grande e bella spiegazione che mi riporta a tanti anni fa quando trovai un libro che spiegava gl'insiemi di Cantor , lo divorai in una notte ...una rivelazione stupenda che mi tolse una marea di dubbi , Grazie
Vorrei farle i complimenti per la sua capacita' di rappresentare concetti anche molto complessi in modo semplice ed elegante. Una qualita' non comune anche nel mondo accademico. Ho apprezzato l'eleganza della diagonale di Canor per esplicitare la cardinalita' degli insiemi. Il valore della descrizione di Canor, a mio avviso, e' piu' quello di aver posto il problema della cardinalita' ed aver dato un criterio per valutarla. Per quanto riguarda la dimostrazione invece, se non commetto errori grossolani, si trova immediatamente che non esiste una corrispondenza biunivoca tra tutti i numero naturali ed i numeri reali compresi tra 0 e 1. Ad esempio, se mettiamo in corrispondenza la sequenza di numeri naturali N con i reali R costruendo una relzione del tipo Ri = 0,0Ni dove Ni e' la sequenza dei numeri naturali (0,1,2,3, etc), allora e' evidente che il numero 0,1 non trova corrispondenza con un numero natuale. Questo vale anche per 0,00Ni , 0,0000Ni, ed anche 0,1Ni. etc etc. per i quali esiste un intervallo di numeri reali che non ha corrisponza con numeri naturali. La ringrazio nuovamente anche per aver stimolato questa riflessione, giusta o sbagliata che sia.
Grazie per l'apprezzamento. Se N=10, 100, 1000, ecc., questi diversi numeri naturali sono in corrispondenza con lo stesso numero reale R=0,01. Non è quindi biunivoca. Se ho capito bene quello che hai proposto...
il ragionamento era diverso, se immaginiamo una corrispondenza del tipo 1 -> 0,01 2 --> 0,02 3 -> 0,03 ... 4356 -> 0,04356 ... allora 0,1 non trova corrispondenza con nessun numero naturale ma anche 0,2 e 0,3 , il ragionamento si replica immaginando di porre in relazione 1-> 0,001 , 2 -> 0,002 oppure 1 -> 0,0001 etc etc. @@autoricerca
@@grangolem2749 Il problema è che devi mostrare che non esiste una corrispondenze biunivoche tra i due insiemi di numeri, non che alcune corrispondenze specifiche non lo siano...
Professore, ancora una volta Le esprimo il mio apprezzamento per questo e altri video nei quali gli argomenti sono trattati con la massima chiarezza, con efficacia espositiva e nella perfetta combinazione tra divulgazione e approfondimento specialistico.
Sono uno studente di Chimica, appassionato di matematica e dai ragionamenti e dimostrazioni che si celano dietro i modelli matematici. Le faccio i complimenti per l'uso di un linguaggio semplice e diretto, se pur corretto e preciso, che rende l'ardua matematica una cosa piacevole e comprensibile a tutti.
Da apassionato, conoscevo l'argomento diagonale di Cantor, ma ho trovato la sua trattazione molto gradevole come ripasso. Sarebbe interessante un approfondimento sul tema degli infiniti successivi ad aleph_1, anche se forse sarebbe troppo tecnico.
Bellissima lezione, grazie e complimenti! Sarebbe stato bello dimostrare come anchee gli insieme dei numeri razionali sia della stessa cardinalità dei numeri interi e dei numeri naturali. :) PS: Se Cantor ritenne che non esiste una cardinalità intermedia tra aleph0 e aleph1 io mi fido. 😅
Gentile Prof. Volevo chiederle se l'insieme delle coppie di numeri reali nel piano e delle terne nello spazio (per intenderci i campi R2 e R3) costituiscono infiniti di ordine superiore all'insieme dei reali R in base a questo criterio. Grazie mille.
Carissimo Prof.Vi seguo con passione e mio cervello (nato '63) La ringrazia..ho studiato math. tantissimi anni fa e mi ha fatto capire perché io come Lei sbagliavo quando ritengo che numero "0" fa parte di numeri naturali..regola fondamentale che per ogni numero naturale in ogni instante di tempo, moltiplicato per 2 esiste un numero pari e con numero 0 funziona, ma ma con numeri dispari dove per ogni numero naturale esiste un (nx2)-1 numero dispari, pultropo con numero 0 non regge...grazie Prof...
Molto interessante, come sempre! Riguardo alla corrispondenza biunivoca tra un lato del quadrato e tutti i punti del quadrato stesso e pensando al fatto che un punto è un'entità zero-dimensionale, mi chiedo quando e come un insieme di punti sia misurabile come area...
Ho letto molto sull'argomento e trovo Cantor uno dei più geniali matematici per essersi immerso e lavorare con l'infinito o gli infiniti (anche gli aleph sono infiniti !!!) ... ho sempre pensato che il simbolo dell'infinito derivi dal nastro di Möbius ... in ogni caso la sua lezione o video è MAGISTRALE
Gentile Prof. anzitutto grazie per tutto cio' che rende disponibile nei vari ambiti.Che io non sia un matematico sara' ovvio dalle perplessita' che vado ad esporle. Al minuto 14 lei ricava una corrispondenza completa tra N ed Np, ma se a quel punto noi reinseriamo in Np i numeri dispari non otteniamo ancora N ? Apparentemente non perdiamo la corripondenza tra due insiemi N ? La stessa cosa sembra accadere se mettiamo in corrispondenza il sottoinsieme Np di N con un insieme esterno I = NP. Cosa non ho capito?.Grazie dell'attenzione .
Grazie per l'apprezzamento. Non c'è nulla che non ha compreso. Semplicemente, ogni volta che vogliamo confrontare due sistemi, dobbiamo darci una corrispondenza. Non possiamo però usare la stessa corrispondenza definito per due sistemi, se questi vengono modificati. Se modifichiamo i due sistemi, o uno dei due, dobbiamo modificare anche la corrispondenza, per verificare se è sempre possibile ottenerne una biunivoca.
Grazie professore per l'interessante spiegazione della cardinalità degli infiniti. Le chiedo se esistono altre categorie di infinito così come l'infinito numerabile dei numeri naturali e l'infinito del continuo dei numeri reali la cui natura e differenza sostanziale è facile da comprendere (grazie ovviamente ai suoi video). In particolare esiste una cardinalità della geometria frattale, e può essere considerata di ordine superiore all'insieme dei numeri reali? grazie Matteo Codignola
Grazie a te per l'apprezzamento. Un esempio di frattale è il famoso insieme di Cantor (it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_Cantor) che possiede la cardinalità del continuo. Ma per sapere quale sia la cardinalità un insieme di tipo frattale, bisogna ovviamente analizzare caso per caso. Comunque, se un frattale è definito togliendo elementi da un dato insieme, la sua cardinalità non potrà ovviamente essere superiore a quella dell'insieme di partenza. Altrimenti, Cantor ha scoperto che non esistono solo due (il numerabile e il continuo), ma una sequenza infinita di cardinali, sempre più grandi, con ogni nuovo infinito che viene definito partendo dall'insieme infinito precedente, considerando l'insieme di tutti i suoi sottoinsiemi...
Prof. Sassoli la preferisco come fisico. In teoria delle probabilità è nella meccanica quantistica e bravo. Sull'argomento che ha trattato era un po in affanno. Mannaggia, prof i razionali se li è persi ? Sono numerabili o no? Si sono numerabili, Cantor ha sviluppato un metodo diagonale per cui I razionali sono in corrispondenza, biunivoca con gli interi.{ IQ} sono continui o no? No sono densi come insieme numerico. La dimostrazione che i punti del piano hanno la stessa potenza del continuo , Cantor la dimostra sempre con una versione modificata, di quella utilizzata per i reali. Per l'ipotesi del continuo e vero che cohen e godel hanno dimostrato che è un problema indecidibile, nel sistema assiomatico d Zermelo-Fraenchel.si perché, come Russel ha dimostrato gli insiemi concepiti da Cantor conducevano a delle antinomie.........la cardinalita' andrebbe spiegata un po meglio{solo per gli insiemi ben ordinati si può parlare di cardinalita}. Prof cantor voleva costruire la nozione di dimensione di un insieme, pensando che la retta è il piano avessero due diverse potenze del continuo. E poverino quando dimostro' che i due continui erano uguali , ci rimase male. Comunque oggettivamente sono argomenti non facili da trattare, ci vuole un bel bagaglio di logica e teoria degli insiemi. La stessa definizione dei reali e del continuo della retta o segmento, richiede assunti non semplici da capire, come la coesione, la nozione di insieme perfetto. Troppa carne sul fuoco. Comunque fa sempre piacere sentirla, almeno ci mette la passione nel spiegare le cose.
Hai ragione, c'è un mucchio di cose da dire che non ho detto, ma come tu stesso ammetti, sono argomenti non facili da trattare, che avrebbero richiesto ben più dei 40 minuti e rotti del video, che volevo rimanesse alla portata di un ampio spettro di persone. E grazie per il complemento di informazioni contenute nel tuo messaggio.
@@fabiospadaro4400 Ho fatto tutti i miei studi in lingua francese, quindi alcuni errori di congiunzione sono difficili per me da estirpare. Ma porterò maggiore attenzione. Sulle "e" accentate invece, davvero non saprei a cosa ti riferisci...
Se l'infinito dei reali ha una cardinalità maggiore rispetto ai naturali, è merito dei numeri irrazionali trascendenti che non sono numerabili. Siccome i razionali a differenza degli interi sembrano molto di più per via del denominatore diverso da 1, il loro insieme è più denso ma la cardinalità dei razionali è la stessa degli interi. Praticamente ci sarebbe una corrispondenza biunivoca anche tra un intero e un razionale. Esempio con la funzione 1/x: 2→½; 3→⅓; 4→¼ e via discorrendo. Qui la cardinalità non aumenta. Passiamo ai numeri irrazionali. Ci sono due categorie: algebrici e trascendenti. Gli irrazionali algebrici possono avere la corrispondenza biunivoca con gli interi oppure i razionali. Esempio: √2→2; √3/3→⅓; ³√10→10; ³√25/5→⅕; ³√5/5→1/25 e via discorrendo. Anche questo insieme ha una corrispondenza biunivoca con gli interi o i razionali. Gli irrazionali trascendenti invece non possiamo collegarli con un intero o con un razionale. In effetti qui la cardinalità aumenta per non essere numerabili.
Il passaggio dai fondamenti della M.Q. ai fondamenti della matematica non è male. Le andrebbe di fare una capatina dalle parti dei teoremi di incompletezza di Gödel?
Il simbolo di infinito sarebbe tale perché se lo immaginiamo come una “O” di carta, stoffa, etc,, piegandola ad 8 con le mani osserviamo che poggiando un dito su una delle due superfici e facendolo scorrere, lo stesso passa sull’altra superficie; e così via all’infinito.
