Доказать четвертый признак равнобедренного треугольника оказалось довольно просто. Я пошел от противного. Строим треугольник ABC в котором M - середина стороны BC, AM - биссектриса (и, соответственно, медиана). Если AM - высота, то треугольники ABM и ACM равны и все тривиально. Поэтому предположим, что AM - не высота. Но тогда мы можем провести через точку M прямую перпендикулярную AM (и не совпадающую с BC). Она пересечет прямые AB и AC в каких-то точках K и N. Треугольник AKN - равнобедренный, поэтому KM = MN. Но тогда треугольники BKM и CMN равны (по двум сторонам и углу между ними), что означает равенство углов BKM и CNM. Но это накрест лежащие углы, соответственно, их равенство означает параллельность прямых AB и AC, что противоречит условию. Значит предположение "AM - не высота" неверно. Это высота и треугольник равнобедренный.
Я достроила до равнобедренного треугольника, а отсюда и угол, который надо найти. Нашла канал случайно, очень рада, так как очень люблю геометрию, но уже что то забываю, так как окончила школу 40 лет назад, но очень люблю решать задачи. Спасибо
Можно из вершины М опустить высоту на основание ВК, назовем ее МН. МН=МС ( по свойству окружности, вписанной в угол). Значит, треугольники МНК и МDК равны. Значит, искомый угол равен (180-угол АКВ)/2. Угол АКВ =34, из чего следует, искомый угол равен 73. Ps. Спасибо за канал. Окончила школу 25 лет назад, но геометрию люблю до сих пор. Ваш канал помогает мне справляться со стрессом - включаю ролик, слушаю условие, ставлю на паузу и все печали уходят - в голове только поиск решения интересной задачи. Когда получается решить, всплеск радости. Когда не получается, просыпается азарт и жгучее желание все таки найти решение во что бы то ни стало :))
Продлить отрезки КМ и ВС до взаимного пересечения. Получаем равнобедренный треугольник, где ВМ - биссектриса и перпендикуляр на основание. Верхний (левый) угол 17+17=34. На остальные углы приходится 180-34=146. Они равны в равнобедренном, соотв: 146:2=73
В первой задаче, если всё построить аккуратно под линеечку и транспортир сразу бросится в глаза, что угол BMK=90 град. То, что это не случайность, легко проверить, взяв другой прямоугольник с другим соотношением сторон ( угол CBM будет иметь другую величину ). Т.е. получена хорошая подсказка. Вывод: чертёж надо строить точно.
Можно без дополнительных построений, если начать чуть с другого конца. Построим треугольник MDK, подобный треугольнику ВСМ. Легко видеть, что уголо ВМК - прямой. Катеты тр-ка ВМК являются гипотерузами тр-ков ВСМ и MDK, т.е. отношение такое же, так что треугольник ВМК так же подобен им.
В задаче 2 решил через подобие PBM и PCD (по 3м углам) с коэффициентом подобия = 2 (CD = 2BM), значит PB = CB. Значит треугольник PFC равнобедренный и находим угол DFC.
Там не описка, а просто обман зрения: штриховка наложилась на 32 - и вот Вам 72 градуса. Посмотрите внимательно, укрупните видео. Да, в общем-то дело не в этом. Хороший разбор задач для школьников!
можно было провести из точки M прямую, параллельную AD, тогда образуется р/б треугольник, а там уже потом доказать по т. Фалеса равенства некоторых отрезков
Первую решил следующим способом: Проведем из точки М прямую до прямой ВК, параллельную сторонам ВС и АD. Получаем среднюю линию (обозначим ее ЕМ). Угол ВМЕ=СВМ=17°, а значит треугольник ВЕМ равнобедренный, откуда следует, что ВЕ=ЕМ=ЕК, следовательно, треугольник МЕК тоже равнобедренный, и углы МКЕ и КМЕ равны. Откуда угол К=(180-34)/2=73°
Хорошее решение. Только надо отметить, что точка Е является точкой пересечения ВК и средней линии прямоугольника , проведенной через точку М. Иначе не каждый догадается, что речь идет не о самой средней линии, а о ее части от точки М и до пересечения её с ВК.
Если в прямоугольнике провести диагональ ВД то угол ВДС будет 45 гр. Угол СВК=34 гр. он меньше угла СВД а значит отрезок ВК должен пересекайся со стороной СД а не со стороной АД.
Наш прямоугольник может быть оооочень длинный, или оооочень короткий (чертеж всегда условный). Нарисуйте два квадратика подряд - это наш прямоугольник. Проведите в нем угол в 34 - и вы явно упретесь в AD. Но то, что думате об этом - очень хорошо.
Нашёл недостающие углы: ∠ABK = 56° = 90° - 2×17° ∠BMC = 73° Обнаружил, что треугольники △BCM и △BMK подобны т. к. имеется по равному углу, а прилежащие стороныпропорциональны. △BCM ≈△BMK BC/BM = BM/BK BC/BM = cos17°; BM = 1/cos17° - прямоугольный треугольник AB = 2CM = 2tg17° BK = AB/cos56° = (2tg17°)/cos(90° - 2×17°) BM/BK = (1/cos17°)×cos(90° - 2×17°)/(2tg17°) = sin(2×17°)/(cos17°×2tg17°) = ((2sin17°×cos17°)×cos17°)/(cos17°×2sin17°) После сокращения получим BM/BK = cos17° ⇒ BM/BK = BC/BM В подобных треугольниках углы, лежащие против соответствующих сторон равны. В △BCM сторона BC соответствует стороне BM в △BMK ⇒ ∠BKM = ∠BMC = 73° Ответ: ∠BKM = 73°
Как-то я немного запутался. Решение пока не смотрел. Разве может быть, чтобы угол КВС был равен 34? Ведь это меньше 45. Мне кажется, точка К должна лежать выше диагонали ВD для этого
Если в четырехугольнике АВМК , который можно вписать в окружность , противоположные углы ВАК и ВМК по 90 градусов , то зачем все другие рассуждения ? ВМК =90 градусов , то ВКМ = 73 градуса .
