Perché è così IMPORTANTE l'Assioma di Scelta?

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  • Опубліковано 28 січ 2025

КОМЕНТАРІ • 52

  • @YouFydes
    @YouFydes 10 місяців тому +9

    Video meraviglioso, un argomento difficile da divulgare ma tu lo hai fatto in una maniera che dire impeccabile sarebbe poco. Sono super contento di aver scoperto il tuo canale. Spero tu possa diventare un punto di riferimento per la divulgazione della matematica su UA-cam Italia.

    • @guzmat-matematica
      @guzmat-matematica  10 місяців тому +4

      Grazie mille per il tuo commento, mi rende orgoglioso ... e mi fa molto piacere che il video piaccia e sia utile. Ciao, alla prossima!

    • @YouFydes
      @YouFydes 10 місяців тому +3

      @@guzmat-matematica posso chiederti a quale pubblico ti rivolgi con i tuoi video?
      Perché sebbene siano spiegati nella maniera più chiara possibile con esempi e animazioni al top, è evidente che sono comunque argomenti molto tecnici e che interessano chi già ne sa qualcosa dell'argomento o ha un background matematico di qualche tipo.
      Faccio questa domanda perché vorrei capire qual è il tradeoff che scegli tra esemplificazione e rigore matematico.

    • @guzmat-matematica
      @guzmat-matematica  10 місяців тому +5

      Ciao, grazie della domanda perché mi fa riflettere ...
      Sono partito con il canale un anno fa ed avevo immaginato di fare video per un pubblico intrigato dalla matematica e dai quesiti logici ma che non ha necessariamente un qualche tipo di formazione matematica. Ho notato con il passare dei mesi, e devo dire con piacere, che il pubblico preferisce argomenti sostanziosi che vanno verso la matematica vera ... quindi mi sono orientato verso il fare dei video che portano gli spettatori a scoprire aspetti profondi della matematica cercando di essere divulgativo ma senza sfociare nelle parole vuote. Mi piace che i video abbiano un vero contenuto matematico, che ci siano delle definizioni e delle dimostrazioni ... che si assapori il gusto della matematica. Credo che molto pubblico apprezzi di essere condotto per mano a scoprire che varie parti della matematica si possono apprezzare e capire.
      Quindi riassumendo: pubblico = curiosi di matematica, contenuto = divulgazione ma con contentuti veri.
      Hai consigli a riguardo?
      ps: Penso che dopo aver finito con gli assiomi (per i quali sto lavorando ad alcuni altri video) affronerò la topologia ... o le categorie ... ancora non so ...

    • @YouFydes
      @YouFydes 10 місяців тому +1

      @@guzmat-matematica credo che la topologia sia perfetta per essere spiegata tramite animazioni, son contento che tu stia prendendo in considerazione di trattarla! Le categorie non le ho mai studiate, quindi meglio ancora per me!
      Un consiglio che mi viene da darti è quello di non aver paura di inserire formule e dimostrazioni matematiche.
      Poi prendere in considerazione, qualora l'argomento del video lo richiedesse, di dedicare un minuto iniziale per elencare i punti principali che tratterai (tipo indice).
      Magari inserire la bibliografia a fine video o meglio in descrizione e suggerire brevemente dei libri per approfondire.
      Anche fare un veloce recap di ciò che hai spiegato fino a un certo punto del video potrebbe essere utile, giusto per non perdere l'attenzione di chi guarda.

    • @guzmat-matematica
      @guzmat-matematica  10 місяців тому +1

      @@YouFydes ciao, grazie mille dei suggerimenti! alla prossima!

  • @martinlutherwrong4040
    @martinlutherwrong4040 7 місяців тому +1

    Grazie ! Fa venire le vertigini ed e' travolgente e appassionante !

  • @junbird
    @junbird 10 місяців тому +3

    Il messaggio finale lo trovo particolarmente profondo. Mi piace pensare alla matematica non come a un'oggettiva descrizione della realtà, bensì come a una collezione di modelli, costituiti da assiomi che intuitivamente rispecchiano il mondo che noi esseri umani osserviamo e percepiamo. Ogni modello è più o meno calzante a seconda del contesto al quale viene applicato e ci consente di interpretare logicamente e rigorosamente (per quanto, in una certa misura, approssimativamente) alcuni aspetti della realtà.

