "хитрыми" способами, если просто можно сослаться на ранее доказанный принцип Больцано -Вейерштрасса, который гласит, что любая ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку. Следовательно, мы можем выделить подпоследовательность, сходящуюся к данной предельной точке.
тут со "следовательно" проблемы, последовательность нужно предъявить
да, комментарий выше верен. без споров - такая окрестность точно будет существовать (поэтому и в той, и в той теореме есть фамилия Вейерштрасса). Но ЧТО это за последовательность? Начиная с КАКОГО N? Вот об этом мы и рассуждаем во второй теореме)
49:49
7:19