Oui, très habile ! Il y a 60 ans quand j’apprenais à résoudre les équations du 2e degré, on nous faisait d’abord chercher une "racine évidente" qui était en général un entier positif ou négatif entre 1 et 5. Pour vos exemples, ce serait 2 pour le premier et 3 pour le second. La factorisation par (x-2) ou (x-3) devient triviale.
Exact pour moi aussi il y a 30 ans... sauf que cette recherche de racines évidentes (je me souviens juste notée RE dans les corrigés lapidaires du prof) était déjà un reste d'ancien programme qu'un prof consciencieux nous avait soumis après avoir été lobotomisés en début de première S par le discriminant suprême. Je trouve cette approche RE bien dans l'esprit d'enquêter, de s'amuser à résoudre une énigme comme évoqué ici, elle est vraiment ludique alors que b²-4ac c'est la partie débile des maths où on apprend par cœur sans avoir besoin de se souvenir du pourquoi (et donc finalement de comprendre dès le début). Malheureusement on n'entraîne visiblement plus les élèves à ces réflexes. Si je puis me permettre je pense qu'au niveau progression pédagogique il faudrait commencer par les RE, généraliser le cas des racines entières avec la méthode "américaine" avant de voir le discriminant. Ca parait tellement logique de partir du plus simple, mais il y a longtemps que la majorité des profs de maths se gargarisent de la "complexité" de leur matière pour faire du prosélytisme, parce que c'est tellement plus simple de faire le programme au pas de course sans se soucier des dommages collatéraux.
@@scarymooch votre suggestion d’approche pédagogique par la RE est exactement celle de mon professeur (agrégé) de maths dans les années 60. On faisait des maths en s’amusant. Un de mes camarades (polytechnicien maintenant) s’amusait tant qu’il voyait immédiatement la RE, calculait vite dans sa tête la 2e racine et c’est cette dernière qu’il énonçait comme RE au professeur sous les rires de la classe. Et personne à l’époque n’osait proférer fièrement qu’il était "nul en maths"…
On nous le disait aussi mais sans proposer de méthode pour trouver l' "evidence" - autrement dit si tu la vois t'as du genie, et sinon ben t'as qu'a étudier autre chose. Ou trier du courrier toute ta vie.
@@cboisvert2J’ai évoqué le principe en testant successivement les valeurs 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4… Les exercices sont généralement faits pour des réponses simples. Le calcul de discriminant compliqué n’a que très peu d’intérêt en maths. C’est la gymnastique mentale qui compte et rend la solution attrayante.
@@cboisvert2 pourtant il y a une manière "simple" de connaître ces racines "évidentes". Il "suffit" de chercher parmi les diviseurs du terme constant. Cette méthode ne marche qu'avec des coefficients entiers relatifs.
A prendre comme un défi, ok. C'est amusant et tu le présentes très bien, notamment son côté intuitif. Mais à DÉCONSEILLER TOTALEMENT comme méthode de résolution. En effet, elle est beaucoup plus compliquée qu'elle n'en a l'air, et elle ne marche pas dans de nombreux cas, notamment si une racine carrée ou un quotient doit intervenir. Si on ne trouve pas la factorisation est-ce parce qu'elle n'existe pas ou parce qu'on n'y est pas arrivé ? En toute logique, (mais ce n'est pas ce qui est recherché ici) , on devrait vérifier que la factorisation existe avant de la calculer. La méthode générale avec Delta est tellement efficace et rapide, pourquoi s'en priver? Comme tu l'as dit, pour s'amuser. 😉
Cela va relativement vite si la factorisation se fait avec des nombres entiers et encore, pas trop compliqués. Dans ax²+bx+c, si a et c commencent à avoir chacun 3 décompositions possibles (sans compter les signes), cela devient vite fastidieux.
La forme canonique reste quand même plus intéressante dans le sens où elle donne directement les coordonnées du maximum/minimun. Là, la tâche est simplifiée car les chiffres sont choisis de manière à éviter les fractions en coef, donc pas sûr que ce système anglo-saxon soit mieux
Tout est question de programme et d'exigence d'examen. En tant que prof de seconde et de première non spé et techno, je trouve que l'approche recherche et inciter à le faire "à la main" est un bon complément d'introduction/de renforcement. En tant que prof de Spé (un an sur trois,répartition oblige) la position de notre équipe pédagogique (et je suis totalement raccord) est de mettre l'accent sur le double développement, les IR et le calcul littéral (ainsi que les tableaux de valeurs) en seconde, avec du surplus une fois que les élèves ont choisi leur spé et de leur conseiller de bien revoir ça pour la rentrée en première spé. En partie à cause de la remarque d'Heda : le choc de rythme et de rapidité "robotique" ;-) exigés est très difficile à encaisser pour les élèves, en plus de celui en seconde. Mais aussi parce que nous sommes conscient-es en équipe du temps que cela permet de gagner en fin première-terminale (maitrise du tableaux et des études de signes au plus tôt; maitrise calculatoire pour les dérivation de produits quotients). De toute façon, pour répondre plus précisément à ta remarque @nexoulebg2982 , je pense que tous les collègues et livres font un paragraphe "quelle forme pour quelle utilisation" en première. Bref, encore une excellente vidéo dont je n'aurais en tout cas aucun scrupule à piquer l'approche marketing pour et à partager à mes élèves pour leurs vacances ,)
C'est comme ça que je l'ai ré-appris en 2009 quand je allé reprendre des études au Qc. Tellement plus simple et rapide, y a pas photo. Sinon, excellente vidéo, pour le coup ti prends ton temps pour expliquer les choses en détail, vraiment super 👍👍👍
Alors en pratique en France on l'utilise sans le dire et/ou en découpant pour que le raisonnement tienne (le pays de Descartes peut aimer les solutions évidentes mais pas les "tâtonnements" et veut de l'induction justifiée ligne par ligne) mais on met surtout le paquet plus tard (notre première) pour l'aspect théorique. Il faut dire qu'en 20 ans les élèves de 15 ans ont perdu l'équivalent horaire d'une année entière de maths et ceux qui passent le bac quasi deux.
Merci merci merci!!! je fais maintenant mes etudes supérieures aux états unis et devant passer un test de math, cela fait des jours que jessaie de comprendre la méthode américaine. votre video m'a permis de l'apprendre en moins de 15 minutes
Mon fils a été dans une école qui lui a enseigné cette méthode au collège (nous habitions à l'étranger). Il m'a "pondu" des trinômes avec des chiffres au hasard et ... je me suis retrouvée à lui expliquer que si, y a des solutions, mais trop compliquées. Le coté satisfaisant, je ne sais pas s'il a vu. Pour ceux de ses copains qui fuyaient les "x", ce fut l'abandon des maths ...
Il faut suivre en classe aussi. Au delà du talent de ce prof et de ses explications , c'est votre concentration qui vous aide à comprendre.... Le fait de choisir soi même de regarder cette vidéo nous libère et ouvre notre esprit
C’est pas limpide du tout. Quand il dit « 2x - 7 » alors qu’il devrait dire « 2x - 7x », c’est une catastrophe pour les élèves qui écoutent. En gros, il n’y a que les élèves qui ont déjà compris qui peuvent suivre son discours, et ça c’est la marque des mauvais professeurs. Il n’y a rien de bien dans cette vidéo, tout est à refaire. D'habitude il est bien meilleur. Il doit être fatigué.
salut Iman ! je trouve ça hyper intéressant, mais je dois reconnaître que c'est un peu trop dur pour moi, comme je fais tout de tête devant la vidéo, je dois mettre pause souvent pour distribuer et vérifier afin de comprendre ce que tu expliques. je n'ai pas les automatismes donc je mets du temps et je tombe dans les pièges. c'est vrai aussi que je suis sorti du scolaire depuis + de 20 ans, j'ai oublié beaucoup de choses, j'étais mauvais en maths à l'époque. delta je ne l'ai pas appris, ni pas mal de choses que tu abordes dans tes vidéos, mais je suis en mode maths loisirs (dit comme ça c'est clair que ça fait sourire) et ça me plaît vraiment d'apprendre avec toi, de comprendre des trucs que je ne comprenais pas à l'époque et de réviser mes classiques aussi. en tout cas tu es un excellent prof, on passe des très bons moments avec tes vidéos. attention juste à ralentir un peu le débit de paroles, des fois tu pars à des vitesses faut s'accrocher pour raisonner à ton rythme. sinon ta chaîne est vraiment top, je fais ta pub dans mon entourage ! à bientôt
Il y a 26 ans on voyait l"équation deu second degré en début de seconde. J'ai fait deux fois ma seconde avec deux profs différents, et on a vu ça en seconde, c'était même dans le manuel de seconde. Le fait qu'aujourd'hui ça soit vu en première montre le régressement du niveau. Bientôt on apprendra plus rien.
J'ai vu ça en troisième, et c'était en 2003. J'ai vite oublié la méthode quand je suis arrivé au lycée car en seconde j'ai appris la (très nulle et très longue et très pénible) méthode par le développement canonique, et en première la méthode avec le discriminant delta. En vingt ans, on a reculé de deux classes !
