@@GeometriaValeriyKazakov Спасибо.Фамильное совпадение очень вдохновило меня нарушение Ваших задач,тем более в школе у меня было больше всех из класса пятёрок и учитель всегда восхищался оригинальностью решений.А вдруг это не совпадение?
Я достроила до равнобедренного треугольника, а отсюда и угол, который надо найти. Нашла канал случайно, очень рада, так как очень люблю геометрию, но уже что то забываю, так как окончила школу 40 лет назад, но очень люблю решать задачи. Спасибо
В первой задаче продлеваем стороны BC и KM до пересечения в точке, допустим, N. Получаем треугольник MCN равный треугольнику KMD по двум углам и стороне между ними. Отсюда MN = KM. Следовательно треугольник DBN равнобедренный, углы K и N равны 73 градусам. Это ответ.
Можно из вершины М опустить высоту на основание ВК, назовем ее МН. МН=МС ( по свойству окружности, вписанной в угол). Значит, треугольники МНК и МDК равны. Значит, искомый угол равен (180-угол АКВ)/2. Угол АКВ =34, из чего следует, искомый угол равен 73. Ps. Спасибо за канал. Окончила школу 25 лет назад, но геометрию люблю до сих пор. Ваш канал помогает мне справляться со стрессом - включаю ролик, слушаю условие, ставлю на паузу и все печали уходят - в голове только поиск решения интересной задачи. Когда получается решить, всплеск радости. Когда не получается, просыпается азарт и жгучее желание все таки найти решение во что бы то ни стало :))
Продлить отрезки КМ и ВС до взаимного пересечения. Получаем равнобедренный треугольник, где ВМ - биссектриса и перпендикуляр на основание. Верхний (левый) угол 17+17=34. На остальные углы приходится 180-34=146. Они равны в равнобедренном, соотв: 146:2=73
Доказать четвертый признак равнобедренного треугольника оказалось довольно просто. Я пошел от противного. Строим треугольник ABC в котором M - середина стороны BC, AM - биссектриса (и, соответственно, медиана). Если AM - высота, то треугольники ABM и ACM равны и все тривиально. Поэтому предположим, что AM - не высота. Но тогда мы можем провести через точку M прямую перпендикулярную AM (и не совпадающую с BC). Она пересечет прямые AB и AC в каких-то точках K и N. Треугольник AKN - равнобедренный, поэтому KM = MN. Но тогда треугольники BKM и CMN равны (по двум сторонам и углу между ними), что означает равенство углов BKM и CNM. Но это накрест лежащие углы, соответственно, их равенство означает параллельность прямых AB и AC, что противоречит условию. Значит предположение "AM - не высота" неверно. Это высота и треугольник равнобедренный.
В первой задаче, если всё построить аккуратно под линеечку и транспортир сразу бросится в глаза, что угол BMK=90 град. То, что это не случайность, легко проверить, взяв другой прямоугольник с другим соотношением сторон ( угол CBM будет иметь другую величину ). Т.е. получена хорошая подсказка. Вывод: чертёж надо строить точно.
опустил перпендикуляр MF из т.М на ВК, получил треугольник ВМF = тр-ку ВМС (по углу и гип.) отсюда MF=CМ=MD, значит тр MFK=MDK, получается развернутый угол CMD состоит из 2х углов по 73 и двух равных углов, которые получаются по 17градусов следовательно из тр мfk искомый угол равен 73
Можно без дополнительных построений, если начать чуть с другого конца. Построим треугольник MDK, подобный треугольнику ВСМ. Легко видеть, что уголо ВМК - прямой. Катеты тр-ка ВМК являются гипотерузами тр-ков ВСМ и MDK, т.е. отношение такое же, так что треугольник ВМК так же подобен им.
В задаче 2 решил через подобие PBM и PCD (по 3м углам) с коэффициентом подобия = 2 (CD = 2BM), значит PB = CB. Значит треугольник PFC равнобедренный и находим угол DFC.
Там не описка, а просто обман зрения: штриховка наложилась на 32 - и вот Вам 72 градуса. Посмотрите внимательно, укрупните видео. Да, в общем-то дело не в этом. Хороший разбор задач для школьников!