    • @guzmat-matematica
      @guzmat-matematica  10 місяців тому +2

      Ciao, condivido a pieno, avrei dovuto usare le tue parole ... ciao, grazie!

    • @junbird
      @junbird 10 місяців тому +1

      ​@@guzmat-matematica Grazie a te: non commento molto spesso, ma apprezzo molto i video che pubblichi.

  • @godhell8039
    @godhell8039 10 місяців тому +4

    Questo video dovrò rivederlo più volte e dovrò farlo dopo aver letto qualcosa a riguardo:
    al momento, l’indiziato che casca a fagiolo, visto che è uscito in edicola questa settimana, è il libretto del prof.Paolo Caressa intitolato “Gli insiemi” (fa parte della serie di 30 lezioni dedicate alla matematica, curate da Maurizio Codogno che stanno uscendo con il Corriere e La Gazzetta dello Sport). L’assioma della scelta è presentato a pagina 77/78 e c’è scritto che in alcuni suscita sospetto ancora oggi perché non suggerisce come costruire la funzione di scelta ma ne postula l’esistenza.
    Video, come al solito, che ti fa ragionare ed esplodere la testa 🫨->🤯 Grazie 🙏

    • @guzmat-matematica
      @guzmat-matematica  10 місяців тому +3

      Ciao, grazie, devo comprare questi libretti anche perché Caressa e io abbiamo fatto il dottorato insieme a Roma ... ciao!!!

  • @FedeMumble
    @FedeMumble 10 місяців тому +8

    Lo farò vedere ai miei studenti del liceo interessati alla facoltà di matematica, non so se faccio bene o male :) comunque bravissimo

    • @guzmat-matematica
      @guzmat-matematica  10 місяців тому +4

      Ciao, grazie mille, forse per gli studenti per cominciare è più abbordabile il video sull'assioma 1 o l'assioma 3 ... oppure sulla definizione di numero ... però può essere intrigante anche questo ... ciao!!!

  • @Giubizza
    @Giubizza 10 місяців тому +7

    A modo suo Platone era un matematico duro e puro.

  • @silvanomattioli9720
    @silvanomattioli9720 10 місяців тому +2

    Video fantastico... e questo è evidente.
    Io parto invece da Godel: è dall' assioma di infinito è quello che leva la consistenza alla ZFC ed a qualsiasi matematica si cui esso è presente.
    Gli assurdi nascono dall'assioma di infinito che è utile ma non reiterabile.
    E' in quel momento, nel momento in cui riapplichi l'assioma di infinito ipotizzando conclusioni, che la matematica si stacca dalla realtà e dalla consistenza della stessa.
    Quando applichi infinite volte qualcosa crei il caos e il caos (es. frattali) e una volta creato il caos non è più riordinabile e autoconsistente se non decidi che ci sia un ordine, ossia l'assioma di scelta: la tensione è li.
    Non dico cose strettamente matematiche in questo video perché è davvero troppo ben fatto.

    • @guzmat-matematica
      @guzmat-matematica  10 місяців тому +3

      Ciao!!!
      "E' in quel momento, nel momento in cui riapplichi l'assioma di infinito ipotizzando conclusioni, che la matematica si stacca dalla realtà"
      si sono d'accordo è in quel momento che si stacca dalla realtà materiale ... per modellare forse solo la realtà dei pensieri ....
      Perché penso: le parole possibili sono infinite, i numeri sono infiniti ... quindi esistono "cose" che sono infinite ... anche se non appartengono alla realtà materiale. Come avviene che il mondo dei pensieri crea oggetti che sono in quantità infinita? ... e come avviene quindi che il mondo dei pensieri si distingue dalla realtà materiale? questa capacità è qualcosa di tipicamente umano ... creare nella mente qualcosa che non esiste nella realtà ... è interessante trovo ... porti il discorso su piani molto interessanti ...