Per fare quello che dici, devi tagliare il nastro, ruotare un lembo di 180°, rincollarlo, allora sì ottieni un nastro di Moebius, che ha la proprietà che evochi: avere un solo lato illimitato. Ma anche se non fai quello che dici, un nastro a forma di "O", possiede comunque due lati illimitati, percorribili all'infinito.
Ed è un argomento più che mai contemporaneo. Con riferimento al soggetto che hai trattato: Fin quando il digitale viene considerato come la struttura più efficace del sistema informativo globale, si può tranquillamente affermare come lo stesso rappresenti la più felice rivoluzione conoscitiva contemporanea. Il problema nasce quando si vuol equiparare detto sistema alla bellezza dell’ analogico. Allora si cade nell’ arroganza della mezza verità, che è la peggiore delle bugie. L’inganno del virtuale e’ proprio la pretesa di volerci convincere che la cardinalita’ dei bit miri ad essere dello stesso ordine dei numeri reali presenti in un intervallo chiuso. Già da diversi anni i nostri device hanno raggiunto definizioni “molecolari” e si tende a spingerci nel mondo subatomico, dove le regole dei giochi diventano quelle della mq. Ma un soggetto reale non puo’ esser visto come un collage di punti. Il nostro occhio ha una definizione abbastanza bassa, tuttavia la retina e l’occhio stesso sono entità intelligenti, non macchine calcolatrici. La bugia della perfetta emulazione digitale da parte delle multinazionali dell’informazione ci è già costata la perdita del gusto nella cinematografia(basti confrontare come prova la bellezza di una pellicola anni ‘60 con un film odierno; di fatto l’industria del cinema è in crisi). Questa pretesa, tanto per usare un termine a te caro, sa di trivialità. Viviamo una crisi artistica proprio perché il virtuale ha violato il senso estetico della realtà; e questo è triviale. Digit (digitale) vuol dire cifra! E allora la venalità ha deciso che il sistema binario avrebbe potuto emulare perfettamente la natura e ciò con processi a basso costo contrapposti ad enormi tornaconti. La realtà non è computabile La realtà è estetica; noi la decodifichiamo coi nostri modelli matematici: una brutta copia! Riguardo ai device quantistici, staremo a vedere cosa accade.
@@autoricerca Caro Massimiliano, ti ringrazio dell’osservazione. Ho scritto consapevolmente una applicazione della teoria che hai trattato, in quanto estremamente attuale. Alcuni anni fa in un convegno Mathesis a Gioia Del Colle si discussero Col Sottosegretario D’Onghia le linee guida per l’insegnamento della Matematica. La platea era suddivisa tra teorici e sostenitori della applicabilità.
Non sono un matematico, né un fisico, ma un dilettante lo dico subito, così eventuali errori mi saranno perdonati (spero). Il Teorema di Nyquist-Shannon è molto profondo dal punto di vista semantico. Esso ci dice che la l'informazione sulla realtà campionata/quantizzata/compressa (aggiungendo I e II teorema si Shannon) è indistinguibile da quella continua o analogica. Anche la teoria dell'interpolazione suggerisce che il tipo di campionamento influenza i risultati facendoli divergere all'esterno del campionamento (fenomeno di Runge e Fenomeno di Gibbs) che inseriscono forti eventi oscillazioni nella funzione ricostruita tra i campioni equidistanti e immediatamente oltre il campionamento per l'interpolazione. E' proprio questa oscillazione (che ricorda molto la non commutabilità tra campionamento discreto e interpolazione) che mi suggerirebbe un universo non continuo proprio dal punto di vista matematico oltre che fisico... E qui torno alla questione di base sulla non logicità degli insiemi infiniti in un universo finito, e di un universo continuo dal punto di vista matematico, basato su un ambiguità di fondo nel concetto di infinitesimo trascurabile a volte e altre no e che non ha un equivalente fisico.
@@silvanomattioli9720 A quanto pare quantisticamente, la realtà sarebbe suddivisibile così come Planck ha indicato. Quindi il discreto e non il continuo sembrerebbe essere il fondamento di ogni percezione umana (tempo, lunghezza…). Tuttavia siamo disorientati da un paradosso: nulla è separabile in mq e la continuità sarebbe non solo correlazione ma addirittura l’Uno delle grandi citazioni di molti fisici. Noi utilizziamo in informatica punti discreti. Ciò ha attinenza col mondo classico? E con quello quantistico? A me non sembra, so solo che il sistema digitale è molto efficace e serve l’informazione. E basta. Nulla a che vedere ha il virtuale con la sostanza della realtà.
Salve, no n mi è chiaro al minuto 40:00 circa, come può il lato del quadrato essere in corrispondenza biunivoca con l'intera area. Da area --> lato posso capirlo, basta prendere, per ogni punto all'interno del quadrato, la sua proiezione sull'asse x. Ma da lato --> area, non riesco ad individuare chiaramente che tipo di funzione possa esserci, visto che per ogni punto sul lato ci sono infiniti punti sulla sua verticale. Spero di essermi fatto capire :)
È normale che quel punto non ti sia chiaro. Non è per nulla evidente mostrarlo. Dobbiamo sempre a Cantor una tale dimostrazione. Magari sarà l'occasione di un video complementare...
Ciao Massimiliano. Na un numero reale "è" il suo allineamento decimale, oppure è in bigezione con l'allineamento? Un aiuto potrebbe venirci dal fatto che venga effettuata una scelta convenzionale tra gli allineamenti definitivamente 0 e quelli con periodo 9 in quanto serie convergenti al medesimo reale, quasi ad indicare che gli allineamenti siamo "di più" dei numeri reali (a meno di una quantità numerabile visto che si parla di allineamenti che rappresentano numeri razionali). Insomma, i numeri reali sono la totalità dei limiti delle serie in Q, oppure sono le serie stesse? P.S-Sono molto incuriosito da quando dici che "una volta analizzerai questi numeri da una certa prospettiva".
Non mi è chiara la tua domanda. Ci sono vari modi di 'costruire' i numeri reali. Una di queste fa uso dei numeri decimali (che non hanno comunque nulla di fondamentale, visto che la scelta della base 10 è convenzionale), è molto intuitiva, ma meno rigorosa di altre costruzioni. È un vasto soggetto.
@@autoricerca Pensavo che l'allineamento rappresentasse una specifica serie in Q convergente in R, e che quindi non "fosse" il numero (che appunto sarebbe il limite), ma lo rappresentasse, visto che tra i due insiemi (se escludiamo i periodi 9) viene una eccellente bigezione. Per serie, se consideriamo l'allineamento 0,98 con 98 periodico, intendo sommatoria infinita di 0,9 + 0,08 + 0,009 + 0,0008 +..... Però forse il questo modo, hai ragione tu, li sto costruendo e possono essere considerati come coincidenti ed in modo perfettamente statico, e non in modo dinamico. Approfondimenti sul vasto soggetto sarebbero interessantissimi.
Secondo me lo studio dei numeri transfiniti porta in un vicolo cieco. Interessante in sé ma solo dal punto di vista speculativo, quindi come esercizio, in quanto sterile rispetto allo scopo che la matematica, come noi la conosciamo, si è data, che è la produzione di linguaggi formali logicamente consistenti rispetto ai propri assiomi. Lo vedo piuttosto come un esercizio di trasposizione in matematica di metodi propri dell'indagine talmudica che spesso (anche se non sempre) lasciano le questioni esaminate irrisolte. Penso che gli interessi di Cantor vadano contestualizzati in quella matrice culturale, che è l'ebraismo, i cui obbiettivi non coincidono con quelli della matematica il cui valore è in genere misurato in base alla sua 'utilità' intesa anche solo in senso potenziale, cioè senza pretendere di trovare applicazioni all'esterno della matematica stessa. Per quanto ne so io l'aritmetica del transfinito è rimasta un tentativo abortito (almeno dal punto di vista convenzionale) di sviluppo della matematica. Un altro tentativo più fortunato, espressione della stessa matrice, è stata la geometria dei frattali soprattutto perché con l'avvento dell' informatica ha trovato applicazione in cartografia e che ha forse qualche futura prospettiva nell'elaborazione delle immagini. La dimostrazione di Cantor resta un bel esercizio di un fatto che sarebbe stato altrimenti solo intuito, in quanto i matematici che da circa due secoli lavoravano sull'analisi matematica avevano capito (intuendola) l'inutilità di indagare oltre sui fondamenti della nozione del continuo.
Grazie del commento. Comprendo quello che scrivi, in quanto i numeri transfiniti non hanno avuto, sino ad oggi, applicazioni specifiche rilevanti (che io sappia). D'altra parte, il loro interesse è stato quello di permetterci di approfondire la nostra comprensione dei fondamenti stessi della matematica e delle sue basi assiomatiche, il che non è poco.
Come le ho già scritto è assolutamente inaccettabile come logica quella di Cantor, non a caso sono diventato "un Fan" dell'"analisi non standard" (peraltro indicatami da Lei e la ringrazio non la conoscevo). Il concetto di infinitesimo (ed infinito) non ha senso fisico ed è una fonte di ambiguità che come ha scritto genera il principio di incompletezza di Godel. Pensi che io per le distanze mi limiterei ai numeri che hanno per "floor" la lunghezza di planck e per "ceil" inserirei qualcosa che abbia a che fare con l'universo osservabile il resto può esistere ma che senso ha ? I numeri limitati "a N bit" hanno molto più senso fisico di quelli infinitesimi e probabilmente hanno pure più senso matematico. Nella dimostrazione iniziale Lei, ad esempio, quando splitta N in Np e Nd considera "insignificanti" come cardinalità i dispari, mentre non li ignora in N. Non la ritiene una ambiguità ? Insomma Nd come cardinalità può ignorare Np rispetto a N, mentre N che genera Np (tramite il 2*n) non ignora i dispari ? E' un'oggettiva ambiguità logica o no ? Ripeto in |Np|=|N| ignora i dispari, mentre nella funzione N->Np (2n) alla base di tale dimostrazione li usa, ossia in N usa 0,1,2,3,4,.... mentre in Np considera solo 0,2,4,... Al contempo dice che 1,3,5, ecc. che servono per costruire Np non servono nella cardinalità. . Questo è un trucchetto tipo la divisione per zero... e va studiata per capire, ma è una piccola truffa. E' un po' come sommare infinitesimi solo quando ci pare e ignorarli solo quando ci pare. Anche nella dimostrazione della diagonalità la differenza è di una cifra all'infinito, ma nella definizione stessa di infinito possiamo spostare all'infinito sempre una cifra oltre e quindi perdiamo in senso. Lo spiego diversamente. Insomma se N={0,1,2} (insieme con lo zero) e N*={1,2,3,4,5,6,...} (insime che parte da 1) secondo l'ipotesi di Cantor ponendo n->n+1 |N|=|N*| Ma se questo è vero basta non contare la diagonale dei a1'a1,b1'b1, in N ma in N* e il teorema diventa difficile da sostenere... perché N* è sempre un numero oltre e non ci arriva mai. Certo poi Cantor usa l'insieme delle parti per definire gli alphet, ma quella è altra storia è chiaro che il concetto di ordine di infinito e infinitesimo ha un senso, nel momento in cui accetti che esistano. Ripeto io non nego Cantor, dico che l'analisi standard (e con essa integrali eq. differenziali, ecc.) hanno una ambiguità e questa estesa genera il caos perché applica una regola ricorsiva come negli insiemi di Mandelbort o il principio della farfalla che batte le ali a new york e cambia il tempo a Roma, cosa che gli insiemi "fisici reali" come quelli descritti all'inizio non accadono ragionevolmente. L'analisi Non standard, invece, è davvero stata (per me) una scoperta. Ora io intuitivamente penso questo, ma a dimostrarlo ci vuole Cantor 2.0 Mi limito a ricordare che un "Logico" come Godel ha definito l'analisi non standard l'analisi del "futuro della matematica".