можно было провести из точки M прямую, параллельную AD, тогда образуется р/б треугольник, а там уже потом доказать по т. Фалеса равенства некоторых отрезков
Первую решил следующим способом: Проведем из точки М прямую до прямой ВК, параллельную сторонам ВС и АD. Получаем среднюю линию (обозначим ее ЕМ). Угол ВМЕ=СВМ=17°, а значит треугольник ВЕМ равнобедренный, откуда следует, что ВЕ=ЕМ=ЕК, следовательно, треугольник МЕК тоже равнобедренный, и углы МКЕ и КМЕ равны. Откуда угол К=(180-34)/2=73°
Хорошее решение. Только надо отметить, что точка Е является точкой пересечения ВК и средней линии прямоугольника , проведенной через точку М. Иначе не каждый догадается, что речь идет не о самой средней линии, а о ее части от точки М и до пересечения её с ВК.
Если в прямоугольнике провести диагональ ВД то угол ВДС будет 45 гр. Угол СВК=34 гр. он меньше угла СВД а значит отрезок ВК должен пересекайся со стороной СД а не со стороной АД.
Наш прямоугольник может быть оооочень длинный, или оооочень короткий (чертеж всегда условный). Нарисуйте два квадратика подряд - это наш прямоугольник. Проведите в нем угол в 34 - и вы явно упретесь в AD. Но то, что думате об этом - очень хорошо.
Нашёл недостающие углы: ∠ABK = 56° = 90° - 2×17° ∠BMC = 73° Обнаружил, что треугольники △BCM и △BMK подобны т. к. имеется по равному углу, а прилежащие стороныпропорциональны. △BCM ≈△BMK BC/BM = BM/BK BC/BM = cos17°; BM = 1/cos17° - прямоугольный треугольник AB = 2CM = 2tg17° BK = AB/cos56° = (2tg17°)/cos(90° - 2×17°) BM/BK = (1/cos17°)×cos(90° - 2×17°)/(2tg17°) = sin(2×17°)/(cos17°×2tg17°) = ((2sin17°×cos17°)×cos17°)/(cos17°×2sin17°) После сокращения получим BM/BK = cos17° ⇒ BM/BK = BC/BM В подобных треугольниках углы, лежащие против соответствующих сторон равны. В △BCM сторона BC соответствует стороне BM в △BMK ⇒ ∠BKM = ∠BMC = 73° Ответ: ∠BKM = 73°
Как-то я немного запутался. Решение пока не смотрел. Разве может быть, чтобы угол КВС был равен 34? Ведь это меньше 45. Мне кажется, точка К должна лежать выше диагонали ВD для этого
Если в четырехугольнике АВМК , который можно вписать в окружность , противоположные углы ВАК и ВМК по 90 градусов , то зачем все другие рассуждения ? ВМК =90 градусов , то ВКМ = 73 градуса .
Почему "в четырехугольнике АВМК , можно вписать в окружность"? Это даже на глаз неверно. И кто сказал, что угол BMK = 90? Волшебная фея? В этом-то как раз и заключается решение. Спасибо, что смотрите нас. Внимательно изучайте решения.
Получается, угол ВКМ равен 73 градуса! Для чего, проводим через точку М среднюю линию до пересечения с ВК, из чего следует, что треугольник ВКМ, что его разбили на два равнобедренный треугольников;ВТМ и МТК! Угол ВТМ равен 146,а угол МТК равен 34! Из Равнобедренности МТК следует, что две оставшиеся стороны равны по 73 градуса! Я так думаю! 😁😁
Биссектрисы односторонних углов пересекаются на середине и образуют прямой угол . Вот и всё решение .Слова немного переставить , ничего чертить не надо .
Наташа, это Вы про что толкуете? О каких биссектрисах каких односторонних углов в рассматриваемых задачах Вы хотите поведать? О какой середине ведете речь?
@@ЛарисаФатенко-м9с Есть теорема,Что биссектрисы внутренних односторонних угло в пересекаются под прямым углом на середине между параллельными . ВС и АД параллельные ,ВК секущая .
@@nataliadergunova6269 Так где Вы видите пересекающиеся биссектрисы односторонних углов? Расскажите-ка всем! ВК - секущая, но не биссектриса, ВМ - биссектриса, но не одностороннего угла при параллельных. Так о каком собственном решении Вы хотите поведать? Разъясните-ка конкретно свое решение, если Вы уж видите где-то очевидное!
