Прежде, чем написать, что решение "слишком сложное", а вы нашли гениальную формулу L=(a+b)*√2 "просто по теореме Пифагора" прочитайте это: Вы угол 45 градусов взяли просто произвольно потому, что при нём вам было легко вычислить, а не потому, что при нем будет "экстремум". В процессе поворота отрезок пройдет через все углы от 0 до 90 градусов. Почему не выбрали другой угол? 30 градусов? Экстремум при 45 градусах будет в одном только случае, когда a=b. Чем больше одна ширина отличается от другой, тем больше у вас будет получатся ошибка. Если не верится, посмотрите еще раз внимательно на анимацию движения и в каких местах и под каким углом находится отрезок при движении, когда касается угла коридора. Я ведь даже анимацию специально вставил в видео, чтобы наглядно было. И еще подумайте вот над чем: если устремить один размер к нулю (b->0), то в вашей формуле получится L=√2*a. Теперь представьте эту ситуацию: один коридор бесконечно тонкий и вы двигаете по нему отрезок. В таком коридоре вы никак не сможете начать его поворачивать до тех пор, пока он полностью не выйдет из такого коридора (в реальности можете считать, что ширина одного коридора равна толщине стержня, который проносят). А значит в этом предельном случае максимальная длина стержня должна быть равна просто ширине 2го коридора. У меня получается именно так. А в вашей формуле она в √2 раз больше - может так будет очевиднее, почему это не работает. Если всё равно не верится, то посчитайте по своей формуле для a=1, b=20 длину и сделайте с ней эксперимент - убедитесь, что не получится протащить такой стержень (ошибка при вычислении уже ~20% будет, так что вряд ли получится списать такое отклонение на погрешности при эксперименте)
Выведем функцию максимально возможной длины арматуры (L) от угла (a) между арматурой и одной из внешних стен, при условии, что ширина первого коридора = x, а ширина второго коридора = y. Поясню, что имеется ввиду НЕ постоянная длина L, а лишь максимальное значение при определенном угле a. Для еще большего понимания, уточню, что за 'x' я беру ширину вертикально-направленного коридора, а за 'y' - ширину горизонтально-направленного соответственно, за угол a берется угол между арматурой и самой нижней стеной (относительно рисунка). Максимально возможная длина арматуры достигается при ее касании угла. Таким образом, зная угол а, можем найти L(a) = x/cos(a) + y/sin(a). Максимально возможная длина арматуры, которая 'пройдет' поворот = минимальное значение данной функции. Найдем производную от этой функции (по a) и приравняем ее к 0: L'(a) = (x*sin^3(a)-y*cos^3(a))/(cos^2(a)*sin^2(a)) = 0 ( при a = (0;pi/2) ) при cos^2(a)*sin^2(a) != 0 при cos(a) != 0 и sin(a) != 0 Угол не равен 0* и не равен 90* (что нас устраивает): x*sin^3(a) = y*cos^3(a) tg^3(a) = y/x tg(a) = (y/x)^(1/3) Выразим L(max) через tg(a), используя теорему Пифагора: L(max) = ((tg(a)*x)^2+x^2)^(1/2) + ((y/tg(a))^2+y^2)^(1/2) = x*(tg^2(a)+1)^(1/2) + y*(1/tg^2(a)+1)^(1/2) Подставим tg(a) = (y/x)^(1/3): L(max) = x*((y/x)^(2/3)+1)^(1/2) + y*((x/y)^(2/3)+1)^(1/2), где 'x' - ширина первого коридора, а 'y' - ширина второго коридора.
Вы пытаетесь решить эту задачу формулами средней школы.А она просто решается формулами высшей математики.Просто надо создать функцию и установить ее экстремумы.
Если мы несем арматуру в двумерном пространстве и арматура имеет бесконечную жесткость и не может быть деформирована то расчет может быть произведен. Но "сферические кони в вакууме" встречаются в исчезающе малых количествах.
Я видел как-то раз как грузчики так гипсокартон таскали. Я не знаю какими математическими методами они пользовались, но судя по вакханалии, которая потом происходила, их рассуждения начинались примерно так: «Пусть у нас имеется бесконечное количество листов гипсокартона…»
Не легче ли на практике просто разогнать арматуру до релятивистских скоростей, чтобы её длина сократилась и она уж точно прошла через коридор? У нас грузчики всегда так делают.
На практике используют эффект туннелирования, просто просачивая арматуру сквозь атомы стен. Особо хитрые так армируют ж/б конструкции, после омоноличивания.
Физик, инженер и математик принимают участие в эксперименте. Каждого запирают в комнате с банкой бобов. Через три дня исследователи по очереди открывают двери. В первой комнате они обнаруживают довольного физика, покрывающего пол и стены формулами. Консервная банка аккуратно открыта. На вопрос как он это сделал он отвечает: - О, я просто приложил нагрузку к точкам напряжения. В следующей комнате инженер, он сидит в углу, а рядом раскуроченая банка. На вопрос как открыл отвечает: - Я наработал её до точки отказа. Наконец, открывают третью дверь. Там на полу сидит математик, обнимает банку, качается взад-вперёд и бормочет: - "Предположим, что банка открыта, предположим, что банка открыта, предположим, что банка открыта"
В этом видео прекрасно всё. И то, что диффур решён без единого интегрирования. И то, что наконец найден ответ на самый животрепещущий вопрос общественности: ну вот где в жизни мне пригодятся эти ваши диффуры 😅
Теперь понятно что говорить монтажникам, правда есть сомнения, что они скажут в ответ. Был опыт - нужно было на потолке сделать эллиптическую кривую, долго объяснял метод Максвелла по ее рисованию и как нужно высчитать положение фокусов.
@@survpavlov7426 Был случай, мастер звонит и плачет, круговую кривую не может вынести в натуре, мучается, а съезд надо готовить, на завтра асфальтобетон запланирован. Пришлось к нему заворачивать. Оказалось, что они круговые кривые разбивают методом засечек, как на чертежах циркулем (для чего было запрошено ранее 2 стальные рулетки по 50 м). И бригада находила центр окружности, потом от его строила кривую. Отдал чертеж с синусами и косинусами, они долго думали, что оказывается, окружность можно построить по координатам, из угла сопрягаемых кривых. В защиту этой бригады стоит сказать, что они единственные кто сами разбивал кривые, остальным просто надо было дать чертеж конкретного съезда с размерами, потому что при звуки синус/косинус они теряли волю к жизни и падали почти замертво.
Берете ширину комнат и смотрите пролезает ли рклон линолеума на пожарную лестницу. Есла да, то нет проблем, если нет, затягиваем груз краном через окно. При чем тут дифуры?
не совсем так, тут не учтено что арматуру можно еще и по диагонали двигать, т.е. больше измерений доступно. Опять же в жизни в наше время это решается моделированием в SketchUP просто рисуем 3D модель и потом методом подбора удваивая размер находим лимиты (а чаще нам даже лимиты не нужны. так как есть конкретный размер и задача понять проходит он или нет). Ну и так же упрощение про 0ю толщину тоже сомнительно, да арматура тонкая, но она еще и гнется т.е. можно немного согнуть ее. А например труба уже не тонкая но и согнуть нельзя.
@@serjoberst6322а ты чо про "Кревые зеркала" не слышал? Тк их не спецально такими сделали. Строители шли и по пути их всех погнули а их владельцы умело выкрутились.
@@oleg_10000в реальности все намного проще. Все как то забыли про высоту коридора. А между тем, за счёт высоты можно существенно "уменьшить" длину трубы...
@@frtp3691 так он дальше объясняет условия задачи если ты послушал первые 10 секунд сказал что здесь условия задачи кончаются это не значит что здесь они кончаются это значит что ты идиот
Сложить и пронести вертикально. Тогда задача будет не для отрезка, а для угла от прямого до тупого. Особый кайф: угловые диваны со спинками. На плоскости вырождаются в прямоугольник с обрезанным углом.
Как же я кайфую от ваших видео. Подача, монтаж и выбор интересных техник решения - всё на высоте. Смотрю вас уже где-то год и кайфую с кажого вашего ролика. Каждое видео - это интересный сюжет с интересной темой, которая порой бывает очень вдохновляющая. Спасибо вам огромное ❤
видео классное, вообще кайф решил до начала видео сам попробовать прорешать и мне кажется вышел на более простой метод без неудобных для меня лично тригонометрических функций: пойдём с конца, предположим бесконечной длины палку касающуюся трёх точек: внешнего угла (далее R), точки на левой стене, назовём P, и точки на нижней стене, назовём Q. изначально точка P находится на высоте b от внутреннего угла (далее T) и по мере изменения параметра пусть будет t она поднимается на b+t от T. в начальной позиции поместиться может стержень бесконечной длины, в пределе t стремится к бесконечности тоже самое, а где-то посередине наш ответ, он же минимум. Для удобства разделим стержень по точке R на две гипотинузы двух прямоугольных треугольников: левый - a' и нижний - b'. Теперь к решению: a' подобен b', значит существует коэфициент k такой что tk=b и |PR|*k=|RQ|. в таком случае k = b/t. теперь найдём длину, пусть будет как у вас l: l = |PR|+|RQ| = |PR|+|PR|*b/t = (1+b/t)*|PR| = (1+b/t)*sqrt(t^2+a^2) теперь у нас формула максимальной длины стержня который поместится выраженная через параметр t меняющим поворот. теперь просто находим минимум длины и получается максимальная длина стержня, это можно сделать с помощью нахождения критической точки, проще говоря найти параметр при котором производная dl/dt равна нулю. производная выходит (t^3-a^2*b) / (t^2 * sqrt(a^2+t^2)), говорим что t не равно нулю и приравниваем (t^3-a^2*b) к нулю. значит значение параметра при котором наш максимально возможный стержен меньше всего это t = (a^2 * b)^1/3. осталось только подставить это в наше уравнение для l и выходит тот же самый ответ l = (a^2/3+b^2/3)^3/2. я конечно не очень в курсе зачем я всё это тут расписал, но мне было весело, спасибо за видео!