Riflessione molto interessante! Non sono un matematico, e non conoscevo l'analisi non standard. Mi cambia l'orizzonte! Pensavo che i limiti superiori (ceil) e inferiori (floor) che si scontrano col concetto di infinito comprovassero che il mondo fisico non fosse reale o cmq non l'ultima realtà, platonicamente parlando. Ovvero la matematica intesa come un mondo superiore a quello materiale. Ci sarebbero due verità fra cui scegliere
@@autoricerca è uscito un Docufilm intitolato "L'infinito esiste?", in cui hanno partecipato diversi matematici, fisici e filosofi. Comunque complimenti per il video, adoro il tuo modo di spiegare.👍
@@autoricerca il documentario di Netflix è carino, ma mi pare anche molto diverso. Sono tutti scienziati e filosofi molto materialistici senza nessuna prospettiva superiore. Eccetto uno, che però non dice quasi nulla
Se si definisce come insieme A l'insieme dei reali senza un numero qualunque: perché questo insieme A non risponderebbe strettamente alla disuguaglianza finale tra la cardinalità di N, di A, di R ? In altri termini R e R meno un numero qualunque hanno la stessa cardinalità?
Ancora in altri termini se è facile definire la relazione x ---> 2x (e da cui ne segue cardinalità di naturali e naturali pari) c'è una funzione che possa mappare facilmente R in R senza un elemento a caso?
Beh direi che hanno la stessa cardinalità. Puoi togliere anche tutti i numeri e lasciare solo quelli tra 0 e 1 avranno appunto la stessa cardinalità di R. Per esempio, chiamiamo R* l'insieme R cui togliamo il numero 1. Allora è vero che ad ogni elemento di R-1 esiste uno ed un solo elemento di R*. Ti torna?
@@alessandrolamparelli7783 si intuitivamente mi torna, grazie. Però mi domandavo come costruire una funzione di esempio biettiva con dominio R meno un numero e codominio R che sia biettiva. Grazie.
@@robertozoccali8539 lol è buffo, pensavo di averti risposto proprio con la funzione ma riflettendo non torna, e quindi mi sono riposto la domanda e pensato alla soluzione corretta salvo poi ricordare che dovrebbe essere stato dimostrato che non si può dimostrare né confutare ed in effetti non si trova una funzione. Ti spiego il mio ragionamento è semplice, se tu sottrai all'insieme R l'elemento x che manca nell'insieme "più piccolo" R* dove appunto manca solo l'elemento x allora pensavo avessi una corrispondenza biunivoca ma in effetti manca la corrispondenza per l' elemento 2x (se sottrai x otterresti di nuovo x che non è presente in R* per definizione). Ecco ho cercato un modo alternativo per esprimerlo ma non l'ho trovato ed in effetti credo che non si possa trovare se è vero come pare sia vero che è stata dimostrata l'impossibilità di farlo 😅
Il mio apprezzamento non aggiunge nulla all'insieme degli infiniti apprezzamenti ricevuti, la cui cardinalità quindi non cambia 🙂Siamo sempre nel numerabile dei numeri naturali. Fuori tema rispetto a questa trattazione, ma ampiamente in linea con le tue competenze, a quando un video di commento sul premio Nobel della Fisica appena attribuito? Se non ricordo male, con Alain Aspect collabori / hai collaborato. Grazie.
Ti ringrazio per l'apprezzamento. L'entanglement fa indubbiamente parte del mio campo di ricerca (ma non ho collaborato con Aspect). E questo Nobel potrebbe in effetti essere l'occasione per proporre un nuovo video sul tema... Ma non sempre, ahimè, trovo il tempo...
L'origine del simbolo dell'infinito potrebbe derivare dalla lemniscata che il sole compie nel suo ciclo annuale, chiamata "analemma" (dal greco ανάλημμα, "piedistallo meridiana") en.m.wikipedia.org/wiki/Analemma . Non è necessariamente "coricato", ma appare più o meno inclinato a seconda della posizione geografica di osservazione. L'astronomia è molto presente nella sapienza. L'otto è rappresentato anche sulla fronte di Shiva (forse anche sulla testa mozzata di Rahu), se a volte appare come tre linee orizzontali è perché connettendole (due anse a dx e due a sx) si forma un otto.
Buongiorno. Mi ha stupito che 1,0000...(1,zero periodico) = 0,9999...(0,9 periodico). Virgola notazione italiana. Inoltre: forse gli a, b, c ecc devono essere naturali < 10? Saluti
Sì, hai ragione, a, b, c, d... sono naturali a una cifra sola. Altrimenti, che 1,000... sia uguale a 0,999... lo puoi vedere ad esempio così (ma è un po' un trucco, bisognerebbe approfondire l'analisi): considera l'eguaglianza ⅓ = 0,333... , poi moltiplica a destra e a sinistra per 3, ottieni: 1=0,999...
in generale tutti i razionali "equivalenti" a frazioni decimali (cioè con denominatore con fattorizzazione primale di soli 5 e 2) possono essere scritti in base 10 in forma periodica alternativa con coda infinita di cifre 9, abbassando di uno l'ultima cifra decimale; per esempio 1/5=0,2 può essere scritto in alternativa 0,1999... Questa doppia rappresentazione e' fondata sugli stessi teoremi aritmetici che regolano l'algoritmo di divisione tra naturali, che e' poi quello che ci permette di "codificare" i numeri razionali mediante stringhe finite o infinite periodiche in notazione posizionale rispetto a una qualsiasi base n>1
Senza mettere in discussione le conclusioni, vorrei proporre un uso simmetrico della dimostrazione per illustrare il caso, apparentemente altrettanto valido, per trovare un numero naturale non mappato dai reali fra 0 e 1. Uso una definizione della mappatura come segue: ad ogni reale fra 0 e 1 uguale a 0,a_1a_2a_3... a_infinito, dove a_i è una cifra fra 0 e 9, corrisponde un numero naturale di infinite cifre pari ad a_infinito... a_3a_2a_1. Con questa configurazione posso applicare la dimostrazione dell'esistenza di un numero non mappato su entrambe le colonne rendendo la dimostrazione inconcludente. Oppure posso usare la definizione fornita e, con le cifre del nuovo numero così ottenuto, definire il corrispondente nell'altra colonna. Capisce il mio dubbio?
@@autoricerca grazie per la rapids risposta. Ho guardato la definizione di non numerabile (non può essere posto in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali). Non dovrebbe essere possibile usare questa definizione per negare l'uso della dimostrazione di Cantor in quanto con essa stiamo cercando proprio di dimostrare tale condizione.
Scusa, ho letto rapidamente quello che avevi scritto; non è lì in effetti il problema in quello che hai scritto. Semplicemente, non esistono i numeri naturali di infinite cifre...
Chiedo scusa se sto dicendo una cosa ovviamente sbagliata (ma a me sembra giusta sennò non la direi) e ringrazio per la pazienza: se i numeri naturali non possono avere infinite cifre come fanno ad essere infiniti? La metto in un modo diverso: noi accettiamo l'esistenza di un numero reale grazie ad una sua definizione (ad es. la radice quadrata positiva di 2) ma altrimenti non potremmo scriverlo. Un numero naturale (intero positivo) di infinite cifre può essere definito anch'esso attraverso una definizione: ad es. un'infinita sequenza di 3 ma anche, secondo me, con le cifre in ordine inverso di un numero reale ad infinite cifre: sqrt(2)=1, 4142... ->... 24141. Cercare di applicare la diagonale di Cantor ad una delle due colonne (Naturali e Reali fra 0 ed 1) risulta fondamentalmente in una contraddizione perché riusciamo sia a creare un nuovo numero ma anche a costruirne il corrispettivo nell'altra colonna ovvero non è un nuovo numero e la ragione, a mio avviso, é che per qualunque numero finito di cifre (ovvero per qualunque numero finito di righe) per cui applico la diagonale di Cantor non ho realmente creato questo nuovo numero e quindi tale numero esiste solo dopo aver superato l'ultimo numero e per tale ragione non esiste.
@@vconte72 Che i numeri naturali siano infiniti vuol dire semplicemente che per ogni numero naturale n che puoi scegliere dall'insieme, ne esisterà un altro m più grande di n (basta prendere il successivo). Ma ogni numero naturale ha un numero finito di cifre.
Non lo si può dire perché l'insieme dei numeri pari può essere messo in relazione biunivoca con l'insieme dei numeri dispari. Infatti, se n è pari, n+1 è dispari, quindi la funzione f(n) = n+1 realizza la corrispondenza uno-a-uno necessaria a dimostrare che la cardinalità dei due insiemi è la stessa.
per qualsiasi insieme X basta considerare P(X) cioe' l'insieme i cui elementi siano tutti (e solo) i sottoinsiemi di X stesso; Cantor stesso dimostro' che la cardinalita' di X e' minore di quella di P(X), cioe' per esempio non si può costruire una funzione iniettiva da P(X) verso X. Questo risultato di Cantor è mantenuto anche nelle piu' recenti riformulazioni della Teoria degli insiemi (esempio la CBC)
Io avrei detto ci fosse la stessa cardinalità fra N e R. Potrei mettere in relazione il numero reale 0,abcd al numero naturale dcba. ( a unità, b decine etc). Ad esempio: 0.234576. In relazione al 675432. E così via per ogni numero reale .
