@@Hmath Искал интеграл Эйлера-Пуассона, ваше понравилось. Я студент первого курса и столкнулся с этим в выводе распределения Максвелла. Вот было мое удивление когда я не смог взять интеграл e^-x^2. Люблю такие моменты, сразу видишь насколько мало ты знаешь.
@@Hmath Еще осталось разобраться с повторными интегралами. А вообще, возвращаясь к вашему каналу, на русском ютубе очень мало хорошего контента. В основном всплывают видео по теме ЕГЭ, что жутко надоедает и не дает разобраться в сути.
Предполагаю, что фраза "косинус может достигать четырех" относилась к той части формулы, в которую входил косинус - именно эта часть и могла достигать четырех. Считать военных недалёкими - заблуждение.
@@alexandergretskiy5595 Недалекий человек это ты. На военной кафедре военные знают что студенты считают их тупыми но молчат. Поэтому троллят студентов прикидываясь гвоздями а студенты не остаются в долгу. Хохм очень много и по ним и идет "соревнование". А дурь она у всех есть.
Запросто косинус может достигать четырёх на действительной оси для чисто мнимых аргументов. Синус, в свою очередь может достигать четырёх, если его мнимая часть равна половине пи.
Спасибо автору за формулу. Я немного с ней проигрался и вывел так сказать общую формулу для нахождения любого числа. Может кому-то пригодится. cos(±i*ln(±√(х²-1)+х)+2πk)=х Выводится это формула достаточно просто. Повторяем те же действия что и автор данного видео, но заменяем cos(z)=2 на cos(z)=x. (e^(it)+e^(-it))/2=х e^(it)+e^(-it)=2х |*е^(it) e^(2it)-2xe^(it)+1=0 e^(2it)=k k²+2k+1=0 K(1;2)=±1/2*√(4k²-4)+k k(1;2)=±1/2√(4*(k²-1))+k k(1;2)=±√(k²-1)+k Дальнейшие шаги не вижу смысла расписывать так как с этим прекрасно справился автор.
Да, во-первых, в середине пропал x, во-вторых, дискриминант может получиться и отрицательным и комплексным (в зависимости от x), а значит, аргумент может быть другим.
@@oleg.shnyrkov Второй пункт учтён. Посмотрим на формулу внимательно. Да я понимаю что я её плохо доказал, но ты сам можешь её через калькулятор проверить. Или даже построить график чтобы убедиться что она верна
3й пункт. если x-√(х²-1) < 0, то аргумент станет π + 2πk, т.о. половина решений cos(z)=x меняется на -i*ln|x-√(х²-1)|+2πk + π, но поскольку x-√(х²-1) < 0 при x x+√(х²-1) < 0, т.о. решением { cos(z)=x, x < -1 } будет просто z = -i*ln|x±√(х²-1)|+2πk + π, 4. еще можно вытащить +- из-под ln() исходя из того, что ln(a +- b) = -+ln(a - b), при а^2 - b^2 = 1 : z = 2πk + π ± i*ln |x-√(х²-1)|, x < -1 z = 2πk ± i*ln |x-√(х²-1)|, x > 1
Весь это пример демонстрирует только одно - насколько важно правильно формулировать задачу. В данном случае не хватает указания на какой области чисел следует искать решение. В области действительных чисел уравнение корней не имеет, и это абсолютно верный ответ. И человек, который не изучал комплексные числа, только так и должен ответить - корней нет.
Еще можно было бы рассказать про математический смысл возведения в мнимую степень. Экспонента от мнимого аргумента. exp(i*fi) - это поворот на комплексной плоскости на fi. А в целом возведение z=exp(lnr+i*fi) в мнимую степень меняет местами реальную и комплексную компоненты. А также показать, как устроен график cos(z), и где он достигает двух.
ради любопытства, а как вы представляете себе график функции комплексного аргумента? Аргумент функции комплексное число - его значит откладываем на плоскости (2 оси), и значение функции - тоже комплексное число, чтобы его как-то изобразить, понадобится еще 2 оси. Т.е "график" такой функции будет в 4-х мерном пространстве.