@@ЛарисаФатенко-м9с ВС и АД параллельные. ВК секущая .ВМ биссектриса угла СВК (т.к. по 17 *) а ВМ-то идёт до середины между параллельными , значит КМ биссектриса угла ВКД (он является односторонним с СВК ), а биссектрисы олносторонних угов пресекаются на середине между параллельными под прямым углом . И тут хоть из треуг-ка АВМ хоть из односторонних углов узнаётся искомый угол .(односторонние углы в сумме 180) Ну что ? А ю о*кей ?
Спасибо за подробное решение интересной задачи.
Класс! Как же красиво! И как здорово уметь все это великолепие провидеть... Завидую белой завистью)))
"Пусть другой гениально играет на флейте. Но еще гениальнее слушали вы".
Спасибо за геометрическое удовольствие!!!
Мы рады, что вам понравилось.
Супер!Очень интересные и разнообразные решения! После Ваших задач купила все Ваши задачники, хотя давно закончила школу.Киселева Н.Н.
Какое интересное фамильное совпадение.
@@GeometriaValeriyKazakov Спасибо.Фамильное совпадение очень вдохновило меня нарушение Ваших задач,тем более в школе у меня было больше всех из класса пятёрок и учитель всегда восхищался оригинальностью решений.А вдруг это не совпадение?
Решение(исправила)
@@nanika1391
@@nanika1391 Так, конечно, генетически обусловленная закономерность!
Я достроила до равнобедренного треугольника, а отсюда и угол, который надо найти. Нашла канал случайно, очень рада, так как очень люблю геометрию, но уже что то забываю, так как окончила школу 40 лет назад, но очень люблю решать задачи. Спасибо
Хорошая задача и красивое решение
Я аналогично решила....
Спасибо. Отлично.
Я сделал точно так же)
@@ИгорьТ-п2д В которой задаче: №1 или №2?
Если треугольник КВN равнобедренный, то углы при основании равны, и отсюда вычисляется они: [180° - ( 17+17°)]:2=146:2=73°, искомый угол равен73°
В первой задаче продлеваем стороны BC и KM до пересечения в точке, допустим, N. Получаем треугольник MCN равный треугольнику KMD по двум углам и стороне между ними. Отсюда
MN = KM. Следовательно треугольник DBN равнобедренный, углы K и N равны 73 градусам. Это ответ.
Отлично. Спасибо.
Можно из вершины М опустить высоту на основание ВК, назовем ее МН. МН=МС ( по свойству окружности, вписанной в угол). Значит, треугольники МНК и МDК равны. Значит, искомый угол равен (180-угол АКВ)/2. Угол АКВ =34, из чего следует, искомый угол равен 73.
Ps. Спасибо за канал. Окончила школу 25 лет назад, но геометрию люблю до сих пор. Ваш канал помогает мне справляться со стрессом - включаю ролик, слушаю условие, ставлю на паузу и все печали уходят - в голове только поиск решения интересной задачи. Когда получается решить, всплеск радости. Когда не получается, просыпается азарт и жгучее желание все таки найти решение во что бы то ни стало :))
Спасибо.
И про параллелограмм тоже понравилось!
Спасибо. Там живая задачи из олимпиады "с колес" день в день.
Последний метод - просто класс!
Согласен.
Спасибо за видио,третий способ я не нашел.
Спасибо большое, что смотрите нас. Извините, что пропустил ответ.
Симпатичная задачка! Пасипко!)))
И вам спасибо.
Спасибо Вам!!!!!!
Смотрите все ролики. Мы с Вами получается одной крови.
Красивые решения задачи, устрашающей на первый взгляд
Да, согласен. Тонакая олимпиадная задачка.
Продлить отрезки КМ и ВС до взаимного пересечения. Получаем равнобедренный треугольник, где ВМ - биссектриса и перпендикуляр на основание. Верхний (левый) угол 17+17=34. На остальные углы приходится 180-34=146. Они равны в равнобедренном, соотв: 146:2=73
Спасибо за ваше решение.
Замечательно!
Спасибо!