Secondo me quel numero costruito da Cantor diverso da ogni numero della lista in realtà C'E' nella lista!si nascondo...nel posto "infinito piú uno",perche l'infinito ha la proprieta di avere sempre una riserva in piu di posti.Quindi la potenza del continuo riesco a immaginarla uguale alla potenza del numerabile
Prof, scusi, ma non era già evidente, a metà del ragionamento, che, semplicemente, il numero reale (a1, b2, c3, d4...) già non trova alcuna collocazione nell'insieme N, proprio perché ha questa forma "diagonale"? Intendo dire senza passare agli indici coll'apice. La diagonale troverebbe collocazione (o relazione) nei numeri N se e solo se la si "raddrizzasse" fino a renderla orizzontale... snaturandola. Dico bene? Mi scoppia la testa 🥴
Secondo me no, perché se per definire i vari numeri lui come notazione usa le lettere dell'alfabeto arriverà a una certa fine mettiamo z1,z2, ecc.. Da lì in poi dovrà iniziare a mescolare le lettere quindi ad esempio a1, b2, a3, ecc (ripeto è un esempio random poiché l'ordine di accoppiamento può essere differente) quindi ad un certo punto si raggiungerà un accoppiamento di numeri che, almeno inizialmente poiché lui ha definito solo le prime lettere, sarà proprio quel numero. Ma come dimostra lui invece quelli col pedice primo no.
@@claudiotomasi177 in realtà e secondo me, io ho solo anticipato la conclusione, nel seguente modo: la diagonale evidenziata in questo filmato è un numero "numerabile" (pardon per il bisticcio), ossia la diagonale evidenziata è univocamente associabile a 1, 2, 3... n, se e solo se b2=a2, c3=a3, d4=a4... etc. In tutti gli altri casi no. Basta quindi escludere le suddette uguaglianze (b2=a2, c3=a3, d4=a4) e la dimostrazione è fatta: la diagonale non è numerabile, a meno che detta diagonale non coincida con il primo numero della serie. Anche il filmato, alla fine, arriva a questa conclusione pur dovendo, però, introdurre ad hoc il numero a1' b2' c3'... Se dico una sciocchezza chiedo venia ;)
@@marcopilati7464 No. La diagonale potrebbe benissimo essere uguale a uno qualsiasi dei reali della lista. Cambio un po' la notazione, e indico le cifre del primo reale con x11, x12, x13, ...., le cifre del secondo x21, x22, x23, .... La diagonale è quindi x11, x22, x33, x44... Ora scegli un n a caso, le cifre del reale corrispondente sono xn1, xn2, xn3, ... xnn, ... Bene, questo reale potrebbe benissimo essere uguale alla diagonale. Di uguale hanno sicuramente la cifra xnn, e niente impedisce a tutte le altre cifre di essere uguali tra di loro. Quindi c'è bisogno del passo in cui si impongono le cifre diverse.
Il problema e il rapporto tra finito e infinito. Nessun numero infinito può essere definito e perciò nemmeno il numero costruito sulla diagonale. Quindi, o nessuno esiste o esistono tutti nell'assieme, di conseguenza non esiste nessun infinito maggiore o minore di un altro.
@@autoricerca No no, scusami, probabilmente non sono riuscito a dirlo nel modo giusto. Intendo dire che qualsiasi definizione dell'infinito è errata. Non si può definire in una forma, nemmeno con i numeri. Tant'è che bisogna mettere i puntini dopo alcuni numeri in sequenza, per tentare di contenere l'infinito. Quindi è un limite della matematica (della ragione, che elabora solo per concetti finiti) che cerca vanamente di contenere l'infinito con questi assiomi logici, ma l'infinito non è logico, in quanto il discorso su di esso è necessariamente tautologico (perché infinito). Certamente si trova comunque una logica che produce dei risultati, ma solo se si basa su assiomi errati sull'infinito, producendo come nel caso di Cantor, l'assurdità che un infinito sia più grande di un altro. Insomma, l'errore è già li nel primo numero scritto, nell'intenzione di numerare l'infinito. Poi resta un passatempo matematico, dove la ragione si perde e si ritrova nel labirinto tautologico da essa costruito.
@@ptjmwjpag Ma Cantor non ha introdotto "assiomi errati sull'infinito", ha semplicemente esteso, in modo del tutto naturale, il concetto di numero ordinale (e non solo) a classi infinite, che ha denominato "numeri transfiniti", esplorando poi le proprietà di tali numeri transfiniti (o infiniti, se preferisci).
I numeri complessi hanno lo stesso ordine di infinità dei reali, quindi, necessariamente, il loro ordine di infinità è superiore a quello dei naturali.
@@autoricerca i razionali sembrano più numerosi rispetto agli interi ma hanno la stessa cardinalità degli interi. Diciamo che i numeri interi sono razionali a denominatore 1. I reali si dividono in razionali ed irrazionali. Gli irrazionali aumentano la cardinalità dell'infinito. Ma anche gli irrazionali a loro volta si dividono in due categorie: Algebrici: {√2; ³√7; ⁴√5....} e tutte le radici ennesime di ogni numero non potenza ennesima perfetta. Trascendenti: {π; e;......} e≈2,71828 valore approssimativo del numero di Nepero. Io dico che gran parte degli irrazionali è trascendente. Gli irrazionali algebrici si possono sempre abbinare ad un numero naturale come √2→2 oppure √2/2→1/2, mentre π→? oppure e→? Allora i numeri irrazionali trascendenti aumentano la cardinalità all'∞. Anche questo irrazionale 0,12345678910111213...20...25...100... potrebbe essere trascendente.
privo di senso , ogni numero irrazionale che va all'infinito lo posso troncare ad ogni cifra dopo la virgola ottenendo cosi infiniti numeri razionali e ad ogni numero razionale posso sommare infiniti numeri irrazionali ottenendo cosi infiniti numeri irrazionali
Quindi? Forse con i tuoi "ragionamenti" stai in realtà "sfiorando" alcune questioni "controintuitive" risolte giustappunto da Cantor &C. Per esempio che i razionali, nonostante le apparenze, hanno la stessa cardinalita' dei naturali. Riguardo ai reali [0,1], c'è un modo "costruttivista" di dimostrarne la maggiore cardinalita; essi possono essere messi in relazione con P(N), cioe' l' insieme delle parti di N; in effetti a ogni sottoinsieme di Naturali posso associare biunivocamente un "codice a barre", cioe' un codice binario infinito in cui la n-esima cifra sia 1 se il sottoinsieme contiene il naturale n, e sia 0 se il sottoinsieme NON contiene il naturale n. L'insieme risultante di stringhe binarie infinite puo' definire l'insieme [0,1], utilizzando l'aritmetica in base 2 (con qualche banale espunzione per evitare rappresentazioni ridondanti di razionali con duplice codice periodico). Quindi mi ritrovo che [0,1] ha la stessa cardinalita' di P(N); sennonché Cantor stesso dimostra con un altro teorema che la cardinalita' di qualsiasi insieme A e' minore di quella del suo insieme delle parti P(A), cioe' non esistono biiezioni possibili tra A e P(A).
@easyfencing Mi piacerebbe che tu ti spiegassi meglio. Questo è un teorema su cui hanno ragionato innumerevoli menti eccelse. Se lo definisci "privo di senso" mi sembra doveroso che tu ne dia una dimostrazione adeguata, non trovi? Sono certo che non avrai difficoltà a dimostrare dove il resto del pianeta sbaglia.
@@autoricerca non sono un matematico ovviamente non posso fare dimostrazioni, ho solo seguito la logica provocando per essere confutato o corretto semmai nello stesso linguaggio, quando possibile. Il tema ni appassiona ma il significato profondo mi sfugge , come il perché 0 elevato alla 0 darebbe 1
Nessun nummero indefinito puo essere calcolato, l.infinito in fisica corrisponde infatti ad errore. Qualunque numero diviso 0 da infinito, ma infatti viene detto che non si puo fare tale operazione [errore] .nella realta probabilmente infinito non esiste.
L'infinito in fisica, solitamente, corrisponde a un'idealizzazione, ed è per questo utile. Ad esempio: far tendere la variabile temporale t verso l'infinito, per estrarre il comportamento asintotico di un sistema, nella teoria della diffusione. Ne parlerò.
Non conoscevo questa dimostrazione ma è 🤯 bellissima!
In effetti, è geniale.
grande e bella spiegazione che mi riporta a tanti anni fa quando trovai un libro che spiegava gl'insiemi di Cantor , lo divorai in una notte ...una rivelazione stupenda che mi tolse una marea di dubbi , Grazie
Grazie a te per l’ascolto e per l’apprezzamento
Vorrei farle i complimenti per la sua capacita' di rappresentare concetti anche molto complessi in modo semplice ed elegante. Una qualita' non comune anche nel mondo accademico. Ho apprezzato l'eleganza della diagonale di Canor per esplicitare la cardinalita' degli insiemi. Il valore della descrizione di Canor, a mio avviso, e' piu' quello di aver posto il problema della cardinalita' ed aver dato un criterio per valutarla. Per quanto riguarda la dimostrazione invece, se non commetto errori grossolani, si trova immediatamente che non esiste una corrispondenza biunivoca tra tutti i numero naturali ed i numeri reali compresi tra 0 e 1. Ad esempio, se mettiamo in corrispondenza la sequenza di numeri naturali N con i reali R costruendo una relzione del tipo Ri = 0,0Ni dove Ni e' la sequenza dei numeri naturali (0,1,2,3, etc), allora e' evidente che il numero 0,1 non trova corrispondenza con un numero natuale. Questo vale anche per 0,00Ni , 0,0000Ni, ed anche 0,1Ni. etc etc. per i quali esiste un intervallo di numeri reali che non ha corrisponza con numeri naturali. La ringrazio nuovamente anche per aver stimolato questa riflessione, giusta o sbagliata che sia.
Grazie per l'apprezzamento. Se N=10, 100, 1000, ecc., questi diversi numeri naturali sono in corrispondenza con lo stesso numero reale R=0,01. Non è quindi biunivoca. Se ho capito bene quello che hai proposto...
il ragionamento era diverso, se immaginiamo una corrispondenza del tipo 1 -> 0,01 2 --> 0,02 3 -> 0,03 ... 4356 -> 0,04356 ... allora 0,1 non trova corrispondenza con nessun numero naturale ma anche 0,2 e 0,3 , il ragionamento si replica immaginando di porre in relazione 1-> 0,001 , 2 -> 0,002 oppure 1 -> 0,0001 etc etc. @@autoricerca
@@grangolem2749 Il problema è che devi mostrare che non esiste una corrispondenze biunivoche tra i due insiemi di numeri, non che alcune corrispondenze specifiche non lo siano...
Professore, ancora una volta Le esprimo il mio apprezzamento per questo e altri video nei quali gli argomenti sono trattati con la massima chiarezza, con efficacia espositiva e nella perfetta combinazione tra divulgazione e approfondimento specialistico.
Grazie Davide, per il cortese apprezzamento.
Sono uno studente di Chimica, appassionato di matematica e dai ragionamenti e dimostrazioni che si celano dietro i modelli matematici. Le faccio i complimenti per l'uso di un linguaggio semplice e diretto, se pur corretto e preciso, che rende l'ardua matematica una cosa piacevole e comprensibile a tutti.
Sei molto gentile, grazie per l'apprezzamento
Complimenti. Le sue lezioni sono chiare e per me imperdibili !
La ringrazio, è molto gentile.