ну т.е нужно изобразить 2 поверхности отдельно. Надеюсь, кстати, понятно, что |z|=2 и z=2 - это не одно и то же :) т.е если изобразить только поверхность соответствующую |cos z|, то точек, где |cos z| = 2 будет значительно больше, чем тех, где cos z =2
Одно из главных правил комплексных чисел, в отличие от вещественных (действительных) чисел, что нельзя указать какое из комплексных чисел больше или меньше. Вот и всё.
Одно из главных правил комплексных чисел, в отличие от вещественных (действительных) чисел, что нельзя указать какое из комплексных чисел больше или меньше. Вот и всё. 😊 Задача с подвохом.
@@АндрейСмирнов-э3ь Нельзя, или больше в -2 раза, или меньше в ±2 раза? К тому же 2i это только мнимая часть комплексного числа. Такое сравнение не соответствует основному закону математической логики: Тождества закон А ≡ А (А равнозначно А).
Тут такая проблема: чтобы представить комплексное число, нам нужна двумерная плоскость. Значения функции также комплексные. То есть для того, что бы графически интерпретировать график функции, нам нужно 4-мерное пространство
Вот как я решал: cos(z) = 2 cos(z) = (e^(iz)+e^(-iz))/2 = 2 Домножим на 2: e^(iz)+e^(-iz) = 4 Домножим на e^(iz): e^(-iz)×e^(iz) = e^(iz-iz) = 1 (e^(iz))²+1 = 4e^(iz) Получаем квадратное уравнение: (e^(iz))²-4e^(iz)+1 = 0 Находим два корня по дискриминанту: e^(iz) = 2±√3 Логарифмируем: iz = ln(2±√3) Домножаем на -i и получаем: z = -i•ln(2±√3)
Вот определили мы косинус и сунус на поле комплексных чисел, а геометрический смысл есть у них какой-нибудь? Может их свойства связаны с геометрией пространства?
Да. Я понимаю, что прошло слишком много времени, но , если вам всё ещё интересна эта тема и вы не нашли ответа на свой вопрос, то я советую почитать вам про унитарные (эрмитовы ) пространства.
из вики: Два возможных ударения указаны согласно следующим источникам. * Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа. * Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число. * Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: ко́мплексные (компле́ксные) числа. * В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) приводятся варианты: Компле́ксное число (стр. 691, автор не указан), но Ко́мплексный анализ Архивная копия от 2 июля 2019 на Wayback Machine (стр. 695, автор: член-корр. РАН Е. М. Чирка). * Орфографический словарь русского языка (изд. 6-е, 2010), Грамматический словарь русского языка, Русский орфографический словарь Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина (изд. 4-е, 2013) и ряд других словарей указывают варианты: ко́мплексный и компле́ксный (матем.).
Значения ln[2+sqrt(3)]=1,317 и ln[2-sqrt(3)]=-1,317 равны по модулю, но отличаются знаком - это просто совпадение или тут есть какой-нито глубинный смысл?
@xleoxjeffx Ко́мпле́ксные чи́сла под каждым видео это странное франкофильство с ударением :) И главное, все прекрасно знают, что в русском языке есть общеупотребляемое слово с ударением на первый слог и только узкий кружочек математиков очень любит отделять себя, используя французское ударение.
@@Hmath а, то есть там два ударения? то есть не так уже и однозначно, да? кружок настолько узкий, что третий раз в жизни слышу ко́мплексные числа, вместо компле́ксные. наверное у нас кафедра французской математики
несомненно :) Можно, кстати, даже какую-нибудь перекличку уже организовать. Интересно, где географически базируются любители ударений на Е :) Есть ведь еще и физики и вообще все остальные люди, которые используют слово "комплексный" с ударением на О - явно всех их больше, чем одна кафедра :)
А давайте решим уравнение |x| = -1 (минус один). Начнём с того, что любой школьник, сдающий ЕГЭ скажет что тут ошибка, и модуль может быть только неотрицательным... И тут я скажу, что недавно придумали новые числа, модуль которых есть отрицательное число, тогда как-будто понятно, x = ± j (где j новая хитрая единица). Так вот интересная задача, найти квадрат этой самой хитрой единицы. То есть, если |x| = -1, найти x^2 = ? А что, по аналогии, ведь для параболы же придумали мнимую единицу x^2 = -1, x = ±i
Ну начнём с того, что школьники, сдающие ЕГЭ не должны говорить об ошибке в уравнении, так как левая и правая часть могут быть в уравнении любыми, их дело его решить. Даже, казалось бы такое абсурдное 1=2, x=? Кто решит?