Только есть одно но: когда нужно пронести балку по коридору, задача становится трехмерной, изменяя положение краев балки в вертикальной плоскости, будет изменяться длина проекции балки на плоскость пола, то есть рассматривая в двумерном плане балка "укоротится". Грубо говоря поднимая один конец под потолок и опуская другой к полу мы сможем пронести балку чуть большей длины. Поэтому необходимо учитывать высоту коридора, хорошо бы решить задачу с этим условием)
Вы можете сами без труда обобщить на этот случай. Если вам известна максимальная проекция и высота потолка, то максимальная длина палки в трехмерной задачи - гипотенуза! Иными словами, ответ sqrt(h^2+L^2), где h - высота потолка
Также перемещайте 2 балки по 2м парам углов. Получится некая поверхность, задаваемая парой значительно более сложных диффуров. Которые возможно даже решаются если подставить условия максимума по отрезку внутреннего угла. Сложно и долго. С практической точки зрения достаточно ввести сетку с ячейками в 5 см, для каждой точки вычислить максимум длины балки, что застрянет в каждом из 4х углов, проходя через неё. А потом искать максимум по узлам сетки, ближайших к углу.
Приятно видеть именно такую математику. Который раз убеждаюсь, что для ответов на простые вопросы нужно строить очень сложное здание математики. 😁 Вспоминаю интегральные уравнения для нахождения брахистохрона. Очень редки обратные случаи.
это же все проще гораздо чем диффур и процесс этот использовать необязательно: 1) заметим, что если мы в какой-то момент не касаемся внешнего угла, то мы можем пронести повернутый под тем же углом к стенкам коридора более длинный стержень => в момент поворота, ограничивающий длину стержня, он касается угла 2) проведем через внешний угол прямую под углом х к вертикальной стенке коридоров, коридоры высекают на ней отрезок длиной а/sin(х)+b/cos(x) => ограничена длина стержня минимальным значением этого выражения для острого угла 3. берём производную, получаем (-acos³(x)+bsin³(x))/(cos²(x)sin²(x)) => экстремум разве что при tg(x)=(a/b)^(1/3) в концах (0, пи/2) стремление к бесконечности => в arctg((a/b)^(1/3)) минимум 4. sin(arctg((a/b)^(1/3)))=a^(1/3)/(a^(2/3)+b^(2/3))^(1/2) cos такой же только в числителе b а не a 5. искомое значение функции теперь нетрудно посчитать, имеем (a^(2/3)+b^(2/3))^(3/2)
в вашем изложении звучит убедительнее, чем когда я видел такое решение. Мне тогда показалось не очень обоснованным то, что нужно взять минимум функции от угла. В общем, дело вкуса. Мне кажется так нагляднее и с образовательной точки зрения больше материала: кривая ищется из её дифференциальных свойств
Тут параллельно выводится выражение для "критического" угла. Вопрос: что будет при появлении у стержня небольшой толщины, как модифицируется формула для угла и конечный результат?
мне тоже показалось что заметать какую-то там кривую и искать для неё уравнение это перебор. Интересная задача сама по себе, для нахождения этой астроиды, с образовательной точки зрения, но для данной задачи необязательно
Не легче просто взять сложить ширину коридоров и умножить их на корень из двух? В итоге получается что всё что имеет меньшую длину, пролезает через этот коридор.
@@nyashchan- невесомость не означает, что масса предмета будет стремиться к 0. При длине стремящейся к бесконечности, масса предмета будет стремиться к бесконечности. Вы же не сможете сдвинуть с места звезду, например.
На самом деле очень хороший пример и объяснение задачи на дифференциальное уравнение. Я когда слушал лекции, не совсем понимал, почему для нахождения максимальной площади фигуры мы используем производную, но благодаря автору теперь я понимаю. Спасибо большое за информативное видео
Красота! Никогда не задумывался про формулу кривой заметания. Эта задачка очень часто встречается для средней школы. Но обычно там коридоры равноширокие и ответ почти очевиден. Правда, если ставить задачу просто решить первоначальную задачку, а не разводить всю эту красоту, как автор, то нужно сказать, что есть более простое решение. Крепим правый конец арматуры в точке (х,0), поворачиваем ее так, чтоб она упиралась во внутренний угол (a,b) и продлеваем арматуру до упора в левую вертикальную стену. Элементарно выражаем длину арматуры (функция от х с параметрами а,b). Это максимально допустимая длина при прохождении правого края через точку х. Понятно, что при х->бесконечность L->бесконечность и при х=а L-> бесконечности тоже. Очевидно также, что бесконечность L не будет на всем интервале (а,бесконечность). Значит, есть экстремум - точка минимума. Все: продифференцировали L по х, приравняли к 0, нашли точку экстремума х0, подставили в L(x) и получили ответ. Только в этом случае вы не узнаете формулу фигуры заметания, не вспомните про связь касательной и производоой, не решите диффур и не сделаете преобразование функции из параметрического вида в обычный. Короче, пропустите все самое интересное, что и хотел показать автор. Но, считаю, автор должен был упомянуть и об альтернативном, более простом решении.
такой способ, как вы описали, чаще встречается на ютьюбе :) 1) не хотелось делать совсем копии чужих видео :) 2) мне показалось не вполне доказанным, что нужный экстремум от функции - и есть та максимальная длина, которую ищем (но в вашем объяснении довольно убедительно) 3) в вашем способе тоже есть довольно муторные преобразования с производной (так что не знаю, проще ли это) 4) есть возможность у знающих людей дополнить в комментариях, как вы и сделали :)
Решение красивое. Спасибо! Единственная проблема, что по ходу решения мы столкнулись с диф.уром, которое ещё надо придумать, как решить прямо или в обход. Но задача решается и проще в лоб. Если просто выразить длину отрезка, касающегося трех точек: двух стен и угла, а потом производной найти минимум функции его длины, как раз и получится максимально доступный размер для протаскивания. Решил так до видео - никаких сложных преобразований (Формула по итогу та же) Но на канал подписался))
Уильям Феллер, работавший в Принстонском университете, был блестящим математиком. Он один из создателей современной теории вероятностей. Однажды Феллер и его жена пытались передвинуть большой круглый стол из гостиной в столовую. Они толкали и тащили, поворачивали и разворачивали, но никак не могли продвинуть стол в дверной проем. Было похоже, что стол застрял намертво. Устав и отчаявшись, Феллер с карандашом и бумагой разработал математическую модель ситуации. Через несколько минут ему удалось доказать, что их попытки обречены на неудачу. Пока Уильям был занят этими махинациями, его жена не оставляла стараний, и ей удалось-таки передвинуть стол в столовую. из книги «Mathematical Apocrypha», Steven Krantz
Интересное видео! Я решил иначе, побольше вычислений, зато без диффуров. Свел к задаче минимизации гипотенузы прямоугольного треугольника, катеты которого расположены на осях, а гипотенуза проходит через точку (a, b). Доказать, что решения задач совпадают несложно. А дальше простая школьная алгебра, один катет параметризуем, другой находим по функции прямой, проходящей через две точки. Затем по теореме пифагора находим длинну гипотенузы и убеждаемся, что функция в необходимой области имеет один перегиб. Дифференцировать и искать ноль было немного муторно, но после всех преобразований и упрощений получился тот же ответ
Я решал эту задачу немного по-другому. Рассмотрим множество прямых, проходящих через внешний угол. Длина отрезка, ограниченного стенами коридора, равна L(φ) = a/cosφ + b/sinφ. Далее при помощи производной находим точку минимума функции L(φ): L'(φ) = 0. Получаем tgφ = (b/a)^(1/3). Выражаем синус и косинус через тангенс, подставляем в L(φ) и после преобразований получаем тот же результат, что и в видео на 14:05.
За эксперимент прямо огромное спасибо! На бумаге вроде всё ясно объяснил, но построение "стен" и расчет ширины коридора по ранее полученным формулам - это очень классно!
