A tous les médaillés Fields ratés, oui, j’aurai pu diviser par 10 l’équation de l’exercice 1 Est ce que ça change quoique ce soit au résultat ? Est ce que c’est une faute, non. En cours, je limite au maximum l’utilisation de la calculatrice, si j’avais fait faire cet exercice à un élève, je lui aurai demandé de chercher dans la calculatrice Si vous avez quelque chose d’intelligent à dire, faites le, si c’est pour dire ça, vous faites juste pitié A 6:11, je dis 5 au cube - 3 au cube, évidement c’est puissance 5, pas puissance 3
L’utilisation de la calculatrice est juste choquante. J’imagine Klein utilisant sa calculatrice électronique au XIXe siècle 🤧. Nonnn c’est pas sérieux comme proposition de correction😒.
Ce qui est choquant, c’est que sur une vidéo de 19 minutes, on s’arrête au fait que j’ai utilisé la calculatrice pour faire un calcul plus rapidement et alléger la vidéo Ça n’a aucune importance
@@sp7409 Vous avez encore foi en "nos étudiants" ?... A défaut d'être "bons en maths", ils ne le sont même pas en français (le minimum "syndical" !), car ne sachant d'une part, pas s'exprimer correctement (même si certains parleront "d'évolution de notre langue", ce qui est, en soi, une véritable honte !), mais surtout, ne savent même pas conjuguer le moindre verbe, ni effectuer le moindre accord !... Comment pouvez-vous avoir foi en des gogols n'en ayant strictement rien à foutre et une institution de merde, théoriquement supposée en faire "l'élite de demain", vu le niveau enseigné ?
2 дні тому+1
Bonjour, je suis en terminale option maths complémentaire, mais j’adore les maths (bien que ce ne soit pas une adoration réciproque). Je trouve fascinant l’usage du triangle de pascal pour la résolution de ce problème, mais je ne comprends absolument pas pourquoi on l’utilise. Si vous pouviez expliquer simplement ce serait génial ! Merci !
(1) Excellente question. La réponse réside dans la « combinatoire ». Lorsqu’on développe le carré du binôme (a+b), c’est-à-dire (a+b)^2, cela donne a^2+ab+ba+b^2. Et comme la multiplication est commutative, on peut rassembler les termes en une expression simplifiée plus compacte : a^2+2ab+b^2, puisque ab=ba. C’est de là que va émerger le fameux « triangle de Pascal », connu depuis bien plus longtemps par les Chinois et les Hindous puis par les Perses et les Arabes. Car ce réarrangement et regroupement des monômes se produit de même dans le développement de (a+b)^3 = a^3+3a^2.b+3a.b^2+b^3, toujours grâce à la commutativité qui rend égaux aba=aab, bab=abb,… De même (a+b)^4 = a^4 + 4a^3.b + 6a^2.b^2 + 4a.b^3 + a^4 Et ainsi de suite. Dans le cas général, on s’aperçoit facilement que le développement de la puissance nième du binôme (a+b), est toujours constitué de monômes du type a^p.b^q avec p+q = n. En effet, pour (a+b)^4 ci-dessus, le monôme a^4 peut aussi s’écrire a^4.b^0. Ainsi que a^3.b qui peut lui aussi s’écrire a^3.b^1, etc. Et l’on a toujours ainsi, la somme des exposants du monôme, 4+0, 3+1, 2+2, etc., qui vaut 4, la puissance à laquelle on a élevé le binôme (a+b). On connaît ainsi la forme générale du développement de n’importe qu’elle puissance du binôme (a+b). Mais ce qui est moins immédiat à connaître, sans effectuer à chaque fois le long développement laborieux, ce sont justement les fameux coefficients qui apparaissent devant ces monômes. Dans (a+b)^2 = a^2 + 2ab+ b^2, on savait que l’on aurait les monômes a^2, ab et b^2. Mais comment trouver rapidement, sans faire le développement, ces coefficients 1, 2 et 1. De même pour (a+b)^3 = a^3+3a^2.b+3a.b^2+b^3 . On sait donc que le développement s’écrira avec les monômes a^3, a^2.b, a.b^2 et b^3. Mais comment trouver rapidement, sans faire le calcul laborieux du développement (plus laborieux que celui de (a+b)^2)? Comment trouver donc facilement ces coefficients qui apparaissent devant les monômes : 1, 3, 3 et 1 ? Idem pour (a+b)^4 = a^4 + 4a^3.b + 6a^2.b^2 + 4a.b^3 + a^4. Comment trouver avec le minimum d’effort et le plus rapidement possible, ces coefficients devant les monômes : 1, 4, 6, 4, et 1. On observe déjà des régularités et des symétries qui semblent se manifester dans ces coefficients. Les deux extrêmes sont toujours 1. Puis ils sont symétriques par rapport au « milieu ». Cela facilite la tâche, car il suffit de savoir « un côté » et l’autre est identique en miroir. Et enfin, le second et l’avant dernier sont toujours identiques à la puissance à laquelle on élève le binôme (a+b). Cela fait donc déjà des informations bien utiles, fulgurantes, qui ne demandent aucun calcul. On s’approche donc du but mais il nous faut encore trouver une algorithme systématique, qui permet de les calculer tous, et le plus rapidement et facilement possible. C’est ce fameux « triangle de Pascal » qui va nous fournir ce pouvoir, grâce à l’algorithme fulgurant qui permet de le construire lui-même. Quel est donc cet algorithme caché? Pour le trouver, un peu de méditation et d’observation supplémentaire, permet de s’apercevoir d’une propriété remarquable qui relie les différentes séquences de coefficients : Pour (a+b)^0 = 1 on a donc comme séquence (triviale) de coefficients, simplement : 1 Pour (a+b)^1 = a+b on a la séquence de coefficients : 1 et 1 Pour (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 , on a la séquence : 1, 2, 1 Pour (a+b)^3 = a^3+3a^2.b+3a.b^2+b^3 , on a la séquence : 1, 3, 3, 1 Pour (a+b)^4 = a^4 + 4a^3.b + 6a^2.b^2 + 4a.b^3 + a^4 on a la sequence : 1, 4, 6, 4, 1 Pour (a+b)^5 = a^5 + 5a^4.b + 10a^3.b^2 + +10a^2.b^3 + 5a.b^4 + b^5 on a la séquence : 1, 5, 10, 10, 5, 1 Et ainsi de suite… Que peut-on donc remarquer de décisif entre ces séquences? Pour commencer, que la somme des deux premiers d’une séquence, donne le second de la séquence suivante. Que la somme du second et troisième d’une séquence, donne