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解き方は全く一緒だったけど計算遅くて一分じゃ終わらない。
ぎり１分やった３０秒で解きたい
フェルマの小定理より2^6≡13^6≡14^6≡15^6≡1これを代入2^65≡2^5=32≡43^36≡14^24≡15^45≡5^3=125≡6
MODってのは便利なものなんだねぇうちらの頃の数学Iや基礎解析、代数幾何には出てこなかった内容だわ
全てmod7とする。2⁶⁵3³⁶4²⁴5⁴⁵≡2⁵×1×1×5³ (フェルマーの小定理)≡2²×(-2)³≡-4≡3より、7で割った余りは3
フェルマー、オイラー「簡単だ」a^((素数-1)/2) = (a/素数)
最後の5の45乗は二項定理で最終項だけ計算すればいいと思う
与式＝6^36・20^24・3^29・5^21≡(-1)^60・15^21・3^8≡3^8≡3とやってみた
3:09 カスは草
この人の動画には珍しく、問題パターン解法パターン覚えとけじゃなくて原理原則を説明してて、今回は良かった。数学って、原理原則の説明を「アタリマエ」で省略してゆくことの積み重ねだからね。
2^65と4^24は2^113にして2^3なら余りが1だからそれを作り出して、3^36は(-4)^36、5^45は(-2)^45にして解きました(未視聴)
2分ください…2×4≡3×5≡1なので2^41×5^95≡-2なので-2^502^3≡1なので-2^2≡-4≡3
5と2を見て50を作れ、7を見て49を作れると気づいたので、まずはこう変形しました。2^65*3^36*4^24*5^45≡-2^120*5^110≡-50^55*2^65≡-2^65≡-(2^3)^21*2^2≡3 (mod7)
2^65と5^45→(-2)^45を組み合わせて−2^1103^36と4^24→3^24を組み合わせて3^60この2つをかけ合わせて6^60×-2^50=1×8^16×-4=1×1×3=37と一つ違いの8と6に近づけるように意識してみました。
私は2^65✕3^36✕4^24✕5^45＝2^41✕3^36✕4^36✕5^45＝(2✕3✕4✕5)^36✕2^5✕5^9＝(2✕3✕4✕5)^36✕(2^2✕5^4)^2✕2✕5＝(7✕17＋1)^36✕(7✕357＋1)^2✕10と式変形して回答を導きました。
8(≡1)^24×2^41×15(≡1)^36×5^9で行けそう
(2^65)(3^36)(4^24)(5^45) ≡ -(2^110)(3^60) ≡ -(2^140) ≡ -2^{(3*46)+2} ≡ -4 ≡ 3 (mod7)
mod7で、2＾65・3^36・4^24・5^45≡2＾65・3^36・(-3)^24・(-2)^45≡-2＾110・3^60≡-6＾60・2^50≡-(-1)＾60・(2^3)^16・2^2≡-1・(-1)^16・2^2≡-4≡3
modで１や-1を出すために、2^36x3^36=(-1)^36(mod7)と2^24x4^24=1^24(mod7)を計算してともに1、残りを2^5x5^45として、2^5x5^5=10^5=3^5(mod7)=5(mod7)(これは３の5乗を普通に計算して割りました)、残りの5^40=25^20=(-3)^20(mod7)とゴリゴリ計算して2となり、最後、5x2=３(mod7)と出しました。私は計算が遅いので3分と少しでした。他の方のコメントのフェルマーの小定理、気づかなかったし、実験の考えも浮かびませんでした。初見で、modと1でごり押し！、が第一感なので、成長がありませんね、、
2の累乗、5の累乗は全て2の累乗にまとめてmodで処理3の累乗と4の累乗はたまたま指数が6(=7-1)なのでフェルマーの小定理で処理なんとか1分でした
暗算でした。
いつも良問をありがとうございます。2 3 4 5 各累乗それぞれではなく、2と3から6を 4と5から20を作りmod7で-1として、残りを50×5＾5 ≡5＾5 ≡（-2）^5≡-32≡35-32≡ 3 としました。累乗で1となるものをまとめる発想も大切ですね。時間がないと周期性を探すのが面倒かと思いましたが。。
余りは1～6のどれかだから6分の1、俺なら当てられる。
すごい！たった一問解くだけの中に色んなエッセンスが詰まりまくってる！頭いい子に授業するなら喜ばれそう。一方、勉強が得意でない子なら答えを出すまでに色んなとこに散らばったり色んな工夫があることで逆に理解できなくて嫌がりそう。