Красота! Когда в универе решал задачи и получал красивый ответ, внутри что-то радовалось. Но финальный эксперимент в видео с прохождением стержня в притирку - это чистый кайф :)
Гениально, решение задачи с дифференциплтным уравнением без решения дифференциалтного уравнения. Мне стразу вспомниалсь астроида, когда увидел картинку проездаеющего стержня. Ещё и эксперимент в конце, неожиданно.
Стеклопакет можно так наклонить, что он почти где угодно пройдет. Либо частями его тащить. Либо раму поднять снаружи, а стекла занести и устанвоить уже на месте.
Расчёт и решение гораздо более цензурное, нежели сем наше, когда мы носили из гаража в дом гипсокартон ;) Прекрасное видео. Даёшь циклоиды, натянутые верёвки и прочие парадоксы 🎉
Как всегда интересное видео! И спасибо за задачку, решил ее в итоге, получив уравнение прямой стержня с параметром, нашел расстояние от точки до прямой и получил, что a/cosφ+b/sinφ≠L, далее нашел точку минимума функции от угла, ограничив ее область определения и сказал, что минимум функции должен быть больше L, чтобы решений не было, так и получил ответ
Ага, углы не прямые, внутри одного или двух из коридоров есть сужение дверного проёма, а проносимый предмет имеет форму произвольного многогранника с одним внутренним углом. Банальная задача по пропихиванию в квартиру углового дивана.
тут тоже несложно, если по-прикладному). поднять ближний к внутреннему углу конец арматуры и орудовать с длиной проекции на пол. а если попробовать это математически выразить: из ширин обоих коридоров мы найдём величину максимальной проекции на пол, а дальше по теореме пифагора для длины проекции и высоты мы найдём наибольшую длину арматуры. навскидку предположу, что должно быть нечто такого типа: a, b - ширины, h - высота. L ≤ [(а^2/3 + b^2/3)^3 + h^2]^1/2 это в том случае, если мы примем следующий алгоритм за условие: ведём арматуру до внутреннего угла, поднимаем до потолка и поворачиваем без отрыва с обеих сторон до прохода.
Решил по-другому и кажется проще. За переменную взял расстояние от угла до одного конца вписываемого отрезка. Отрезок должен проходить через х, задевать угол и касаться другой стороны. Выразил через х длинну отрезка. Понятно что из всего множества получившихся длин нужно выбрать минимальную, именно этот отрезок пройдет угол. Взял производную от полученной функции и приравнял к 0. Нашел х для минимума, там все поосто получается хоть и 4 я степень. Подставил в изначальну фунцию получил ответ как у Вас.
Задача интересная. Только в данной ситуации учитываются строго горизонтальная положения арматуры. Если сюда добавить высоту коридора (координата Z, что часто встречаются на практике) то результат изменится. Задача будет ещё интереснее при двух внешних углах т.е. Т-образный коридор разной широты.
Классная задачка, классный рассказ-показ! Обожаю математическое занудство, где все должно быть доказано! Конечно, лайк и подписка! Эту задачку я видел в одном задачнике по теормеху
Можно через производную. Если взять катеты треугольника как x+b и y+a. Тогда имеем соотношение xy=ab. Отсюда y=ab/x. Ищем экстремум функции F = (x+b)^2 + (y+a)^2. Подставляем y, берём производную и приравниваем к нулю. Получаем 0=x + b - a^2*b^2/x^3 - a^2*b/x^2. Делим на x+b. Получаем 0 = 1 - a^2*b/x^3. Отсюда x^3=a^2*b и y^3=a*b^2. Ну а дальше просто алгебра. И в итоге получаем то же самое. L^2 = (x +b)^2 + (y + a)^2 = (a^(2/3) + b^(2/3))^3
Точки (0, L) и (L, 0) лежат на кривой и при подстановке в уравнение xtg(phi) + y = Lsin(phi) дают phi = pi / 2 и phi = 0 соотвественно, откуда phi не равно const
Мне кажется, можно решить проще. Для простоты отмасштабируем всю задачу так, чтобы труба была единичной длины. Возьмём такую же систему координат, как у вас, и найдём множество точек (a,b) первого квадранта плоскости таких, что труба едва коснётся этих точек при движении. Положение трубы описывается парой чисел (x(t),y(t)) таких, что x²+y²=1, а t - некоторое условное время (труба ведь движется).Тогда единичный вектор нормали к трубе равен (y,x). Тогда расстояние от трубы до точки (a,b) равно скалярному произведению единичного вектора нормали (y,x) и вектора, идущего из любой точки трубы к точке (a,b). Возьмём, например, точку (x,0) на трубе, получим: d(t) = (y,x)·((a,b)−(x,0)) = ay+bx−xy. Для любой другой точки трубы получится то же выражение для d. Кстати, d будет отрицательным, когда труба пересекла точку (a,b). Нам нужно, чтобы труба едва коснулась точки (a,b), а не пересекла её. Это означает, что минимальное расстояние min(d(t)) должно быть равно нулю. Поскольку d(t) непрерывно дифференцируема, а в начале и конце движения положительна, то найдём момент достижения минимального значения, приравняв производную к нулю (отсутствие дополнительных локальных экстремумов увидим дальше по ходу решения). Если сказанное в этом абзаце непонятно, то можно ещё представить себе, что скорость изменения расстояния от трубы до (a,b) должна быть нулевой в момент касания - труба должна «скользнуть» по точке, а не удариться в неё. Так или иначе, имеем систему уравнений: x²+y²=1; d(t)=0; d'(t)=0. Выберем такое движение трубы x(t),y(t), при котором d'(t) вычисляется максимально просто. Например x(t)=cos(t), y(t)=sin(t). Тогда: d(t) = ay+bx−xy = a·sin(t)+b·cos(t)−cos(t)sin(t), d'(t) = a·cos(t)−b·sin(t)+sin²(t)−cos²(t). Если вернуться к исходным обозначениям x,y, система уравнений примет вид: x²+y²=1; ay+bx−xy=0; ax-by+y²−x²=0. Последние два уравнения линейны относительно a,b. Решая их, получим: a=x³/(x²+y²), b=y³/(x²+y²). Привлекая первое уравнение, имеем, что в момент проскальзывания единичной трубы (x,y) по точке (a,b) выполняются равенства a=x³, b=y³, откуда a^(2/3)+b^(2/3)=1. Вспоминая, что задача была отмасштабирована так, чтобы длина трубы была единичной, получаем, что в исходных величинах (L,A,B) максимальная длина трубы L удовлетворяет уравнению (A/L)^(2/3)+(B/L)^(2/3)=1, откуда: L=(A^(2/3)+B^(2/3))^(3/2).
Интересная задача, ну и, конечно же, решение только для бытовых целей гораздо проще воспользоваться графическим методом. Ну, к примеру, перед закупкой материалов.
@@suyunbek1399 «...чую, топология должна быть замешана...» А я чую, что вы не понимаете, что такое топология, могу объяснить, почему мне так кажется. Если я ошибаюсь в отношении вас, поправьте меня.
А есть ли возможность найти геометрически длину? Скажем, всё бы решилось, если бы можно было найти геометрически центр окружности, касательной которой является отрезок. Я голову ломал в Автокаде, но так и не смог найти решение без алгебраического расчёта, как у вас
На эту же тему существует задача о перемещении дивана. На сегодняшний день это открытая математическая проблема. Задача сводится к двумерной идеализации житейской проблемы о перемещении мебели. В двумерном пространстве определите жёсткое тело наибольшей площади А, которое может быть перемещено в Г-образном «коридоре», образованном «тоннелями» шириной в единицу измерения, сходящимися под прямым углом. Полученное значение А принято называть константой дивана (в альтернативных формулировках той же самой задачи этот предмет является идеализацией стола, или же баржи или корабля в Г-образном канале).
Первое, о чем подумал, это четверть вписанной во внутренний угол окружности, которую описывает стержень при движении. Нужно найти лишь радиус этой окружности, на которой лежит внешний угол. Но это возможно только визуально так кажется.
Про диван. У меня в квартире 2 дивана. И оба по ширине +- как высота коридора. Поэтому я в душе не знаю как эти советские диваны и с какими матами затаскивали в квартиру. Про Шкаф. Соседи делали ремонт и покупали новый шкаф. А нам решили подарить старый. Так вот мы спокойно не разбирая шкаф на составляющие при помощи тряпок смогли с 1 квартиры в другую по коридору переместить по частям шкаф длинной со всю стену. Квартиры были по диагонали друг к другу. Лютая др0чь но это возможно. Поэтому нужно поблагодарить создателя Икеи за разборную мебель.
А если добавить в задачу третье измерение? Получится ведь, что при виде сверху можно уменьшать длину арматуры вплоть до полностью вертикального состояния, условно до точки. Тогда можно будет пронести бесконечно длинную арматуру, через бесконечно узкий коридор при условии, что потолок коридора находится бесконечно высоко, я правильно понимаю?)