Ha ha j'ai enfin compris ! J'ai grandi dans le système français, puis mes enfants ont grandi au Canada. Je ne comprenais rien quand ils se sont mis à faire ça en math; je leur disait: mais pourquoi votre prof il ne vous montre pas le delta??
pour ax² + bx + c somme = b produit = ac trouver m et n tels que ax² + mx + nx + c = ax² + bx + c cad : m + n = b (somme) et : m * n = ac (produit) solutions m et n réelles que si somme carrée moins quatre fois le produit est plus grand que 0. après on factorise : ax² + mx d'un côté, et nx + c de l'autre. On a une somme de deux facteurs + deux facteurs. [ de forme : ax(bx +c) + d(bx +c) ]. On procède enfin à la deuxième étape : (ax + d)(bx+c) en refactorisant.
Je la connaissais deja cette methode depuis longtemps mais cela me fait plaisir que vous en parliez. Pour completer vos explications j'ajoute que la methode c'est de trouver 2 nombres qui respectent ces 2 conditions y+z=b et yz=c et si c'est le cas alors on peut factoriser par les nombres obtenus, par contre sa marche que si a = 1. Par contre si a est different de 1 alors il faut utiliser une autre methode : En resume il faut faire la meme procedure que precedemment sauf que cette fois ci il faut trouver 2 nombres tels que y+z=b et yz=ac, si tel est possible alors on peut decomposer bx en yx+zx ensuite on pourra faire 2 factorisations partielles et le vrai facteur commun apparaitra. Et on pourra enfin tout factoriser
@@stephanegrabut8018 et pourtant il en a parlé L'objectif de Hedacademy est d'enseigner le raisonnement pour résoudre des problèmes sans forcément passer par des formules mathématiques, ce qui manque parfois dans le système français
Il y a aussi la méthode qui se base sur le fait que le fonction soit paire et que donc, les racines x1 et x1 peuvent s'exprimer comme u+t et u-t. Et avec ça on redécouvre la formule du delta.
Oui, ou alors que le delta le Δ soit positif : Normalement, quand tu as les racines du polynôme à factoriser, tu peux le factoriser comme ça : ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), x1 et x2 étant les racines du polynôme Sinon on prend la forme canonique et on la factorise vu qu'on a du a [(x-α)^2 - β] où α=-b/(2a) et β=Δ/(4ac) Ce qui fait : a(x-α-√β)(x-α+√β)
J'avoue ne pas être convaincu, la méthode ne marche que si les solutions ont le bon goût d'être entières (à la rigueur fractionnaires, mais la j'ai un doute). Si je devais utiliser une méthode "facile", je poserais bien les solutions comme étant égales à: x1 = u + √(v) x2 = u - √(v) Comme l'équation s'écrit: x² - S.x + P = 0 Où S = x1 + x2 et P =x1.x2, on n'a plus qu'à résoudre le système suivant: S = 2.u P = u² - v Je précise quand même que ce n'est pas une méthode que j'utilise habituellement, la méthode par le calcul de Δ est quand même très rapide.
Cette méthode ne fonctionne que pour des racines entières. Dès qu'elles ne le sont plus, ça devient très difficile sinon impossible. Et pour finir, dans la plupart des cas, c'est juste une grosse perte de temps et une forte probabilité d'erreur par rapport à la méthode du delta. Pas étonnant de la part des américains qui sont très forts dans le baratin et beaucoup moins dans la rigueur.
Il n’y a pas que les Américains qui font ça. Partout en Asie, on apprend assez tôt ce genre de méthode de factorisation. On dit même que celui qui n’utilise que Delta ne comprend pas très bien le principe de factorisation.
Tu peux nous la refaire avec des facteurs exp, log et racine ? Je trouve que ça fait bien fonctionner le cerveau, mais ça a ses limites. Je comprends que le calcul de "delta" fasse robot, mais c'est uniquement parce que les élèves ne se souviennent pas du cours durant lequel on a validé cette méthode, je pense que c'est là qu'est le problème. On devrait ressasser certains cours plus longtemps. Merci pour tes vidéos 🙂
Merci, l'intérêt pédagogique est clair ! par contre, ça semble fonctionner moins bien quand les racines sont irrationnelles, par exemple x^2 - x - 1 = 0. Comment font-ils dans ces cas-là ?
Magnifique. Je me demande pourquoi on ne peut pas utiliser des fractions (non entières) comme solutions candidates si les coefficients sont entiers. Soit est ce que ab et a+b dans Z implique a et b dans Z ?
Quand on finit par avoir l'habitude de factoriser, on factorise de cette manière. Il y a aussi la forme canonique qui est très pratique et qui permet également de retrouver la formule du discriminant
Je me suis régalé durant toute la vidéo, bien joué prof ! Juste pour savoir, le résultat de la factorisation ça nous fait résoudre les équations entre parenthèses si le polynôme du second degré était égal à 0 ?
Exactement ! C'est ce qu'on appelle la "règle du produit nul" : si un produit est égal à 0 alors au moins un de ses facteurs est obligatoirement égal à 0. Donc si un polynôme du second degré admet deux racines dans R : x1 et x2 Alors il est factorisable de cette manière : (x - x1).(x - x2) Car ainsi soit (x - x1) soit (x - x2) sera égal à 0. Amicalement
Merci pour l'explication. Sinon, on peut aussi passer par la méthode de la racine évidente et de l'identification. Si r1 est une racine évidente, la factorisation est de la forme (x-r1)(x-r2) ou 'r2' est la deuxième racine. On développe et on a x²-x(r1+r2)+r1r2. D'où la formule aussi x²-Sx+P (où S est la somme des racines et P leur produit).
x^2+x-6 = (x+1/2)^2 - (5/2)^2 = (x+1/2-5/2)(x+1/2+5/2) = (x-2)(x+3) Ben quoi, je vois pas le problème? OK, j'ai clairement été très formatté pour en arriver là. Cette technique est d'autant plus intéressante qu'en premiere (si on le fait encore?), on commence par la méthode la plus générale (et compliquée), et on finit par apprendre quand meme des propriétés simples comme x2- Sx + P. Apres si les racines ne sont pas entieres, bonne chance
Très intéressant en effet, pour s'amuser. Un peu comme un sportif de haut niveau dans un sport et qui fait un autre sport en "dérivatif", pour se changer les idées, pour s'amuser. MAIS, cela doit rester de l'amusement, car la méthode n'est pas SYSTEMATIQUE. Si la solution n'est pas dans les nombres entiers, elle fait juste perdre du temps. Alors que la méthode avec Delta est rigoureuse, ce qui est pour moi la première qualité des mathématiques. De plus, on peut tomber sur des équations piégeuses, par exemple : x²-2x-1... Les racines sont 1+-sqrt(2)
abordable dès la quatrième, autre méthode: si a annule le trinôme alors (x - a) est un facteur donc l'idée est de chercher des racines "évidentes" de l'expression de départ
En réalité ça ne fonctionne pas car pour que ça fonctionne il faudrait que a=1 et qu'il y ait deux racines entières. Ce qui n'arrive jamais sauf si le prof s'est arrangé pour que ce soit le cas. Mais si tu l'applique à une situation concrète ce serait une perte de temps de se poser ce genre de questions vu la faible probabilité d'être dans cette situation. Sinon si tu sais qu'il y a deux racines entières et que a =1 tu peux utiliser x²-Sx+P avec S comme somme des racines et P comme produit tout simplement.
Mouais... Vous expliquez que pour faire 6 il faut que ce soit 3x2 ou 6x1 Ah bon ? Et pourquoi pas 11/3 x 18/11 ? Ou V2 x 3V2 ? Bah oui, ça fait 6 aussi. Bref, vous prenez des exemples bien particuliers, qui ont des racines très simples, pour que ça marche. Je n'appelle pas ça une méthode.
Certes c’est peu efficace si le problème est avec des coefficients trop compliqués, mais dans 95% des exercices, tous les coefficients sont entiers, et les racines aussi sont entières. Donc la technique est pratique dans 95% des cas. C’est pas parfait mais bon c’est un test rapide à mettre en place, si la technique ne fonctionne pas on ne perd pas de temps et on fait Δ
OK mais... à quel moment on factorise dans N, au lycée ? Effectivement la technique est à connaître (et elle m'a bien été présentée au lycée dans les années 90), mais présenter ça comme la solution magique me semble un peu exagéré. En fait je trouve que le raccourci de langage est trompeur : ça n'est pas une méthode facile pour "factoriser", mais bien pour "factoriser dans N", ce qui n'est tout de même pas la même chose. A ce titre, la conclusion de l'exemple 3 me paraît très maladroite : se baser sur l'absence de possibilités de factoriser dans N avec la "méthode américaine" comme preuve de l'absence de factorisation possible dans R (avec un niveau de preuve équivalente avec un delta négatif) vaudrait un "Insuffisant !" dans la marge dans n'importe quel devoir !
Mais c'est trop bête quand-même que ça ne fonctionne que si les coefficients ont été bien choisis. En plus, il faudrait remarquer que la "contradiction" (qui n'en est pas vraiment une) ne se passe pas seulement au cas ou le Delta est négatif, mais plutôt toujours quand il n'a pas de «jolie» racine carrée. En fait, avec cette méthode, on ne factorise les polynômes de second degré pas sur les nombres réels ou complexes, mais sur les nombres entiers, ou (avec plus d'effort) sur les nombres rationnels. Ces remarques ne devraient pourtant pas être vues comme de la pub pour la méthode du Delta, car pour moi, la méthode du choix est toujours celle de compléter le carré (en anglais, «completion of the square»). Ça fonctionne toujours, il ne faut pas se rappeler la formule de Delta. Tout ce qu'il faut, c'est les deux fameuses identités remarquables.