le troisième de la séquence suivante. Et ainsi de suite… Voilà! On a notre Eurêka !!! On a percé le mystère du lien caché qui relie ces séquences entre elles. Cet algorithme accélère énormément les choses. Par exemple, sans même faire le développement de (a+b)^6, qui est de plus en plus long et fastidieux à faire (à la main du moins), il est immédiat de déduire ces coefficients de ceux de (a+b)^5 qui sont 1, 5, 10, 10, 5, 1. Il suffit d’appliquer la règle découverte : 1+5 = 6 donne le second coefficient de (a+b)^6. Même si cela on le savait déjà. Mais le suivant on ne le connaissait pas avant cette règle, qui donne 5+10 = 15, puis 10+10 = 20. Et l’on a finit. On a tout ce qu’il faut par symétrie : 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Et de là on peut immédiatement calculer aussi les coefficients de (a+b)^7 : 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 Et ainsi de suite. La règle est donc puissante mais comporte néanmoins un défaut. Elle est récurrente et a besoin de la connaissance de l’étape précédente, pour calculer rapidement la suivante! Ce qui est une limite évidente de cet algorithme récursif. Car si l’on souhaite en effet calculer les coefficients de (a+b)^37, il faut incontournablement calculer toutes les séquences précédentes. Néanmoins, malgré cette limitation, on peut encore s’aider un peu, en organisant ces séquences les unes sous les autres. Cela forme précisément ce fameux « triangle de Pascal ». C’est un support visuel qui permet de noter juste l’essentiel : la liste des coefficients des différentes séquences. Et de calculer visuellement très rapidement un étage avec l’étage précédent. Cela va très vite en s’aidant des symétries remarquées ci-dessus. Ce « triangle de Pascal » est donc une représentation visuelle de l’algorithme sous jacent qui relie les séquences de coefficients des développements des différentes puissances du binôme (a+b). On peut bien évidemment démontrer rigoureusement et mettre en forme algébriquement cet algorithme ici découvert par l’observation d’exemples successifs. Il faut toujours commencer par cette recherche expérimentale en Mathématique. Exactement comme en Physique. Observer attentivement pour détecter des régularités, des symétries, des schémas, des patterns. Cela peut être un travail long et laborieux. Mais une fois la règle cachée déterrée, toute l’information ainsi mise à jour, est à jamais disponible, sans avoir à refaire à chaque fois le même long travail « archéologique » de fouille.
(2) Les coefficients qui apparaissent dans le développement du binôme (a+b), sont sans surprise appelés « coefficients binomiaux ». On les retrouvent aussi par exemple en Probabilité, dans l’importante « Loi binomiale », construite par répétitions « d’épreuves (binaires pondérées) de Bernoulli ». Ils apparaissent dans ces deux situations, pour exactement les mêmes raisons. Des raisons purement combinatoires. Car ils correspondent en fait, au nombre de façons de choisir (sans soucis d’ordre), k objets parmi n. Que l’on peut relier au nombre de façon de ranger des objets, ou encore au nombre de mots de n lettres que l’on peut former avec deux lettres. Dans le développement de (a+b)^2 par exemple, il y a deux façons de ranger deux objet « a » et « b » dans deux cases : ab ou ba. D’où le coefficient binomiale 2 devant le monôme ab. Et si l’on ne travaillait pas avec une multiplication commutative, on distinguerait ab et ba qui ne pourraient pas être identifiés à priori, et donc regroupés dans ce dénombrement. Dans le développement de (a+b)^3, il y a 6 façon de former des mots de 3 lettres avec deux lettres « a » et « b » : aab, aba, baa et abb, bab, bba. Formées de deux groupes de trois. Par la commutativité de la multiplication, le premier groupe de trois revient à dénombrer trois fois le même monôme aab. Et de même pour le second groupe de trois. Ce qui donne les deux coefficients 3 du développement de (a+b)^3. Dans le développement de (a+b)^4, il y a 14 façons de former des mots de 4 lettres avec deux lettres « a » et « b » : aaab, aaba, abaa, baaa aabb, abab, abba, baab, baba, bbaa abbb, babb, bbab, bbba Le premier (et le dernier) groupe de 4 correspond aussi, au 4 façons de choisir (sans soucis d’ordre), trois objets parmi quatre (A,B,C,D) : ABC, ABD, ACD, BCD. C’est une façon alternative très fructueuse de décrire le même problème de dénombrement. On note C(3,4) ce nombre qui vaut 4, et on l’appelle « combinaison de 3 parmi 4 ». Quand au groupe central de 6, il correspond aussi aux 6 façons de choisir (sans soucis d’ordre), deux objets parmi quatre (A,B,C,D): AB, AC, AD, BC, BD, CD. On note C(2,4) ce nombre qui vaut 6, et on l’appelle « combinaison de 2 parmi 4 ». Tous les coefficients binomiaux de (a+b)^n s’écrivent donc comme des « combinaisons de k parmi n », où k est un nombre entier qui va de 0 à n. Par exemple : (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 1.a^2 + 2.ab + 1.b^2 = C(0,2).a^2 + C(1,2).ab + C(2,2).b^2 Et (a+b)^3 = 1.a^3 + 3.a^2b + 3.ab^2 + 1.b^3 = C(0,3).a^3 + C(1,3).a^2.b + C(2,3).a.b^2 + C(3,3).b^3 Et ainsi de suite. L’avantage d’une telle écriture « matricielle » des coefficients binomiaux, est qu’on peut maintenant facilement écrire de façon algébrique, les symétries observées expérimentalement au début, ainsi que la fameuse règle cachée que l’on a découvert. La symétrie miroir entre la gauche et la droite s’écrit ainsi algébriquement : C(k,n) = C(n-k,n). Par exemple C(1,3) = C(2,3). Elle exprime simplement que « ce qui est à gauche est comme ce qui est à droite », pour paraphraser la fameuse formule « d’Hermès Trismégiste ». Et la fameuse règle cachée de récurrence entre les différentes séquences, que nous avons découvert, s’écrit simplement : C(k,n) + C(k+1,n) = C(k+1, n+1) Qui est la