если вы судите про тонкий стержень,то можно воспользоваться высотой потолка. если вы судите про предмет какой-то внушительной плоскости прямоугольного размера, то ваш вариант идеален вообще,математика - это нечто. в школе участвовал на олимпиадах,знал программу на следующий год в школе. начал забывать. интересно было. теперь электроника
Если речь именно про практическую задачу. 1. У коридоров есть высота - это +Х к длине трубы которую можно пронести. 2. Берем лазерную рулетку и простреливаем углы коридора чтобы понять что там пролезет 3. В коридорах на стенах бывает висит всякая инженерка.
Значительное отклонение краев площади заметания от 45гр наглядно показывает насколько важно по возможности подпиливать углы у объектов интерьера. Так подпилив угол под 45гр маленького треугольничка 1х1дм с гипотенузой sqrt(2)дм и биссектрисой всего в 5см (почти бесполезные для хранения) дают значительный выигрыш в проходимости объектов. (Площадь заметания увеличиться значительно больше чем отрезаемое!) Поэтому отпиливайте прямые выступающие углы у столов, тумбочек и шкафов (если вы их сами изготавливаете) они делают гораздо больше минусов.
Прекрасно! Я все комментарии не читал - это я к тому, что аналогичную мысль уже кто-нибудь высказал. Но мне кажестя, что автор видео забыл о высоте коридора… Так что длина стержня может быть больше ☺☺☺
есть более простое решение без диффуров. нашел его пока смотрел ваше. суть такая: возьмём семейство отрезков, проходящих через угол, и найдем минимальный из них. оказалось, что параметризовать эти отрезку удобно не углом, а координатой х, например.
Было такое тестовое задание при трудоустройстве программистом. Долго терзал геометрию, потом просто поворачивал по одному градусу и смотрел, не заденет ли стенки.
красивое. показывают. граф решение всегда красивое, спасибо) ну и фи не может быть 0 изза _физических ограничений - как говорил дед "кина не будет" - коридор без загиба получается - несём по прямой. я в самом начале видео думал о решение через треугольники и общую прямую между двумя углами, но через касательную 11 класса даже интересней получается)
Очень интересное видео Сначала с условия задачи думал, что ответ будет (а+b)√2, но оказалось, что он соблюдается только для случая а=b, а при их различии эта формула будет давать длину большую, чем надо, и погрешность будет тем больше, чем больше разница ширины сторон, вплоть до погрешности в 41% (с копейками)
Все делается гораздо проще - в солидворксе прямо в эскизе рисуется этот угол и отрезок концы которого привязываются к отрезкам угла (взаимосвязью). А дальше крути/тягай. концы этого отрезка как хочешь, играйся с длиной отрезка и шириной коридоров без каких либо формул :))). И все наглядно и универсально и быстро работает :)))
Решил по-другому. Пусть у нас есть веер прямых, проходящих через (а,б). При отрицательных к они будут нашими стержнями. Какова минимальная длина отрезка такой прямой в пределах 1й четверти? Записываем уравнение прямой через точку, находим точки пересечения с осями, записываем по Пифагору длину отрезка, остаётся продифференцировать. Я сразу дифференцировал квадрат длины по к, так проще. Выходит, что минимум достигается при к=-cbrt(b/a). Подставляем, получаем ваш ответ. Т.к. это минимальная длина отрезка, проходящего через внутренний угол, то более длинный стержень не пройдёт
Прежде, чем написать, что решение "слишком сложное", а вы нашли гениальную формулу L=(a+b)*√2 "просто по теореме Пифагора" прочитайте это:
Вы угол 45 градусов взяли просто произвольно потому, что при нём вам было легко вычислить, а не потому, что при нем будет "экстремум". В процессе поворота отрезок пройдет через все углы от 0 до 90 градусов. Почему не выбрали другой угол? 30 градусов?
Экстремум при 45 градусах будет в одном только случае, когда a=b.
Чем больше одна ширина отличается от другой, тем больше у вас будет получатся ошибка.
Если не верится, посмотрите еще раз внимательно на анимацию движения и в каких местах и под каким углом находится отрезок при движении, когда касается угла коридора. Я ведь даже анимацию специально вставил в видео, чтобы наглядно было.
И еще подумайте вот над чем: если устремить один размер к нулю (b->0), то в вашей формуле получится L=√2*a. Теперь представьте эту ситуацию: один коридор бесконечно тонкий и вы двигаете по нему отрезок. В таком коридоре вы никак не сможете начать его поворачивать до тех пор, пока он полностью не выйдет из такого коридора (в реальности можете считать, что ширина одного коридора равна толщине стержня, который проносят). А значит в этом предельном случае максимальная длина стержня должна быть равна просто ширине 2го коридора. У меня получается именно так. А в вашей формуле она в √2 раз больше - может так будет очевиднее, почему это не работает.
Если всё равно не верится, то посчитайте по своей формуле для a=1, b=20 длину и сделайте с ней эксперимент - убедитесь, что не получится протащить такой стержень (ошибка при вычислении уже ~20% будет, так что вряд ли получится списать такое отклонение на погрешности при эксперименте)
А если еще дверной проем добавить? :\ Хочу шпаргалку на случай ремонта))
Выведем функцию максимально возможной длины арматуры (L) от угла (a) между арматурой и одной из внешних стен, при условии, что ширина первого коридора = x, а ширина второго коридора = y. Поясню, что имеется ввиду НЕ постоянная длина L, а лишь максимальное значение при определенном угле a. Для еще большего понимания, уточню, что за 'x' я беру ширину вертикально-направленного коридора, а за 'y' - ширину горизонтально-направленного соответственно, за угол a берется угол между арматурой и самой нижней стеной (относительно рисунка).
Максимально возможная длина арматуры достигается при ее касании угла. Таким образом, зная угол а, можем найти L(a) = x/cos(a) + y/sin(a).
Максимально возможная длина арматуры, которая 'пройдет' поворот = минимальное значение данной функции. Найдем производную от этой функции (по a) и приравняем ее к 0:
L'(a) = (x*sin^3(a)-y*cos^3(a))/(cos^2(a)*sin^2(a)) = 0 ( при a = (0;pi/2) )
при cos^2(a)*sin^2(a) != 0 при cos(a) != 0 и sin(a) != 0 Угол не равен 0* и не равен 90* (что нас устраивает):
x*sin^3(a) = y*cos^3(a) tg^3(a) = y/x tg(a) = (y/x)^(1/3)
Выразим L(max) через tg(a), используя теорему Пифагора:
L(max) = ((tg(a)*x)^2+x^2)^(1/2) + ((y/tg(a))^2+y^2)^(1/2) = x*(tg^2(a)+1)^(1/2) + y*(1/tg^2(a)+1)^(1/2)
Подставим tg(a) = (y/x)^(1/3):
L(max) = x*((y/x)^(2/3)+1)^(1/2) + y*((x/y)^(2/3)+1)^(1/2), где 'x' - ширина первого коридора, а 'y' - ширина второго коридора.
Вы пытаетесь решить эту задачу формулами средней школы.А она просто решается формулами высшей математики.Просто надо создать функцию и установить ее экстремумы.
Если мы несем арматуру в двумерном пространстве и арматура имеет бесконечную жесткость и не может быть деформирована то расчет может быть произведен. Но "сферические кони в вакууме" встречаются в исчезающе малых количествах.
@@ВалентинТихомиров-ы9ч Это уже моделирование, другой уровень ;)
Я видел как-то раз как грузчики так гипсокартон таскали. Я не знаю какими математическими методами они пользовались, но судя по вакханалии, которая потом происходила, их рассуждения начинались примерно так: «Пусть у нас имеется бесконечное количество листов гипсокартона…»
Самый классный комментарий.
Гипсокартон нужно вертикально таскать. Так он более стеснённые повороты проходит.
Ахахахах
😊
они себе нецензурными заклинаниями помогали?
"кто-то скажет что оно очевидно, кто-то что оно не доказано. будем считать его условием задачи" - гениально
но доказывать для общности случая это все-таки надо )
Я сказал, что оно очевидно и не доказано)
Можно сказать, что по условию задачи стержень несут не прошаренная в математике рабочие и пользуются житейским представлением о проносе стержня
Довольно просто доказать - один из концов смешаем от стены, тогда все точки нового положения будут ближе к внешнему углу.
Дб бл, вы же стены поцарапаете у себя в новом доме! Математики хреновы! Кто потом ремонтировать будет? Я докажу, что именно вы 😂
Не легче ли на практике просто разогнать арматуру до релятивистских скоростей, чтобы её длина сократилась и она уж точно прошла через коридор? У нас грузчики всегда так делают.
На практике используют эффект туннелирования, просто просачивая арматуру сквозь атомы стен. Особо хитрые так армируют ж/б конструкции, после омоноличивания.
Разоритесь на энергии - на коммуналке
Так берите её из торсионных полей,
это пока бесплатно!
Мы просто синтезируем сразу на объекте, у нас там химик МГУ огончил, очень выручает
Нельзя. При повороте арматуры будет сильное синхротронное излучение.
Физик, инженер и математик принимают участие в эксперименте. Каждого запирают в комнате с банкой бобов.
Через три дня исследователи по очереди открывают двери.
