Petite idée d'exercice j ai regardé ce matin sur BEOS les sujets tombés à l ens cette année j en ai trouvé un sympathique : Soit G un groupe fini de cardinal n et A une partie de G choisie aléatoirement. Soit AA l'ensemble des valeurs prises par un produit de deux éléments de A, et e l'élément neutre de G. Montrer que P(e appartient a AA) et P(AA=G) tendent vers 1.
Soit I un intervalle. Par l'absurde, supposons que I = U [a_n, b_n] est union dénombrable de segments disjoints. Notons M l'ensemble des extrémités de ces segments. On a ce lemme : >>> Si J est un intervalle qui contient au moins trois points de M, alors il existe un segment contenu dans J qui contient une infinité de points de M. L'ensemble J ∩ M contient au moins deux extrémités gauches, car dans le cas contraire on pourrait prendre b_r < b_s < b_t dans J, mais alors a_s ou a_t ne pourrait pas être dans J, ce qui contredirait le fait que J est un intervalle. Donc il existe a_r < a_s dans J ∩ M. Comme J est un intervalle, le segment [a_r, a_s] est dans J. On va montrer que [a_r, a_s] ∩ M est infini. La suite (a_s - 1/k) converge vers a_s > a_r et est donc dans [a_r, a_s] et a fortiori dans I à partir d'un certain rang. Pour k suffisamment grand on a alors a_s - 1/k ∈ [a_f(k), b_f(k)]. Comme les segments sont disjoints et a_s - 1/k < a_s, on doit avoir a_s - 1/k ≤ b_f(k) < a_s. Par conséquent, la suite (b_f(k)) converge vers a_s sans stationner, donc prend une infinité de valeurs. >>> On construit maintenant une suite de segments (I_n) qui vérifient I_0 ⊂ I, I_{n+1} ⊂ I_n \ [a_n,b_n] pour tout entier n et tels que I_n ∩ M soit toujours infini. On initialise la suite grâce au lemme en prenant J = I. Supposons I_ n construit. Comme I_n contient une infinité de points de M, l'ensemble (I_n\[a_n,b_n]) ∩ M = (I_n ∩ M)\{a_n,b_n} est infini. Par ailleurs I_n est un intervalle, donc l'ensemble I_n\[a_n,b_n] possède au plus deux composantes connexes, et l'une d'elles rencontre une infinité de fois M, notons la J. D'après le lemme, il existe un segment I_{n+1} contenu dans J tel que I_{n+1} ∩ M soit infini. >>> Par construction, le segment I_{n+1} est contenu dans I \ ([a_0,b_0] U ... U [a_n,b_n]), donc l'intersection des I_n doit être vide : c'est une contradiction avec le théorème des segments emboités.
J'ai aussi eu à résoudre cet exercice pour un devoir, j'ai utilisé la même approche que ton ami. Comme tu dis ne pas avoir compris la preuve, si ça t'intéresse, il suffit de remarquer que tu peux bijecter chaque intervalle (d'une possible partition dénombrable de ]0,1[ par intervalles fermés) à une branche de l'espace de Cantor 2^N, donc dans la limite chaque élément de l'espace de Cantor sera injecté à une suite d'intervalles de la partition, ce qui fait que le nombre d'intervalles requis est au moins la cardinalité de l'espace de Cantor, c'est-à-dire 2^N=c=|R|.
Dans ta preuve de M est fermé t'utilises que x est dans] 0,1[ mais x pourrait être 0 ou 1 c'est d'ailleurs simple de trouver une suite de a_n qui tend vers 0 ou 1.
Il y a juste un petit problème, ici. L'espace de référence est clairement ]0,1[, et pas R. L'ensemble M est alors fermé dans ]0,1[ (qui est à la fois ouvert et fermé, comme tout espace qui sert de référence). Tout ceci manque de rigueur (le fait, par exemple, que x est choisi dans ]0,1[... d'où plusieurs commentaires ici), mais bon. C'est pas mon souci principal. Mon souci principal est le suivant : le lemme utilisé dit qu'un ensemble parfait non vide de R est non dénombrable... Mais ici, on parle d'un ensemble parfait non vide de ]0,1[. Il faudrait donc refaire la démonstration de ce lemme sur ]0,1[. D'ailleurs, est-il au programme ??? Parce que si ce n'est pas le cas, il faut la faire de tout façon. Contre-exemple si on n'est pas dans R : Q est parfait et non vide dans Q, puisqu'il est est fermé (son complémentaire est l'ensemble vide qui est ouvert) et sans points isolés (c'est très clair), mais Q est dénombrable. Bref. Je ne doute pas un seul instant que ce lemme valable sur R le soit encore sur ]0,1[, mais il faut le montrer.