règle pratique très simple qui permet de construire de proche en proche (par récurrence), le « triangle de Pascal ». Par exemple C(1,4) + C(2,4) = C(2,5), c’est à dire : 4 + 6 = 10. Et donc le coefficient binomial de a^3.b^2, tout comme celui de a^2.b^3 par symétrie, sera 10. Il existe en outre une formule totalement explicite pour calculer ces coefficients binomiaux C(k,n). Pour l’exprimer, il est pratique d’utiliser pour cela ce qu’on appelle la « factorielle de n » et qui est le nombre formé par le produit : n(n-1)(n-2)…3.2.1, et noté « n! » avec un point d’exclamation. Par exemple : 1! = 1, 2! = 2.1 = 2, 3! = 3.2.1 = 6, 4! = 4.3.2.1 = 24. Etc. On retrouve cette notation très utile dans le développement de Taylor d’une fonction, ou dans les coefficients de l’exponentielle népérienne : exp(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + … Grâce à cette notation utile, on peut exprimer les coefficients binomiaux comme suit : C(k,n) = n!/{(k!).(n-k)!} Par exemple : C(2,5) = 5!/{(2!).(3!)} = (5.4.3.2.1)/{(2.1)(3.2.1)} = (5.4)/2 = 10 Cette formule est évidemment beaucoup plus puissante que le « triangle de Pascal » car elle n’est pas itérative. Les entiers k et n étant donnés, il suffit de les injecter dans cette formule et de faire le calcul. Mais il ne faut pas se réjouir trop vite néanmoins de ce « pouvoir magique », car en pratique, il est vite illusoire. Le problème vient du fait que la « factorielle » justement, croit très vite avec n. Et dépasse très vite les capacités mémoires d’un ordinateur pour des n pas si grands. On se retrouve donc avec ce qu’on voulait éviter avec le « triangle de Pascal », faire des calcul laborieux, à la main! C’est pour contourner cette difficulté justement que l’on est amené à remplacer la factorielle, qui est une fonction étagée de n, par une fonction continue. En particulier, le même problème se présente en Probabilités avec la « loi binomiale » qui, pour élémentaire qu’elle soit, n’en est pas moins très vite atroce à calculer pour un grand nombre de répétitions de l’épreuve de Bernoulli. C’est la raison pour laquelle on la remplace souvent par la « loi Normale (gaussienne) » continue, beaucoup beaucoup plus facile à calculer. Dans cette Combinatoire (chapitre crucial), outre ces « combinaisons » qui interviennent lorsque l’ordre des lettres « ne compte pas » (aab = aba = baa), on trouve aussi un autre opérateur important : les « Arrangements », qui surgit lorsque cette fois l’ordre « compte », et qu’on distingue alors les « anagrammes ». Voilà donc pour un petit tour d’horizon dans ce qui constituait le tout premier chapitre de Combinatoire du Programme de TC des années 1970-1990, avant le cataclysme grandissant du wokisme qui est venu tout détruire en effondrant le niveau vers le bas.
Merci à toi de faire vivre (et revivre, ici ! ;)) les maths ! Ça fait plaisir de voir un jeune dans cet exercice. 😄 Quant aux critiques, elles sont nécessaires pour progresser il faut savoir les accepter, même si elles sont maladroites. Quant à ceux qui s’empressent de les émettre pour moquer, je rappellerai ceci : « la critique est aisée mais l’art est difficile » ! ;) Continue à faire vivre ta chaîne, les maths (et la culture en général) en ont bien besoin ! s(^.^)-b
J’ai toujours épinglé les commentaires des personnes faisant remarquer une maladresse Quand on me dit que je n’ai pas le niveau collège car je n’ai pas divisé une équation par 10, bon, ça me fait sourire mais je vais pas être sympa non plus D’autant qu’il ne s’agit pas d’une erreur mathématiquement parlant Le but de ma vidéo était surtout de parler de F.K, la résolution de l’équation, une fois écrite, n’était pas importante à mes yeux
Bonjour, Voici un commentaire sur la recherche d'une solution au premier exercice. Compte tenu de la différence entre les deux entiers égale à 2 et que la différence des puissances 5 est de 2882 il est facile d'écarter de tête le couple (4;2). 4^5=1024 6^5>30x30x6=5400 Donc (6;4) ne fonctionne pas. Il ne reste que (5;3) de possible. Sans calculatrice. Sans équation.
J’ai voulu en parler et je me suis ravisé car la méthode marche par « chance » Même exo mais avec 1526581 cette méthode n’existe plus Mais dans l’idée ça me plaît
Moi aussi je l'ai trouvé immédiatement Évidement on pense d'abord à √1156 Je savais que 32²=1024(=2¹⁰=(2⁵)²=32² puissance de 2:étudié en binaire et j'apprends les puissance de 2 par coeur ) 31²,32²,33² ça ne va pas parce que des unités Op C'est 34 Donc √115600=340
Exactement Sur le moment j’avais pas pensé à ça, mais c’est pas si compliqué Sinon, les règles à calcul et les tables trigo étaient certainement fournies
Voici comment faire cela de tête très simplement. 20^2 + 40 * 2880 = 20^2 + 2 * 20 * 288 * 10 = 20^2 (1 + 288) = 20^2 * 289 = 20^2 * 17^2 Pour le 17^2, il est sûr qu'en 1865 un certain nombre de carrés était connu.
Bonne idée d'utiliser le passé simple. Ce temps, malheureusement tombé en désuétude, permet de s'exprimer avec moins de lourdeur qu'avec le passé composé. Mais attention quand même. Il n'y a pas que des verbes du premier groupe ! Hamilton ne « découvra » rien mais il découvrit des choses intéressantes.
Bonjour, Pardon la résolution du problème du volume est faux. La valeur de d n'est pas racine de 23. Sinon, très beaux problèmes qui sortent des standards. merci pour cette vidéo
Felix Klein et Emmy Noether (née à Erlangen, mais Klein n'y était plus) se sont bien sûr croisés à l'université de Göttingen. Klein, Hilbert et Minkowski y enseignaient. Aprés ses études, Noether a été invité par Klein et Hilbert à y enseigner (officieusement sous le nom de Hilbert, les femmes n'ayant pas le droit d'enseigner). Sinon, le nom de Klein est connu aujourd'hui pour sa bouteille sans intérieur et le groupe non cyclique de 4 éléments ~ Z2×Z2.