В первой комнате они обнаруживают довольного физика, покрывающего пол и стены формулами. Консервная банка аккуратно открыта. На вопрос как он это сделал он отвечает:
- О, я просто приложил нагрузку к точкам напряжения.
В следующей комнате инженер, он сидит в углу, а рядом раскуроченая банка. На вопрос как открыл отвечает:
- Я наработал её до точки отказа.
Наконец, открывают третью дверь.
Там на полу сидит математик, обнимает банку, качается взад-вперёд и бормочет:
- "Предположим, что банка открыта, предположим, что банка открыта, предположим, что банка открыта"
В этом видео прекрасно всё. И то, что диффур решён без единого интегрирования. И то, что наконец найден ответ на самый животрепещущий вопрос общественности: ну вот где в жизни мне пригодятся эти ваши диффуры 😅
Теперь понятно что говорить монтажникам, правда есть сомнения, что они скажут в ответ. Был опыт - нужно было на потолке сделать эллиптическую кривую, долго объяснял метод Максвелла по ее рисованию и как нужно высчитать положение фокусов.
@@survpavlov7426 Могу себе представить реакцию тех монтажников. 🙂
@@survpavlov7426 Был случай, мастер звонит и плачет, круговую кривую не может вынести в натуре, мучается, а съезд надо готовить, на завтра асфальтобетон запланирован. Пришлось к нему заворачивать. Оказалось, что они круговые кривые разбивают методом засечек, как на чертежах циркулем (для чего было запрошено ранее 2 стальные рулетки по 50 м). И бригада находила центр окружности, потом от его строила кривую. Отдал чертеж с синусами и косинусами, они долго думали, что оказывается, окружность можно построить по координатам, из угла сопрягаемых кривых.
В защиту этой бригады стоит сказать, что они единственные кто сами разбивал кривые, остальным просто надо было дать чертеж конкретного съезда с размерами, потому что при звуки синус/косинус они теряли волю к жизни и падали почти замертво.
Берете ширину комнат и смотрите пролезает ли рклон линолеума на пожарную лестницу. Есла да, то нет проблем, если нет, затягиваем груз краном через окно. При чем тут дифуры?
не совсем так, тут не учтено что арматуру можно еще и по диагонали двигать, т.е. больше измерений доступно.
Опять же в жизни в наше время это решается моделированием в SketchUP просто рисуем 3D модель и потом методом подбора удваивая размер находим лимиты (а чаще нам даже лимиты не нужны. так как есть конкретный размер и задача понять проходит он или нет).
Ну и так же упрощение про 0ю толщину тоже сомнительно, да арматура тонкая, но она еще и гнется т.е. можно немного согнуть ее. А например труба уже не тонкая но и согнуть нельзя.
«Пока ты будешь считать строители согнут арматуру»
@@aleksejvoronov307если прут арматуры длинной несколько метров, то он даже под собственным весом заметно сгибается
Клёвая аватарка!
@@serjoberst6322 время пробовать
@@serjoberst6322а ты чо про "Кревые зеркала" не слышал?
Тк их не спецально такими сделали.
Строители шли и по пути их всех погнули а их владельцы умело выкрутились.
@@oleg_10000в реальности все намного проще. Все как то забыли про высоту коридора. А между тем, за счёт высоты можно существенно "уменьшить" длину трубы...
0:30 условием задачи высота потолков не определана, поэтому считаем что их нет вообще, а значит, ставим предмет вертикально и спокойно проносим.😎
Ты слышал его речь дальше?
@@game.club_official условия задачи ставят в начале а не "дальше"...
@@frtp3691 так он дальше объясняет условия задачи если ты послушал первые 10 секунд сказал что здесь условия задачи кончаются это не значит что здесь они кончаются это значит что ты идиот
@@frtp3691 если ты не дослушал условия задачи и сказал что здесь они кончаются то соболезную тебе
@@game.club_official сразу видно что ты никогда договора не подписывал :))) (совет: хату перепиши на родню)
А теперь к нерешённым проблемам: диван максимальной площади)
Так вроде все просто, коридоры уменьшаются на ширину дивана
@@agoro002нет, там все намного сложнее. Есть очень хорошее видео на эту тему ua-cam.com/video/bUNl_jJMTOw/v-deo.htmlsi=avs52ZuNZ34z2WQF
@@agoro002Диван произвольной формы
Сложить и пронести вертикально.
Тогда задача будет не для отрезка, а для угла от прямого до тупого.
Особый кайф: угловые диваны со спинками. На плоскости вырождаются в прямоугольник с обрезанным углом.
Тоже сразу вспомнил про эту задачу
Один из немногих каналов, где все доведено до практически применимого в жизни.
А разве в жизни бывают плоские коридоры ?
@@AleksandrWIN777 В жизни, с не плоскими коридорами, существуют не плоские коробки.
Ну, да, на практике все, знакомые с высшей математикой, ...работают грузчиками. :)
@@ignat0761 тут формула доведена до уровня любого пользователя такой сложной техникой, как степлер )
Надо было решать более актуальную задачу про протаскивание шкафа, а затем представить отрезок, как вырожденный шкаф.
Вырожденный шкаф 👍
Ну не знаю, я куда чаще хожу по коридорам с огромной арматурой
диван
О чём только не думают кандидаты математических наук, работая на доставке мебели 😮😢
@@АлексейНеизвестный-ь6р Диван завсегда на попа поставить можно
Как же я кайфую от ваших видео. Подача, монтаж и выбор интересных техник решения - всё на высоте. Смотрю вас уже где-то год и кайфую с кажого вашего ролика. Каждое видео - это интересный сюжет с интересной темой, которая порой бывает очень вдохновляющая. Спасибо вам огромное ❤
За эксперимент в конце отдельное спасибо!
видео классное, вообще кайф
решил до начала видео сам попробовать прорешать и мне кажется вышел на более простой метод без неудобных для меня лично тригонометрических функций:
пойдём с конца, предположим бесконечной длины палку касающуюся трёх точек: внешнего угла (далее R), точки на левой стене, назовём P, и точки на нижней стене, назовём Q. изначально точка P находится на высоте b от внутреннего угла (далее T) и по мере изменения параметра пусть будет t она поднимается на b+t от T. в начальной позиции поместиться может стержень бесконечной длины, в пределе t стремится к бесконечности тоже самое, а где-то посередине наш ответ, он же минимум. Для удобства разделим стержень по точке R на две гипотинузы двух прямоугольных треугольников: левый - a' и нижний - b'. Теперь к решению:
a' подобен b', значит существует коэфициент k такой что tk=b и |PR|*k=|RQ|. в таком случае k = b/t. теперь найдём длину, пусть будет как у вас l:
l = |PR|+|RQ| = |PR|+|PR|*b/t = (1+b/t)*|PR| = (1+b/t)*sqrt(t^2+a^2)
теперь у нас формула максимальной длины стержня который поместится выраженная через параметр t меняющим поворот. теперь просто находим минимум длины и получается максимальная длина стержня, это можно сделать с помощью нахождения критической точки, проще говоря найти параметр при котором производная dl/dt равна нулю.
производная выходит (t^3-a^2*b) / (t^2 * sqrt(a^2+t^2)), говорим что t не равно нулю и приравниваем (t^3-a^2*b) к нулю. значит значение параметра при котором наш максимально возможный стержен меньше всего это t = (a^2 * b)^1/3. осталось только подставить это в наше уравнение для l и выходит тот же самый ответ l = (a^2/3+b^2/3)^3/2.
я конечно не очень в курсе зачем я всё это тут расписал, но мне было весело, спасибо за видео!
Только есть одно но: когда нужно пронести балку по коридору, задача становится трехмерной, изменяя положение краев балки в вертикальной плоскости, будет изменяться длина проекции балки на плоскость пола, то есть рассматривая в двумерном плане балка "укоротится". Грубо говоря поднимая один конец под потолок и опуская другой к полу мы сможем пронести балку чуть большей длины. Поэтому необходимо учитывать высоту коридора, хорошо бы решить задачу с этим условием)
Вы можете сами без труда обобщить на этот случай. Если вам известна максимальная проекция и высота потолка, то максимальная длина палки в трехмерной задачи - гипотенуза!
Иными словами, ответ sqrt(h^2+L^2), где h - высота потолка
В видео было упомянуто, что трехмерный случай представляет собой пронос «плоскости», например стекла
Также перемещайте 2 балки по 2м парам углов. Получится некая поверхность, задаваемая парой значительно более сложных диффуров. Которые возможно даже решаются если подставить условия максимума по отрезку внутреннего угла.
Сложно и долго.
С практической точки зрения достаточно ввести сетку с ячейками в 5 см, для каждой точки вычислить максимум длины балки, что застрянет в каждом из 4х углов, проходя через неё. А потом искать максимум по узлам сетки, ближайших к углу.
И подключим уравнения сопромата, для учета гибкости балки в обоих плоскостях, чтоб ее можно было "слегка" подогнуть и протиснуть.
Так он изначально сказал что задача 2-х мерная и в третьем пространстве это будет решаться по другому
Приятно видеть именно такую математику.