Da apassionato, conoscevo l'argomento diagonale di Cantor, ma ho trovato la sua trattazione molto gradevole come ripasso. Sarebbe interessante un approfondimento sul tema degli infiniti successivi ad aleph_1, anche se forse sarebbe troppo tecnico.
Ti ringrazio, sì, ho paura che sarebbe un po’ troppo laborioso come video…
Bellissima lezione, grazie e complimenti! Sarebbe stato bello dimostrare come anchee gli insieme dei numeri razionali sia della stessa cardinalità dei numeri interi e dei numeri naturali. :)
PS: Se Cantor ritenne che non esiste una cardinalità intermedia tra aleph0 e aleph1 io mi fido. 😅
Grazie per il cortese commento e apprezzamento.
Grazie professore, molto chiaro e intuitivo.
Grazie per l'apprezzamento! Mi fa piacere che quello che ho raccontato è rimasto sufficientemente intuitivo.
Veramente complimenti per la chiara spiegazione.
Molto gentile, grazie.
Sto divorando i suoi video, mai visto una spiegazione più chiara, grazie!
Grazie a te per l'apprezzamento
Gentile Prof. Volevo chiederle se l'insieme delle coppie di numeri reali nel piano e delle terne nello spazio (per intenderci i campi R2 e R3) costituiscono infiniti di ordine superiore all'insieme dei reali R in base a questo criterio. Grazie mille.
No, sono esattamente dello stesso ordine.
@@autoricerca grazie
Video dalla spiegazione semplice e lineare, iscritto !
Benvenuto, e grazie per l'apprezzamento.
Carissimo Prof.Vi seguo con passione e mio cervello (nato '63) La ringrazia..ho studiato math. tantissimi anni fa e mi ha fatto capire perché io come Lei sbagliavo quando ritengo che numero "0" fa parte di numeri naturali..regola fondamentale che per ogni numero naturale in ogni instante di tempo, moltiplicato per 2 esiste un numero pari e con numero 0 funziona, ma ma con numeri dispari dove per ogni numero naturale esiste un (nx2)-1 numero dispari, pultropo con numero 0 non regge...grazie Prof...
Grazie per la passione. I numeri pari sono 2k, i dispari 2k+1, se k=0, 2k+1=1, che è dispari. Un saluto.
@@autoricerca mi ha rimesso in riga😄...grazie prof.
Molto interessante, come sempre! Riguardo alla corrispondenza biunivoca tra un lato del quadrato e tutti i punti del quadrato stesso e pensando al fatto che un punto è un'entità zero-dimensionale, mi chiedo quando e come un insieme di punti sia misurabile come area...
?E una domanda interessante, che interessa la cosiddetta "teoria della misura"
Su questo video ci sono capitato prima di prendere sonno.... Ora non riesco più a dormire. 😞 Comunque sei stato chiarissimo prof! 👍
Molto gentile, e auguri per un sonno pienamente ristoratore!
Ho letto molto sull'argomento e trovo Cantor uno dei più geniali matematici per essersi immerso e lavorare con l'infinito o gli infiniti (anche gli aleph sono infiniti !!!) ... ho sempre pensato che il simbolo dell'infinito derivi dal nastro di Möbius ... in ogni caso la sua lezione o video è MAGISTRALE
Ti ringrazio per l'apprezzamento.
Infatti se si taglia opportunamente il nastro di Moebius, si ottiene ancora una volta un 8.
Complimenti per per impegno messo. Avrei una domanda. Conoscete qualche equazione che dal dal infinito meno infinito ne dia sempre e al infinito 0.
Grazie per l'apprezzamento. Davvero non ho compreso la domanda.
Gentile Prof. anzitutto grazie per tutto cio' che rende disponibile nei vari ambiti.Che io non sia un matematico sara' ovvio dalle perplessita' che vado ad esporle.
Al minuto 14 lei ricava una corrispondenza completa tra N ed Np, ma se a quel punto noi reinseriamo in Np i numeri dispari non otteniamo ancora N ? Apparentemente non perdiamo la corripondenza tra due insiemi N ? La stessa cosa sembra accadere se mettiamo in corrispondenza il sottoinsieme Np di N con un insieme esterno I = NP. Cosa non ho capito?.Grazie dell'attenzione .
Grazie per l'apprezzamento. Non c'è nulla che non ha compreso. Semplicemente, ogni volta che vogliamo confrontare due sistemi, dobbiamo darci una corrispondenza. Non possiamo però usare la stessa corrispondenza definito per due sistemi, se questi vengono modificati. Se modifichiamo i due sistemi, o uno dei due, dobbiamo modificare anche la corrispondenza, per verificare se è sempre possibile ottenerne una biunivoca.
Bravo prof..ha ben spiegato.Grazie
Grazie!
Grazie professore per l'interessante spiegazione della cardinalità degli infiniti.
Le chiedo se esistono altre categorie di infinito così come l'infinito numerabile dei numeri naturali e l'infinito del continuo dei numeri reali la cui natura e differenza sostanziale è facile da comprendere (grazie ovviamente ai suoi video).
In particolare esiste una cardinalità della geometria frattale, e può essere considerata di ordine superiore all'insieme dei numeri reali?
grazie
Matteo Codignola
Grazie a te per l'apprezzamento. Un esempio di frattale è il famoso insieme di Cantor (it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_Cantor) che possiede la cardinalità del continuo. Ma per sapere quale sia la cardinalità un insieme di tipo frattale, bisogna ovviamente analizzare caso per caso. Comunque, se un frattale è definito togliendo elementi da un dato insieme, la sua cardinalità non potrà ovviamente essere superiore a quella dell'insieme di partenza. Altrimenti, Cantor ha scoperto che non esistono solo due (il numerabile e il continuo), ma una sequenza infinita di cardinali, sempre più grandi, con ogni nuovo infinito che viene definito partendo dall'insieme infinito precedente, considerando l'insieme di tutti i suoi sottoinsiemi...
Bravo, collega! Bravissimo!
Grazie mille!
Prof. Sassoli la preferisco come fisico. In teoria delle probabilità è nella meccanica quantistica e bravo. Sull'argomento che ha trattato era un po in affanno. Mannaggia, prof i razionali se li è persi ? Sono numerabili o no? Si sono numerabili, Cantor ha sviluppato un metodo diagonale per cui I razionali sono in corrispondenza, biunivoca con gli interi.{ IQ} sono continui o no? No sono densi come insieme numerico. La dimostrazione che i punti del piano hanno la stessa potenza del continuo , Cantor la dimostra sempre con una versione modificata, di quella utilizzata per i reali. Per l'ipotesi del continuo e vero che cohen e godel hanno dimostrato che è un problema indecidibile, nel sistema assiomatico d Zermelo-Fraenchel.si perché, come Russel ha dimostrato gli insiemi concepiti da Cantor conducevano a delle antinomie.........la cardinalita' andrebbe spiegata un po meglio{solo per gli insiemi ben ordinati si può parlare di cardinalita}. Prof cantor voleva costruire la nozione di dimensione di un insieme, pensando che la retta è il piano avessero due diverse potenze del continuo. E poverino quando dimostro' che i due continui erano uguali , ci rimase male. Comunque oggettivamente sono argomenti non facili da trattare, ci vuole un bel bagaglio di logica e teoria degli insiemi. La stessa definizione dei reali e del continuo della retta o segmento, richiede assunti non semplici da capire, come la coesione, la nozione di insieme perfetto. Troppa carne sul fuoco. Comunque fa sempre piacere sentirla, almeno ci mette la passione nel spiegare le cose.
Hai ragione, c'è un mucchio di cose da dire che non ho detto, ma come tu stesso ammetti, sono argomenti non facili da trattare, che avrebbero richiesto ben più dei 40 minuti e rotti del video, che volevo rimanesse alla portata di un ampio spettro di persone. E grazie per il complemento di informazioni contenute nel tuo messaggio.
@Carlo D’Ercole. Senza offesa, ma prima di postare dovresti stare attento alle “e” accentate e congiunzione
@@fabiospadaro4400 Ho fatto tutti i miei studi in lingua francese, quindi alcuni errori di congiunzione sono difficili per me da estirpare. Ma porterò maggiore attenzione. Sulle "e" accentate invece, davvero non saprei a cosa ti riferisci...
@@autoricerca fabio si riferiva al commento di Carlo D'Ercole, non al suo, professore.
@@MrWorldpressah ecco 😅
Se l'infinito dei reali ha una cardinalità maggiore rispetto ai naturali, è merito dei numeri irrazionali trascendenti che non sono numerabili. Siccome i razionali a differenza degli interi sembrano molto di più per via del denominatore diverso da 1, il loro insieme è più denso ma la cardinalità dei razionali è la stessa degli interi. Praticamente ci sarebbe una corrispondenza biunivoca anche tra un intero e un razionale. Esempio con la funzione 1/x:
2→½; 3→⅓; 4→¼ e via discorrendo. Qui la cardinalità non aumenta. Passiamo ai numeri irrazionali. Ci sono due categorie: algebrici e trascendenti. Gli irrazionali algebrici possono avere la corrispondenza biunivoca con gli interi oppure i razionali. Esempio:
√2→2; √3/3→⅓; ³√10→10;
³√25/5→⅕; ³√5/5→1/25 e via discorrendo. Anche questo insieme ha una corrispondenza biunivoca con gli interi o i razionali. Gli irrazionali trascendenti invece non possiamo collegarli con un intero o con un razionale. In effetti qui la cardinalità aumenta per non essere numerabili.
Bella lezione, grazie!
Grazie a te
Complimenti!
Molto gentile
bellissima dimostrazione complimenti la genialità della semplicità
Hai detto bene, la genialità della semplicità, o la genialità nella semplicità...
Il passaggio dai fondamenti della M.Q. ai fondamenti della matematica non è male. Le andrebbe di fare una capatina dalle parti dei teoremi di incompletezza di Gödel?
È un bel tema, in effetti.
Grandioso! E divertente!!
Il simbolo di infinito sarebbe tale perché se lo immaginiamo come una “O” di carta, stoffa, etc,, piegandola ad 8 con le mani osserviamo che poggiando un dito su una delle due superfici e facendolo scorrere, lo stesso passa sull’altra superficie; e così via all’infinito.
Per fare quello che dici, devi tagliare il nastro, ruotare un lembo di 180°, rincollarlo, allora sì ottieni un nastro di Moebius, che ha la proprietà che evochi: avere un solo lato illimitato. Ma anche se non fai quello che dici, un nastro a forma di "O", possiede comunque due lati illimitati, percorribili all'infinito.
Ed è un argomento più che mai contemporaneo.
Con riferimento al soggetto che hai trattato:
Fin quando il digitale viene considerato come la struttura più efficace del sistema informativo globale, si può tranquillamente affermare come lo stesso rappresenti la più felice rivoluzione conoscitiva contemporanea.
Il problema nasce quando si vuol equiparare detto sistema alla bellezza dell’ analogico.