Rien d'étonnant à ce que l'on soit de véritables bites en maths, puisque les methodes d'enseignement étant totalement à chier, ne donnent (à la base) déjà pas envie de s'y intéresser ! Y a pas chier ; pour "intéresser", il faut trouver une "accroche" ou quelque chose de concret montrant l'utilité des maths dans telle ou telle application pratique ! C'est seulement à partir de là que les attentions se réveilleront. Dans le cas contraire, vous conaissez déjà le resultat (catastrophique) !!...
J'adore la chaîne ! Mais ici, un gros manque de rigueur en calculant delta pour vérifier que ça ne fonctionne pas. x²+x-1 n'est pas factorisable avec cette méthode mais a bien un discriminant positif.
Méthode intéressante (et à priori plus "naturelle" et simple que delta), mais il me semble que dès qu'on arrive à des nombres "compliqués" (comme les fractions ou puissances), connaître les formules de delta et des solutions est plus simple et plus efficace que chercher les solutions "à l'anglo-saxonne"
@@antoinegrassi3796 Bein il faut se souvenir de la formule, puis se rappeler que s'il est négatif il n'y a pas de solution, et ensuite savoir la formule des solutions .... 🤪
depuis que j'ai appris les résolutions d'équation du second degrés (en 3ème dans les années 1975 👆) je trouve que c'est la meilleur méthode, cause si t'as des racines fractionnaires, avec cette méthode, t'as intérêt à prévoir la boite de doliprane.... sinon, cette méthode, c'est un peu comme aller à la pêche en espérant pécher le gros poisson...
Je suis entièrement d'accord ! Mais cette méthode reste intéressante à découvrir, du moment qu'on considère que les coefficients du trinôme sont entier.
J'ai dû avoir un bon prof de math pendant mon adolescence, car avant d'apprendre Delta, je factorisais comme ça, je ne sais plus si je le faisais de moi-même ou si je l'ai appris en cours. (ps : je suis belge)
Pour le dernier exemple, on peut continuer un peu : (3x + 1)(2x - 3) = 3(x + 1/3) × 2(x - 3/2) … et on retombe bien sur la forme a(x - x1)(x - x2), avec les deux solutions -1/3 et 3/2.
Cette méthode, c'est comme ça qu'on explique les factorisations en fait à la base. Il s'agit de retrouver le produit en faisant comme si on faisait la double distributivité à l'envers. C'est d'ailleurs à ça que servent les identités remarquables (qui sont justes des doubles distributivités particulières et faciles à repérer lorsqu'elles sont sous la forme réduite ; remarquables donc). Bref, quand on commence la factorisation du 2nd degré en troisième, c'est comme ça qu'on l'explique aux élèves. Et ils se rendent vite compte que c'est très hasardeux comme méthode. Parce qu'il y a une infinité de façon d'obtenir x² autre que x*x (0,5x*2x par exemple) et pareil pour 6 (en nombres entiers, comme vous le faites, il n'y en a que 2, mais qui nous dit qu'il y a des nombres entiers dans la factorisation ?). Et c'est bien le problème de cette méthode, c'est qu'elle ne fonctionne que pour des cas très simples et évidents, bref, des cas spécialement fait pour ça, comme tous vos exemples. D'où sa limitation. Si je donne un polynome du second degré au hasard, il n'y a presqu'aucune chance que je puisse le factoriser ainsi (tiens au pif x²-30x+12. On va galérer un moment en faisant ainsi, alors que c'est factorisable). D'où la méthode par recherche d'identités remarquables qu'on complète (et donc le discriminant ensuite) qui est bien plus universelle. Après, faire comme ça au début permet effectivement d'être à l'aise dans le calcul littéral, et en cela ça reste intéressant.
Il y a 30 ans les américains avaient un niveau de math inférieur au notre ( J ai fais des études aux usa en master) aujourd'hui avec la baisse de niveau en France ils nous ont rattrapé 😮 Aujourd'hui avec la baisse de niveau en France je pense que
Toujours très utile de développer des astuces, et avec la perspicacité Toutefois ça ne marche qu'avec les nombres entiers. En effet si les solutions sont décimales ou complexes, je ne vois pas comment on peut les trouver
Hello ! La méthode américaine pour le 3ème exemple est appelé méthode ac (a fois c). On cherche les 2 nombres (m et n) qui multipliés donnent ac, c'est à dire 6x .(-3) =-18, et dont la somme est b soit -7. Il est clair qu'il s'agit de -9 et 2 et on fait : E 6x² -9x +2x -3 = 3x(2x-3)+1(2x-3) = (2x-3)(3x+1) Les solutions sont 9/6 cad 3/2 et -1/3 c'est à dire -m/a et -n/a.
😮😮😮😮😳😳😳😳 Bonjour Navid, Alors là tu m'as tué ! Tu veux dire que maintenant on apprend ça en début de 1ère, et orientée math en plus 🙄🙄🙄 Oj, je ne suis pas un perdraux de l'année, mais je me souviens avoir appris ça en fin de 3ème, en 79/80😬 Bon, j'ai malheureusement oublié bcp plus de choses que je n'en ai retenues, entre autres ça, mais je m'y suis remis. Et, meme si j'avais oublié la méthode, je me souviens très bien de ce que j'ai appris à cette époque. Hallucinant comment le niveau s'est effondré, même simplement en français. Votre chaîne devrait être reconnue d'utilité publique pour le travail que vous faites.
Très bien pour trouver les solutions "évidentes" dans N mais @ 10:00 GRAVE IMPRÉCISION : - le delta négatif prouve qu'il n'y a pas de solution dans R - alors qu'avec la méthode américaine ne pas trouver de candidat "entier" ne prouve absolument rien
Perso j'ai cherché une solution "évidente" : j'ai trouvé -3 ! J'ai donc factorisé par (x - (-3)), soit (x + 3) et j'ai cherché ce qu'il manque dans l'autre facteur.
A 9'47'' vous confirmez que x² - 5x + 8 n'est pas factorisable parce que delta est négatif. Cela n'a rien à voir. Appliquez votre méthode à x² - x - 1, vous ne trouverez pas de solution avec cette méthode et pourtant delta est positif. Ou à n'importe quelle équation ax² +bx + c = 0 qui a au moins une solution réelle non entière. Il manque une information primordiale à chacun de vos énoncés : factorisez sous la forme (x-a)(x-b) avec a et b appartenant à N
Non mais en gros, là, c’est la méthode des « racines évidentes » présentée d’une manière inutilement compliquée. Chercher des racines entières va bien plus vite quand on connait x^2-S*x+P.
J'ai fait cela au lycée en France. C'était évident à l'époque. Soit avec une racine évidente soit avec le produit et la somme. C'était en 78-79. Alors je n'apprécie pas que cela s'appelle "factorisation américaine".
peut etre que ca a deja ete dit, j'avoue ne pas avoir lu les commentaires precedents, mais pour la derniere il n'y a pas que ces 2 possibilités en effet, 6=(+ -)3 * (+ -) 2 ou (+ -)6 * (+ -)1 , soit 4 possibilités et pas 2 sinon, tres interessant quand meme, comme d'hab
Il n'y a aucun différence fondamentale entre la méthode "Française" et "Américaine". La méthode "Américaine" que vous livrez ici consiste juste à supposer que les racines sont entières et pas trop éloignées de zéro, ce qui, si jamais on a la chance complètement anormale que ce soit vrai, réduit drastiquement le nombre de possibilités à tester. Évidement, ça perd complètement son intérêt avec des racines entières se décomposant en un grand nombre de facteurs entiers, et ça ne fonctionne pas dans le cas général, par exemple dans les applications à la physique des phénomènes continus, où il n'y a pas d'autre moyen que de calculer les racines imaginaires. En tant qu'informaticien, je vois un intérêt dans cette méthode pour accélérer certains algorithmes de factorisation automatique, en particulier parce que les calculateurs binaires ne travaillent en fait qu'avec des nombres entiers. Au lieu de calculer les racines (-b±(b^2-4*a*c)^.5)*.5/a , avec le risque de dépassement de mémoire avec b^2 ou 4*a*c, et avec le risque d'erreur d'arrondi en divisant par a, il est peut-être plus rapide de décrire les rapports de coefficient sous forme entière puis de tester une par unes les combinaisons de facteur entiers comme vous le faites jusqu'à tomber par hasard sur les racines du polynôme. Avec un peu de chance, les premières combinaisons testées sont les bonnes. Il y a peut-être moyen de converger encore plus rapidement vers les racines en choisissant les décompositions de manière dichotomique. Ça n'accélèrerais pas tous les calculs, mais au moins les calculs aillant ces propriétés hors du commun, et qui ressemblent à ces exercices de mathématiques donnés par les profs les plus flemmards.
14 pub en 17 minutes c'est pas possible, du coup dorénavant sur votre chaîne j'active ublock. Lorsque c'est raisonnable je laisse passer, mais trop de pub tue la pub, résultat: zéro.