Moi aussi je l'ai trouvé immédiatement la √115600 Évidement on pense d'abord à √1156 Je savais que 32²=1024(=2¹⁰=(2⁵)²=32² puissance de 2:étudié en binaire et j'apprends les puissances de 2 j'usqu'à 12 au moins par coeur) 31²,32²,33² ça ne va pas parce que des unités Op C'est 34 Donc √115600=340 Bien que je sache pas comment calcule Felix klein Il aurait peut êtré estimé ma démarche!
des choses intéressantes, merci. Bon sinon pour le 1 comme on cherche des entiers naturels... a>b donc on tente a = 4 trop petit , puis a = 5 et bingo !
Le genre d'exercice que l'on trouvait au bac de l'époque !... Maintenant, vu en "maths expertes" !!... C'est quoi ce foutage de gueule intégral ?!... Cela démontre (pour la n-ième fois) que nos diplômes ne valent plus rien !!! Ce qui fut enseigné, autrefois, "en maternelle" l'est desormais en agreg !!! Voilà où l'on en est !...
@@MathsFastoche Vous ne m'avez pas "énervé", sinon, je n'aurais même pas pris la peine de regarder la vidéo ! Au contraire, j'aime bien regarder ce genre (de rappel) d'exercice, non pas pour m'instruire (sachant que je connais déjà ce type de résolution), mais davantage pour me détendre, pendant quelques minutes... Le gros problème, m'ayant mis franchement en colère, est de voir à quel point les études scientifiques ont plongé !!!! Aujourd'hui, il ne sort du cycle universitaire que des cadors, se prenant presque pour "Dieu", en ayant "décroché" qu'un Master, équivalant à "bac moins deux", datant de plus d'un siècle !!!! A l'époque, on n'avait sans doute pas les mêmes approches mathématiques, ni même, les mêmes outils qu'aujourd'hui, mais "les vrais de vrais" savaient bosser et en voulaient !! Aujourd'hui, à l'université, la plupart des élèves font "joujou" sur leur portable, pendant les cours, sachant que plus rien n'est motivant : ni le contenu, ni les élèves, eux-mêmes ! Osez me dire le contraire !...
@@MathsFastoche Après avoir lu quelques commentaires "ultra-instructifs" du genre : "t'aurais pu diviser par dix..." ou encore, des prise de becs pour "un nombre au cube, au lieu de la puissance cinq", ou encore, d'autres prises de becs pour "la racine carrée de 115600". Sur quelle planète on vit, là ? Est-ce cela vos... "élites de demain" ?!... A la maternelle, les mômes se battent entre-eux pour des gamineries de leur âge, mais dans l'ensemble, restent nettement plus censés que vos... cadors !
Le triangle de Pascal est en fait un grand mensonge qu'on nous a inculqué en bas age. C'est le triangle d'al-Kashi, le maître incontestable des triangles...
Un bel exemple de ce que la communauté maths fait de pire Un looser frustré qui pense être meilleur que les autres car il remarqué une factorisation par 10 Et toi, t’es prof ?
@@MathsFastoche Il y a pire, rassurez-vous, dans la communauté Mathématique, que d’oublier de simplifier par dix une telle équation quadratique, mais c’est déjà pas mal « atroce »! Un peu comme oublier de mettre le clignotant lorsqu’on tourne le jour de l’examen de conduite. Il n’y a que dans une tornade de wokisme que l’on peut sortir ainsi avec un permis… And by the way, qu’y a-t-il donc de « pompeux » à s’appeler « Félix Klein » ou « équation bicarrée », plutôt que « le type » ou « la degré quatre »? Mais tout s’explique dès qu’on se souvient que le « wokisme » justement, est précisément « l’arrogance irrationnelle de l’inculture ».
@@mpcformation9646 ah, c'était donc ça les multiples références aux guerres mondiales et aux allemands ? Je me demandais ce que ça venait faire la. Il y a des wokistes aussi chez lez matheux.
@@mpcformation9646 ha d’accord je deviens un wokiste maintenant 🤣🤣 J’ai vraiment de la chance d’avoir des génies pareils dans mes commentaires Quand on utilise des anglicismes pour s’exprimer, cocasses, comme tu dis
Vous avez l’air aussi affûté que votre nouveau collègue Je vous remercie de commenter ma vidéo, même si vous montrez des limites cognitives, mon algorithme s’en trouve boosté 🤣
Merci pour l'archéologie. Sinon Q(N)=0, divise par 10, ça devient unitaire avant de calculer le discrimant D stp, et comme le 2e coefficient reste pair (=2), prend le D réduit, il y a pas de calculette en 1865. ;p
A tous les médaillés Fields ratés, oui, j’aurai pu diviser par 10 l’équation de l’exercice 1
Est ce que ça change quoique ce soit au résultat ? Est ce que c’est une faute, non.
En cours, je limite au maximum l’utilisation de la calculatrice, si j’avais fait faire cet exercice à un élève, je lui aurai demandé de chercher dans la calculatrice
Si vous avez quelque chose d’intelligent à dire, faites le, si c’est pour dire ça, vous faites juste pitié
A 6:11, je dis 5 au cube - 3 au cube, évidement c’est puissance 5, pas puissance 3
L’utilisation de la calculatrice est juste choquante. J’imagine Klein utilisant sa calculatrice électronique au XIXe siècle 🤧. Nonnn c’est pas sérieux comme proposition de correction😒.
Ce qui est choquant, c’est que sur une vidéo de 19 minutes, on s’arrête au fait que j’ai utilisé la calculatrice pour faire un calcul plus rapidement et alléger la vidéo
Ça n’a aucune importance
Cela a beaucoup d'importance au contraire. Allez un petit "effort" pour nos étudiants qui vous regardent.
@@sp7409 Vous avez encore foi en "nos étudiants" ?... A défaut d'être "bons en maths", ils ne le sont même pas en français (le minimum "syndical" !), car ne sachant d'une part, pas s'exprimer correctement (même si certains parleront "d'évolution de notre langue", ce qui est, en soi, une véritable honte !), mais surtout, ne savent même pas conjuguer le moindre verbe, ni effectuer le moindre accord !...
Comment pouvez-vous avoir foi en des gogols n'en ayant strictement rien à foutre et une institution de merde, théoriquement supposée en faire "l'élite de demain", vu le niveau enseigné ?