Который раз убеждаюсь, что для ответов на простые вопросы нужно строить очень сложное здание математики. 😁 Вспоминаю интегральные уравнения для нахождения брахистохрона. Очень редки обратные случаи.
это же все проще гораздо чем диффур и процесс этот использовать необязательно:
1) заметим, что если мы в какой-то момент не касаемся внешнего угла, то мы можем пронести повернутый под тем же углом к стенкам коридора более длинный стержень => в момент поворота, ограничивающий длину стержня, он касается угла
2) проведем через внешний угол прямую под углом х к вертикальной стенке коридоров, коридоры высекают на ней отрезок длиной а/sin(х)+b/cos(x)
=> ограничена длина стержня минимальным значением этого выражения для острого угла
3. берём производную, получаем (-acos³(x)+bsin³(x))/(cos²(x)sin²(x)) => экстремум разве что при tg(x)=(a/b)^(1/3)
в концах (0, пи/2) стремление к бесконечности => в arctg((a/b)^(1/3)) минимум
4. sin(arctg((a/b)^(1/3)))=a^(1/3)/(a^(2/3)+b^(2/3))^(1/2)
cos такой же только в числителе b а не a
5. искомое значение функции теперь нетрудно посчитать, имеем (a^(2/3)+b^(2/3))^(3/2)
в вашем изложении звучит убедительнее, чем когда я видел такое решение. Мне тогда показалось не очень обоснованным то, что нужно взять минимум функции от угла.
В общем, дело вкуса. Мне кажется так нагляднее и с образовательной точки зрения больше материала: кривая ищется из её дифференциальных свойств
Правильно, это первое приходит в голову.
Тут параллельно выводится выражение для "критического" угла. Вопрос: что будет при появлении у стержня небольшой толщины, как модифицируется формула для угла и конечный результат?
мне тоже показалось что заметать какую-то там кривую и искать для неё уравнение это перебор. Интересная задача сама по себе, для нахождения этой астроиды, с образовательной точки зрения, но для данной задачи необязательно
Не легче просто взять сложить ширину коридоров и умножить их на корень из двух? В итоге получается что всё что имеет меньшую длину, пролезает через этот коридор.
Просто возьмите трубу бесконечной длины и потолки бесконечной высоты. И несите вертикально
про потолки у него ничего не сказано и ваше решение практически верное при массе стержня не более 267 кг (рекорд мира)
@@alexandersolovey760 Если проносить трубу в невесомости, то ограничений нет
@@nyashchan- невесомость не означает, что масса предмета будет стремиться к 0. При длине стремящейся к бесконечности, масса предмета будет стремиться к бесконечности. Вы же не сможете сдвинуть с места звезду, например.
@@alexandersolovey760 Могу. Нужна только точка опоры и достаточно длинный рычаг
@@alexandersolovey760 труба,длиннее 500 км,будет сама в космос улетать. :))))
На самом деле очень хороший пример и объяснение задачи на дифференциальное уравнение. Я когда слушал лекции, не совсем понимал, почему для нахождения максимальной площади фигуры мы используем производную, но благодаря автору теперь я понимаю. Спасибо большое за информативное видео
Очень мощное решение практической жизненной задачи! Спасибо, я кайфанул от просмотра.
Красота! Никогда не задумывался про формулу кривой заметания. Эта задачка очень часто встречается для средней школы. Но обычно там коридоры равноширокие и ответ почти очевиден. Правда, если ставить задачу просто решить первоначальную задачку, а не разводить всю эту красоту, как автор, то нужно сказать, что есть более простое решение. Крепим правый конец арматуры в точке (х,0), поворачиваем ее так, чтоб она упиралась во внутренний угол (a,b) и продлеваем арматуру до упора в левую вертикальную стену. Элементарно выражаем длину арматуры (функция от х с параметрами а,b). Это максимально допустимая длина при прохождении правого края через точку х. Понятно, что при х->бесконечность L->бесконечность и при х=а L-> бесконечности тоже. Очевидно также, что бесконечность L не будет на всем интервале (а,бесконечность). Значит, есть экстремум - точка минимума. Все: продифференцировали L по х, приравняли к 0, нашли точку экстремума х0, подставили в L(x) и получили ответ. Только в этом случае вы не узнаете формулу фигуры заметания, не вспомните про связь касательной и производоой, не решите диффур и не сделаете преобразование функции из параметрического вида в обычный. Короче, пропустите все самое интересное, что и хотел показать автор. Но, считаю, автор должен был упомянуть и об альтернативном, более простом решении.
такой способ, как вы описали, чаще встречается на ютьюбе :)
1) не хотелось делать совсем копии чужих видео :)
2) мне показалось не вполне доказанным, что нужный экстремум от функции - и есть та максимальная длина, которую ищем (но в вашем объяснении довольно убедительно)
3) в вашем способе тоже есть довольно муторные преобразования с производной (так что не знаю, проще ли это)
4) есть возможность у знающих людей дополнить в комментариях, как вы и сделали :)
Шикарно! Настроение явно улучшилось. Спасибо!
Спасибо. Задача на глаз проста, а оказалось что не совсем.
Самое интересное, что, буквально, все сталкивались с этой проблемой.
Отличный ролик! Приятно смотреть и видеть чистые мысли.
Очередная интересная задача
Решение красивое. Спасибо! Единственная проблема, что по ходу решения мы столкнулись с диф.уром, которое ещё надо придумать, как решить прямо или в обход.
Но задача решается и проще в лоб. Если просто выразить длину отрезка, касающегося трех точек: двух стен и угла, а потом производной найти минимум функции его длины, как раз и получится максимально доступный размер для протаскивания. Решил так до видео - никаких сложных преобразований
(Формула по итогу та же)
Но на канал подписался))
Мне про эту формулу рассказывал один знакомый доктор физико-математических наук, когда мы с ним на стройке сваи разгружали
😂😂😂
Уильям Феллер, работавший в Принстонском университете, был блестящим математиком. Он один из создателей современной теории вероятностей. Однажды Феллер и его жена пытались передвинуть большой круглый стол из гостиной в столовую. Они толкали и тащили, поворачивали и разворачивали, но никак не могли продвинуть стол в дверной проем. Было похоже, что стол застрял намертво. Устав и отчаявшись, Феллер с карандашом и бумагой разработал математическую модель ситуации. Через несколько минут ему удалось доказать, что их попытки обречены на неудачу. Пока Уильям был занят этими махинациями, его жена не оставляла стараний, и ей удалось-таки передвинуть стол в столовую.
из книги «Mathematical Apocrypha», Steven Krantz
Интересное видео! Я решил иначе, побольше вычислений, зато без диффуров. Свел к задаче минимизации гипотенузы прямоугольного треугольника, катеты которого расположены на осях, а гипотенуза проходит через точку (a, b). Доказать, что решения задач совпадают несложно. А дальше простая школьная алгебра, один катет параметризуем, другой находим по функции прямой, проходящей через две точки. Затем по теореме пифагора находим длинну гипотенузы и убеждаемся, что функция в необходимой области имеет один перегиб. Дифференцировать и искать ноль было немного муторно, но после всех преобразований и упрощений получился тот же ответ
Я решал эту задачу немного по-другому. Рассмотрим множество прямых, проходящих через внешний угол. Длина отрезка, ограниченного стенами коридора, равна L(φ) = a/cosφ + b/sinφ. Далее при помощи производной находим точку минимума функции L(φ): L'(φ) = 0. Получаем tgφ = (b/a)^(1/3). Выражаем синус и косинус через тангенс, подставляем в L(φ) и после преобразований получаем тот же результат, что и в видео на 14:05.
За эксперимент прямо огромное спасибо! На бумаге вроде всё ясно объяснил, но построение "стен" и расчет ширины коридора по ранее полученным формулам - это очень классно!
Большое спасибо за видео. На первом курсе универа попалась эта задача на олимпиаде 😅. Тогда не смог решить, и было интересно увидеть решение.
Красота! Когда в универе решал задачи и получал красивый ответ, внутри что-то радовалось. Но финальный эксперимент в видео с прохождением стержня в притирку - это чистый кайф :)
Гениально, решение задачи с дифференциплтным уравнением без решения дифференциалтного уравнения. Мне стразу вспомниалсь астроида, когда увидел картинку проездаеющего стержня. Ещё и эксперимент в конце, неожиданно.
Спасибо !!! Как всегда оригинально и прекрасно. Как же хочется заниматься Математикой. Ваш Канал очень нужен !!
Стеклопакет таких размеров стоит столько, что его дешевле поднять снаружи здания ;)
Есть эпичное видео, как тяжеленный стеклопакет обрывается и летит с высоты стопятьсотого этажа
@@ИгорьЛеоненко-ф3ы в смысле видео о криворуких рабочих, угробивших пакет?
Стеклопакет можно так наклонить, что он почти где угодно пройдет. Либо частями его тащить. Либо раму поднять снаружи, а стекла занести и устанвоить уже на месте.