Attention avec cette méthode !!! Il faut absolument commencer par vérifier qu'il existe une possibilité ; donc que le discriminant est positif b²-4ac >= 0 . Sinon on peut rester chercher longtemps pour rien. Par contre il suffit de vérifier que delta >= 0, il n'y a pas besoin de le calculer exactement. Il n'empêche, le gain de temps est faible, par rapport à la méthode systématique. Enseigner une méthode qui ne marche que lorsque les exercices sont construits spécifiquement pour elle (entre autre, les racines doivent être entières, même pas des fractions) ; ce n'est pas très sérieux. Cela m'étonne qu'elle ne soit pas imposée par l'éducation nationale !
ah la la, j'avais encore oublié que x=1x 🙄 il me semble que la méthode de multiplication ou de division aussi est différente: on commence par les plus grands chiffres. Efficacité redoutable. Comme avec les boulier japonais.
Intéressant à connaître ! Mais finalement, la méthode française fonctionne tout le temps. Alors que la méthode américaine ne fonctionne bien que pour les quelques cas de factorisations les plus simples. On est vite limité... Bilan je préfère la méthode française. L'américaine est un bonus pour les cas simples si on veut.
C’est la première fois que je ne suis pas du tout d’accord avec une de tes vidéos. Je suis déçu. On ne sait pas trop à quel niveau on s’adresse ; la formule avec le discriminant n’est pas rappelée donc ça laisse des gens sur le bord de la route ; tu dis « 2x - 9 » au lieu de « 2x - 9x » (et tu fais une erreur de ce genre plusieurs fois). Le pire c’est que tu peux donner l’impression que c’est une méthode générique alors que, pas du tout, c’est limité aux solutions entières voire à certains nombre rationnels (fractions, pour ceux qui me lisent et ne connaissent pas le sens du mot "rationnel" dans ce contexte). Et le pire du pire c’est qu’en fait tu présentes la solution des racines évidentes sans présenter la formule x^-S*x+p qui pourtant est en filigrane dans toute la vidéo. Bref, je ne comprends pas ce qui s’est passé. Est-ce que cette vidéo est une réaction à une demande ou à des commentaires ? Est-ce que tu as observé des trucs chez des élèves qui t’ont fait penser à parler de ça, et de cette manière ? Et je vais me répéter : quel est le niveau auquel s’adresse cette leçon ? D’un côté on a l’impression que c’est pour éviter d’utiliser la formule du discriminant dans ce serait plutôt avant la première, mais de l’autre côté c’est tellement compliqué sur le plan algébrique que c’est inaccessible avant la troisième pour la plupart des élèves. C'est aussi cette question de niveau visé qui me fait réagir aussi promptement. Autre remarque : si on avait utilisé la méthode des discriminants, à chaque fois ça aurait été plus rapide. Donc on est en droit de se demander si le but n’est pas de faire travailler les manipulations d'expressions algébriques sans trop l’avouer (notamment la technique qui consiste à factoriser avec des trous dans la formule factorisée, que je trouve toujours aussi excellente), ou peut-être développer l’art de faire des calculs algébriques de tête (mais en ce dernier cas on se place à un niveau vraisemblablement plus élevé que la seconde, si on est un peu réaliste). Non, je ne comprends pas. Et c’est la toute première fois que je suis vraiment déçu par une de tes vidéos, je te l’assure. J'ai quand même mis un pouce vers le haut sur cette vidéo car c'est un très bon travail. Je suis juste déçu, parce que d'habitude c'est mieux.
Bravo pour votre fluidité magique et merci pour la traduction de "quadratic forms" qui me fait penser aux moments quadratiques, c'est-à-dire à la performance des constructions, proportionnelle à l'éloignement des lieux communs ... dans tous les sens du terme ! Est-ce que cela vous inspire ?
Sans trop "robotiser", on peut peut-être trouver une manière d'énoncer les différentes combinaisons dans un table, permettant de visualiser rapidement la bonne solution.
X^2+X--6 ON dissocie X ,l'equation devient X^2--2X+3X--6 ON AURA X(X--2)+3(X--2) ,X-2 factor commun on (X--2)(X+3) ,j'avais etudie avec les français depuis mon enhance et je connais cette methods en 1970 en 4 eme annee moyenne merci
Méthode de m... On va pas se mentir. C est juste une recette de cuisine si les deux racines sont entières et pas trop grandes. Les américains adorent ça. Ils veulent pas comprendre, ils veulent justent des recettes. Tu construis rien de solide avec que des astuces . Des que tu sors des entiers ou qu il y a un paramètre, tu peux plus rien faire. Celui qui connaît la méthode retombera toujours sur ses pattes s il ne voit pas l astuce ou qu il n y en pas. L autre aura éternellement un niveau de m...
Je cherchais cette méthode claire depuis des semaines pour faire réviser mes 3e ! Je n'avais que la méthode du discriminant (plus facile pour moi) en tête. Grâce à ça, il vont pouvoir factoriser ! Merci ;)
Il y a aussi cette méthode : quand on lit x^2+ax+b, on écrit (x+a/2)^2 qu'on développe puis on rajoute ce qu'il faut pour retomber sur le polynôme de départ. En réalité ça revient presque à démontrer la formule avec les discriminants à chaque fois. Bien entendu on ne présentera pas les explications avec le texte (x+a/2)^2 mais avec plusieurs exemple tels que x^2+4x+?, ou x^2-6x+?, ou x^2+5x+?. Ça peut avoir l'air inutile au premier abord, mais en réalité quand on cherche la signature d'une forme quadratique (à plusieurs variables) "à la main" et qu'on veut réduire l'expression à une somme de carrés (et/ou d'opposés de carrés), c'est pas mal (ça c'est plutôt niveau bac+1).
@@becomepostal Oui, alors certes mais ça c'est ce qu'on faisait quand j'étais en 3ème dans les années 80, je le vois plus comme une approche première spé-éleve de seconde sur d'y aller, d'autant que c'est assez conforme à l'introduction aux preuves du discriminant en Spé. J'adore hein, et je trouve le lien avec les techniques qu'on va employer pour les formes quadratiques particulièrement pertinent, mais l'immense majorité des élèves entrant en seconde depuis 3 ans maitrisent bien trop peu l'aspect développement et les IR (en fait le tiers d'élèves qui les mobilise bien est le vivier dont une partie ira en spé avec succès). Mais du coup cette approche "américaine" pour des recherches de factorisation par tatonnements me parait en effet cool pour des troisièmes !
Oui, très habile ! Il y a 60 ans quand j’apprenais à résoudre les équations du 2e degré, on nous faisait d’abord chercher une "racine évidente" qui était en général un entier positif ou négatif entre 1 et 5. Pour vos exemples, ce serait 2 pour le premier et 3 pour le second. La factorisation par (x-2) ou (x-3) devient triviale.
Exact pour moi aussi il y a 30 ans... sauf que cette recherche de racines évidentes (je me souviens juste notée RE dans les corrigés lapidaires du prof) était déjà un reste d'ancien programme qu'un prof consciencieux nous avait soumis après avoir été lobotomisés en début de première S par le discriminant suprême.
Je trouve cette approche RE bien dans l'esprit d'enquêter, de s'amuser à résoudre une énigme comme évoqué ici, elle est vraiment ludique alors que b²-4ac c'est la partie débile des maths où on apprend par cœur sans avoir besoin de se souvenir du pourquoi (et donc finalement de comprendre dès le début). Malheureusement on n'entraîne visiblement plus les élèves à ces réflexes.
Si je puis me permettre je pense qu'au niveau progression pédagogique il faudrait commencer par les RE, généraliser le cas des racines entières avec la méthode "américaine" avant de voir le discriminant. Ca parait tellement logique de partir du plus simple, mais il y a longtemps que la majorité des profs de maths se gargarisent de la "complexité" de leur matière pour faire du prosélytisme, parce que c'est tellement plus simple de faire le programme au pas de course sans se soucier des dommages collatéraux.
@@scarymooch votre suggestion d’approche pédagogique par la RE est exactement celle de mon professeur (agrégé) de maths dans les années 60. On faisait des maths en s’amusant. Un de mes camarades (polytechnicien maintenant) s’amusait tant qu’il voyait immédiatement la RE, calculait vite dans sa tête la 2e racine et c’est cette dernière qu’il énonçait comme RE au professeur sous les rires de la classe. Et personne à l’époque n’osait proférer fièrement qu’il était "nul en maths"…
On nous le disait aussi mais sans proposer de méthode pour trouver l' "evidence" - autrement dit si tu la vois t'as du genie, et sinon ben t'as qu'a étudier autre chose. Ou trier du courrier toute ta vie.
@@cboisvert2J’ai évoqué le principe en testant successivement les valeurs 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4… Les exercices sont généralement faits pour des réponses simples. Le calcul de discriminant compliqué n’a que très peu d’intérêt en maths. C’est la gymnastique mentale qui compte et rend la solution attrayante.
@@cboisvert2 pourtant il y a une manière "simple" de connaître ces racines "évidentes". Il "suffit" de chercher parmi les diviseurs du terme constant. Cette méthode ne marche qu'avec des coefficients entiers relatifs.
J'ai adoré. C'est de la logique, du bon sens et un peu de chance quand on teste la bonne solution du premier coup. Merci Professeur.
bravo
A prendre comme un défi, ok. C'est amusant et tu le présentes très bien, notamment son côté intuitif.
Mais à DÉCONSEILLER TOTALEMENT comme méthode de résolution. En effet, elle est beaucoup plus compliquée qu'elle n'en a l'air, et elle ne marche pas dans de nombreux cas, notamment si une racine carrée ou un quotient doit intervenir.