Bonjour, je suis en terminale option maths complémentaire, mais j’adore les maths (bien que ce ne soit pas une adoration réciproque). Je trouve fascinant l’usage du triangle de pascal pour la résolution de ce problème, mais je ne comprends absolument pas pourquoi on l’utilise. Si vous pouviez expliquer simplement ce serait génial ! Merci !
C’est uniquement pour développer faculté (a+b)^5 dans ce cas là
(1) Excellente question. La réponse réside dans la « combinatoire ». Lorsqu’on développe le carré du binôme (a+b), c’est-à-dire (a+b)^2, cela donne a^2+ab+ba+b^2. Et comme la multiplication est commutative, on peut rassembler les termes en une expression simplifiée plus compacte : a^2+2ab+b^2, puisque ab=ba.
C’est de là que va émerger le fameux « triangle de Pascal », connu depuis bien plus longtemps par les Chinois et les Hindous puis par les Perses et les Arabes.
Car ce réarrangement et regroupement des monômes se produit de même dans le développement de (a+b)^3 = a^3+3a^2.b+3a.b^2+b^3, toujours grâce à la commutativité qui rend égaux aba=aab, bab=abb,…
De même (a+b)^4 = a^4 + 4a^3.b + 6a^2.b^2 + 4a.b^3 + a^4
Et ainsi de suite.
Dans le cas général, on s’aperçoit facilement que le développement de la puissance nième du binôme (a+b), est toujours constitué de monômes du type a^p.b^q avec p+q = n.
En effet, pour (a+b)^4 ci-dessus, le monôme a^4 peut aussi s’écrire a^4.b^0. Ainsi que a^3.b qui peut lui aussi s’écrire a^3.b^1, etc. Et l’on a toujours ainsi, la somme des exposants du monôme, 4+0, 3+1, 2+2, etc., qui vaut 4, la puissance à laquelle on a élevé le binôme (a+b).
On connaît ainsi la forme générale du développement de n’importe qu’elle puissance du binôme (a+b). Mais ce qui est moins immédiat à connaître, sans effectuer à chaque fois le long développement laborieux, ce sont justement les fameux coefficients qui apparaissent devant ces monômes.
Dans (a+b)^2 = a^2 + 2ab+ b^2, on savait que l’on aurait les monômes a^2, ab et b^2. Mais comment trouver rapidement, sans faire le développement, ces coefficients 1, 2 et 1.
De même pour (a+b)^3 = a^3+3a^2.b+3a.b^2+b^3 . On sait donc que le développement s’écrira avec les monômes a^3, a^2.b, a.b^2 et b^3. Mais comment trouver rapidement, sans faire le calcul laborieux du développement (plus laborieux que celui de (a+b)^2)? Comment trouver donc facilement ces coefficients qui apparaissent devant les monômes : 1, 3, 3 et 1 ?
Idem pour (a+b)^4 = a^4 + 4a^3.b + 6a^2.b^2 + 4a.b^3 + a^4. Comment trouver avec le minimum d’effort et le plus rapidement possible, ces coefficients devant les monômes : 1, 4, 6, 4, et 1.
On observe déjà des régularités et des symétries qui semblent se manifester dans ces coefficients. Les deux extrêmes sont toujours 1. Puis ils sont symétriques par rapport au « milieu ». Cela facilite la tâche, car il suffit de savoir « un côté » et l’autre est identique en miroir. Et enfin, le second et l’avant dernier sont toujours identiques à la puissance à laquelle on élève le binôme (a+b). Cela fait donc déjà des informations bien utiles, fulgurantes, qui ne demandent aucun calcul.
On s’approche donc du but mais il nous faut encore trouver une algorithme systématique, qui permet de les calculer tous, et le plus rapidement et facilement possible. C’est ce fameux « triangle de Pascal » qui va nous fournir ce pouvoir, grâce à l’algorithme fulgurant qui permet de le construire lui-même.
Quel est donc cet algorithme caché? Pour le trouver, un peu de méditation et d’observation supplémentaire, permet de s’apercevoir d’une propriété remarquable qui relie les différentes séquences de coefficients :
Pour (a+b)^0 = 1 on a donc comme séquence (triviale) de coefficients, simplement : 1
Pour (a+b)^1 = a+b on a la séquence de coefficients : 1 et 1
Pour (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 , on a la séquence : 1, 2, 1
Pour (a+b)^3 = a^3+3a^2.b+3a.b^2+b^3 , on a la séquence : 1, 3, 3, 1
Pour (a+b)^4 = a^4 + 4a^3.b + 6a^2.b^2 + 4a.b^3 + a^4 on a la sequence : 1, 4, 6, 4, 1
Pour (a+b)^5 = a^5 + 5a^4.b + 10a^3.b^2 + +10a^2.b^3 + 5a.b^4 + b^5 on a la séquence : 1, 5, 10, 10, 5, 1
Et ainsi de suite…
Que peut-on donc remarquer de décisif entre ces séquences? Pour commencer, que la somme des deux premiers d’une séquence, donne le second de la séquence suivante. Que la somme du second et troisième d’une séquence, donne le troisième de la séquence suivante. Et ainsi de suite…
Voilà! On a notre Eurêka !!! On a percé le mystère du lien caché qui relie ces séquences entre elles. Cet algorithme accélère énormément les choses. Par exemple, sans même faire le développement de (a+b)^6, qui est de plus en plus long et fastidieux à faire (à la main du moins), il est immédiat de déduire ces coefficients de ceux de (a+b)^5 qui sont 1, 5, 10, 10, 5, 1.
Il suffit d’appliquer la règle découverte : 1+5 = 6 donne le second coefficient de (a+b)^6. Même si cela on le savait déjà. Mais le suivant on ne le connaissait pas avant cette règle, qui donne 5+10 = 15, puis 10+10 = 20. Et l’on a finit. On a tout ce qu’il faut par symétrie : 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.
Et de là on peut immédiatement calculer aussi les coefficients de (a+b)^7 : 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
Et ainsi de suite. La règle est donc puissante mais comporte néanmoins un défaut. Elle est récurrente et a besoin de la connaissance de l’étape précédente, pour calculer rapidement la suivante! Ce qui est une limite évidente de cet algorithme récursif. Car si l’on souhaite en effet calculer les coefficients de (a+b)^37, il faut incontournablement calculer toutes les séquences précédentes.