    • @silvanomattioli9720
      @silvanomattioli9720 10 місяців тому +1

      @@guzmat-matematica Dai ti faccio una domanda e inserisco il seme del disastro nel tuo bel mondo ordinato della ZFC, dove tutto semba a posto... ma....
      Allora il giochino è questo (mi riservo di cambiare il punto 0 e zero bis, un po' contorti, ma sia): considero un numero che genero in questo modo algoritmico:
      0. Imposto un seme per la successione preudo casuale un numero N legato al tempo che sorre, in un dato momento (Tipo il "randomize timer" del VBA)
      0-Bis (solo per la domanda 5 aggiungo al seme un numero scelto casualmente tra tutti gli Z, ipotizzando un algoritmo casuale a tua scelta.
      1. Genero un numero casuale tra 1 e 9 (D0), quello è la mia prima cifra
      2. Pongo i=0
      3. Pongo i=i+1
      4. Pongo Nmax=11
      5. Genero un numero casuale tra 0 e Nmax e lo chiamo "D(i)",
      5. Se D(i) è nei casi 0-9 ok lo memorizzo
      6. Se D(i)=11 metto Di=".", ossia la virgola decimale e Nmax=10
      7. Se D(i) è diverso da 10 "goto 5"
      8. Stampo D(1)....D(i-1)
      In pratica sto generando un numero con cifra e lunghezza casuali dipendente dal tempo in cui si avvia l'algoritmo, riporto la matematica con i piedi per terra...
      Le domande (tranne la 4 senza 0-bis):
      1. Il numero generato dall'algoritmo è sempre computabile per ogni seme, per ogni tempo ?
      2. Il fatto che la generazione di un numero richieda tempo, mi consente di ipotizzare una infinità di numeri generati è un infinito continuo rispetto al tempo o numerabile rispetto al numeor di attivazioni possibili dell'algoritmo ?
      3. Ci sono numeri di R che non possono ripetersi nel tempo o che non si possono generare ?
      4. Considerando l'infinità lineare "continua" del tempo genero tutto R ? Ma se posso generare doppioni, come faccio a dire di generare R ?
      Al contrario se non genero R l'insieme generato è continuo se aspetto sufficientemente tempo ?
      5. (con 0-bis) Con 0-BIS in ogni istante di tempo ora genera una infinità di successioni casuali in funzione della scelta dell'elemento aggiuntivo di Z.
      Bene applico per ogni istante l'assioma di scelta.
      Prendo un elemento dall'insieme di ogni istante, il numero che prendo è computabile ? Lo stesso numero puà essere generato autonomamente in un altro istante di tempo ?
      Posso ancora applicare in questo caso la scelta e soprattutto devo aspettare la fine degli algoritmi che sono infiniti, quando la applico ?
      Come vedi inserire cose "reali" che portano a paradossi in matematica è facilissimo... :D
      Quei numeri che puoi dimenticarti con l'assioma 5 sono proprio (secondo me) gli insiemi non misurabili del video... :D
      Ovviamente sono pure congetture... lo so... ma io sono Rieman no :D ?

    • @guzmat-matematica
      @guzmat-matematica  10 місяців тому

      si, ci sono situazioni reali che portano a paradossi ...
      il tuo esempio è collegato anche con il Halting Problem ...
      nel tuo esempio vengono generati i numeri razionali non periodici con probabilità 1/10^n se il numero ha n cifre.
      I numeri reali hanno probabilità 0 di essere generati perché dovrebbe succedere per infinite volte che non viene sorteggiato il simbolo 10 (stop).
      Mi sembrerebbe quindi, ma non sono sicuro di aver capito, che restano esclusi i numeri trascendenti e i numeri periodici ...

    • @silvanomattioli9720
      @silvanomattioli9720 10 місяців тому

      @@guzmat-matematica Proprio zero no... nulla ti vieta di non avere mai 10... la probabilità è piccola, più piccola di qualsiasi numero piccolo scelto in precedenza...
      Ma è il punto della questione.
      Per giorcare:
      se dici che questo algortitmo non genera R allora neanche la definizione di limite lo fa in R, ecc. ecc. :D...
      E si, sotto c'è l'Omega... unico numero incomputabile noto...

    • @guzmat-matematica
      @guzmat-matematica  10 місяців тому +1

      :D ...
      la probabilità di non sorteggiare mai 10 ... è appunto un limite ... è il limite di 1/10^n per n -> infinito. Quindi si, limiti e probabilità sono strettamene collegati ...

  • @mariodesimoni3367
    @mariodesimoni3367 10 місяців тому +1

    dal video 4:48 sembra che la scelta di elementi porta a una contraddizione usando un insieme autoreferenziale ( X appartiene a X), eliminando l insiemi autoreferenziali si potrebbe non avere l assioma di scelta? Inoltre la richiesta che tutti gli insiemi devono già appartenere a un insieme più grande che li ha già tutti come elementi 5:10 non è soddisfatta anche per l esempio 2:43?