Клёво вам, математикам! Упёрлись в нерешаемую проблему? Ха, ща мы мнимую единицу и комплексное поле добавим, и всё норм! А чо такова?) Потом упрёмся в повороты 3Д, ага, вот вам кватернионы и октанионы! Замечательно! Студенты пляшут и машут? Нет? Ой, а чо такова?)
Главное, что выдумав мнимую единицу, проблема была решена, плюс ко всему эта мнимая единица капец как упростила решение некоторых дифференциальных уравнений, а теории автоматического управления вообще дала огромный толчек
Шикарное видео, очень хорошо, что вы включили выведение формул, все стало понятно
Супер! Всё по полочкам от восьмого класча и до университетской скамьи. Спасибо!)
У тебя очень хороший канал
Не останавливайся
спасибо! новые видео еще лучше :) посмотрите новогоднее! ;)
@@Hmath Искал интеграл Эйлера-Пуассона, ваше понравилось. Я студент первого курса и столкнулся с этим в выводе распределения Максвелла. Вот было мое удивление когда я не смог взять интеграл e^-x^2. Люблю такие моменты, сразу видишь насколько мало ты знаешь.
@@Hmath Еще осталось разобраться с повторными интегралами.
А вообще, возвращаясь к вашему каналу, на русском ютубе очень мало хорошего контента. В основном всплывают видео по теме ЕГЭ, что жутко надоедает и не дает разобраться в сути.
да, я сам ничего практически по математике на русском не смотрю. в русском ютьюбе что бы ни пытался искать по математике, все будет забито ЕГЭ :)
@@Hmath Вот я и рад что вы есть.
Отличное видео. Большое спасибо за вашу работу.
Как нас учили на военной кафедре, в военное время (как сейчас) косинус может достигать четырех и на действительной оси!
Это да, и черное можно называть белым (как сейчас)
Предполагаю, что фраза "косинус может достигать четырех" относилась к той части формулы, в которую входил косинус - именно эта часть и могла достигать четырех.
Считать военных недалёкими - заблуждение.
@@alexandergretskiy5595 Недалекий человек это ты. На военной кафедре военные знают что студенты считают их тупыми но молчат. Поэтому троллят студентов прикидываясь гвоздями а студенты не остаются в долгу. Хохм очень много и по ним и идет "соревнование". А дурь она у всех есть.
Запросто косинус может достигать четырёх на действительной оси для чисто мнимых аргументов. Синус, в свою очередь может достигать четырёх, если его мнимая часть равна половине пи.
@@FastStyx нет. В военное время косинус достигает 4 без всяких комплексных заморочек. просто на форсаже.
Спасибо автору за формулу. Я немного с ней проигрался и вывел так сказать общую формулу для нахождения любого числа. Может кому-то пригодится.
cos(±i*ln(±√(х²-1)+х)+2πk)=х
Выводится это формула достаточно просто. Повторяем те же действия что и автор данного видео, но заменяем cos(z)=2 на cos(z)=x.
(e^(it)+e^(-it))/2=х
e^(it)+e^(-it)=2х |*е^(it)
e^(2it)-2xe^(it)+1=0
e^(2it)=k
k²+2k+1=0
K(1;2)=±1/2*√(4k²-4)+k
k(1;2)=±1/2√(4*(k²-1))+k
k(1;2)=±√(k²-1)+k
Дальнейшие шаги не вижу смысла расписывать так как с этим прекрасно справился автор.