Néanmoins, malgré cette limitation, on peut encore s’aider un peu, en organisant ces séquences les unes sous les autres. Cela forme précisément ce fameux « triangle de Pascal ». C’est un support visuel qui permet de noter juste l’essentiel : la liste des coefficients des différentes séquences. Et de calculer visuellement très rapidement un étage avec l’étage précédent. Cela va très vite en s’aidant des symétries remarquées ci-dessus.
Ce « triangle de Pascal » est donc une représentation visuelle de l’algorithme sous jacent qui relie les séquences de coefficients des développements des différentes puissances du binôme (a+b). On peut bien évidemment démontrer rigoureusement et mettre en forme algébriquement cet algorithme ici découvert par l’observation d’exemples successifs.
Il faut toujours commencer par cette recherche expérimentale en Mathématique. Exactement comme en Physique. Observer attentivement pour détecter des régularités, des symétries, des schémas, des patterns. Cela peut être un travail long et laborieux. Mais une fois la règle cachée déterrée, toute l’information ainsi mise à jour, est à jamais disponible, sans avoir à refaire à chaque fois le même long travail « archéologique » de fouille.
(2) Les coefficients qui apparaissent dans le développement du binôme (a+b), sont sans surprise appelés « coefficients binomiaux ». On les retrouvent aussi par exemple en Probabilité, dans l’importante « Loi binomiale », construite par répétitions « d’épreuves (binaires pondérées) de Bernoulli ».
Ils apparaissent dans ces deux situations, pour exactement les mêmes raisons. Des raisons purement combinatoires. Car ils correspondent en fait, au nombre de façons de choisir (sans soucis d’ordre), k objets parmi n. Que l’on peut relier au nombre de façon de ranger des objets, ou encore au nombre de mots de n lettres que l’on peut former avec deux lettres.
Dans le développement de (a+b)^2 par exemple, il y a deux façons de ranger deux objet « a » et « b » dans deux cases : ab ou ba. D’où le coefficient binomiale 2 devant le monôme ab. Et si l’on ne travaillait pas avec une multiplication commutative, on distinguerait ab et ba qui ne pourraient pas être identifiés à priori, et donc regroupés dans ce dénombrement.
Dans le développement de (a+b)^3, il y a 6 façon de former des mots de 3 lettres avec deux lettres « a » et « b » : aab, aba, baa et abb, bab, bba. Formées de deux groupes de trois. Par la commutativité de la multiplication, le premier groupe de trois revient à dénombrer trois fois le même monôme aab. Et de même pour le second groupe de trois. Ce qui donne les deux coefficients 3 du développement de (a+b)^3.
Dans le développement de (a+b)^4, il y a 14 façons de former des mots de 4 lettres avec deux lettres « a » et « b » :
aaab, aaba, abaa, baaa
aabb, abab, abba, baab, baba, bbaa
abbb, babb, bbab, bbba
Le premier (et le dernier) groupe de 4 correspond aussi, au 4 façons de choisir (sans soucis d’ordre), trois objets parmi quatre (A,B,C,D) : ABC, ABD, ACD, BCD. C’est une façon alternative très fructueuse de décrire le même problème de dénombrement. On note C(3,4) ce nombre qui vaut 4, et on l’appelle « combinaison de 3 parmi 4 ».
Quand au groupe central de 6, il correspond aussi aux 6 façons de choisir (sans soucis d’ordre), deux objets parmi quatre (A,B,C,D): AB, AC, AD, BC, BD, CD. On note C(2,4) ce nombre qui vaut 6, et on l’appelle « combinaison de 2 parmi 4 ».
Tous les coefficients binomiaux de (a+b)^n s’écrivent donc comme des « combinaisons de k parmi n », où k est un nombre entier qui va de 0 à n. Par exemple : (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 1.a^2 + 2.ab + 1.b^2 = C(0,2).a^2 + C(1,2).ab + C(2,2).b^2
Et (a+b)^3 = 1.a^3 + 3.a^2b + 3.ab^2 + 1.b^3 = C(0,3).a^3 + C(1,3).a^2.b + C(2,3).a.b^2 + C(3,3).b^3
Et ainsi de suite.
L’avantage d’une telle écriture « matricielle » des coefficients binomiaux, est qu’on peut maintenant facilement écrire de façon algébrique, les symétries observées expérimentalement au début, ainsi que la fameuse règle cachée que l’on a découvert.
La symétrie miroir entre la gauche et la droite s’écrit ainsi algébriquement : C(k,n) = C(n-k,n). Par exemple C(1,3) = C(2,3). Elle exprime simplement que « ce qui est à gauche est comme ce qui est à droite », pour paraphraser la fameuse formule « d’Hermès Trismégiste ».
Et la fameuse règle cachée de récurrence entre les différentes séquences, que nous avons découvert, s’écrit simplement :
C(k,n) + C(k+1,n) = C(k+1, n+1)
Qui est la règle pratique très simple qui permet de construire de proche en proche (par récurrence), le « triangle de Pascal ».
Par exemple C(1,4) + C(2,4) = C(2,5), c’est à dire : 4 + 6 = 10. Et donc le coefficient binomial de a^3.b^2, tout comme celui de a^2.b^3 par symétrie, sera 10.
Il existe en outre une formule totalement explicite pour calculer ces coefficients binomiaux C(k,n). Pour l’exprimer, il est pratique d’utiliser pour cela ce qu’on appelle la « factorielle de n » et qui est le nombre formé par le produit : n(n-1)(n-2)…3.2.1, et noté « n! » avec un point d’exclamation.
Par exemple : 1! = 1, 2! = 2.1 = 2, 3! = 3.2.1 = 6, 4! = 4.3.2.1 = 24. Etc. On retrouve cette notation très utile dans le développement de Taylor d’une fonction, ou dans les coefficients de l’exponentielle népérienne : exp(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + …
Grâce à cette notation utile, on peut exprimer les coefficients binomiaux comme suit :
C(k,n) = n!/{(k!).(n-k)!}
Par exemple : C(2,5) = 5!/{(2!).(3!)} = (5.4.3.2.1)/{(2.1)(3.2.1)} = (5.4)/2 = 10
Cette formule est évidemment beaucoup plus puissante que le « triangle de Pascal » car elle n’est pas itérative. Les entiers k et n étant donnés, il suffit de les injecter dans cette formule et de faire le calcul.