@@ПавелВладимиров-и9л раму с установленными пакетами адекватные люди не носят - это же тяжело )
Видимо, вы никогда ничего не поднимали по фасаду, и не в курсе, сколько стоит сегодня стеклопакет. )
Класс!
Несколько решений, а практическая иллюстрация прям огонь
Лично я всегда считаю длину , приезжаю перемеряю коридоры , строю графики и т.д. ..... очень помогает
Расчёт и решение гораздо более цензурное, нежели сем наше, когда мы носили из гаража в дом гипсокартон ;) Прекрасное видео. Даёшь циклоиды, натянутые верёвки и прочие парадоксы 🎉
Как всегда интересное видео! И спасибо за задачку, решил ее в итоге, получив уравнение прямой стержня с параметром, нашел расстояние от точки до прямой и получил, что a/cosφ+b/sinφ≠L, далее нашел точку минимума функции от угла, ограничив ее область определения и сказал, что минимум функции должен быть больше L, чтобы решений не было, так и получил ответ
На первом курсе мехмата МГУ мы решали эту задачу:чтобы найти максимум надо найти минимум функции
А теперь давайте обобщение)) Вдруг в доме углы не прямые?)
Ага, углы не прямые, внутри одного или двух из коридоров есть сужение дверного проёма, а проносимый предмет имеет форму произвольного многогранника с одним внутренним углом. Банальная задача по пропихиванию в квартиру углового дивана.
@@Veter1992 Да не, давайте не усложнять. В видео фигурировал некий внутренний угол, давайте сделаем его параметром?)
@@s1ng23m4nв теории, если упороться с кривыми Безье, то может что-то и получится.
@@Veter1992 диван спокойно разбирается и собирается на месте.
@@Veter1992 Он у нас долго не пролазил. Никак. Пока одному из грузчников не прищемили ногу диваном.
Лежал, смотрел, только спустя 7 минут понял, что ютюб загрузил это видео без впн.
В реальной жизни еще высота потолка важна. Один конец опускают, второй поднимают и это увеличивает возможную длину арматуры
тут тоже несложно, если по-прикладному). поднять ближний к внутреннему углу конец арматуры и орудовать с длиной проекции на пол. а если попробовать это математически выразить: из ширин обоих коридоров мы найдём величину максимальной проекции на пол, а дальше по теореме пифагора для длины проекции и высоты мы найдём наибольшую длину арматуры.
навскидку предположу, что должно быть нечто такого типа:
a, b - ширины, h - высота.
L ≤ [(а^2/3 + b^2/3)^3 + h^2]^1/2
это в том случае, если мы примем следующий алгоритм за условие: ведём арматуру до внутреннего угла, поднимаем до потолка и поворачиваем без отрыва с обеих сторон до прохода.
@@prairekht8150 да скорее всего найденная проекция это катет, второй катет высота потолка и ищем гипотенузу этого треугольника
Решил по-другому и кажется проще. За переменную взял расстояние от угла до одного конца вписываемого отрезка. Отрезок должен проходить через х, задевать угол и касаться другой стороны. Выразил через х длинну отрезка. Понятно что из всего множества получившихся длин нужно выбрать минимальную, именно этот отрезок пройдет угол. Взял производную от полученной функции и приравнял к 0. Нашел х для минимума, там все поосто получается хоть и 4 я степень. Подставил в изначальну фунцию получил ответ как у Вас.
Задача интересная. Только в данной ситуации учитываются строго горизонтальная положения арматуры. Если сюда добавить высоту коридора (координата Z, что часто встречаются на практике) то результат изменится. Задача будет ещё интереснее при двух внешних углах т.е. Т-образный коридор разной широты.
Поэтому он сразу сказал, что для трёхмерного варианта эта задача не для стержня, а для листа стекла высотой примерно под потолок.
Зная решение Lm для двухмерного коридора, определить Lmax для трëхмерного просто по теореме Пифагора. Lmax=√(Lm^2+h^2)
Классная задачка, классный рассказ-показ! Обожаю математическое занудство, где все должно быть доказано! Конечно, лайк и подписка! Эту задачку я видел в одном задачнике по теормеху
Красивая задача
Это старая хрестоматийная задача из советских пособий.
Интересно рассмотреть подобную задачу с коленом трубы.
Я думал: "через проходную завода". В совке это было актуально: "тащи с завода каждый гвоздь, ты здесь хозяин, а не гость".
Можно через производную. Если взять катеты треугольника как x+b и y+a. Тогда имеем соотношение xy=ab. Отсюда y=ab/x. Ищем экстремум функции F = (x+b)^2 + (y+a)^2. Подставляем y, берём производную и приравниваем к нулю. Получаем 0=x + b - a^2*b^2/x^3 - a^2*b/x^2. Делим на x+b. Получаем 0 = 1 - a^2*b/x^3. Отсюда x^3=a^2*b и y^3=a*b^2. Ну а дальше просто алгебра. И в итоге получаем то же самое. L^2 = (x +b)^2 + (y + a)^2 = (a^(2/3) + b^(2/3))^3
Замечательное видео! Мне очень понравилось
Господи какой кайф, можно мне рекомендации побольше такого🙏🏻
Арматуру можно спокойно согнуть в дугу ;) и там целый хлыст в 12 метров пройдет
За доску Го в конце видео отдельная уважуха!)
Доска для игры в го, интересно.
Теперь то же самое надо для дивана/холодильника - но на лестничной клетке )
Точки (0, L) и (L, 0) лежат на кривой и при подстановке в уравнение
xtg(phi) + y = Lsin(phi)
дают phi = pi / 2 и phi = 0 соотвественно, откуда phi не равно const
Моей первой мыслю было: берем стенки как катеты а гипотенуза проходит через угол. углы треугольника 90 45 45. наша длинна прута чуть меньше гипотенузы
Почти верно, но не через углы, а через катеты, тогда более точно получается.
Это именно то, чего мне не хватало в 3 часа ночи!)
Я альтернативное решение нашёл.... там есть куда подумать.... 🤣
2:15 у меня, самое время для подобных рекомендаций от ютуба
Правильная задача!)
У меня гуманитарный склад ума, зачем я это смотрю 😊.
Математика - царица наук 👍
Надо просто разогнать предмет до около световой скорости, дабы уменьшить его длину в системе отсчёта коридора 🤔🤔🤔
Мне кажется, можно решить проще.
Для простоты отмасштабируем всю задачу так, чтобы труба была единичной длины. Возьмём такую же систему координат, как у вас, и найдём множество точек (a,b) первого квадранта плоскости таких, что труба едва коснётся этих точек при движении.
Положение трубы описывается парой чисел (x(t),y(t)) таких, что x²+y²=1, а t - некоторое условное время (труба ведь движется).Тогда единичный вектор нормали к трубе равен (y,x). Тогда расстояние от трубы до точки (a,b) равно скалярному произведению единичного вектора нормали (y,x) и вектора, идущего из любой точки трубы к точке (a,b). Возьмём, например, точку (x,0) на трубе, получим:
d(t) = (y,x)·((a,b)−(x,0)) = ay+bx−xy.
Для любой другой точки трубы получится то же выражение для d. Кстати, d будет отрицательным, когда труба пересекла точку (a,b).
Нам нужно, чтобы труба едва коснулась точки (a,b), а не пересекла её. Это означает, что минимальное расстояние min(d(t)) должно быть равно нулю. Поскольку d(t) непрерывно дифференцируема, а в начале и конце движения положительна, то найдём момент достижения минимального значения, приравняв производную к нулю (отсутствие дополнительных локальных экстремумов увидим дальше по ходу решения). Если сказанное в этом абзаце непонятно, то можно ещё представить себе, что скорость изменения расстояния от трубы до (a,b) должна быть нулевой в момент касания - труба должна «скользнуть» по точке, а не удариться в неё. Так или иначе, имеем систему уравнений:
x²+y²=1; d(t)=0; d'(t)=0.
Выберем такое движение трубы x(t),y(t), при котором d'(t) вычисляется максимально просто. Например x(t)=cos(t), y(t)=sin(t). Тогда:
d(t) = ay+bx−xy = a·sin(t)+b·cos(t)−cos(t)sin(t),
d'(t) = a·cos(t)−b·sin(t)+sin²(t)−cos²(t).
Если вернуться к исходным обозначениям x,y, система уравнений примет вид:
x²+y²=1; ay+bx−xy=0; ax-by+y²−x²=0.
Последние два уравнения линейны относительно a,b. Решая их, получим:
a=x³/(x²+y²), b=y³/(x²+y²).
Привлекая первое уравнение, имеем, что в момент проскальзывания единичной трубы (x,y) по точке (a,b) выполняются равенства a=x³, b=y³, откуда a^(2/3)+b^(2/3)=1. Вспоминая, что задача была отмасштабирована так, чтобы длина трубы была единичной, получаем, что в исходных величинах (L,A,B) максимальная длина трубы L удовлетворяет уравнению (A/L)^(2/3)+(B/L)^(2/3)=1, откуда:
L=(A^(2/3)+B^(2/3))^(3/2).
Задача класс!