嫌がるっていう言葉が少し気になったんですが数学でわからないから嫌がるっていう人はそもそも数学やらずに他の勉強したり楽しく高校生活送ればいいと思う。数学苦手でも得意になりたい人は全パターン解説見てでも理解しようとすると思うから。
余りが周りになってます…
小定理で真ん中の2項は消して良くて、2^5×5^3を計算これくらいなら=4000と一瞬で暗算できて、なんとなく4004≡0(mod7)が見えるので答は3、で解きましたちなみに2023^2023を7で割った余りはかなり自明なのでは
突然失礼します。鈴木貫太郎さんも動画ですが。この問題がよく分かりません。解説お願いします。取り上げて貰えないでしょうか？ua-cam.com/video/BRUrOrJICsE/v-deo.htmlsi=vK4asjtbmFqF2WGp
2^64 * 3^36 * 4^24 * 5^45= (4*5)^24 * (3*5)^21 * (2*3)^15 * 2^51= 20^24 * 15^21 * 6^15 * 8^17= (-1)^24 * 1^21 * (-1)^15 * 1^17 (mod7)= 1 * 1 * (-1) * 1 (mod7)= -1 (mod7)なので余りは6計算しやすいように7の倍数±1の値に調整すれば周期性もフェルマーの小定理も不要
4は-3にして、5は-2にするのが速いですかね。そうすれば、2と3の周期性だけ調べればよくなるので。
それやったら3を-4として捉えた方が4^60、則ち2^120になって効率的やないか?
@@AA-st6of あんたはもっと評価されるべき
モッドをもっと学びたくなる(笑)
一回で-(2)^230までmod7おちてくる
中学入試にはこんな問題出ないまず階乗が出ない、5乗くらいまでの数値の数列があって途中の穴開き部分を推測する程度
5^3=125は126(=2*3^2*7)というわかりやすい数に隣接するのでわかりやすいです。あとはフェルマの小定理で解けました。
小学校内容すら知らんw
ん？答え3になるなあ。追記あ、3でいいのか
解き方は全く一緒だったけど計算遅くて一分じゃ終わらない。
ぎり１分やった
３０秒で解きたい
フェルマの小定理より
2^6≡1
3^6≡1
4^6≡1
5^6≡1
これを代入
2^65≡2^5=32≡4
3^36≡1
4^24≡1
5^45≡5^3=125≡6
MODってのは便利なものなんだねぇ
うちらの頃の数学Iや基礎解析、代数幾何には出てこなかった内容だわ
全てmod7とする。
2⁶⁵3³⁶4²⁴5⁴⁵
≡2⁵×1×1×5³ (フェルマーの小定理)
≡2²×(-2)³
≡-4
≡3
より、7で割った余りは3
フェルマー、オイラー
「簡単だ」a^((素数-1)/2) = (a/素数)
最後の5の45乗は二項定理で最終項だけ計算すればいいと思う
与式＝6^36・20^24・3^29・5^21≡(-1)^60・15^21・3^8
≡3^8≡3
とやってみた
3:09 カスは草
この人の動画には珍しく、問題パターン解法パターン覚えとけ
じゃなくて原理原則を説明してて、今回は良かった。
数学って、原理原則の説明を「アタリマエ」で省略してゆくこと
の積み重ねだからね。
2^65と4^24は2^113にして2^3なら余りが1だからそれを作り出して、3^36は(-4)^36、5^45は(-2)^45にして解きました(未視聴)
2分ください…
2×4≡3×5≡1なので2^41×5^9
5≡-2なので-2^50
2^3≡1なので-2^2≡-4≡3
5と2を見て50を作れ、7を見て49を作れると気づいたので、まずはこう変形しました。
2^65*3^36*4^24*5^45≡-2^120*5^110
≡-50^55*2^65
≡-2^65
≡-(2^3)^21*2^2
≡3 (mod7)
2^65と5^45→(-2)^45を組み合わせて
−2^110
3^36と4^24→3^24を組み合わせて
3^60
この2つをかけ合わせて
6^60×-2^50=1×8^16×-4
=1×1×3=3
7と一つ違いの8と6に近づけるように意識してみました。
私は2^65✕3^36✕4^24✕5^45＝2^41✕3^36✕4^36✕5^45＝(2✕3✕4✕5)^36✕2^5✕5^9＝(2✕3✕4✕5)^36✕(2^2✕5^4)^2✕2✕5＝(7✕17＋1)^36✕(7✕357＋1)^2✕10と式変形して回答を導きました。