    • @guzmat-matematica
      @guzmat-matematica  10 місяців тому

      Ciao, grazie per le domande molto precise:
      - Gli insiemi autoreferenziali sono già banditi dall'assioma 2, ma se lasciamo la libertà di costruire insiemi scegliendo liberamente elementi da altri insiemi ed avendo l'assioma di specificazione si finisce col trovarci per le mani degli insiemi autoreferenziali. Quindi da un lato la libertà di scelta e l'assioma di specificazione porterebbero ad avere insiemi autoreferenziali, ma dall'altro lato l'assioma 2 li proibisce, avremmo quindi un sistema di assiomi contraddittorio.
      - L'esempio a 2:43 è la collezione di tutti gli insiemi che hanno un solo elemento. Quello che abbiamo indirettamente dimostrato è che questa collezione non è un insieme. Gli insiemi sono collezioni con delle proprietà in più: bisogna dimostrare che una collezione è un insieme usando gli assiomi della matematica. In questo caso abbiamo dimostrato che la collezione di tutti gli insiemi con un solo elemento non può essere un insieme (cosi come non lo è neanche la collezione di tutti gli insiemi possibili).
      Spero di essermi spiegato ... ma sennò chiedi pure ...

    • @mariodesimoni3367
      @mariodesimoni3367 10 місяців тому +1

      @@guzmat-matematica grazie! chiaro.. ho riascoltato il video più volte, l'assioma di scelta non l'ho mai compreso molto, credo che grazie ai tuoi video sto iniziando a capirlo..i video che hai fatto in generale sono davvero belli, mi piacerebbe sentire una tua lezione intera ( sempre che ne fai ), o comunque fai tornare la voglia di studiare..percui complimenti davvero... tornando all'assioma di scelta, credo che spesso ci sia confusione, ho sentito più volte dire che se la scelta è numerabile non serve, perchè il problema sono le scelte non numerabili, ma direi che dalla tuo video si intuisce che il numerabile o non numerabile non è il nocciolo della questione

    • @guzmat-matematica
      @guzmat-matematica  10 місяців тому +1

      Ciao, grazie davvero per i commenti.
      In questo momento le uniche lezioni che faccio all'univesità sono di didattica ...
      Per quanto riguarda l'assioma di scelta numerabile: è un assioma più debole di quello di scelta standard ... ma non cambia il ocncetto.
      Le possibilità difronte al problema di scegliere elementi da infiniti insiemi per formare nuovi insiemi sono:
      - non mettere nessun assioma e quindi di fatto impedire di costruire insiemi scegliendo elementi da infiniti insiemi (si evitano i paradossi dell'assioma di scelta ma si perdono anche i risultati legati all'assioma di scelta)
      - mettere l'assioma di scelta standard (discusso nel video)
      - mettere l'assioma di scelta numerabile che permette la scelta solo da un'infinità numerabile di insiemi (evita alcune questioni come l'insieme di Vitali ma non è abbastanza potente da dimostrare molti dei teoremi che ho elencato nel video)
      - mettere come assioma la negazione dell'assioma di scelta: esiste un insieme infinito i cui elementi sono insiemi non vuoti ma non è possibile scegliere un elemento da ciascuno di questi insiemi per formare un nuovo insieme. Le conseguenze di questo assioma (sebbene consistente con gli assiomi di ZF) sono disastrose ... si dimostrano in questo modo teoremi che non vorresti mai come veri ...
      mi sono dilungato ... spero ti interessasse, ciao !!!

    • @mariodesimoni3367
      @mariodesimoni3367 10 місяців тому

      @@guzmat-matematica grazie davvero.. guarda andrei avanti con la discussione.. ;-P, guarda un'alta curiosità, già per il teorema -Bolzano-Weierstrass mi pare si usi l assioma di scelta...Forse esiste anche la possibilità di dimostrarlo senza? altra cosa in che università fai didattica?