И вам спасибо, что смотрите канал.
Доказать четвертый признак равнобедренного треугольника оказалось довольно просто. Я пошел от противного. Строим треугольник ABC в котором M - середина стороны BC, AM - биссектриса (и, соответственно, медиана). Если AM - высота, то треугольники ABM и ACM равны и все тривиально. Поэтому предположим, что AM - не высота. Но тогда мы можем провести через точку M прямую перпендикулярную AM (и не совпадающую с BC). Она пересечет прямые AB и AC в каких-то точках K и N. Треугольник AKN - равнобедренный, поэтому KM = MN. Но тогда треугольники BKM и CMN равны (по двум сторонам и углу между ними), что означает равенство углов BKM и CNM. Но это накрест лежащие углы, соответственно, их равенство означает параллельность прямых AB и AC, что противоречит условию. Значит предположение "AM - не высота" неверно. Это высота и треугольник равнобедренный.
Решение через вписанные углы оригинально, спасибо
Спасибо. Извините, что не успеваю вам отвечать вовремя.
В первой задаче, если всё построить аккуратно под линеечку и транспортир сразу бросится в глаза, что угол BMK=90 град. То, что это не случайность, легко проверить, взяв другой прямоугольник с другим соотношением сторон ( угол CBM будет иметь другую величину ). Т.е. получена хорошая подсказка. Вывод: чертёж надо строить точно.
Да, конечно. Я втречал в задаче из втупительных в Оксфорд, где было сказано в условии, что чертеж искажен.
На 9:24 неточность. Утверждается, что ∠P=∠B. На самом деле ∠P=∠KBP, потому, что ∠B=90º
Неточности нет , этот угол рассматривается не в прямоугольнике, а в соответствующем треугольнике!
та ладно, это обычные формальности
@@ЕвгенийМасленников-й1ы Спасибо за понимание.
опустил перпендикуляр MF из т.М на ВК, получил треугольник ВМF = тр-ку ВМС (по углу и гип.) отсюда MF=CМ=MD, значит тр MFK=MDK, получается развернутый угол CMD состоит из 2х углов по 73 и двух равных углов, которые получаются по 17градусов следовательно из тр мfk искомый угол равен 73
Можно без дополнительных построений, если начать чуть с другого конца.
Построим треугольник MDK, подобный треугольнику ВСМ. Легко видеть, что уголо ВМК - прямой.
Катеты тр-ка ВМК являются гипотерузами тр-ков ВСМ и MDK, т.е. отношение такое же,
так что треугольник ВМК так же подобен им.
Да, можно подобием. Правда, подобие - 2-я половина 8 класса. И я хочу подтянуть 8-классников к ролику.
Nice selection of problems with exquisite solutions!
Thank you very much for your rating.
Sorry for the late reply.
Очень даже симпатичная окружность получилась😅
Да, согласен.
Мне 60, с удовольствием решаю.
Спасибо. Так и нужно. геометрия - вечная молодость ума.
В задаче 2 решил через подобие PBM и PCD (по 3м углам) с коэффициентом подобия = 2 (CD = 2BM), значит PB = CB. Значит треугольник PFC равнобедренный и находим угол DFC.
Спасибо.
Благодарю.Во 2й задаче у Вас сверху слева написано 72 градуса - описка.
Там не описка, а просто обман зрения: штриховка наложилась на 32 - и вот Вам 72 градуса. Посмотрите внимательно, укрупните видео. Да, в общем-то дело не в этом. Хороший разбор задач для школьников!
@@ЛарисаФатенко-м9с благодарю.
Спасибо. Уже не стереть описку.
можно было провести из точки M прямую, параллельную AD, тогда образуется р/б треугольник, а там уже потом доказать по т. Фалеса равенства некоторых отрезков
Спасибо. Да, проведение параллеьной часто упрощает решение.
Насчёт Пушкина и математика можно сравнить,
А какой палец лучше в руке, какой не жалко отрезать!😊
Первую решил следующим способом:
Проведем из точки М прямую до прямой ВК, параллельную сторонам ВС и АD. Получаем среднюю линию (обозначим ее ЕМ). Угол ВМЕ=СВМ=17°, а значит треугольник ВЕМ равнобедренный, откуда следует, что ВЕ=ЕМ=ЕК, следовательно, треугольник МЕК тоже равнобедренный, и углы МКЕ и КМЕ равны. Откуда угол К=(180-34)/2=73°
Чего? точка K уже лежит на прямой AD, как через нее провести еще одну параллельную прямую?
