Площадь эллипсоида + вывод формулы площади поверхности вращения
Вставка
- Опубліковано 31 жов 2023
- В этом видео получим формулу для площади поверхности вращения, а потом с её помощью найдем площадь поверхности эллипсоида вращения x^2/4+y^2+z^2=1
в этом видео находится площадь поверхности Дини: • Цветы из Аватара: площ...
в этом видео объем тела вращения на примере тора: • Объем тела вращения на...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911
Подробное решение Спасибо за вывод формулы площади поверхности вращения.
Спасибо вам! Красивые симметричные решения! Красиво- значит правильно! Можно попросить проделать вычисления по площади гиперболоида?
Приятно видеть новые и красивые интегралы)
Спасибо, в очередной раз с величайшим удовольствием !!
Спасибо за ваш труд!
как всегда, четко, подробно и наглядно!!! Браво!!!
Xa, даже эллипсоид с произвольными размерами по всем трём осям можно назвать «телом вращения», если вращается он в токарном станке,
который устроен несколько сложнее. Такое представление сразу помогает увидеть, как записать нужные интегралы. Но не как их брать. 🙂
Благодарю! Великолепно!❤
Красота! 😊
Можешь сделать видео как решать линейную регрессию и логистическую регрессию
Павел Бердов, где вы были все это время?))) жаль, что удалили канал , очень мотивировал
кто это?
Вопрос, а разве нельзя просто выразить радиус бокового сечения данного элипса через другую ось и посчитать как сумму всех l*dz
(L- длинна среза) 2pr * dz?
Жаль, что формула элипса не в общем виде с коэф-ми a и b
Посмотреть бы какой тогда ответ.
Хотя да - "выведи сам" :)
в википедии есть формула :) а так я посмотрел, что там лишняя возня с этими коэффициентами :)
Спасибо за подробное объяснение. И у меня возник такой вопрос: есть ли общая формула или методика нахождения кратчайшего расстояния между двумя точками на поверхности тела, по самой поверхности, а не напрямую? На шаре это просто дуга. А вот как на эллипсоиде или, например, торе?
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F
Спасибо. Про формы кривой я знал, меня больше интересует длина этой кривой, зависящей от координат точек и уравнения, задающего поверхность.
@@Hmath Вам надо правильно настроить браузер, что ли. Для данной страницы в URL после wiki/ должно идти слово «Геодезическая» (без кавычек), прямо по-русски. В википедии ссылки такие и есть, непосредственно Unicode на разных языках. Браузер такие URL правильно интерпретирует, но может использовать URL encoding для copy/cut. Для этого по умолчания используется опция типа Copy and Cut Encoded Address (от браузера зависит), которую надо отключить.
Такой опции может и не быть, тогда нужно хотя бы использовать decodeURI() любого происхождения для публикации правильных ссылок, безо всех этих %.
@@Micro-Moo посмотрю
прямо дыхнуло летней сессией 1981 года. Заставили решать на устной части экзамена без всяких там трюков с дивергенциями. Не площадь, а поток поля в лоб.
Интересно, а любую поверхность вращения можно вычислить таким способом? К примеру можно ли таким образом получить поверхность усечённого конуса?
ну да, общая формула для любой поверхности вращения (вокруг оси ОХ)
Интеграл - это во истину инструмент бога))
Даешь объем эллипсоида, который зависит от π, π² и π³
с объемом эллипсоида все проще: 4/3*пи*а*b*c
пи только в первой степени :)
@@Hmath а какую-нибудь фигуру реально подобрать, чтобы такое было?
По идее объем чего-то непрерывная положительная величина, значит должна существовать и заданная.
⅓*4*π*(π+2)(π-1)*3 будет содержать π в первых трёх степенях, но это скучно потому что есть формула, которая напрямую даёт результат. На досуге подумаю как сделать из этого что-нибудь красивое
Странно. Мне казалось, что есть общая формула. Но да, в ней КАК-ТО разделяют именно случаи "вытянутый" и "сплюснутый", но это может быть не эллипсоид вращения.
"вытянутый" и "сплюснутый" - это там тоже про эллипсоид вращения :)
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1%81%D0%BE%D0%B8%D0%B4
в английской версии википедии есть формула для общего случая через эллиптические интегралы: en.wikipedia.org/wiki/Ellipsoid
@@Hmath , насколько я помню - эти интегралы потому и названы эллиптическими, что они возникают при расчете площади эллипса. Хотя наверное какой-то другой задачи с эллипсом (Вики говорит - длины дуги).
По честному мы эти интегралы по матану не учили. В одном учебнике я помню что-то похожее на интегралы в форме Якоби, но раскрытые. Что-то типа общего вида
dx/sqrt{1+az+bz^2+cz^3+cz^4)
видео с длиной эллипса тоже есть на канале: ua-cam.com/video/cGoheV3ZhXo/v-deo.html
там и про один из эллиптических интегралов :)
@@Hmath , да, я уже его смотрел.
Пробую я вспомнить что-то из матана. Поверхность в каждой точке нужно характеризовать 2 векторами (da,db) и взять интеграл от модуля их векторного произведения?
Площадь круга или шара нельзя выразить елементарной функцией, так как "пи" - бесконечная сумма.
вот смотрите, если взять сумму от 1 до бесконечности от 1/2^n получится 1
т.е "1" - бесконечная сумма.
И так можно с любым числом проделать. Т.е любое число можно представить той или иной бесконечной суммой, но это же не делает вообще любое вычисление "невозможным"
под "выразить через элементарные функции" подразумевают обычно другое
Что такое элементарная функция? С функциями вида: x^n, где n - это целое число все - понятно, но вот с синусом, экспонентой, логорифмом не понятно, что в них элементарного?
название. Как-то ведь нужно было обозвать. подразумевается, что на их основе другие строятся, поэтому они "элементарные". думаю так
Исторически в эту категорию относят 3 вида функций - степенная функция с любым действительным показателем, показательная и логарифмическая функции, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. А дальше - конечное число композиций и арифметических действий от этих функций.
И конечно далеко не любая комбинация этих функций с действием "поделить" выдерживает "интегрирование 2 раза в эл. функциях".
Вспомнил, как выводили эту формулу на первом курсе высшмата