    • @guzmat-matematica
      @guzmat-matematica  10 місяців тому +2

      Il teorema di Bolzano-Weierstrass NON richiede l'assioma di scelta perché si riesce a dire esplicitamente quale elemento vogliamo (ed abbiamo diritto a sceglierli perché stiamo creando una sotto-successione di una successione già esistente) ...
      Più precisamente, senza entrare eccessivamente in dettaglio, se a_n è una successione nell'intervallo [0,1) allora ammette una sottosuccessione b_n convergente. Per definirla si procede cosi: se ci sono infiniti termini di a_n che cadono in [0, 1/2) definiamo b_1 il primo termine di a_n che cade in tale intervallo ... altrimenti b_1 è il primo termine che cade in [1/2, 1) ... si escludono i termini di a_n già usati e si procede nello stesso modo nel nuovo intervallo ... quindi si definisce la nuova successione b_n per induzione e senza assioma di scelta.
      Ho insegnato anni fa alla facoltà di informatica (modelli matematici per sistemi di calcolo informatici) ... poi ho abbandonato l'università per motivi familiari ... dall'anno scorso mi chiamano a tenere lezioni di didattica della matematica e dell'informatica. A Firenze.

  • @bernysaudino668
    @bernysaudino668 10 місяців тому +1

    Questa particolarità della esigenza di introdurre i punti all'infinito, poiché noi vediamo che due rette parallele non si incontrano mai e pure hanno qualcosa in comune la direzione, tendono presente direzione non solo positiva ma anche negativa ma qui si ci arriva, come vediamo qualcosa in comune c'è l'hanno due rette parallele, perché la direzione non potrebbe essere un punto e qui entrano in gioco i punti all'infinito, che è proprio la risposta che volevamo, volevamo trovare il punto di incontro di due rette parallele.

  • @bernysaudino668
    @bernysaudino668 10 місяців тому +1

    Grazie alle coordinate omogenee abbiamo trasformato il quinto assioma di Euclide, nel primo assioma di Euclide. In effetti il primo assioma di Euclide dice dati due punti esiste ed è unica la retta passante per due punti, il quinto assioma di Euclide dice dato una retta ed un punto esterno non appartenente ad essa esiste ed è unica la retta passante per quel punto e parallela alla retta data, se usiamo le coordinate omogenee lo possiamo ricondurre nel primo dove l'altro punto è un punto all'infinito che è il punto di incontro della retta data e la sua parallela passante per quel punto.

    • @guzmat-matematica
      @guzmat-matematica  10 місяців тому

      Mi torna tutto quello che dici, gli spazi proiettivi sono molto belli ... ma non ho capito il nesso con l'assioma di scelta ... o lo dicevi in riferimento a quando nomino Euclide?

  • @bernysaudino668
    @bernysaudino668 10 місяців тому +1

    Uso solo spazi di dimensione finita, l'infinito per me si riconduce al finito, ma questo non viene in spazi di dimensione infinita che non hanno senso, ma in punti all'infinito chiamati anche punti impropri si chiamano anche così poiché ricordano gli integrali impropri, che sono per l'appunto integrali all'infinito, ma li posso ricondurre al finito tramite una proiezione stereo-grafica in effetti tutti i punti eccetto uno della circonferenza proietta la retta quello mancante è proprio il punto all'infinito, quindi con la retta abbiamo difficoltà per rappresentare l'infinito con la circonferenza no in quanto è un punto in cui non viene proiettato sulla retta, quindi così ci semplifichiamo la vita, lo stesso vale anche per il piano complesso, chiamato anche piano di Argan-Gauss la proiezione stereo-grafica del piano di Argan-Gauss è la sfera di Riemann. Dove anche lì tutti i punti tranne uno proiettano il piano di Argan-Gauss quello mancante è l'infinito. Si può definire uno spazio proiettivo reale o complesso come estensione della circonferenza proiettiva e la sfera di Riemann in n dimensioni c'è l'equivalente anche per i quaternioni e così via.

  • @bernysaudino668
    @bernysaudino668 10 місяців тому +1

    I punti al finito sono i punti in cui si incontrano due rette incidenti, quelli all'infinito quelle parallele, in effetti due rette incidenti hanno un punto in comune che è proprio il punto al finito, quelle parallele hanno la direzione in comune che è proprio il punto al infinito.

  • @bernysaudino668
    @bernysaudino668 10 місяців тому +1

    Le coordinate proiettive si chiamano anche coordinate omogenee. I punti al finito sono:
    [a1/a(n+1),a2/a(n+1),...,an/a(n+1)]
    I punti all'infinito sono i vettori direttori.