@@vladbulgakov2104 извиняюсь, провести из точки М. Исправил
Хорошее решение. Только надо отметить, что точка Е является точкой пересечения ВК и средней линии прямоугольника , проведенной через точку М. Иначе не каждый догадается, что речь идет не о самой средней линии, а о ее части от точки М и до пересечения её с ВК.
Ага. Я решил точно также
@@ЛарисаФатенко-м9с отметил
Что значит простые углы?
Наверное, "прямые" углы. Может оговорился. Простых углов нет
6:27 может ли угол BMK ≠ 90°
Да, нет же. Это следует из решения.
Если АВМК можно вписать в окружность, то
Да, это если можно. А если нельзя? Должен быть признак вписанного 4-ка. Подумайте
Если в прямоугольнике провести диагональ ВД то угол ВДС будет 45 гр. Угол СВК=34 гр. он меньше угла СВД а значит отрезок ВК должен пересекайся со стороной СД а не со стороной АД.
Наш прямоугольник может быть оооочень длинный, или оооочень короткий (чертеж всегда условный). Нарисуйте два квадратика подряд - это наш прямоугольник. Проведите в нем угол в 34 - и вы явно упретесь в AD. Но то, что думате об этом - очень хорошо.
Нашёл недостающие углы:
∠ABK = 56° = 90° - 2×17°
∠BMC = 73°
Обнаружил, что треугольники △BCM и △BMK подобны т. к. имеется по равному углу, а прилежащие стороныпропорциональны.
△BCM ≈△BMK
BC/BM = BM/BK
BC/BM = cos17°; BM = 1/cos17° - прямоугольный треугольник
AB = 2CM = 2tg17°
BK = AB/cos56° = (2tg17°)/cos(90° - 2×17°)
BM/BK = (1/cos17°)×cos(90° - 2×17°)/(2tg17°) =
sin(2×17°)/(cos17°×2tg17°) =
((2sin17°×cos17°)×cos17°)/(cos17°×2sin17°)
После сокращения получим
BM/BK = cos17° ⇒ BM/BK = BC/BM
В подобных треугольниках углы, лежащие против соответствующих сторон равны.
В △BCM сторона BC соответствует стороне BM в △BMK ⇒ ∠BKM = ∠BMC = 73°
Ответ: ∠BKM = 73°
Спасибо за такое подробное изложение.
Ну, я свою точку Р получил через ВР и СР. Тр-ки КМД и СМР равны, сл-но тр-ник КВР-равнобедренный(биссектриса есть медиана). Угол К=73
Отлично!
треугольники ВСМ И МКД еще и подобны
В старину называли друг друга "государи" простые люди
Согласен! Так и нам нужно называть
А есть ещё обращение Судари.
Мне тоже очень нравится это обращение.
CM = MD = x
AB = CD = 2x
BC = AD = x*ctg(17) = x*a
AK = 2x*ctg(34)
KD = BC - AK = x(ctg(17) - 2ctg(34)) = x(a - 2*(a^2 - 1)/2a) = x/a
Отлично. Спасибо.
Кстати, середина круга лежит на середине ВК
О каком ркгу еидет речь, ведь там 2 круга получается.
BK очевидно диаметр. :)
Если это очевидно, то очевидно ответ из пр-го. Думаю, нет.
Moжна продлит КМ и получим равнобедренный триугольник и там сразу получим прямой ответ.180-(17+17)=146÷2=73
Да, согласен, можно продлять KM. Спасибо, что смотрите наш канал.
ua-cam.com/video/5wCHtIuDxG4/v-deo.html
Четвёртый способ:
Отразим ∆ВСМ относительно ВМ. Получим два равных ∆ВСМ=∆BEМ. Углы СВМ=ЕВМ=КВМ=а=17°;
ВМС=ВМЕ=90°-а=в;
Отрезки МЕ=СМ=МД;
∆ЕМК=∆ДМК (по катету и гипотенузе)
Тогда искомый угол к=ВКМ=ЕКМ=ДКМ = 90°-ЕМК = 90°-ДМК;
ЕМК=ДМК=½(180°-СМЕ).