в середине что-то х пропал :)
Да, во-первых, в середине пропал x, во-вторых, дискриминант может получиться и отрицательным и комплексным (в зависимости от x), а значит, аргумент может быть другим.
@@oleg.shnyrkov Второй пункт учтён. Посмотрим на формулу внимательно. Да я понимаю что я её плохо доказал, но ты сам можешь её через калькулятор проверить. Или даже построить график чтобы убедиться что она верна
3й пункт.
если x-√(х²-1) < 0, то аргумент станет π + 2πk, т.о. половина решений cos(z)=x меняется на
-i*ln|x-√(х²-1)|+2πk + π,
но поскольку x-√(х²-1) < 0 при x x+√(х²-1) < 0, т.о. решением { cos(z)=x, x < -1 } будет просто
z = -i*ln|x±√(х²-1)|+2πk + π,
4. еще можно вытащить +- из-под ln() исходя из того, что ln(a +- b) = -+ln(a - b), при а^2 - b^2 = 1 :
z = 2πk + π ± i*ln |x-√(х²-1)|, x < -1
z = 2πk ± i*ln |x-√(х²-1)|, x > 1
Спасибо, Мне очень понравилось ваше видео, оно познавательное
Отличное объяснение
Одно из главных правил комплексных чисел, что нельзя указать какое из комплексных чисел больше или меньше.
сюда бы еще добавить визуализацию cos(z) в комплексных значениях, мне кажется забавнвя волнистая поверхность получилась бы
Thanks. Everything was nice.
Весь это пример демонстрирует только одно - насколько важно правильно формулировать задачу. В данном случае не хватает указания на какой области чисел следует искать решение. В области действительных чисел уравнение корней не имеет, и это абсолютно верный ответ. И человек, который не изучал комплексные числа, только так и должен ответить - корней нет.
да, но постановка задачи забытое искусство
Буква z вместо x как раз об этом и говорит.
Еще можно было бы рассказать про математический смысл возведения в мнимую степень.
Экспонента от мнимого аргумента. exp(i*fi) - это поворот на комплексной плоскости на fi.
А в целом возведение z=exp(lnr+i*fi) в мнимую степень меняет местами реальную и комплексную компоненты.
А также показать, как устроен график cos(z), и где он достигает двух.
ради любопытства, а как вы представляете себе график функции комплексного аргумента?
Аргумент функции комплексное число - его значит откладываем на плоскости (2 оси), и значение функции - тоже комплексное число, чтобы его как-то изобразить, понадобится еще 2 оси. Т.е "график" такой функции будет в 4-х мерном пространстве.
@@Hmath по третьей оси можно откладывать отдельно модуль и фазу. в данном случае нас интересует модуль
ну т.е нужно изобразить 2 поверхности отдельно. Надеюсь, кстати, понятно, что |z|=2 и z=2 - это не одно и то же :) т.е если изобразить только поверхность соответствующую |cos z|, то точек, где |cos z| = 2 будет значительно больше, чем тех, где cos z =2
@@Hmath да, размерность первого множества скорее всего будет на 1 больше. спасибо за интересный момент))
Одно из главных правил комплексных чисел, в отличие от вещественных (действительных) чисел, что нельзя указать какое из комплексных чисел больше или меньше. Вот и всё.
Следующая ступень на пути к просветлению - осознать физический смысл косинуса, равного 2 🙄
Пошел за грибами 🍄
Одно из главных правил комплексных чисел, в отличие от вещественных (действительных) чисел, что нельзя указать какое из комплексных чисел больше или меньше. Вот и всё. 😊 Задача с подвохом.
А какая разница какое из чисел больше? (при чем ваш комментарий?)
@@Niknayk
Разница между вещественными 1 и 2 есть, а между комплексными нет. Вот и всё. )
@@Sergey_Moskvichev легко можно указать, 2i больше i в 2 раза
@@АндрейСмирнов-э3ь
Нельзя, или больше в -2 раза, или меньше в ±2 раза? К тому же 2i это только мнимая часть комплексного числа. Такое сравнение не соответствует основному закону математической логики: Тождества закон А ≡ А (А равнозначно А).