Tu chipotes là, ]0,1[ et R sont homéomorphes. Par contre c'est vrai que les ensembles parfaits c'est probablement pas au programme, mais bon c'est pas la seule façon de faire
Mais tu peux prendre M U {0,1} et tu obtiens encore un parfait si je me trompe pas, mais dans R, donc là tu peux appliquer le lemme et déduire que M est indénombrable non?
@@elloulou86 oui ça marche aussi. Mais j'insiste, ]0,1[ et R sont homéomorphes, par exemple via l'application f : x -> (2x-1)/(1-|2x-1|). Donc R et ]0,1[ ont les mêmes propriétés topologiques et ça suffit pour conclure. Si on veut détailler plus, dans le cas qui nous intéresse : si P est parfait dans ]0,1[, alors f(P) est parfait dans R, donc par le lemme f(P) est indénombrable et par bijection P est indénombrable.
question bête, je sais qu'un ensemble peut être à la fois fermé et ouvert, on peut toujours trouver des cas pathologiques, mais en l'occurence on est d'accord que ]0;1[ n'est pas un ensemble fermé ce qui n'est pas compatible avec le fait que M soit fermé, si ce n'est pas suffisant où est l'erreur? Parvenir.à montrer que M est fermé demande déjà un peu de travail.
Au début je pensais que tu parlais de l'ensemble triadique de Cantor mais j'ai regardé ta vidéo et remarqué que tu traitais de l'ensemble]0,1[ et pas [0,1] (oui je fais autres choses en même temps de regarder tes vidéos)
t shirt dans le thème :)
Mdrrrr l’énoncé il est aigri, l’examinateur il commençait à en avoir marre là
MDRRRRR
Tellement ça 😂
Y'a de la semoule à l'ENS ?
Oui 👍
"Un lemme de la vie" géniale celle la
Petite idée d'exercice j ai regardé ce matin sur BEOS les sujets tombés à l ens cette année j en ai trouvé un sympathique :
Soit G un groupe fini de cardinal n et A une partie de G choisie aléatoirement. Soit AA l'ensemble des valeurs prises par un produit de deux éléments de A, et e l'élément neutre de G. Montrer que P(e appartient a AA) et P(AA=G) tendent vers 1.
Nice comme éxo, intuitif et fun a slove (pas du bash)
c'est really true ce que tu dis tout t'a fait d'accord with you
Soit I un intervalle. Par l'absurde, supposons que I = U [a_n, b_n] est union dénombrable de segments disjoints. Notons M l'ensemble des extrémités de ces segments. On a ce lemme :
>>> Si J est un intervalle qui contient au moins trois points de M, alors il existe un segment contenu dans J qui contient une infinité de points de M.
L'ensemble J ∩ M contient au moins deux extrémités gauches, car dans le cas contraire on pourrait prendre b_r < b_s < b_t dans J, mais alors a_s ou a_t ne pourrait pas être dans J, ce qui contredirait le fait que J est un intervalle. Donc il existe a_r < a_s dans J ∩ M. Comme J est un intervalle, le segment [a_r, a_s] est dans J. On va montrer que [a_r, a_s] ∩ M est infini. La suite (a_s - 1/k) converge vers a_s > a_r et est donc dans [a_r, a_s] et a fortiori dans I à partir d'un certain rang. Pour k suffisamment grand on a alors a_s - 1/k ∈ [a_f(k), b_f(k)]. Comme les segments sont disjoints et a_s - 1/k < a_s, on doit avoir a_s - 1/k ≤ b_f(k) < a_s. Par conséquent, la suite (b_f(k)) converge vers a_s sans stationner, donc prend une infinité de valeurs.
>>> On construit maintenant une suite de segments (I_n) qui vérifient I_0 ⊂ I, I_{n+1} ⊂ I_n \ [a_n,b_n] pour tout entier n et tels que I_n ∩ M soit toujours infini.
On initialise la suite grâce au lemme en prenant J = I. Supposons I_ n construit. Comme I_n contient une infinité de points de M, l'ensemble (I_n\[a_n,b_n]) ∩ M = (I_n ∩ M)\{a_n,b_n} est infini. Par ailleurs I_n est un intervalle, donc l'ensemble I_n\[a_n,b_n] possède au plus deux composantes connexes, et l'une d'elles rencontre une infinité de fois M, notons la J. D'après le lemme, il existe un segment I_{n+1} contenu dans J tel que I_{n+1} ∩ M soit infini.
>>> Par construction, le segment I_{n+1} est contenu dans I \ ([a_0,b_0] U ... U [a_n,b_n]), donc l'intersection des I_n doit être vide : c'est une contradiction avec le théorème des segments emboités.