СМЕ=ВМС+ВМЕ=2в = 2(90°-а) = 180°-2а; =>
ЕМК=ДМК=½(180°-(180°-2а))=а; =>
к=90°-а=в;
В текущем примере к=90°-17°=73°;
Олитчный способ.
est bistroe reshenie ! Dostotochno provesti parallelnuyu pryamuyu cherez tochku M storonu AD.
Thank you. There is probably a quick fix. But I did not find a continuation of your idea. Write in detail.
Как-то я немного запутался. Решение пока не смотрел. Разве может быть, чтобы угол КВС был равен 34? Ведь это меньше 45. Мне кажется, точка К должна лежать выше диагонали ВD для этого
Так это не квадрат .
@@nataliadergunova6269 да, точно! Спасибо
Ну, как, решили сами?
@@nataliadergunova6269 Спасибо за помощь.
Если в четырехугольнике АВМК , который можно вписать в окружность , противоположные углы ВАК и ВМК по 90 градусов , то зачем все другие рассуждения ? ВМК =90 градусов , то ВКМ = 73 градуса .
Почему "в четырехугольнике АВМК , можно вписать в окружность"? Это даже на глаз неверно. И кто сказал, что угол BMK = 90? Волшебная фея? В этом-то как раз и заключается решение. Спасибо, что смотрите нас. Внимательно изучайте решения.
73....180-(17+90)=73....
Спасибо. Хотельс бы подробнее, а вдруг вы придумали новый способ.
задача № 2 ,ответ 116
64 правильно
Напрашивается равнобедренный треугольник , ибо есть медиана, она же биссектриса! Далее всё просто.
Интуиция в геометрии - это главное.
64 правильно
Угол БМК не может быть прямым, по той причине, что в прямоугольном треугольнике МДК гипотенуза МК не может быть равна катету МД.
Спасибо. В результате угол BMK = 90. Ваше утверждение оказалось неточным. Спасибо, что смотрите наш канал.
а нет, все правильно 64
Получается, угол ВКМ равен 73 градуса!
Для чего, проводим через точку М среднюю линию до пересечения с
ВК, из чего следует, что треугольник ВКМ, что его разбили на два равнобедренный треугольников;ВТМ и МТК!
Угол ВТМ равен 146,а угол МТК равен 34! Из Равнобедренности МТК следует, что две оставшиеся стороны равны по 73 градуса!
Я так думаю! 😁😁
Спасибо. Да, все верно. Извините за поздний ответ.
Биссектрисы односторонних углов пересекаются на середине и образуют прямой угол .
Вот и всё решение .Слова немного переставить , ничего чертить не надо .
Наташа, это Вы про что толкуете? О каких биссектрисах каких односторонних углов в рассматриваемых задачах Вы хотите поведать? О какой середине ведете речь?
@@ЛарисаФатенко-м9с Есть теорема,Что биссектрисы внутренних односторонних угло в пересекаются под прямым углом на середине между параллельными . ВС и АД параллельные ,ВК секущая .
@@nataliadergunova6269 Так где Вы видите пересекающиеся биссектрисы односторонних углов? Расскажите-ка всем! ВК - секущая, но не биссектриса, ВМ - биссектриса, но не одностороннего угла при параллельных. Так о каком собственном решении Вы хотите поведать? Разъясните-ка конкретно свое решение, если Вы уж видите где-то очевидное!
@@ЛарисаФатенко-м9с ВС и АД параллельные. ВК секущая .ВМ биссектриса угла СВК (т.к. по 17 *) а ВМ-то идёт до середины между параллельными , значит КМ биссектриса угла ВКД (он является односторонним с СВК ), а биссектрисы олносторонних угов пресекаются на середине между параллельными под прямым углом . И тут хоть из треуг-ка АВМ хоть из односторонних углов узнаётся искомый угол .(односторонние углы в сумме 180) Ну что ? А ю о*кей ?
@@nataliadergunova6269 Наташенька! Посмотрите-ка, лапочка, что такое односторонние углы при параллельных прямых!