Si on ne trouve pas la factorisation est-ce parce qu'elle n'existe pas ou parce qu'on n'y est pas arrivé ? En toute logique, (mais ce n'est pas ce qui est recherché ici) , on devrait vérifier que la factorisation existe avant de la calculer.
La méthode générale avec Delta est tellement efficace et rapide, pourquoi s'en priver?
Comme tu l'as dit, pour s'amuser. 😉
Cela va relativement vite si la factorisation se fait avec des nombres entiers et encore, pas trop compliqués. Dans ax²+bx+c, si a et c commencent à avoir chacun 3 décompositions possibles (sans compter les signes), cela devient vite fastidieux.
Tout à fait d'accord, c'est la méthode la plus sûre, l' américaine est amusante mais pas pour les débutants
Rafraîchissant !! Je pourrais aider mes petits enfants sans problèmes ! Formidable sens de la pédagogie! Merci.
Merci 😊
Quelle aisance dans votre présentation! Contenu très inspirant!
La forme canonique reste quand même plus intéressante dans le sens où elle donne directement les coordonnées du maximum/minimun. Là, la tâche est simplifiée car les chiffres sont choisis de manière à éviter les fractions en coef, donc pas sûr que ce système anglo-saxon soit mieux
Pour les solutions évidente comme celle-ci oui
Sinon ils font delta.
Tout est question de programme et d'exigence d'examen. En tant que prof de seconde et de première non spé et techno, je trouve que l'approche recherche et inciter à le faire "à la main" est un bon complément d'introduction/de renforcement.
En tant que prof de Spé (un an sur trois,répartition oblige) la position de notre équipe pédagogique (et je suis totalement raccord) est de mettre l'accent sur le double développement, les IR et le calcul littéral (ainsi que les tableaux de valeurs) en seconde, avec du surplus une fois que les élèves ont choisi leur spé et de leur conseiller de bien revoir ça pour la rentrée en première spé.
En partie à cause de la remarque d'Heda : le choc de rythme et de rapidité "robotique" ;-) exigés est très difficile à encaisser pour les élèves, en plus de celui en seconde.
Mais aussi parce que nous sommes conscient-es en équipe du temps que cela permet de gagner en fin première-terminale (maitrise du tableaux et des études de signes au plus tôt; maitrise calculatoire pour les dérivation de produits quotients).
De toute façon, pour répondre plus précisément à ta remarque @nexoulebg2982 , je pense que tous les collègues et livres font un paragraphe "quelle forme pour quelle utilisation" en première.
Bref, encore une excellente vidéo dont je n'aurais en tout cas aucun scrupule à piquer l'approche marketing pour et à partager à mes élèves pour leurs vacances ,)
C'est comme ça que je l'ai ré-appris en 2009 quand je allé reprendre des études au Qc.
Tellement plus simple et rapide, y a pas photo.
Sinon, excellente vidéo, pour le coup ti prends ton temps pour expliquer les choses en détail, vraiment super 👍👍👍
Grand plaisir de découvrir cette méthode. Merci !
En Belgique on apprend cette technique à nos élèves de 3e :) on appelle ça "la factorisation somme-produit"
Absolument ! Bravooo
Au Québec aussi, on apprend ces méthodes avant la méthode du discriminant.
Alors en pratique en France on l'utilise sans le dire et/ou en découpant pour que le raisonnement tienne (le pays de Descartes peut aimer les solutions évidentes mais pas les "tâtonnements" et veut de l'induction justifiée ligne par ligne) mais on met surtout le paquet plus tard (notre première) pour l'aspect théorique. Il faut dire qu'en 20 ans les élèves de 15 ans ont perdu l'équivalent horaire d'une année entière de maths et ceux qui passent le bac quasi deux.
Merci merci merci!!! je fais maintenant mes etudes supérieures aux états unis et devant passer un test de math, cela fait des jours que jessaie de comprendre la méthode américaine. votre video m'a permis de l'apprendre en moins de 15 minutes
Mon fils a été dans une école qui lui a enseigné cette méthode au collège (nous habitions à l'étranger). Il m'a "pondu" des trinômes avec des chiffres au hasard et ... je me suis retrouvée à lui expliquer que si, y a des solutions, mais trop compliquées. Le coté satisfaisant, je ne sais pas s'il a vu. Pour ceux de ses copains qui fuyaient les "x", ce fut l'abandon des maths ...
Quelle chance ont ses élèves....Jamais eu un prof aussi limpide dans les explications..Bravo m' sieur!
Merci merci merci
Il faut suivre en classe aussi. Au delà du talent de ce prof et de ses explications , c'est votre concentration qui vous aide à comprendre....
Le fait de choisir soi même de regarder cette vidéo nous libère et ouvre notre esprit
Lui, il devrait être augmenté, quand t'es bon, faut être récompensé; ça encouragerait certains profs à être plus motivé
C’est pas limpide du tout. Quand il dit « 2x - 7 » alors qu’il devrait dire « 2x - 7x », c’est une catastrophe pour les élèves qui écoutent. En gros, il n’y a que les élèves qui ont déjà compris qui peuvent suivre son discours, et ça c’est la marque des mauvais professeurs.
Il n’y a rien de bien dans cette vidéo, tout est à refaire.
D'habitude il est bien meilleur. Il doit être fatigué.
Pour le coup vous êtes sur la méthode française, aigri au possible a tout critiquer. Tout la vidéo et son concept résumés a un "oubli"
salut Iman ! je trouve ça hyper intéressant, mais je dois reconnaître que c'est un peu trop dur pour moi, comme je fais tout de tête devant la vidéo, je dois mettre pause souvent pour distribuer et vérifier afin de comprendre ce que tu expliques. je n'ai pas les automatismes donc je mets du temps et je tombe dans les pièges. c'est vrai aussi que je suis sorti du scolaire depuis + de 20 ans, j'ai oublié beaucoup de choses, j'étais mauvais en maths à l'époque. delta je ne l'ai pas appris, ni pas mal de choses que tu abordes dans tes vidéos, mais je suis en mode maths loisirs (dit comme ça c'est clair que ça fait sourire) et ça me plaît vraiment d'apprendre avec toi, de comprendre des trucs que je ne comprenais pas à l'époque et de réviser mes classiques aussi. en tout cas tu es un excellent prof, on passe des très bons moments avec tes vidéos. attention juste à ralentir un peu le débit de paroles, des fois tu pars à des vitesses faut s'accrocher pour raisonner à ton rythme. sinon ta chaîne est vraiment top, je fais ta pub dans mon entourage ! à bientôt
C'est du grand magnifique, comme d'habitude, merci professeur
Merci beaucoup 😍
Il y a 26 ans on voyait l"équation deu second degré en début de seconde. J'ai fait deux fois ma seconde avec deux profs différents, et on a vu ça en seconde, c'était même dans le manuel de seconde. Le fait qu'aujourd'hui ça soit vu en première montre le régressement du niveau. Bientôt on apprendra plus rien.
Une autre preuve du "regressement", on dit regression 😂
J'ai vu ça en troisième, et c'était en 2003. J'ai vite oublié la méthode quand je suis arrivé au lycée car en seconde j'ai appris la (très nulle et très longue et très pénible) méthode par le développement canonique, et en première la méthode avec le discriminant delta.
En vingt ans, on a reculé de deux classes !
Ha ha j'ai enfin compris ! J'ai grandi dans le système français, puis mes enfants ont grandi au Canada. Je ne comprenais rien quand ils se sont mis à faire ça en math; je leur disait: mais pourquoi votre prof il ne vous montre pas le delta??
Merci pour ce partage 😁
pour ax² + bx + c
somme = b
produit = ac
trouver m et n tels que ax² + mx + nx + c = ax² + bx + c
cad : m + n = b (somme)
et : m * n = ac (produit)
solutions m et n réelles que si somme carrée moins quatre fois le produit est plus grand que 0.
après on factorise : ax² + mx d'un côté, et nx + c de l'autre. On a une somme de deux facteurs + deux facteurs. [ de forme : ax(bx +c) + d(bx +c) ].
On procède enfin à la deuxième étape : (ax + d)(bx+c) en refactorisant.
Je la connaissais deja cette methode depuis longtemps mais cela me fait plaisir que vous en parliez. Pour completer vos explications j'ajoute que la methode c'est de trouver 2 nombres qui respectent ces 2 conditions y+z=b et yz=c et si c'est le cas alors on peut factoriser par les nombres obtenus, par contre sa marche que si a = 1. Par contre si a est different de 1 alors il faut utiliser une autre methode : En resume il faut faire la meme procedure que precedemment sauf que cette fois ci il faut trouver 2 nombres tels que y+z=b et yz=ac, si tel est possible alors on peut decomposer bx en yx+zx ensuite on pourra faire 2 factorisations partielles et le vrai facteur commun apparaitra. Et on pourra enfin tout factoriser
Merci pour cette démonstration / explication. C’est qui manque systématiquement dans les videos de Heda
@@stephanegrabut8018 Avec plaisir 😉😉
@@stephanegrabut8018 et pourtant il en a parlé
L'objectif de Hedacademy est d'enseigner le raisonnement pour résoudre des problèmes sans forcément passer par des formules mathématiques, ce qui manque parfois dans le système français
Il y a aussi la méthode qui se base sur le fait que le fonction soit paire et que donc, les racines x1 et x1 peuvent s'exprimer comme u+t et u-t.