  • @sciree
    @sciree 3 місяці тому +1

    “The Axiom of Choice is obviously true, the Well-ordering theorem is obviously false; and who can tell about Zorn’s Lemma?"

  • @thedude882
    @thedude882 10 місяців тому +1

    L'ultimo risultato da te menzionato non richiede l'assioma della scelta, basta l'assioma della scelta contabile.

  • @paolarusso4840
    @paolarusso4840 9 місяців тому +1

    Definizione di misura please😂

    • @guzmat-matematica
      @guzmat-matematica  9 місяців тому +1

      Si, hai ragione, bisognerebbe dedicare un video alla definizione di misura ... magari più avanti. Ciao, grazie!!

    • @paolarusso4840
      @paolarusso4840 9 місяців тому +1

      @@guzmat-matematica grazie da noi neofiti🤣

  • @bernysaudino668
    @bernysaudino668 10 місяців тому +1

    È un po' stupido questo assioma è un più un teorema che un teorema che un assioma va dimostrato, non possiamo darlo per certo così, potremmo arrivare a delle contraddizioni, in effetti io mi limito in insiemi finiti, insiemi infiniti non hanno senso.

  • @Ancoraludel
    @Ancoraludel 10 місяців тому

    Finché i matematici cercheranno di regolamentare l'infinito troveranno sempre antinomie da sorvolare con nuovi assiomi. La mente umana non può gestire l'infinito con postulati finiti. Viva l'intuizionismo. Non ho trovato alcun paradosso dei prigionieri, né mi sembra abbia senso: il rappresentante non è unico per ogni classe, per cui la scelta potrebbe essere di entrambi i colori. Da dove l'hai tratto, per favore?

    • @guzmat-matematica
      @guzmat-matematica  10 місяців тому +1

      ciao, il rappresentate è fissato in modo unico dall'assioma di scelta ...
      il paradosso è molto famoso ... ecco alcuni link:
      cornellmath.wordpress.com/2007/09/13/the-axiom-of-choice-is-wrong/
      ua-cam.com/video/aDOP0XynAzA/v-deo.html&ab_channel=Mathologer
      en.wikipedia.org/wiki/Induction_puzzles#Countably_Infinite-Hat_Variant_without_Hearing

    • @Ancoraludel
      @Ancoraludel 10 місяців тому

      @@guzmat-matematica Grazie, domani lo leggo.

    • @Ancoraludel
      @Ancoraludel 10 місяців тому

      @@guzmat-matematica Se la definizione di equivalenza è l'uguaglianza di ciascun termine da un certo punto in poi, tutte le serie sono equivalenti, determinando un unico rappresentante. Non ho capito come la scelta del rappresentante influisca sul colore risposto, ma se ce n'è uno solo ogni prigioniero dovrebbe rispondere lo stesso colore. Inoltre se P è il numero finito del prigioniero dopo il quale ogni sequenza della classe di equivalenza è identica, ogni prigioniero da P non può risalire alla propria classe di equivalenza, nell'ipotesi in cui possa vedere solo davanti a sé, perché non può determinare il colore di almeno uno dei cappelli che individuano tale classe.

    • @guzmat-matematica
      @guzmat-matematica  10 місяців тому

      due sequenze di cappelli le diciamo equivalenti se sono uguali da un certo punto in poi ...
      non esiste una sola classe di equivalenza, ne esistono tante ...
      per esempio: la classe in cui i cappelli sono blu da un certo punto in poi,
      la classe in cui i cappelli sono verdi da un certo punto in poi,
      la classe in cui i cappelli sono alternati da un certo punto in poi,
      per determinare la classe basta vedere i cappelli davanti, non servono quelli dietro.

    • @Ancoraludel
      @Ancoraludel 10 місяців тому

      @@guzmat-matematica Certo, ma il tiranno li ha disposti secondo un'unica classe.
      Non per forza la sequenza deve avere solo cappelli di un colore dopo uno preciso. Se la classe è determinata, da P in poi, da una sequenza di 1 blu, 4 verdi, 9 blu, ecc..., non può esistere un P determinato, perché ovunque sia chi vi è davanti non vedrà da quel punto in poi, non avendo abbastanza informazioni per determinare la serie da P in poi e di conseguenza neanche la classe di equivalenza.