Mais il ne faut pas se réjouir trop vite néanmoins de ce « pouvoir magique », car en pratique, il est vite illusoire. Le problème vient du fait que la « factorielle » justement, croit très vite avec n. Et dépasse très vite les capacités mémoires d’un ordinateur pour des n pas si grands. On se retrouve donc avec ce qu’on voulait éviter avec le « triangle de Pascal », faire des calcul laborieux, à la main!
C’est pour contourner cette difficulté justement que l’on est amené à remplacer la factorielle, qui est une fonction étagée de n, par une fonction continue. En particulier, le même problème se présente en Probabilités avec la « loi binomiale » qui, pour élémentaire qu’elle soit, n’en est pas moins très vite atroce à calculer pour un grand nombre de répétitions de l’épreuve de Bernoulli. C’est la raison pour laquelle on la remplace souvent par la « loi Normale (gaussienne) » continue, beaucoup beaucoup plus facile à calculer.
Dans cette Combinatoire (chapitre crucial), outre ces « combinaisons » qui interviennent lorsque l’ordre des lettres « ne compte pas » (aab = aba = baa), on trouve aussi un autre opérateur important : les « Arrangements », qui surgit lorsque cette fois l’ordre « compte », et qu’on distingue alors les « anagrammes ».
Voilà donc pour un petit tour d’horizon dans ce qui constituait le tout premier chapitre de Combinatoire du Programme de TC des années 1970-1990, avant le cataclysme grandissant du wokisme qui est venu tout détruire en effondrant le niveau vers le bas.
Merci à toi de faire vivre (et revivre, ici ! ;)) les maths ! Ça fait plaisir de voir un jeune dans cet exercice. 😄
Quant aux critiques, elles sont nécessaires pour progresser il faut savoir les accepter, même si elles sont maladroites. Quant à ceux qui s’empressent de les émettre pour moquer, je rappellerai ceci : « la critique est aisée mais l’art est difficile » ! ;)
Continue à faire vivre ta chaîne, les maths (et la culture en général) en ont bien besoin ! s(^.^)-b
J’ai toujours épinglé les commentaires des personnes faisant remarquer une maladresse
Quand on me dit que je n’ai pas le niveau collège car je n’ai pas divisé une équation par 10, bon, ça me fait sourire mais je vais pas être sympa non plus
D’autant qu’il ne s’agit pas d’une erreur mathématiquement parlant
Le but de ma vidéo était surtout de parler de F.K, la résolution de l’équation, une fois écrite, n’était pas importante à mes yeux
@@MathsFastocheBien reçu ! ;)
C'est tout à fait VRAI de dire que cela ne sert à rien d'aller vite.Cela avait bien commencé. MERCI.
Prendre son temps c’est gagné du temps
Je n’applique pas toujours mes propres conseils 😉
Tu devais diviser l'équation par 10 pour réduire la monstruosité des calculs 😂
Oui
Bonjour,
Voici un commentaire sur la recherche d'une solution au premier exercice.
Compte tenu de la différence entre les deux entiers égale à 2 et que la différence des puissances 5 est de 2882 il est facile d'écarter de tête le couple (4;2).
4^5=1024
6^5>30x30x6=5400
Donc (6;4) ne fonctionne pas.
Il ne reste que (5;3) de possible.
Sans calculatrice.
Sans équation.
J’ai voulu en parler et je me suis ravisé car la méthode marche par « chance »
Même exo mais avec 1526581 cette méthode n’existe plus
Mais dans l’idée ça me plaît
Ils faisaient de tête la racine carré de 115600 ? Et l'arccos ?
c'est 10 fois la racine carrée de 1156 (plus facile déjà ;) )
Moi aussi je l'ai trouvé immédiatement
Évidement on pense d'abord à √1156
Je savais que 32²=1024(=2¹⁰=(2⁵)²=32² puissance de 2:étudié en binaire et j'apprends les puissance de 2 par coeur )
31²,32²,33² ça ne va pas parce que des unités
Op
C'est 34
Donc
√115600=340
Exactement
Sur le moment j’avais pas pensé à ça, mais c’est pas si compliqué
Sinon, les règles à calcul et les tables trigo étaient certainement fournies
Voici comment faire cela de tête très simplement.
20^2 + 40 * 2880
=
20^2 + 2 * 20 * 288 * 10
=
20^2 (1 + 288)
=
20^2 * 289
=
20^2 * 17^2
Pour le 17^2, il est sûr qu'en 1865 un certain nombre de carrés était connu.
Non. Les tables étaient fournies.
Bonne idée d'utiliser le passé simple. Ce temps, malheureusement tombé en désuétude, permet de s'exprimer avec moins de lourdeur qu'avec le passé composé. Mais attention quand même. Il n'y a pas que des verbes du premier groupe ! Hamilton ne « découvra » rien mais il découvrit des choses intéressantes.
J’ai pas écrit de script, et effectivement, il découvrit
Faute de ne pas utiliser souvent ce temps au quotidien 🙂
Génial , merci 👍
🤝🏿
Bonjour,
Pardon la résolution du problème du volume est faux. La valeur de d n'est pas racine de 23.
Sinon, très beaux problèmes qui sortent des standards.
merci pour cette vidéo
@@StephaneGandolfo j’ai fait une erreur de calcul ?
@@MathsFastoche Pardonne moi, j'ai refait l'exo, d vaut bien racine de 23. Je me suis trompé.
@@StephaneGandolfo attention mpcformation risque de te traiter de wokiste 🤣
Felix Klein et Emmy Noether (née à Erlangen, mais Klein n'y était plus) se sont bien sûr croisés à l'université de Göttingen. Klein, Hilbert et Minkowski y enseignaient. Aprés ses études, Noether a été invité par Klein et Hilbert à y enseigner (officieusement sous le nom de Hilbert, les femmes n'ayant pas le droit d'enseigner).
Sinon, le nom de Klein est connu aujourd'hui pour sa bouteille sans intérieur et le groupe non cyclique de 4 éléments ~ Z2×Z2.
Yes j’étais allé voir après le tournage, j’aurai du le faire avant 🤣
Groupe de Klein... J'ai étudié ça en bac1 dans le cours d'algèbre 1...
Les groupes Kleiniens comme disait Henri Poincaré
@@MathsFastoche et les classes latérales... Je suis très fier d'être prof des mathématiques et physique
Moi aussi je l'ai trouvé immédiatement la √115600
Évidement on pense d'abord à √1156
Je savais que 32²=1024(=2¹⁰=(2⁵)²=32² puissance de 2:étudié en binaire et j'apprends les puissances de 2 j'usqu'à 12 au moins par coeur)
31²,32²,33² ça ne va pas parce que des unités
Op
C'est 34
Donc
√115600=340
Bien que je sache pas comment calcule Felix klein
Il aurait peut êtré estimé ma démarche!