Интересная задача, ну и, конечно же, решение только для бытовых целей гораздо проще воспользоваться графическим методом. Ну, к примеру, перед закупкой материалов.
слышал что есть задача о перемещении дивана
ага, между прочим нерешенная задача! :)
Там нужно уже не функцию находить, а экстремум формы фигуры, чую топология должна быть замешана, ждëм внука Перельмана получается
@@suyunbek1399никто еще не знает что там надо находить, поэтому задача и не решенная до сих пор
@@Hmath В «Сказке о Тройке» Стругацких близко подошли к решению. Правда, диван не самый обычный. Глава так и называется: «Суета вокруг дивана».
@@suyunbek1399 «...чую, топология должна быть замешана...» А я чую, что вы не понимаете, что такое топология, могу объяснить, почему мне так кажется. Если я ошибаюсь в отношении вас, поправьте меня.
45 градусов. √2(a+b) пр это теореме Пифагора
Хорошо подмечено!
Мне тоже так показалось. Возможно, эта формула не совсем работает. Хотелось бы от автора получить ответ)
Простое решение и нет степеней
@@ДмитрийТрыков-с2э Вы правы, но как частный случай... Дело не в степе
@@АлександрКольцов-о2вдля 3д √3×(a+b+c) 😂😂😂 вот и всё
Супер! Очень интересно! Посмотрел с большим удовольствием, большое вам спасибо!
«Кто сказал, что она несгибаемая?!»
очень интересно за этим наблюдать. я ещё в школе, поэтому я мало что понимаю(перехожу в десятый класс). это чертовски красиво
А есть ли возможность найти геометрически длину? Скажем, всё бы решилось, если бы можно было найти геометрически центр окружности, касательной которой является отрезок. Я голову ломал в Автокаде, но так и не смог найти решение без алгебраического расчёта, как у вас
Я другой подход нашёл. Задача на минимум функции.
Набор пересечений этих отрезков - гипербола - интеграл прямой.
Доска зачёт в конце
На эту же тему существует задача о перемещении дивана. На сегодняшний день это открытая математическая проблема.
Задача сводится к двумерной идеализации житейской проблемы о перемещении мебели. В двумерном пространстве определите жёсткое тело наибольшей площади А, которое может быть перемещено в Г-образном «коридоре», образованном «тоннелями» шириной в единицу измерения, сходящимися под прямым углом. Полученное значение А принято называть константой дивана (в альтернативных формулировках той же самой задачи этот предмет является идеализацией стола, или же баржи или корабля в Г-образном канале).
диван можно разобрать (если о житейской проблеме говорить) Именно так заносят диваны грузчики.
Надо же, я целиком понял решение этой славной задачи!!!
Согласен насчёт очевидного, хотя не знаю, как доказать.
Хороший канал, речи нет! Продолжайте. Буду следить!
Первое, о чем подумал, это четверть вписанной во внутренний угол окружности, которую описывает стержень при движении. Нужно найти лишь радиус этой окружности, на которой лежит внешний угол.
Но это возможно только визуально так кажется.
Очень интересное видео. Спасибо.
Про диван.
У меня в квартире 2 дивана.
И оба по ширине +- как высота коридора.
Поэтому я в душе не знаю как эти советские диваны и с какими матами затаскивали в квартиру.
Про Шкаф.
Соседи делали ремонт и покупали новый шкаф.
А нам решили подарить старый.
Так вот мы спокойно не разбирая шкаф на составляющие при помощи тряпок смогли с 1 квартиры в другую по коридору переместить по частям шкаф длинной со всю стену. Квартиры были по диагонали друг к другу.
Лютая др0чь но это возможно.
Поэтому нужно поблагодарить создателя Икеи за разборную мебель.
А если добавить в задачу третье измерение? Получится ведь, что при виде сверху можно уменьшать длину арматуры вплоть до полностью вертикального состояния, условно до точки. Тогда можно будет пронести бесконечно длинную арматуру, через бесконечно узкий коридор при условии, что потолок коридора находится бесконечно высоко, я правильно понимаю?)
если вы судите про тонкий стержень,то можно воспользоваться высотой потолка. если вы судите про предмет какой-то внушительной плоскости прямоугольного размера, то ваш вариант идеален
вообще,математика - это нечто. в школе участвовал на олимпиадах,знал программу на следующий год в школе. начал забывать. интересно было. теперь электроника
Если речь именно про практическую задачу.
1. У коридоров есть высота - это +Х к длине трубы которую можно пронести.
2. Берем лазерную рулетку и простреливаем углы коридора чтобы понять что там пролезет
3. В коридорах на стенах бывает висит всякая инженерка.
Надо бы попробовать поставить это видео перед сном
Значительное отклонение краев площади заметания от 45гр наглядно показывает насколько важно по возможности подпиливать углы у объектов интерьера. Так подпилив угол под 45гр маленького треугольничка 1х1дм с гипотенузой sqrt(2)дм и биссектрисой всего в 5см (почти бесполезные для хранения) дают значительный выигрыш в проходимости объектов. (Площадь заметания увеличиться значительно больше чем отрезаемое!) Поэтому отпиливайте прямые выступающие углы у столов, тумбочек и шкафов (если вы их сами изготавливаете) они делают гораздо больше минусов.
Да и безопаснее, меньше задевать и стукаться об эти углы )
Прекрасно! Я все комментарии не читал - это я к тому, что аналогичную мысль уже кто-нибудь высказал. Но мне кажестя, что автор видео забыл о высоте коридора… Так что длина стержня может быть больше ☺☺☺
есть более простое решение без диффуров. нашел его пока смотрел ваше. суть такая: возьмём семейство отрезков, проходящих через угол, и найдем минимальный из них. оказалось, что параметризовать эти отрезку удобно не углом, а координатой х, например.
Было такое тестовое задание при трудоустройстве программистом. Долго терзал геометрию, потом просто поворачивал по одному градусу и смотрел, не заденет ли стенки.
Очень крутое видео. Вот это мне бы хотелось видеть в телевидении. Было бы круто, разобрали бы вы ещё применение кардиодид в реальной жизни
Гениальное решение вытекает из гениального заголовка.
Шикарная задача! И для улицы, и для водных каналов! Решал такую😂 , с прутом проще. Со шкафом, например, много сложнее. Спасибо большое!
диагонали шкафа не будет достаточно?
красивое. показывают. граф решение всегда красивое, спасибо)
ну и фи не может быть 0 изза _физических ограничений - как говорил дед "кина не будет" - коридор без загиба получается - несём по прямой.
я в самом начале видео думал о решение через треугольники и общую прямую между двумя углами, но через касательную 11 класса даже интересней получается)
А можно ли дифференцировать график,найти касательную и с помощью тригонометрии найти длинну этой касательной?
дифференцировать можно функцию. А что значит "дифференцировать график"?
@@Hmath не удачно выраззился)))) график функции
Круто! Не думал, что в такой, с виду простой, задаче дифуры вылезут.
Я задумался, толщина переносимого объекта? Если учитывать её то нужно уменьшить длинну в пользу толщине
Очень интересное видео
Сначала с условия задачи думал, что ответ будет (а+b)√2, но оказалось, что он соблюдается только для случая а=b, а при их различии эта формула будет давать длину большую, чем надо, и погрешность будет тем больше, чем больше разница ширины сторон, вплоть до погрешности в 41% (с копейками)
Так а+в это не то совсем, квадраты ширин, а не сумма. Ну и фигура не квадрат.
Мои любимые ролики в 5 утра
Все делается гораздо проще - в солидворксе прямо в эскизе рисуется этот угол и отрезок концы которого привязываются к отрезкам угла (взаимосвязью).
А дальше крути/тягай. концы этого отрезка как хочешь, играйся с длиной отрезка и шириной коридоров без каких либо формул :))). И все наглядно и универсально и быстро работает :)))
Решил по-другому. Пусть у нас есть веер прямых, проходящих через (а,б). При отрицательных к они будут нашими стержнями. Какова минимальная длина отрезка такой прямой в пределах 1й четверти? Записываем уравнение прямой через точку, находим точки пересечения с осями, записываем по Пифагору длину отрезка, остаётся продифференцировать. Я сразу дифференцировал квадрат длины по к, так проще. Выходит, что минимум достигается при к=-cbrt(b/a). Подставляем, получаем ваш ответ. Т.к. это минимальная длина отрезка, проходящего через внутренний угол, то более длинный стержень не пройдёт
Извиняюсь за нескромность, но лучшее решение - у меня!
Решение доступно ШКОЛЬНИКУ! Без дифуров.
Ага! А если один конец поднять к потолку, то можно ещё длиннее следать :)
решение пока смотреть не буду, сил что то нет, а формулу с 14:07 заберу) полезная может где-нибудь пригодиться, спасибо)
На олимпиадах такие типы задач часто попадаются. Обычно только с мат. школой за плечами их можно решить.
Да вы чего? А теорему Пифагора не пробовали взять?
@@АлександрКоротков-й7ъ с интересом послушаю решение на основе теоремы Пифагора