8(≡1)^24×2^41×15(≡1)^36×5^9
で行けそう
(2^65)(3^36)(4^24)(5^45) ≡ -(2^110)(3^60) ≡ -(2^140) ≡ -2^{(3*46)+2} ≡ -4 ≡ 3 (mod7)
mod7で、
2＾65・3^36・4^24・5^45
≡2＾65・3^36・(-3)^24・(-2)^45
≡-2＾110・3^60
≡-6＾60・2^50
≡-(-1)＾60・(2^3)^16・2^2
≡-1・(-1)^16・2^2
≡-4
≡3
modで１や-1を出すために、2^36x3^36=(-1)^36(mod7)と2^24x4^24=1^24(mod7)を計算してともに1、残りを2^5x5^45として、2^5x5^5=10^5=3^5(mod7)=5(mod7)(これは３の5乗を普通に計算して割りました)、残りの5^40=25^20=(-3)^20(mod7)とゴリゴリ計算して2となり、最後、5x2=３(mod7)と出しました。私は計算が遅いので3分と少しでした。他の方のコメントのフェルマーの小定理、気づかなかったし、実験の考えも浮かびませんでした。初見で、modと1でごり押し！、が第一感なので、成長がありませんね、、
2の累乗、5の累乗は全て2の累乗にまとめてmodで処理
3の累乗と4の累乗はたまたま指数が6(=7-1)なのでフェルマーの小定理で処理
なんとか1分でした
暗算でした。
いつも良問をありがとうございます。2 3 4 5 各累乗それぞれではなく、2と3から6を 4と5から20を作りmod7で-1として、残りを50×5＾5 ≡5＾5 ≡（-2）^5≡-32≡35-32≡ 3 としました。累乗で1となるものをまとめる発想も大切ですね。時間がないと周期性を探すのが面倒かと思いましたが。。
余りは1～6のどれかだから6分の1、俺なら当てられる。
すごい！たった一問解くだけの中に色んなエッセンスが詰まりまくってる！
頭いい子に授業するなら喜ばれそう。一方、勉強が得意でない子なら答えを出すまでに色んなとこに散らばったり色んな工夫があることで逆に理解できなくて嫌がりそう。
嫌がるっていう言葉が少し気になったんですが数学でわからないから嫌がるっていう人はそもそも数学やらずに他の勉強したり楽しく高校生活送ればいいと思う。数学苦手でも得意になりたい人は全パターン解説見てでも理解しようとすると思うから。
余りが周りになってます…
小定理で真ん中の2項は消して良くて、2^5×5^3を計算
これくらいなら=4000と一瞬で暗算できて、なんとなく4004≡0(mod7)が見えるので答は3、で解きました
ちなみに2023^2023を7で割った余りはかなり自明なのでは
突然失礼します。
鈴木貫太郎さんも動画ですが。この問題がよく分かりません。
解説お願いします。取り上げて貰えないでしょうか？
ua-cam.com/video/BRUrOrJICsE/v-deo.htmlsi=vK4asjtbmFqF2WGp
2^64 * 3^36 * 4^24 * 5^45
= (4*5)^24 * (3*5)^21 * (2*3)^15 * 2^51
= 20^24 * 15^21 * 6^15 * 8^17
= (-1)^24 * 1^21 * (-1)^15 * 1^17 (mod7)
= 1 * 1 * (-1) * 1 (mod7)
= -1 (mod7)
なので余りは6
計算しやすいように7の倍数±1の値に調整すれば周期性もフェルマーの小定理も不要
4は-3にして、5は-2にするのが速いですかね。そうすれば、2と3の周期性だけ調べればよくなるので。
それやったら3を-4として捉えた方が4^60、則ち2^120になって効率的やないか?
@@AA-st6of
あんたはもっと評価されるべき
モッドをもっと学びたくなる(笑)
一回で-(2)^230までmod7おちてくる
中学入試にはこんな問題出ない
まず階乗が出ない、5乗くらいまでの数値の数列があって途中の穴開き部分を推測する程度
5^3=125は126(=2*3^2*7)というわかりやすい数に隣接するのでわかりやすいです。あとはフェルマの小定理で解けました。
小学校内容すら知らんw
ん？答え3になるなあ。追記あ、3でいいのか