Allora si cade nell’ arroganza della mezza verità, che è la peggiore delle bugie.
L’inganno del virtuale e’ proprio la pretesa di volerci convincere che la cardinalita’ dei bit miri ad essere dello stesso ordine dei numeri reali presenti in un intervallo chiuso.
Già da diversi anni i nostri device hanno raggiunto definizioni “molecolari” e si tende a spingerci nel mondo subatomico, dove le regole dei giochi diventano quelle della mq.
Ma un soggetto reale non puo’ esser visto come un collage di punti.
Il nostro occhio ha una definizione abbastanza bassa, tuttavia la retina e l’occhio stesso sono entità intelligenti, non macchine calcolatrici.
La bugia della perfetta emulazione digitale da parte delle multinazionali dell’informazione ci è già costata la perdita del gusto nella cinematografia(basti confrontare come prova la bellezza di una pellicola anni ‘60 con un film odierno; di fatto l’industria del cinema è in crisi).
Questa pretesa, tanto per usare un termine a te caro, sa di trivialità.
Viviamo una crisi artistica proprio perché il virtuale ha violato il senso estetico della realtà; e questo è triviale.
Digit (digitale) vuol dire cifra!
E allora la venalità ha deciso che il sistema binario avrebbe potuto emulare perfettamente la natura e ciò con processi a basso costo contrapposti ad enormi tornaconti.
La realtà non è computabile
La realtà è estetica; noi la decodifichiamo coi nostri modelli matematici: una brutta copia!
Riguardo ai device quantistici, staremo a vedere cosa accade.
Quello che scrivi ha poca attinenza (dal mio punto di vista) con quello che spiego, ma la tua resta una possibile digressione 🙂
@@autoricerca Caro Massimiliano, ti ringrazio dell’osservazione.
Ho scritto consapevolmente una applicazione della teoria che hai trattato, in quanto estremamente attuale.
Alcuni anni fa in un convegno Mathesis a Gioia Del Colle si discussero Col Sottosegretario D’Onghia le linee guida per l’insegnamento della Matematica.
La platea era suddivisa tra teorici e sostenitori della applicabilità.
Non sono un matematico, né un fisico, ma un dilettante lo dico subito, così eventuali errori mi saranno perdonati (spero).
Il Teorema di Nyquist-Shannon è molto profondo dal punto di vista semantico.
Esso ci dice che la l'informazione sulla realtà campionata/quantizzata/compressa (aggiungendo I e II teorema si Shannon) è indistinguibile da quella continua o analogica.
Anche la teoria dell'interpolazione suggerisce che il tipo di campionamento influenza i risultati facendoli divergere all'esterno del campionamento (fenomeno di Runge e Fenomeno di Gibbs) che inseriscono forti eventi oscillazioni nella funzione ricostruita tra i campioni equidistanti e immediatamente oltre il campionamento per l'interpolazione.
E' proprio questa oscillazione (che ricorda molto la non commutabilità tra campionamento discreto e interpolazione) che mi suggerirebbe un universo non continuo proprio dal punto di vista matematico oltre che fisico...
E qui torno alla questione di base sulla non logicità degli insiemi infiniti in un universo finito, e di un universo continuo dal punto di vista matematico, basato su un ambiguità di fondo nel concetto di infinitesimo trascurabile a volte e altre no e che non ha un equivalente fisico.
@@silvanomattioli9720 A quanto pare quantisticamente, la realtà sarebbe suddivisibile così come Planck ha indicato.
Quindi il discreto e non il continuo sembrerebbe essere il fondamento di ogni percezione umana (tempo, lunghezza…).
Tuttavia siamo disorientati da un paradosso: nulla è separabile in mq e la continuità sarebbe non solo correlazione ma addirittura l’Uno delle grandi citazioni di molti fisici.
Noi utilizziamo in informatica punti discreti.
Ciò ha attinenza col mondo classico?
E con quello quantistico?
A me non sembra, so solo che il sistema digitale è molto efficace e serve l’informazione.
E basta.
Nulla a che vedere ha il virtuale con la sostanza della realtà.
Salve, no n mi è chiaro al minuto 40:00 circa, come può il lato del quadrato essere in corrispondenza biunivoca con l'intera area. Da area --> lato posso capirlo, basta prendere, per ogni punto all'interno del quadrato, la sua proiezione sull'asse x. Ma da lato --> area, non riesco ad individuare chiaramente che tipo di funzione possa esserci, visto che per ogni punto sul lato ci sono infiniti punti sulla sua verticale. Spero di essermi fatto capire :)
È normale che quel punto non ti sia chiaro. Non è per nulla evidente mostrarlo. Dobbiamo sempre a Cantor una tale dimostrazione. Magari sarà l'occasione di un video complementare...
Grazie mille Prof.
Complimenti prof per la tua spiegazione. Sei stato chiarissimo; Cantor geniale
Molto gentile.
Prof...la cardinalita dei razionali, degli irrazionali? Quanto vale?
Se hai seguito bene il video, dovresti saper rispondere
Vale quella degli irrazionali che è superiore a quella dei razionali. Il numero costruito è irrazionale
Potendo costruire infinite diagonali puoi fare corrispondere ad ogni razionale Infiniti irrazionali
frtozzi : |N| e |R| rispettivamente
Ciao Massimiliano. Na un numero reale "è" il suo allineamento decimale, oppure è in bigezione con l'allineamento? Un aiuto potrebbe venirci dal fatto che venga effettuata una scelta convenzionale tra gli allineamenti definitivamente 0 e quelli con periodo 9 in quanto serie convergenti al medesimo reale, quasi ad indicare che gli allineamenti siamo "di più" dei numeri reali (a meno di una quantità numerabile visto che si parla di allineamenti che rappresentano numeri razionali). Insomma, i numeri reali sono la totalità dei limiti delle serie in Q, oppure sono le serie stesse?
P.S-Sono molto incuriosito da quando dici che "una volta analizzerai questi numeri da una certa prospettiva".
Non mi è chiara la tua domanda. Ci sono vari modi di 'costruire' i numeri reali. Una di queste fa uso dei numeri decimali (che non hanno comunque nulla di fondamentale, visto che la scelta della base 10 è convenzionale), è molto intuitiva, ma meno rigorosa di altre costruzioni. È un vasto soggetto.
@@autoricerca Pensavo che l'allineamento rappresentasse una specifica serie in Q convergente in R, e che quindi non "fosse" il numero (che appunto sarebbe il limite), ma lo rappresentasse, visto che tra i due insiemi (se escludiamo i periodi 9) viene una eccellente bigezione. Per serie, se consideriamo l'allineamento 0,98 con 98 periodico, intendo sommatoria infinita di 0,9 + 0,08 + 0,009 + 0,0008 +.....
Però forse il questo modo, hai ragione tu, li sto costruendo e possono essere considerati come coincidenti ed in modo perfettamente statico, e non in modo dinamico. Approfondimenti sul vasto soggetto sarebbero interessantissimi.
Secondo me lo studio dei numeri transfiniti porta in un vicolo cieco. Interessante in sé ma solo dal punto di vista speculativo, quindi come esercizio, in quanto sterile rispetto allo scopo che la matematica, come noi la conosciamo, si è data, che è la produzione di linguaggi formali logicamente consistenti rispetto ai propri assiomi. Lo vedo piuttosto come un esercizio di trasposizione in matematica di metodi propri dell'indagine talmudica che spesso (anche se non sempre) lasciano le questioni esaminate irrisolte. Penso che gli interessi di Cantor vadano contestualizzati in quella matrice culturale, che è l'ebraismo, i cui obbiettivi non coincidono con quelli della matematica il cui valore è in genere misurato in base alla sua 'utilità' intesa anche solo in senso potenziale, cioè senza pretendere di trovare applicazioni all'esterno della matematica stessa.
Per quanto ne so io l'aritmetica del transfinito è rimasta un tentativo abortito (almeno dal punto di vista convenzionale) di sviluppo della matematica. Un altro tentativo più fortunato, espressione della stessa matrice, è stata la geometria dei frattali soprattutto perché con l'avvento dell' informatica ha trovato applicazione in cartografia e che ha forse qualche futura prospettiva nell'elaborazione delle immagini.
La dimostrazione di Cantor resta un bel esercizio di un fatto che sarebbe stato altrimenti solo intuito, in quanto i matematici che da circa due secoli lavoravano sull'analisi matematica avevano capito (intuendola) l'inutilità di indagare oltre sui fondamenti della nozione del continuo.
Grazie del commento. Comprendo quello che scrivi, in quanto i numeri transfiniti non hanno avuto, sino ad oggi, applicazioni specifiche rilevanti (che io sappia). D'altra parte, il loro interesse è stato quello di permetterci di approfondire la nostra comprensione dei fondamenti stessi della matematica e delle sue basi assiomatiche, il che non è poco.
Come le ho già scritto è assolutamente inaccettabile come logica quella di Cantor, non a caso sono diventato "un Fan" dell'"analisi non standard" (peraltro indicatami da Lei e la ringrazio non la conoscevo).
Il concetto di infinitesimo (ed infinito) non ha senso fisico ed è una fonte di ambiguità che come ha scritto genera il principio di incompletezza di Godel.
Pensi che io per le distanze mi limiterei ai numeri che hanno per "floor" la lunghezza di planck e per "ceil" inserirei qualcosa che abbia a che fare con l'universo osservabile il resto può esistere ma che senso ha ?
I numeri limitati "a N bit" hanno molto più senso fisico di quelli infinitesimi e probabilmente hanno pure più senso matematico.
Nella dimostrazione iniziale Lei, ad esempio, quando splitta N in Np e Nd considera "insignificanti" come cardinalità i dispari, mentre non li ignora in N. Non la ritiene una ambiguità ?
Insomma Nd come cardinalità può ignorare Np rispetto a N, mentre N che genera Np (tramite il 2*n) non ignora i dispari ?
E' un'oggettiva ambiguità logica o no ?
Ripeto in |Np|=|N| ignora i dispari, mentre nella funzione N->Np (2n) alla base di tale dimostrazione li usa, ossia
in N usa 0,1,2,3,4,.... mentre in Np considera solo 0,2,4,...
Al contempo dice che 1,3,5, ecc. che servono per costruire Np non servono nella cardinalità.
.
Questo è un trucchetto tipo la divisione per zero... e va studiata per capire, ma è una piccola truffa.
E' un po' come sommare infinitesimi solo quando ci pare e ignorarli solo quando ci pare.
Anche nella dimostrazione della diagonalità la differenza è di una cifra all'infinito, ma nella definizione
stessa di infinito possiamo spostare all'infinito sempre una cifra oltre e quindi perdiamo in senso.
Lo spiego diversamente.