Первая подсказка - z. Так обозначают в уравнениях комплексные числа. У комплексного числа две составляющие: действительная и мнимая.
Спасибо. А есть ли графическая интерпретация решения?
Тут такая проблема: чтобы представить комплексное число, нам нужна двумерная плоскость. Значения функции также комплексные. То есть для того, что бы графически интерпретировать график функции, нам нужно 4-мерное пространство
@@Bur1kZOV в розетке комплексные числа, наливай и пей
Вот как я решал:
cos(z) = 2
cos(z) = (e^(iz)+e^(-iz))/2 = 2
Домножим на 2:
e^(iz)+e^(-iz) = 4
Домножим на e^(iz):
e^(-iz)×e^(iz) = e^(iz-iz) = 1
(e^(iz))²+1 = 4e^(iz)
Получаем квадратное уравнение:
(e^(iz))²-4e^(iz)+1 = 0
Находим два корня по дискриминанту:
e^(iz) = 2±√3
Логарифмируем:
iz = ln(2±√3)
Домножаем на -i и получаем:
z = -i•ln(2±√3)
Надеюсь, кому-то будет интересно
Спасибо
iz*(-i)=z*(-i^(2)), а не z
@@chghswwldp2862 z*(-i^2) = z*(-(-1)) = z
А плюс 2пn? Это косинус всё-таки...
необычное видео
При решении квадратного уравнения, когда "b" четное, для нахождения корней легче искать не дискриминант D, а D/4
12:53 чему будет равен аргумент если допустим e^iz < 0 ???
Был бы pi + 2pi*k
Видео топ! Спасибо!
Вот определили мы косинус и сунус на поле комплексных чисел, а геометрический смысл есть у них какой-нибудь? Может их свойства связаны с геометрией пространства?
Да. Я понимаю, что прошло слишком много времени, но , если вам всё ещё интересна эта тема и вы не нашли ответа на свой вопрос, то я советую почитать вам про унитарные (эрмитовы ) пространства.
@@MrDiktor да, много))
После логарифмирования этой формулы и разложения логарифма в ряд можно получить ряд, вырожающий число пи)
БРАВО!
Как научиться также красиво писать мышкой? 😍
Ах, если бы я знал. Хороший способ: писать не мышкой. Им я и пользуюсь ;)
Купить графический планшет)
Мышкой не пишут, пишут либо на графическом планшете, либо на планшете - обычно на iPad-е
Почему пишет "видео не доступно"?
Пожалуйста, ответьте на вопрос. Какой смысл имеет возведение числа в степень с комплексным показателем? Какую пользу это приносит?
Практически везде в физике это используется. От электричества до квантовой механики.
периодичность - очень удобное свойство в физике. возведение в комплексную степень позволяет переписать меньше синусов и косинусов, упрощая формулу.
@@oleg.shnyrkov и это боооооль
Вот все хорошо в этом видео, только когда автор назвал комплЕксные числа кОмплексными, вспомнилась шутка про обеды
из вики:
Два возможных ударения указаны согласно следующим источникам.
* Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.
* Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.
* Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: ко́мплексные (компле́ксные) числа.
* В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) приводятся варианты: Компле́ксное число (стр. 691, автор не указан), но Ко́мплексный анализ Архивная копия от 2 июля 2019 на Wayback Machine (стр. 695, автор: член-корр. РАН Е. М. Чирка).
* Орфографический словарь русского языка (изд. 6-е, 2010), Грамматический словарь русского языка, Русский орфографический словарь Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина (изд. 4-е, 2013) и ряд других словарей указывают варианты: ко́мплексный и компле́ксный (матем.).
Да уж. Эх... Ни когда не понимал.
❤❤❤
e^(iz) + e^(-iz) = 4, квадратное уравнение.
Сначала я нашёл синус ± i*sqrt(3)
Далее тождество
e^(iφ)= 2 ± i*i*sqrt(3)
e^(iφ) = 2 ± sqrt(3)
iφ = ln(2 ± sqrt(3)) + 2iπn, n c Z
φ = -i*ln(2 ± sqrt(3)) + 2πn
φ = i*ln(2 ± sqrt(3)) + 2πn
Автор, Вы случайно не потомок Андрея Петровича?