Et avec ça on redécouvre la formule du delta.
Il manque une hypothèse je pense : les nombres cherchés sont entiers car sinon on pourrait aussi factoriser avec des fractions non ?
Oui, ou alors que le delta le Δ soit positif :
Normalement, quand tu as les racines du polynôme à factoriser, tu peux le factoriser comme ça :
ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), x1 et x2 étant les racines du polynôme
Sinon on prend la forme canonique et on la factorise vu qu'on a du a [(x-α)^2 - β] où α=-b/(2a) et β=Δ/(4ac)
Ce qui fait : a(x-α-√β)(x-α+√β)
J'avoue ne pas être convaincu, la méthode ne marche que si les solutions ont le bon goût d'être entières (à la rigueur fractionnaires, mais la j'ai un doute).
Si je devais utiliser une méthode "facile", je poserais bien les solutions comme étant égales à:
x1 = u + √(v)
x2 = u - √(v)
Comme l'équation s'écrit:
x² - S.x + P = 0
Où S = x1 + x2 et P =x1.x2, on n'a plus qu'à résoudre le système suivant:
S = 2.u
P = u² - v
Je précise quand même que ce n'est pas une méthode que j'utilise habituellement, la méthode par le calcul de Δ est quand même très rapide.
Cette méthode ne fonctionne que pour des racines entières. Dès qu'elles ne le sont plus, ça devient très difficile sinon impossible.
Et pour finir, dans la plupart des cas, c'est juste une grosse perte de temps et une forte probabilité d'erreur par rapport à la méthode du delta.
Pas étonnant de la part des américains qui sont très forts dans le baratin et beaucoup moins dans la rigueur.
Il n’y a pas que les Américains qui font ça. Partout en Asie, on apprend assez tôt ce genre de méthode de factorisation. On dit même que celui qui n’utilise que Delta ne comprend pas très bien le principe de factorisation.
Dans ces exemples, comment être sûr que les racines sont des nombres entiers ?
Tu peux nous la refaire avec des facteurs exp, log et racine ?
Je trouve que ça fait bien fonctionner le cerveau, mais ça a ses limites. Je comprends que le calcul de "delta" fasse robot, mais c'est uniquement parce que les élèves ne se souviennent pas du cours durant lequel on a validé cette méthode, je pense que c'est là qu'est le problème. On devrait ressasser certains cours plus longtemps.
Merci pour tes vidéos 🙂
Merci, l'intérêt pédagogique est clair ! par contre, ça semble fonctionner moins bien quand les racines sont irrationnelles, par exemple x^2 - x - 1 = 0. Comment font-ils dans ces cas-là ?
Magnifique.
Je me demande pourquoi on ne peut pas utiliser des fractions (non entières) comme solutions candidates si les coefficients sont entiers.
Soit est ce que ab et a+b dans Z implique a et b dans Z ?
Parce-que sinon ça devient trop compliqué, il y aurait trop de solutions possibles ...
Là ça fonctionne car le nombre de couples solution est réduit.
Quand on finit par avoir l'habitude de factoriser, on factorise de cette manière. Il y a aussi la forme canonique qui est très pratique et qui permet également de retrouver la formule du discriminant
En gros c'est la méthode somme-produit
C'est étrange, en Amérique, on dit Produit-somme!
Je me suis régalé durant toute la vidéo, bien joué prof !
Juste pour savoir, le résultat de la factorisation ça nous fait résoudre les équations entre parenthèses si le polynôme du second degré était égal à 0 ?
Exactement !
C'est ce qu'on appelle la "règle du produit nul" : si un produit est égal à 0 alors au moins un de ses facteurs est obligatoirement égal à 0.
Donc si un polynôme du second degré admet deux racines dans R : x1 et x2
Alors il est factorisable de cette manière : (x - x1).(x - x2)
Car ainsi soit (x - x1) soit (x - x2) sera égal à 0.
Amicalement
@@SingeMalicieux Merci beaucoup pour ta réponse !
@@Mayooo28 Avec plaisir 🙂
Merci pour l'explication. Sinon, on peut aussi passer par la méthode de la racine évidente et de l'identification. Si r1 est une racine évidente, la factorisation est de la forme (x-r1)(x-r2) ou 'r2' est la deuxième racine. On développe et on a x²-x(r1+r2)+r1r2. D'où la formule aussi x²-Sx+P (où S est la somme des racines et P leur produit).
x^2+x-6 = (x+1/2)^2 - (5/2)^2 = (x+1/2-5/2)(x+1/2+5/2) = (x-2)(x+3)
Ben quoi, je vois pas le problème?
OK, j'ai clairement été très formatté pour en arriver là. Cette technique est d'autant plus intéressante qu'en premiere (si on le fait encore?), on commence par la méthode la plus générale (et compliquée), et on finit par apprendre quand meme des propriétés simples comme x2- Sx + P. Apres si les racines ne sont pas entieres, bonne chance
pour le 1er exemple, dans les candidats possibles qui donnent -6 il y a aussi -racine 6* racine6
Très intéressant en effet, pour s'amuser. Un peu comme un sportif de haut niveau dans un sport et qui fait un autre sport en "dérivatif", pour se changer les idées, pour s'amuser.
MAIS, cela doit rester de l'amusement, car la méthode n'est pas SYSTEMATIQUE. Si la solution n'est pas dans les nombres entiers, elle fait juste perdre du temps. Alors que la méthode avec Delta est rigoureuse, ce qui est pour moi la première qualité des mathématiques.
De plus, on peut tomber sur des équations piégeuses, par exemple : x²-2x-1... Les racines sont 1+-sqrt(2)
x2-Sx+P=0
Avec S la somme et P le produit
abordable dès la quatrième, autre méthode: si a annule le trinôme alors (x - a) est un facteur donc l'idée est de chercher des racines "évidentes" de l'expression de départ
Habile, vraiment plus fun que la forme canonique 🥵
Fais une vidéo sur les polynômes svp monsieur 🙏
En réalité ça ne fonctionne pas car pour que ça fonctionne il faudrait que a=1 et qu'il y ait deux racines entières.
Ce qui n'arrive jamais sauf si le prof s'est arrangé pour que ce soit le cas. Mais si tu l'applique à une situation concrète ce serait une perte de temps de se poser ce genre de questions vu la faible probabilité d'être dans cette situation.
Sinon si tu sais qu'il y a deux racines entières et que a =1 tu peux utiliser x²-Sx+P avec S comme somme des racines et P comme produit tout simplement.
Mouais... Vous expliquez que pour faire 6 il faut que ce soit 3x2 ou 6x1
Ah bon ? Et pourquoi pas 11/3 x 18/11 ? Ou V2 x 3V2 ? Bah oui, ça fait 6 aussi.
Bref, vous prenez des exemples bien particuliers, qui ont des racines très simples, pour que ça marche. Je n'appelle pas ça une méthode.
C'est cool mais aucun intérêt à partir du moment où les facteurs ne sont pas entiers mais décimaux voire même irrationnels
Certes c’est peu efficace si le problème est avec des coefficients trop compliqués, mais dans 95% des exercices, tous les coefficients sont entiers, et les racines aussi sont entières. Donc la technique est pratique dans 95% des cas. C’est pas parfait mais bon c’est un test rapide à mettre en place, si la technique ne fonctionne pas on ne perd pas de temps et on fait Δ
Et surtout ça fait réfléchir et prendre conscience des ''opérations'' inverses (factoriser vs développer).
''1000'' x mieux que le robot delta ...
OK mais... à quel moment on factorise dans N, au lycée ? Effectivement la technique est à connaître (et elle m'a bien été présentée au lycée dans les années 90), mais présenter ça comme la solution magique me semble un peu exagéré.
En fait je trouve que le raccourci de langage est trompeur : ça n'est pas une méthode facile pour "factoriser", mais bien pour "factoriser dans N", ce qui n'est tout de même pas la même chose.
A ce titre, la conclusion de l'exemple 3 me paraît très maladroite : se baser sur l'absence de possibilités de factoriser dans N avec la "méthode américaine" comme preuve de l'absence de factorisation possible dans R (avec un niveau de preuve équivalente avec un delta négatif) vaudrait un "Insuffisant !" dans la marge dans n'importe quel devoir !
Mais c'est trop bête quand-même que ça ne fonctionne que si les coefficients ont été bien choisis.
En plus, il faudrait remarquer que la "contradiction" (qui n'en est pas vraiment une) ne se passe pas seulement au cas ou le Delta est négatif, mais plutôt toujours quand il n'a pas de «jolie» racine carrée.
En fait, avec cette méthode, on ne factorise les polynômes de second degré pas sur les nombres réels ou complexes, mais sur les nombres entiers, ou (avec plus d'effort) sur les nombres rationnels.
Ces remarques ne devraient pourtant pas être vues comme de la pub pour la méthode du Delta, car pour moi, la méthode du choix est toujours celle de compléter le carré (en anglais, «completion of the square»). Ça fonctionne toujours, il ne faut pas se rappeler la formule de Delta. Tout ce qu'il faut, c'est les deux fameuses identités remarquables.
Rien d'étonnant à ce que l'on soit de véritables bites en maths, puisque les methodes d'enseignement étant totalement à chier, ne donnent (à la base) déjà pas envie de s'y intéresser !
Y a pas chier ; pour "intéresser", il faut trouver une "accroche" ou quelque chose de concret montrant l'utilité des maths dans telle ou telle application pratique !