Insomma se
N={0,1,2} (insieme con lo zero) e
N*={1,2,3,4,5,6,...} (insime che parte da 1)
secondo l'ipotesi di Cantor ponendo n->n+1
|N|=|N*|
Ma se questo è vero basta non contare la diagonale dei a1'a1,b1'b1, in N ma in N* e il teorema diventa difficile da sostenere... perché N* è sempre un numero oltre e non ci arriva mai.
Certo poi Cantor usa l'insieme delle parti per definire gli alphet, ma quella è altra storia è chiaro che il concetto di ordine di infinito e infinitesimo ha un senso, nel momento in cui accetti che esistano.
Ripeto io non nego Cantor, dico che l'analisi standard (e con essa integrali eq. differenziali, ecc.) hanno una ambiguità e questa estesa genera il caos perché applica una regola ricorsiva come negli insiemi di Mandelbort o il principio della farfalla che batte le ali a new york e cambia il tempo a Roma, cosa che gli insiemi "fisici reali" come quelli descritti all'inizio non accadono ragionevolmente.
L'analisi Non standard, invece, è davvero stata (per me) una scoperta.
Ora io intuitivamente penso questo, ma a dimostrarlo ci vuole Cantor 2.0
Mi limito a ricordare che un "Logico" come Godel ha definito l'analisi non standard l'analisi del "futuro della matematica".
Riflessione molto interessante! Non sono un matematico, e non conoscevo l'analisi non standard. Mi cambia l'orizzonte! Pensavo che i limiti superiori (ceil) e inferiori (floor) che si scontrano col concetto di infinito comprovassero che il mondo fisico non fosse reale o cmq non l'ultima realtà, platonicamente parlando. Ovvero la matematica intesa come un mondo superiore a quello materiale. Ci sarebbero due verità fra cui scegliere
Cmq, finitezza potrebbe significare, in un discorso completamente diverso, che non ci sia nulla di eterno
Quindi l'analisi non standard dice che pi greco sia uguale a 3, o che non esiste? Quali sono le ricadute sulle imperfezioni del temperamento musicale?
Ottima e interessante lezione!
Ti ringrazio per l'apprezzamento.
Hai visto Netlfix vero?!? 😂😂😂😂
Peró hai avuto una bella intuizione nello spiegare MEGLIO molto MEGLIO del docufilm un soggetto così bello🎉
Non guardo Netflix, e ora mi hai incuriosito. Cosa mi sono perso?
@@autoricerca è uscito un Docufilm intitolato "L'infinito esiste?", in cui hanno partecipato diversi matematici, fisici e filosofi. Comunque complimenti per il video, adoro il tuo modo di spiegare.👍
@@michele_guida Grazie per l'info, e par l'apprezzamento... ho disdetto il mio abbonamento Netflix qualche tempo fa... 😅
@@autoricerca il documentario di Netflix è carino, ma mi pare anche molto diverso. Sono tutti scienziati e filosofi molto materialistici senza nessuna prospettiva superiore. Eccetto uno, che però non dice quasi nulla
Se si definisce come insieme A l'insieme dei reali senza un numero qualunque: perché questo insieme A non risponderebbe strettamente alla disuguaglianza finale tra la cardinalità di N, di A, di R ?
In altri termini R e R meno un numero qualunque hanno la stessa cardinalità?
Ancora in altri termini se è facile definire la relazione x ---> 2x (e da cui ne segue cardinalità di naturali e naturali pari) c'è una funzione che possa mappare facilmente R in R senza un elemento a caso?
Beh direi che hanno la stessa cardinalità. Puoi togliere anche tutti i numeri e lasciare solo quelli tra 0 e 1 avranno appunto la stessa cardinalità di R. Per esempio, chiamiamo R* l'insieme R cui togliamo il numero 1. Allora è vero che ad ogni elemento di R-1 esiste uno ed un solo elemento di R*. Ti torna?
@@alessandrolamparelli7783 si intuitivamente mi torna, grazie.
Però mi domandavo come costruire una funzione di esempio biettiva con dominio R meno un numero e codominio R che sia biettiva. Grazie.
@@robertozoccali8539 lol è buffo, pensavo di averti risposto proprio con la funzione ma riflettendo non torna, e quindi mi sono riposto la domanda e pensato alla soluzione corretta salvo poi ricordare che dovrebbe essere stato dimostrato che non si può dimostrare né confutare ed in effetti non si trova una funzione. Ti spiego il mio ragionamento è semplice, se tu sottrai all'insieme R l'elemento x che manca nell'insieme "più piccolo" R* dove appunto manca solo l'elemento x allora pensavo avessi una corrispondenza biunivoca ma in effetti manca la corrispondenza per l' elemento 2x (se sottrai x otterresti di nuovo x che non è presente in R* per definizione). Ecco ho cercato un modo alternativo per esprimerlo ma non l'ho trovato ed in effetti credo che non si possa trovare se è vero come pare sia vero che è stata dimostrata l'impossibilità di farlo 😅
dovrebbe fare un video sugli ordinali per completare l'argomento
potrei farlo, in effetti...
grazie prof, molto interessante
Grazie a te Alessandro
A parte il dono supremo della divulgazione caro Prof perché 0 è pari?
Se i numeri sono definiti come numeri che sono multipli di 2, e poiché 0=2*0, 0 può essere considerato pari.
...e grazie per l'apprezzamento.
Il mio apprezzamento non aggiunge nulla all'insieme degli infiniti apprezzamenti ricevuti, la cui cardinalità quindi non cambia 🙂Siamo sempre nel numerabile dei numeri naturali.
Fuori tema rispetto a questa trattazione, ma ampiamente in linea con le tue competenze, a quando un video di commento sul premio Nobel della Fisica appena attribuito? Se non ricordo male, con Alain Aspect collabori / hai collaborato.
Grazie.
Ti ringrazio per l'apprezzamento. L'entanglement fa indubbiamente parte del mio campo di ricerca (ma non ho collaborato con Aspect). E questo Nobel potrebbe in effetti essere l'occasione per proporre un nuovo video sul tema... Ma non sempre, ahimè, trovo il tempo...
L'origine del simbolo dell'infinito potrebbe derivare dalla lemniscata che il sole compie nel suo ciclo annuale, chiamata "analemma" (dal greco ανάλημμα, "piedistallo meridiana") en.m.wikipedia.org/wiki/Analemma . Non è necessariamente "coricato", ma appare più o meno inclinato a seconda della posizione geografica di osservazione. L'astronomia è molto presente nella sapienza. L'otto è rappresentato anche sulla fronte di Shiva (forse anche sulla testa mozzata di Rahu), se a volte appare come tre linee orizzontali è perché connettendole (due anse a dx e due a sx) si forma un otto.
Grazie Vincenzo per questo complemento di informazione.
Buongiorno. Mi ha stupito che 1,0000...(1,zero periodico) = 0,9999...(0,9 periodico). Virgola notazione italiana. Inoltre: forse gli a, b, c ecc devono essere naturali < 10? Saluti
Sì, hai ragione, a, b, c, d... sono naturali a una cifra sola. Altrimenti, che 1,000... sia uguale a 0,999... lo puoi vedere ad esempio così (ma è un po' un trucco, bisognerebbe approfondire l'analisi): considera l'eguaglianza ⅓ = 0,333... , poi moltiplica a destra e a sinistra per 3, ottieni: 1=0,999...
ua-cam.com/video/lc01WpnajBs/v-deo.html
@@autoricerca L'ho vista e seguita con avidità. Grazie mille
@@gennyshark Grazie a te.
in generale tutti i razionali "equivalenti" a frazioni decimali (cioè con denominatore con fattorizzazione primale di soli 5 e 2) possono essere scritti in base 10 in forma periodica alternativa con coda infinita di cifre 9, abbassando di uno l'ultima cifra decimale; per esempio 1/5=0,2 può essere scritto in alternativa 0,1999... Questa doppia rappresentazione e' fondata sugli stessi teoremi aritmetici che regolano l'algoritmo di divisione tra naturali, che e' poi quello che ci permette di "codificare" i numeri razionali mediante stringhe finite o infinite periodiche in notazione posizionale rispetto a una qualsiasi base n>1
Senza mettere in discussione le conclusioni, vorrei proporre un uso simmetrico della dimostrazione per illustrare il caso, apparentemente altrettanto valido, per trovare un numero naturale non mappato dai reali fra 0 e 1. Uso una definizione della mappatura come segue: ad ogni reale fra 0 e 1 uguale a 0,a_1a_2a_3... a_infinito, dove a_i è una cifra fra 0 e 9, corrisponde un numero naturale di infinite cifre pari ad a_infinito... a_3a_2a_1. Con questa configurazione posso applicare la dimostrazione dell'esistenza di un numero non mappato su entrambe le colonne rendendo la dimostrazione inconcludente. Oppure posso usare la definizione fornita e, con le cifre del nuovo numero così ottenuto, definire il corrispondente nell'altra colonna. Capisce il mio dubbio?
Non puoi usare nell'altro senso la dimostrazione, perché i reali tra 0 e 1 non sono numerabili.
@@autoricerca grazie per la rapids risposta. Ho guardato la definizione di non numerabile (non può essere posto in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali). Non dovrebbe essere possibile usare questa definizione per negare l'uso della dimostrazione di Cantor in quanto con essa stiamo cercando proprio di dimostrare tale condizione.
Scusa, ho letto rapidamente quello che avevi scritto; non è lì in effetti il problema in quello che hai scritto. Semplicemente, non esistono i numeri naturali di infinite cifre...
Chiedo scusa se sto dicendo una cosa ovviamente sbagliata (ma a me sembra giusta sennò non la direi) e ringrazio per la pazienza: se i numeri naturali non possono avere infinite cifre come fanno ad essere infiniti? La metto in un modo diverso: noi accettiamo l'esistenza di un numero reale grazie ad una sua definizione (ad es. la radice quadrata positiva di 2) ma altrimenti non potremmo scriverlo. Un numero naturale (intero positivo) di infinite cifre può essere definito anch'esso attraverso una definizione: ad es. un'infinita sequenza di 3 ma anche, secondo me, con le cifre in ordine inverso di un numero reale ad infinite cifre: sqrt(2)=1, 4142... ->... 24141.
Cercare di applicare la diagonale di Cantor ad una delle due colonne (Naturali e Reali fra 0 ed 1) risulta fondamentalmente in una contraddizione perché riusciamo sia a creare un nuovo numero ma anche a costruirne il corrispettivo nell'altra colonna ovvero non è un nuovo numero e la ragione, a mio avviso, é che per qualunque numero finito di cifre (ovvero per qualunque numero finito di righe) per cui applico la diagonale di Cantor non ho realmente creato questo nuovo numero e quindi tale numero esiste solo dopo aver superato l'ultimo numero e per tale ragione non esiste.
@@vconte72 Che i numeri naturali siano infiniti vuol dire semplicemente che per ogni numero naturale n che puoi scegliere dall'insieme, ne esisterà un altro m più grande di n (basta prendere il successivo). Ma ogni numero naturale ha un numero finito di cifre.