какого Андрея Петровича?
@@Hmath Андрей Петрович Киселёв математик советский)
нет, не потомок
Намного полезнее было бы решить уравнение tg(z) = +- i
Косинус от комплексного числа. Это же безумие) хотя...
Значения ln[2+sqrt(3)]=1,317 и ln[2-sqrt(3)]=-1,317 равны по модулю, но отличаются знаком - это просто совпадение или тут есть какой-нито глубинный смысл?
наверно, глубинный смысл в том, что 1/(2+sqrt(3)) = 2-sqrt(3) :)
Когда разность квадратов в логарифме равно 1 то +- можно из него вытащить: ln(a +- b) = -+ln(a - b), при а^2 - b^2 = 1
чего тут думать. Как в школе учили: x=+-arccos(2)+2пn
Это шутка, надеюсь?
абСцисса, пожалуйста, а не абЦисса
вы жулик)
Да, из логарифма можно плюс минус вытащить, сопряженные комплексные в ответе куда симпатичнее 😊
комплЕксных
кОмплесные
ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное_число
@@Hmath с большим уважением как к математику, но уточните пожалуйста ещё раз)
(ссылка битая)
@xleoxjeffx Ко́мпле́ксные чи́сла
под каждым видео это странное франкофильство с ударением :) И главное, все прекрасно знают, что в русском языке есть общеупотребляемое слово с ударением на первый слог и только узкий кружочек математиков очень любит отделять себя, используя французское ударение.
@@Hmath а, то есть там два ударения? то есть не так уже и однозначно, да?
кружок настолько узкий, что третий раз в жизни слышу ко́мплексные числа, вместо компле́ксные. наверное у нас кафедра французской математики
несомненно :) Можно, кстати, даже какую-нибудь перекличку уже организовать. Интересно, где географически базируются любители ударений на Е :) Есть ведь еще и физики и вообще все остальные люди, которые используют слово "комплексный" с ударением на О - явно всех их больше, чем одна кафедра :)
А давайте решим уравнение |x| = -1 (минус один). Начнём с того, что любой школьник, сдающий ЕГЭ скажет что тут ошибка, и модуль может быть только неотрицательным... И тут я скажу, что недавно придумали новые числа, модуль которых есть отрицательное число, тогда как-будто понятно, x = ± j (где j новая хитрая единица). Так вот интересная задача, найти квадрат этой самой хитрой единицы. То есть, если |x| = -1, найти x^2 = ? А что, по аналогии, ведь для параболы же придумали мнимую единицу x^2 = -1, x = ±i
Мнимые числа придумали в 17-18 веке и их используют в физике. Если бы их не было то и не было компьютера
Модуль это √x².
тут у вас не новое число, а другое определение модуля, поскольку в классический модуль по определению неотрицателен.
@@Cekcom Ну определение классическое верно для обычных чисел. Когда определяли модуль, то ещё ничего не знали о новых числах
Ну начнём с того, что школьники, сдающие ЕГЭ не должны говорить об ошибке в уравнении, так как левая и правая часть могут быть в уравнении любыми, их дело его решить. Даже, казалось бы такое абсурдное 1=2, x=? Кто решит?
Клёво вам, математикам! Упёрлись в нерешаемую проблему? Ха, ща мы мнимую единицу и комплексное поле добавим, и всё норм! А чо такова?)
Потом упрёмся в повороты 3Д, ага, вот вам кватернионы и октанионы! Замечательно! Студенты пляшут и машут? Нет? Ой, а чо такова?)
в математике много такого, когда для решения сложных проблем создаётся мощная теория
не забудьте забанить розетку с электротоком, любитель простых решений
Главное, что выдумав мнимую единицу, проблема была решена, плюс ко всему эта мнимая единица капец как упростила решение некоторых дифференциальных уравнений, а теории автоматического управления вообще дала огромный толчек