C'est seulement à partir de là que les attentions se réveilleront. Dans le cas contraire, vous conaissez déjà le resultat (catastrophique) !!...
J'adore la chaîne !
Mais ici, un gros manque de rigueur en calculant delta pour vérifier que ça ne fonctionne pas.
x²+x-1 n'est pas factorisable avec cette méthode mais a bien un discriminant positif.
2x² - 13x - 7
= (2x + 1)(x - 7)
D = 169 + 56 = 225
R = Racine(D) = Racine(225) = 15
x' = (13 - 15)/4 = -2/4 = -1/2
x" = (13+15)/4 = 28/4 = 7
= 2(x + 1/2)(x - 7)
= (2x + 1)(x - 7)
il me semble que mon fils a aussi appris comme ça à l'école (en plus du delta), c'était en Belgisue francophone
Sympa, cette comparaison, merci :)
Méthode intéressante (et à priori plus "naturelle" et simple que delta), mais il me semble que dès qu'on arrive à des nombres "compliqués" (comme les fractions ou puissances), connaître les formules de delta et des solutions est plus simple et plus efficace que chercher les solutions "à l'anglo-saxonne"
Ouch .... laborieux le système américain.
Tout aussi compliqué pour moi que Delta 😢
Tout à fait d'accord. Mais je ne vois pas ce qu'il y a de compliqué dans Delta. C'est automatique et on se trompe jamais.
@@antoinegrassi3796 Bein il faut se souvenir de la formule, puis se rappeler que s'il est négatif il n'y a pas de solution, et ensuite savoir la formule des solutions .... 🤪
Une question... quand on a x² à factoriser, n'y a-t-il pas 2 possibilités ? [x * x] et [(-x) * (-x)] ?
depuis que j'ai appris les résolutions d'équation du second degrés (en 3ème dans les années 1975 👆) je trouve que c'est la meilleur méthode, cause si t'as des racines fractionnaires, avec cette méthode, t'as intérêt à prévoir la boite de doliprane....
sinon, cette méthode, c'est un peu comme aller à la pêche en espérant pécher le gros poisson...
Je suis entièrement d'accord ! Mais cette méthode reste intéressante à découvrir, du moment qu'on considère que les coefficients du trinôme sont entier.
Le calcul du discriminant reste intéressant dès que le coefficient de x2 augmente un peu…
Les équations du 2e degré c'était en seconde. Enfin à la fin des années 80 en tout cas.
@cedricserieys9768
À la fin des années 50 aussi... 😄
J'ai dû avoir un bon prof de math pendant mon adolescence, car avant d'apprendre Delta, je factorisais comme ça, je ne sais plus si je le faisais de moi-même ou si je l'ai appris en cours. (ps : je suis belge)
Avec des entiers, c'est assez facile, mais avec des fractions ou des réels non entiers, ça se complique.
Merci.
autre particularité française: la manière de poser la division
En 1994 on cherchait une solution évidente et pas le calcul de delta.
Je sais pas d'où sort cette idée qu'en France on fesait plus compliqué
Pour le dernier exemple, on peut continuer un peu :
(3x + 1)(2x - 3) = 3(x + 1/3) × 2(x - 3/2)
… et on retombe bien sur la forme a(x - x1)(x - x2), avec les deux solutions -1/3 et 3/2.
Pour le 2e exemple, sauf erreur de ma part, (-x+4)(-x+3) fonctionne aussi... :)
C'est également la solution que j'ai trouvée ^^
Oups... je n'aime pas du tout cette façon de procéder. Je préfère un calcul avec delta Question d'habitude je pense
Trop long delta
Cette méthode, c'est comme ça qu'on explique les factorisations en fait à la base. Il s'agit de retrouver le produit en faisant comme si on faisait la double distributivité à l'envers. C'est d'ailleurs à ça que servent les identités remarquables (qui sont justes des doubles distributivités particulières et faciles à repérer lorsqu'elles sont sous la forme réduite ; remarquables donc).
Bref, quand on commence la factorisation du 2nd degré en troisième, c'est comme ça qu'on l'explique aux élèves.
Et ils se rendent vite compte que c'est très hasardeux comme méthode. Parce qu'il y a une infinité de façon d'obtenir x² autre que x*x (0,5x*2x par exemple) et pareil pour 6 (en nombres entiers, comme vous le faites, il n'y en a que 2, mais qui nous dit qu'il y a des nombres entiers dans la factorisation ?). Et c'est bien le problème de cette méthode, c'est qu'elle ne fonctionne que pour des cas très simples et évidents, bref, des cas spécialement fait pour ça, comme tous vos exemples.
D'où sa limitation.
Si je donne un polynome du second degré au hasard, il n'y a presqu'aucune chance que je puisse le factoriser ainsi (tiens au pif x²-30x+12. On va galérer un moment en faisant ainsi, alors que c'est factorisable).
D'où la méthode par recherche d'identités remarquables qu'on complète (et donc le discriminant ensuite) qui est bien plus universelle.
Après, faire comme ça au début permet effectivement d'être à l'aise dans le calcul littéral, et en cela ça reste intéressant.
Aaaahhh le chainon manquant entre la racine évidente et le delta... ils sont trop fort ces américains ! Bravo pour cette vidéo.
plutot genial
C'est hyper laborieux dans le dernier exemple. C'est infiniment plus simple et rapide avec Delta.
Il y a 30 ans les américains avaient un niveau de math inférieur au notre ( J ai fais des études aux usa en master) aujourd'hui avec la baisse de niveau en France ils nous ont rattrapé 😮
Aujourd'hui avec la baisse de niveau en France je pense que
Non, je te rassure ils sont toujours très mauvais, un peu comme la génération post covid en France, ça se vaut.
Oui mais ca ne marche que pour des racines entieres.
Aussi les anglais utilise la complétion avec (b/2)²
x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)
x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)
Toujours très utile de développer des astuces, et avec la perspicacité
Toutefois ça ne marche qu'avec les nombres entiers. En effet si les solutions sont décimales ou complexes, je ne vois pas comment on peut les trouver
Tu veux dire irrationnelles peut être..
Pas seulement irrationnelles, mais toutes les décimales
Hello !
La méthode américaine pour le 3ème exemple est appelé méthode ac (a fois c).
On cherche les 2 nombres (m et n) qui multipliés donnent ac, c'est à dire 6x .(-3) =-18, et dont la somme est b soit -7. Il est clair qu'il s'agit de -9 et 2 et on fait :
E 6x² -9x +2x -3 = 3x(2x-3)+1(2x-3) = (2x-3)(3x+1) Les solutions sont 9/6 cad 3/2 et -1/3 c'est à dire -m/a et -n/a.
Pour la dernière je décompose.
-3×6=-18
-18=-9×2 => -9+2=7
6x²-7x-3=6x²+2x-9x-3
=2x(3x+1)-3(3x+1)
=(2x-3)(3x+1)
😮😮😮😮😳😳😳😳
Bonjour Navid,
Alors là tu m'as tué ! Tu veux dire que maintenant on apprend ça en début de 1ère, et orientée math en plus 🙄🙄🙄
Oj, je ne suis pas un perdraux de l'année, mais je me souviens avoir appris ça en fin de 3ème, en 79/80😬
Bon, j'ai malheureusement oublié bcp plus de choses que je n'en ai retenues, entre autres ça, mais je m'y suis remis.
Et, meme si j'avais oublié la méthode, je me souviens très bien de ce que j'ai appris à cette époque.
Hallucinant comment le niveau s'est effondré, même simplement en français.
Votre chaîne devrait être reconnue d'utilité publique pour le travail que vous faites.
Très bien pour trouver les solutions "évidentes" dans N mais @ 10:00 GRAVE IMPRÉCISION :
- le delta négatif prouve qu'il n'y a pas de solution dans R
- alors qu'avec la méthode américaine ne pas trouver de candidat "entier" ne prouve absolument rien
Perso j'ai cherché une solution "évidente" : j'ai trouvé -3 ! J'ai donc factorisé par (x - (-3)), soit (x + 3) et j'ai cherché ce qu'il manque dans l'autre facteur.
A 9'47'' vous confirmez que x² - 5x + 8 n'est pas factorisable parce que delta est négatif. Cela n'a rien à voir. Appliquez votre méthode à x² - x - 1, vous ne trouverez pas de solution avec cette méthode et pourtant delta est positif. Ou à n'importe quelle équation ax² +bx + c = 0 qui a au moins une solution réelle non entière.
Il manque une information primordiale à chacun de vos énoncés : factorisez sous la forme (x-a)(x-b) avec a et b appartenant à N
Non mais en gros, là, c’est la méthode des « racines évidentes » présentée d’une manière inutilement compliquée. Chercher des racines entières va bien plus vite quand on connait x^2-S*x+P.