Quando l'8 è stanco, è sfinito
Bellissima 😂
grazie prof.
Prego. È un piacere.
E se zero fosse pari ed essendo il primo si può dire che i pari siano più dei dispari? Grazie per l'attenzione
Non lo si può dire perché l'insieme dei numeri pari può essere messo in relazione biunivoca con l'insieme dei numeri dispari. Infatti, se n è pari, n+1 è dispari, quindi la funzione f(n) = n+1 realizza la corrispondenza uno-a-uno necessaria a dimostrare che la cardinalità dei due insiemi è la stessa.
Ma esistono insiemi infiniti con cardinalità maggiore di quella di R?
È possibile costruirli, con un procedimento detto di esponenziazione.
per qualsiasi insieme X basta considerare P(X) cioe' l'insieme i cui elementi siano tutti (e solo) i sottoinsiemi di X stesso; Cantor stesso dimostro' che la cardinalita' di X e' minore di quella di P(X), cioe' per esempio non si può costruire una funzione iniettiva da P(X) verso X.
Questo risultato di Cantor è mantenuto anche nelle piu' recenti riformulazioni della Teoria degli insiemi (esempio la CBC)
Io avrei detto ci fosse la stessa cardinalità fra N e R.
Potrei mettere in relazione il numero reale 0,abcd al numero naturale dcba. ( a unità, b decine etc).
Ad esempio:
0.234576. In relazione al 675432.
E così via per ogni numero reale .
@@crick6868 Il problema sta proprio nel fatto che la maggior parte dei numeri reali richiedono un numero infinito di decimali, per essere descritti.
Secondo me quel numero costruito da Cantor diverso da ogni numero della lista in realtà C'E' nella lista!si nascondo...nel posto "infinito piú uno",perche l'infinito ha la proprieta di avere sempre una riserva in piu di posti.Quindi la potenza del continuo riesco a immaginarla uguale alla potenza del numerabile
😮
A me, senza la Visione Giovane della Cardinalità, viene "½ Aleph di N"!
Prof, scusi, ma non era già evidente, a metà del ragionamento, che, semplicemente, il numero reale (a1, b2, c3, d4...) già non trova alcuna collocazione nell'insieme N, proprio perché ha questa forma "diagonale"? Intendo dire senza passare agli indici coll'apice.
La diagonale troverebbe collocazione (o relazione) nei numeri N se e solo se la si "raddrizzasse" fino a renderla orizzontale... snaturandola.
Dico bene? Mi scoppia la testa
🥴
Secondo me no, perché se per definire i vari numeri lui come notazione usa le lettere dell'alfabeto arriverà a una certa fine mettiamo z1,z2, ecc.. Da lì in poi dovrà iniziare a mescolare le lettere quindi ad esempio a1, b2, a3, ecc (ripeto è un esempio random poiché l'ordine di accoppiamento può essere differente) quindi ad un certo punto si raggiungerà un accoppiamento di numeri che, almeno inizialmente poiché lui ha definito solo le prime lettere, sarà proprio quel numero.
Ma come dimostra lui invece quelli col pedice primo no.
In realtà no. Nulla impedisce che il primo numero "coincida" con la diagonale stessa: a1=a1,; b1=b2; c1=c3; d1=d4; e così avanti all'infinito...
Confesso di essere caduto anch'io nello stesso errore...
@@claudiotomasi177 in realtà e secondo me, io ho solo anticipato la conclusione, nel seguente modo:
la diagonale evidenziata in questo filmato è un numero "numerabile" (pardon per il bisticcio), ossia la diagonale evidenziata è univocamente associabile a 1, 2, 3... n, se e solo se b2=a2, c3=a3, d4=a4... etc. In tutti gli altri casi no.
Basta quindi escludere le suddette uguaglianze (b2=a2, c3=a3, d4=a4) e la dimostrazione è fatta: la diagonale non è numerabile, a meno che detta diagonale non coincida con il primo numero della serie.
Anche il filmato, alla fine, arriva a questa conclusione pur dovendo, però, introdurre ad hoc il numero a1' b2' c3'...
Se dico una sciocchezza chiedo venia ;)
@@marcopilati7464 No. La diagonale potrebbe benissimo essere uguale a uno qualsiasi dei reali della lista. Cambio un po' la notazione, e indico le cifre del primo reale con x11, x12, x13, ...., le cifre del secondo x21, x22, x23, .... La diagonale è quindi x11, x22, x33, x44... Ora scegli un n a caso, le cifre del reale corrispondente sono xn1, xn2, xn3, ... xnn, ... Bene, questo reale potrebbe benissimo essere uguale alla diagonale. Di uguale hanno sicuramente la cifra xnn, e niente impedisce a tutte le altre cifre di essere uguali tra di loro. Quindi c'è bisogno del passo in cui si impongono le cifre diverse.
Top video
Ti ringrazio, mi fa piacere che sia piaciuto.
Il problema e il rapporto tra finito e infinito. Nessun numero infinito può essere definito e perciò nemmeno il numero costruito sulla diagonale. Quindi, o nessuno esiste o esistono tutti nell'assieme, di conseguenza non esiste nessun infinito maggiore o minore di un altro.
Questo era quello che si credeva... prima di Cantor
@@autoricerca
No no, scusami, probabilmente non sono riuscito a dirlo nel modo giusto.
Intendo dire che qualsiasi definizione dell'infinito è errata. Non si può definire in una forma, nemmeno con i numeri. Tant'è che bisogna mettere i puntini dopo alcuni numeri in sequenza, per tentare di contenere l'infinito. Quindi è un limite della matematica (della ragione, che elabora solo per concetti finiti) che cerca vanamente di contenere l'infinito con questi assiomi logici, ma l'infinito non è logico, in quanto il discorso su di esso è necessariamente tautologico (perché infinito).
Certamente si trova comunque una logica che produce dei risultati, ma solo se si basa su assiomi errati sull'infinito, producendo come nel caso di Cantor, l'assurdità che un infinito sia più grande di un altro.
Insomma, l'errore è già li nel primo numero scritto, nell'intenzione di numerare l'infinito. Poi resta un passatempo matematico, dove la ragione si perde e si ritrova nel labirinto tautologico da essa costruito.
@@ptjmwjpag Ma Cantor non ha introdotto "assiomi errati sull'infinito", ha semplicemente esteso, in modo del tutto naturale, il concetto di numero ordinale (e non solo) a classi infinite, che ha denominato "numeri transfiniti", esplorando poi le proprietà di tali numeri transfiniti (o infiniti, se preferisci).
Universi infiniti NIDIFICATI ????
Ne ho parlato in questo video? A quale minuto?
L'infinito dei numeri complessi ha una taglia più grande rispetto a quello dei numeri naturali.
I numeri complessi hanno lo stesso ordine di infinità dei reali, quindi, necessariamente, il loro ordine di infinità è superiore a quello dei naturali.
@@autoricerca i razionali sembrano più numerosi rispetto agli interi ma hanno la stessa cardinalità degli interi. Diciamo che i numeri interi sono razionali a denominatore 1. I reali si dividono in razionali ed irrazionali. Gli irrazionali aumentano la cardinalità dell'infinito. Ma anche gli irrazionali a loro volta si dividono in due categorie:
Algebrici: {√2; ³√7; ⁴√5....} e tutte le radici ennesime di ogni numero non potenza ennesima perfetta.
Trascendenti: {π; e;......} e≈2,71828 valore approssimativo del numero di Nepero. Io dico che gran parte degli irrazionali è trascendente. Gli irrazionali algebrici si possono sempre abbinare ad un numero naturale come √2→2 oppure √2/2→1/2, mentre π→? oppure e→? Allora i numeri irrazionali trascendenti aumentano la cardinalità all'∞. Anche questo irrazionale 0,12345678910111213...20...25...100... potrebbe essere trascendente.
Penso derivi dal nastro di Moebius
privo di senso , ogni numero irrazionale che va all'infinito lo posso troncare ad ogni cifra dopo la virgola ottenendo cosi infiniti numeri razionali e ad ogni numero razionale posso sommare infiniti numeri irrazionali ottenendo cosi infiniti numeri irrazionali
Non è chiaro quello che scrivi. Quale parte del ragionamento di Cantor sarebbe priva di senso, esattamente?
Quindi?
Forse con i tuoi "ragionamenti" stai in realtà "sfiorando" alcune questioni "controintuitive" risolte giustappunto da Cantor &C. Per esempio che i razionali, nonostante le apparenze, hanno la stessa cardinalita' dei naturali.
Riguardo ai reali [0,1], c'è un modo "costruttivista" di dimostrarne la maggiore cardinalita; essi possono essere messi in relazione con P(N), cioe' l' insieme delle parti di N; in effetti a ogni sottoinsieme di Naturali posso associare biunivocamente un "codice a barre", cioe' un codice binario infinito in cui la n-esima cifra sia 1 se il sottoinsieme contiene il naturale n, e sia 0 se il sottoinsieme NON contiene il naturale n. L'insieme risultante di stringhe binarie infinite puo' definire l'insieme [0,1], utilizzando l'aritmetica in base 2 (con qualche banale espunzione per evitare rappresentazioni ridondanti di razionali con duplice codice periodico). Quindi mi ritrovo che [0,1] ha la stessa cardinalita' di P(N); sennonché Cantor stesso dimostra con un altro teorema che la cardinalita' di qualsiasi insieme A e' minore di quella del suo insieme delle parti P(A), cioe' non esistono biiezioni possibili tra A e P(A).
@easyfencing Mi piacerebbe che tu ti spiegassi meglio. Questo è un teorema su cui hanno ragionato innumerevoli menti eccelse. Se lo definisci "privo di senso" mi sembra doveroso che tu ne dia una dimostrazione adeguata, non trovi? Sono certo che non avrai difficoltà a dimostrare dove il resto del pianeta sbaglia.
Infinito è un concetto del tutto astratto e convenzionale, incalcolabile , e al quale non si può applicare nessuna operazione o regola matematica
La tua affermazione andrebbe contestualizzata, altrimenti non ha molto senso.
@@autoricerca non sono un matematico ovviamente non posso fare dimostrazioni, ho solo seguito la logica provocando per essere confutato o corretto semmai nello stesso linguaggio, quando possibile. Il tema ni appassiona ma il significato profondo mi sfugge , come il perché 0 elevato alla 0 darebbe 1
Nessun nummero indefinito puo essere calcolato, l.infinito in fisica corrisponde infatti ad errore. Qualunque numero diviso 0 da infinito, ma infatti viene detto che non si puo fare tale operazione [errore] .nella realta probabilmente infinito non esiste.
L'infinito in fisica, solitamente, corrisponde a un'idealizzazione, ed è per questo utile. Ad esempio: far tendere la variabile temporale t verso l'infinito, per estrarre il comportamento asintotico di un sistema, nella teoria della diffusione. Ne parlerò.