Et le résultat se généralise facilement avec les propriétés des espaces de Baire
Je fais pas d'études de maths donc je veux proposer mon idée et recevoir un avis. Prenons ]1,+inf[ et decomposons le en U ]n,n+1[ avec 0
J'ai aussi eu à résoudre cet exercice pour un devoir, j'ai utilisé la même approche que ton ami. Comme tu dis ne pas avoir compris la preuve, si ça t'intéresse, il suffit de remarquer que tu peux bijecter chaque intervalle (d'une possible partition dénombrable de ]0,1[ par intervalles fermés) à une branche de l'espace de Cantor 2^N, donc dans la limite chaque élément de l'espace de Cantor sera injecté à une suite d'intervalles de la partition, ce qui fait que le nombre d'intervalles requis est au moins la cardinalité de l'espace de Cantor, c'est-à-dire 2^N=c=|R|.
@@buissondivern919, je comprends pas comment on définit cette bijection. Merci. 😊
Dans ta preuve de M est fermé t'utilises que x est dans] 0,1[ mais x pourrait être 0 ou 1 c'est d'ailleurs simple de trouver une suite de a_n qui tend vers 0 ou 1.
Oui mais non, si x = 0 alors 0 appartient à ]0,1[ par hypothèse...
@@Lexarji non, pas avant que tu aies montré que c'est fermé
L'espace ambiant c'est ]0,1[, M est fermé dans ]0,1[ mais pas dans R
@@yannld9524 ok, je vois merci, dans ma filière, les "espaces ambiants" sont que des espaces vectoriels mais ok ça fait sens
Un exercice hyper classique qui m'a fait comprendre que la topo en sup, ce serait jamais mon truc...
Il y a juste un petit problème, ici. L'espace de référence est clairement ]0,1[, et pas R. L'ensemble M est alors fermé dans ]0,1[ (qui est à la fois ouvert et fermé, comme tout espace qui sert de référence). Tout ceci manque de rigueur (le fait, par exemple, que x est choisi dans ]0,1[... d'où plusieurs commentaires ici), mais bon. C'est pas mon souci principal. Mon souci principal est le suivant : le lemme utilisé dit qu'un ensemble parfait non vide de R est non dénombrable... Mais ici, on parle d'un ensemble parfait non vide de ]0,1[. Il faudrait donc refaire la démonstration de ce lemme sur ]0,1[. D'ailleurs, est-il au programme ??? Parce que si ce n'est pas le cas, il faut la faire de tout façon. Contre-exemple si on n'est pas dans R : Q est parfait et non vide dans Q, puisqu'il est est fermé (son complémentaire est l'ensemble vide qui est ouvert) et sans points isolés (c'est très clair), mais Q est dénombrable. Bref. Je ne doute pas un seul instant que ce lemme valable sur R le soit encore sur ]0,1[, mais il faut le montrer.
Tu chipotes là, ]0,1[ et R sont homéomorphes. Par contre c'est vrai que les ensembles parfaits c'est probablement pas au programme, mais bon c'est pas la seule façon de faire
@@yannld9524, on est précis ou on ne l'est pas. 😘
@@DedenK je suis d'accord avec toi faut être plus précis
Mais tu peux prendre M U {0,1} et tu obtiens encore un parfait si je me trompe pas, mais dans R, donc là tu peux appliquer le lemme et déduire que M est indénombrable non?
@@elloulou86 oui ça marche aussi. Mais j'insiste, ]0,1[ et R sont homéomorphes, par exemple via l'application f : x -> (2x-1)/(1-|2x-1|). Donc R et ]0,1[ ont les mêmes propriétés topologiques et ça suffit pour conclure.
Si on veut détailler plus, dans le cas qui nous intéresse : si P est parfait dans ]0,1[, alors f(P) est parfait dans R, donc par le lemme f(P) est indénombrable et par bijection P est indénombrable.
question bête, je sais qu'un ensemble peut être à la fois fermé et ouvert, on peut toujours trouver des cas pathologiques, mais en l'occurence on est d'accord que ]0;1[ n'est pas un ensemble fermé ce qui n'est pas compatible avec le fait que M soit fermé, si ce n'est pas suffisant où est l'erreur? Parvenir.à montrer que M est fermé demande déjà un peu de travail.
pourquoi ce ne serait pas compatible ?
M n’est pas ouvert le boss
Au début je pensais que tu parlais de l'ensemble triadique de Cantor mais j'ai regardé ta vidéo et remarqué que tu traitais de l'ensemble]0,1[ et pas [0,1] (oui je fais autres choses en même temps de regarder tes vidéos)
Y'a de la semoule à l'ENS ?