C’est pas un calcul savant, sur le moment je me suis pas dit que c’était forcément un carré parfait
C’est un détail 🙂
Aussi tu peux diviser par 10 le polynome rend le tout plus digeste
Simplifier l’équation et calculer les racines sans calculette…..
Ça + discriminant réduit
C’était + chic, je l’ai pas fait ☹️
des choses intéressantes, merci. Bon sinon pour le 1 comme on cherche des entiers naturels... a>b donc on tente a = 4 trop petit , puis a = 5 et bingo !
Ça marche aussi
Maintenant même question mais la différence des puissances 5 vaut 3733775 ? 😉
@@MathsFastoche ah ah ah
Félix Klein est encore très connu je pense.alors que grassmann,j'avoue que ce nom ne me dit pas grand chose
Mouais, Grassman est connue pour la formule de grassman
Si on demande à des étudiants de prépas s’ils connaissent F.K, pas sûr que le % soit élevé
"... qui découvra les quaternions" ?!
Découvrit !!! Vilaine faute 😆
merci !
👌🏻🙂
Super vidéo, bravo à toi, juste un peu en biais, difficile pour voir des fois.
Mais génial sinon !
Merci pour ton commentaire
Je fais des efforts pour l’écriture je sais que c’est un défaut…
ingénieux!
💪🏻
Le genre d'exercice que l'on trouvait au bac de l'époque !... Maintenant, vu en "maths expertes" !!...
C'est quoi ce foutage de gueule intégral ?!...
Cela démontre (pour la n-ième fois) que nos diplômes ne valent plus rien !!!
Ce qui fut enseigné, autrefois, "en maternelle" l'est desormais en agreg !!! Voilà où l'on en est !...
Bonjour
Désolé de vous avoir énervé, l’exo 1 me rappelle des exercices d’arithmétique de maths experte c’est tout
@@MathsFastoche Vous ne m'avez pas "énervé", sinon, je n'aurais même pas pris la peine de regarder la vidéo ! Au contraire, j'aime bien regarder ce genre (de rappel) d'exercice, non pas pour m'instruire (sachant que je connais déjà ce type de résolution), mais davantage pour me détendre, pendant quelques minutes...
Le gros problème, m'ayant mis franchement en colère, est de voir à quel point les études scientifiques ont plongé !!!!
Aujourd'hui, il ne sort du cycle universitaire que des cadors, se prenant presque pour "Dieu", en ayant "décroché" qu'un Master, équivalant à "bac moins deux", datant de plus d'un siècle !!!!
A l'époque, on n'avait sans doute pas les mêmes approches mathématiques, ni même, les mêmes outils qu'aujourd'hui, mais "les vrais de vrais" savaient bosser et en voulaient !!
Aujourd'hui, à l'université, la plupart des élèves font "joujou" sur leur portable, pendant les cours, sachant que plus rien n'est motivant : ni le contenu, ni les élèves, eux-mêmes !
Osez me dire le contraire !...
Si vous prenez 2 secondes pour lire la section commentaire vous trouverez quelques un de ces cadors, toujours agréable de converser avec eux 🤣
@@MathsFastoche Après avoir lu quelques commentaires "ultra-instructifs" du genre : "t'aurais pu diviser par dix..." ou encore, des prise de becs pour "un nombre au cube, au lieu de la puissance cinq", ou encore, d'autres prises de becs pour "la racine carrée de 115600".
Sur quelle planète on vit, là ? Est-ce cela vos... "élites de demain" ?!...
A la maternelle, les mômes se battent entre-eux pour des gamineries de leur âge, mais dans l'ensemble, restent nettement plus censés que vos... cadors !
Mais divise par 10 bordel....
Désolé grand guide suprême
5 au cube - 3 au cube ? 6:11 🫢
Oui puissance 5 pardon
Le triangle de Pascal est en fait un grand mensonge qu'on nous a inculqué en bas age.
C'est le triangle d'al-Kashi, le maître incontestable des triangles...
J’adore le titre : King of triangle 👑
Cela dit, je crois que le triangle de Pascal était connu bien avant Al-Kashi
Sûrement pas.
Se prétendre « prof » sans simplifier par 10 l’équation 10N^2+20N-2800=0, est assez cocasse!
Un bel exemple de ce que la communauté maths fait de pire
Un looser frustré qui pense être meilleur que les autres car il remarqué une factorisation par 10
Et toi, t’es prof ?
@@MathsFastoche Il y a pire, rassurez-vous, dans la communauté Mathématique, que d’oublier de simplifier par dix une telle équation quadratique, mais c’est déjà pas mal « atroce »! Un peu comme oublier de mettre le clignotant lorsqu’on tourne le jour de l’examen de conduite. Il n’y a que dans une tornade de wokisme que l’on peut sortir ainsi avec un permis…
And by the way, qu’y a-t-il donc de « pompeux » à s’appeler « Félix Klein » ou « équation bicarrée », plutôt que « le type » ou « la degré quatre »? Mais tout s’explique dès qu’on se souvient que le « wokisme » justement, est précisément « l’arrogance irrationnelle de l’inculture ».
@@mpcformation9646 ah, c'était donc ça les multiples références aux guerres mondiales et aux allemands ? Je me demandais ce que ça venait faire la. Il y a des wokistes aussi chez lez matheux.
@@mpcformation9646 ha d’accord je deviens un wokiste maintenant 🤣🤣
J’ai vraiment de la chance d’avoir des génies pareils dans mes commentaires
Quand on utilise des anglicismes pour s’exprimer, cocasses, comme tu dis
Vous avez l’air aussi affûté que votre nouveau collègue
Je vous remercie de commenter ma vidéo, même si vous montrez des limites cognitives, mon algorithme s’en trouve boosté 🤣
Jojo c'est mieux.
Pas compris désolé
Merci pour l'archéologie. Sinon Q(N)=0, divise par 10, ça devient unitaire avant de calculer le discrimant D stp, et comme le 2e coefficient reste pair (=2), prend le D réduit, il y a pas de calculette en 1865. ;p
Quelle archéologie ?