Pour l'instant je suis par terre, quand je suis sorti de réa je te mets un commentaire. 🤣
J'ai fait cela au lycée en France. C'était évident à l'époque. Soit avec une racine évidente soit avec le produit et la somme. C'était en 78-79. Alors je n'apprécie pas que cela s'appelle "factorisation américaine".
peut etre que ca a deja ete dit, j'avoue ne pas avoir lu les commentaires precedents, mais pour la derniere il n'y a pas que ces 2 possibilités
en effet, 6=(+ -)3 * (+ -) 2 ou (+ -)6 * (+ -)1 , soit 4 possibilités et pas 2
sinon, tres interessant quand meme, comme d'hab
Il n'y a aucun différence fondamentale entre la méthode "Française" et "Américaine". La méthode "Américaine" que vous livrez ici consiste juste à supposer que les racines sont entières et pas trop éloignées de zéro, ce qui, si jamais on a la chance complètement anormale que ce soit vrai, réduit drastiquement le nombre de possibilités à tester. Évidement, ça perd complètement son intérêt avec des racines entières se décomposant en un grand nombre de facteurs entiers, et ça ne fonctionne pas dans le cas général, par exemple dans les applications à la physique des phénomènes continus, où il n'y a pas d'autre moyen que de calculer les racines imaginaires.
En tant qu'informaticien, je vois un intérêt dans cette méthode pour accélérer certains algorithmes de factorisation automatique, en particulier parce que les calculateurs binaires ne travaillent en fait qu'avec des nombres entiers.
Au lieu de calculer les racines (-b±(b^2-4*a*c)^.5)*.5/a , avec le risque de dépassement de mémoire avec b^2 ou 4*a*c, et avec le risque d'erreur d'arrondi en divisant par a, il est peut-être plus rapide de décrire les rapports de coefficient sous forme entière puis de tester une par unes les combinaisons de facteur entiers comme vous le faites jusqu'à tomber par hasard sur les racines du polynôme. Avec un peu de chance, les premières combinaisons testées sont les bonnes. Il y a peut-être moyen de converger encore plus rapidement vers les racines en choisissant les décompositions de manière dichotomique.
Ça n'accélèrerais pas tous les calculs, mais au moins les calculs aillant ces propriétés hors du commun, et qui ressemblent à ces exercices de mathématiques donnés par les profs les plus flemmards.
14 pub en 17 minutes c'est pas possible, du coup dorénavant sur votre chaîne j'active ublock. Lorsque c'est raisonnable je laisse passer, mais trop de pub tue la pub, résultat: zéro.
Attention avec cette méthode !!!
Il faut absolument commencer par vérifier qu'il existe une possibilité ; donc que le discriminant est positif b²-4ac >= 0 .
Sinon on peut rester chercher longtemps pour rien.
Par contre il suffit de vérifier que delta >= 0, il n'y a pas besoin de le calculer exactement.
Il n'empêche, le gain de temps est faible, par rapport à la méthode systématique.
Enseigner une méthode qui ne marche que lorsque les exercices sont construits spécifiquement pour elle (entre autre, les racines doivent être entières, même pas des fractions) ; ce n'est pas très sérieux. Cela m'étonne qu'elle ne soit pas imposée par l'éducation nationale !
ah la la, j'avais encore oublié que x=1x 🙄
il me semble que la méthode de multiplication ou de division aussi est différente: on commence par les plus grands chiffres. Efficacité redoutable. Comme avec les boulier japonais.
Intéressant à connaître !
Mais finalement, la méthode française fonctionne tout le temps.
Alors que la méthode américaine ne fonctionne bien que pour les quelques cas de factorisations les plus simples. On est vite limité...
Bilan je préfère la méthode française. L'américaine est un bonus pour les cas simples si on veut.
C’est la première fois que je ne suis pas du tout d’accord avec une de tes vidéos. Je suis déçu. On ne sait pas trop à quel niveau on s’adresse ; la formule avec le discriminant n’est pas rappelée donc ça laisse des gens sur le bord de la route ; tu dis « 2x - 9 » au lieu de « 2x - 9x » (et tu fais une erreur de ce genre plusieurs fois).
Le pire c’est que tu peux donner l’impression que c’est une méthode générique alors que, pas du tout, c’est limité aux solutions entières voire à certains nombre rationnels (fractions, pour ceux qui me lisent et ne connaissent pas le sens du mot "rationnel" dans ce contexte).
Et le pire du pire c’est qu’en fait tu présentes la solution des racines évidentes sans présenter la formule x^-S*x+p qui pourtant est en filigrane dans toute la vidéo.
Bref, je ne comprends pas ce qui s’est passé. Est-ce que cette vidéo est une réaction à une demande ou à des commentaires ? Est-ce que tu as observé des trucs chez des élèves qui t’ont fait penser à parler de ça, et de cette manière ?
Et je vais me répéter : quel est le niveau auquel s’adresse cette leçon ? D’un côté on a l’impression que c’est pour éviter d’utiliser la formule du discriminant dans ce serait plutôt avant la première, mais de l’autre côté c’est tellement compliqué sur le plan algébrique que c’est inaccessible avant la troisième pour la plupart des élèves. C'est aussi cette question de niveau visé qui me fait réagir aussi promptement.
Autre remarque : si on avait utilisé la méthode des discriminants, à chaque fois ça aurait été plus rapide. Donc on est en droit de se demander si le but n’est pas de faire travailler les manipulations d'expressions algébriques sans trop l’avouer (notamment la technique qui consiste à factoriser avec des trous dans la formule factorisée, que je trouve toujours aussi excellente), ou peut-être développer l’art de faire des calculs algébriques de tête (mais en ce dernier cas on se place à un niveau vraisemblablement plus élevé que la seconde, si on est un peu réaliste).
Non, je ne comprends pas. Et c’est la toute première fois que je suis vraiment déçu par une de tes vidéos, je te l’assure.
J'ai quand même mis un pouce vers le haut sur cette vidéo car c'est un très bon travail. Je suis juste déçu, parce que d'habitude c'est mieux.
Les mathématiques universelles sont une logique de l’imagination.
-Leibniz
A mon époque (putain, ça y est, je suis vieux....) on appelait cela chercher les racines évidentes. Et on faisait la factorisation directement
Bravo pour votre fluidité magique et merci pour la traduction de "quadratic forms" qui me fait penser aux moments quadratiques, c'est-à-dire à la performance des constructions, proportionnelle à l'éloignement des lieux communs ... dans tous les sens du terme ! Est-ce que cela vous inspire ?
Sans trop "robotiser", on peut peut-être trouver une manière d'énoncer les différentes combinaisons dans un table, permettant de visualiser rapidement la bonne solution.
X^2+X--6 ON dissocie X ,l'equation devient X^2--2X+3X--6 ON AURA X(X--2)+3(X--2) ,X-2 factor commun on (X--2)(X+3) ,j'avais etudie avec les français depuis mon enhance et je connais cette methods en 1970 en 4 eme annee moyenne merci
Je me pose quand même le problème d'expliquer le résultat sur la feuille qui va être corrigée par un prof qui ne va pas voir de raisonnement déductif
Méthode de m... On va pas se mentir. C est juste une recette de cuisine si les deux racines sont entières et pas trop grandes. Les américains adorent ça. Ils veulent pas comprendre, ils veulent justent des recettes. Tu construis rien de solide avec que des astuces . Des que tu sors des entiers ou qu il y a un paramètre, tu peux plus rien faire. Celui qui connaît la méthode retombera toujours sur ses pattes s il ne voit pas l astuce ou qu il n y en pas. L autre aura éternellement un niveau de m...
Excellent. Je ne connaissais pas cette approche. Ça vaut la peine de prendre quelques secondes avant de foncer sur un calcul de discriminant.
Je veux une réponse de mon professeur pour savoir si il est abonné ou pas à Hedacademy. Je ne citerai pas son nom mais il se reconnaîtra.
Euh... il me semble que j'ai toujours fait comme ça (en Suisse)
Cerveau explosé
Ça me paraît bien long pour trouver la racine évidente 2, puis le produit des racines est égal à moins 6
acx² + (ad+bc)x + bd => (ax + b)(cx + d)
Merci ! Toujours de supers conseils.
Je cherchais cette méthode claire depuis des semaines pour faire réviser mes 3e ! Je n'avais que la méthode du discriminant (plus facile pour moi) en tête. Grâce à ça, il vont pouvoir factoriser ! Merci ;)
Il y a aussi cette méthode : quand on lit x^2+ax+b, on écrit (x+a/2)^2 qu'on développe puis on rajoute ce qu'il faut pour retomber sur le polynôme de départ. En réalité ça revient presque à démontrer la formule avec les discriminants à chaque fois. Bien entendu on ne présentera pas les explications avec le texte (x+a/2)^2 mais avec plusieurs exemple tels que x^2+4x+?, ou x^2-6x+?, ou x^2+5x+?.
Ça peut avoir l'air inutile au premier abord, mais en réalité quand on cherche la signature d'une forme quadratique (à plusieurs variables) "à la main" et qu'on veut réduire l'expression à une somme de carrés (et/ou d'opposés de carrés), c'est pas mal (ça c'est plutôt niveau bac+1).
@@becomepostal Oui, alors certes mais ça c'est ce qu'on faisait quand j'étais en 3ème dans les années 80, je le vois plus comme une approche première spé-éleve de seconde sur d'y aller, d'autant que c'est assez conforme à l'introduction aux preuves du discriminant en Spé.
J'adore hein, et je trouve le lien avec les techniques qu'on va employer pour les formes quadratiques particulièrement pertinent, mais l'immense majorité des élèves entrant en seconde depuis 3 ans maitrisent bien trop peu l'aspect développement et les IR (en fait le tiers d'élèves qui les mobilise bien est le vivier dont une partie ira en spé avec succès). Mais du coup cette approche "américaine" pour des recherches de factorisation par tatonnements me parait en effet cool pour des troisièmes !
Super vidéo !