Почему "в четырехугольнике АВМК , можно вписать в окружность"? Это даже на глаз неверно. И кто сказал, что угол BMK = 90? Волшебная фея? В этом-то как раз и заключается решение. Спасибо, что смотрите нас. Внимательно изучайте решения.
Биссектрисы односторонних углов пересекаются на середине и образуют прямой угол . Вот и всё решение .Слова немного переставить , ничего чертить не надо .
Наташа, это Вы про что толкуете? О каких биссектрисах каких односторонних углов в рассматриваемых задачах Вы хотите поведать? О какой середине ведете речь?
@@user-lq2hv4db4r Есть теорема,Что биссектрисы внутренних односторонних угло в пересекаются под прямым углом на середине между параллельными . ВС и АД параллельные ,ВК секущая .
@@nataliadergunova6269 Так где Вы видите пересекающиеся биссектрисы односторонних углов? Расскажите-ка всем! ВК - секущая, но не биссектриса, ВМ - биссектриса, но не одностороннего угла при параллельных. Так о каком собственном решении Вы хотите поведать? Разъясните-ка конкретно свое решение, если Вы уж видите где-то очевидное!
@@user-lq2hv4db4r ВС и АД параллельные. ВК секущая .ВМ биссектриса угла СВК (т.к. по 17 *) а ВМ-то идёт до середины между параллельными , значит КМ биссектриса угла ВКД (он является односторонним с СВК ), а биссектрисы олносторонних угов пресекаются на середине между параллельными под прямым углом . И тут хоть из треуг-ка АВМ хоть из односторонних углов узнаётся искомый угол .(односторонние углы в сумме 180) Ну что ? А ю о*кей ?
Получается, угол ВКМ равен 73 градуса! Для чего, проводим через точку М среднюю линию до пересечения с ВК, из чего следует, что треугольник ВКМ, что его разбили на два равнобедренный треугольников;ВТМ и МТК! Угол ВТМ равен 146,а угол МТК равен 34! Из Равнобедренности МТК следует, что две оставшиеся стороны равны по 73 градуса! Я так думаю! 😁😁
Спасибо за подробное решение интересной задачи.
Доказать четвертый признак равнобедренного треугольника оказалось довольно просто. Я пошел от противного. Строим треугольник ABC в котором M - середина стороны BC, AM - биссектриса (и, соответственно, медиана). Если AM - высота, то треугольники ABM и ACM равны и все тривиально. Поэтому предположим, что AM - не высота. Но тогда мы можем провести через точку M прямую перпендикулярную AM (и не совпадающую с BC). Она пересечет прямые AB и AC в каких-то точках K и N. Треугольник AKN - равнобедренный, поэтому KM = MN. Но тогда треугольники BKM и CMN равны (по двум сторонам и углу между ними), что означает равенство углов BKM и CNM. Но это накрест лежащие углы, соответственно, их равенство означает параллельность прямых AB и AC, что противоречит условию. Значит предположение "AM - не высота" неверно. Это высота и треугольник равнобедренный.
Класс! Как же красиво! И как здорово уметь все это великолепие провидеть... Завидую белой завистью)))
"Пусть другой гениально играет на флейте. Но еще гениальнее слушали вы".
Спасибо за геометрическое удовольствие!!!
Мы рады, что вам понравилось.
Я достроила до равнобедренного треугольника, а отсюда и угол, который надо найти. Нашла канал случайно, очень рада, так как очень люблю геометрию, но уже что то забываю, так как окончила школу 40 лет назад, но очень люблю решать задачи. Спасибо
Хорошая задача и красивое решение
Я аналогично решила....
Спасибо. Отлично.
Я сделал точно так же)
@@user-yr5pj6ik1j В которой задаче: №1 или №2?
И про параллелограмм тоже понравилось!
Спасибо. Там живая задачи из олимпиады "с колес" день в день.
Насчёт Пушкина и математика можно сравнить,
А какой палец лучше в руке, какой не жалко отрезать!😊
Красивые решения задачи, устрашающей на первый взгляд
Да, согласен. Тонакая олимпиадная задачка.
Спасибо Вам!!!!!!
Смотрите все ролики. Мы с Вами получается одной крови.
Замечательно!
Спасибо за видио,третий способ я не нашел.
Спасибо большое, что смотрите нас. Извините, что пропустил ответ.
Очень даже симпатичная окружность получилась😅
Да, согласен.
Можно из вершины М опустить высоту на основание ВК, назовем ее МН. МН=МС ( по свойству окружности, вписанной в угол). Значит, треугольники МНК и МDК равны. Значит, искомый угол равен (180-угол АКВ)/2. Угол АКВ =34, из чего следует, искомый угол равен 73.
Ps. Спасибо за канал. Окончила школу 25 лет назад, но геометрию люблю до сих пор. Ваш канал помогает мне справляться со стрессом - включаю ролик, слушаю условие, ставлю на паузу и все печали уходят - в голове только поиск решения интересной задачи. Когда получается решить, всплеск радости. Когда не получается, просыпается азарт и жгучее желание все таки найти решение во что бы то ни стало :))
Спасибо.
Симпатичная задачка! Пасипко!)))
И вам спасибо.
Решение через вписанные углы оригинально, спасибо
Спасибо. Извините, что не успеваю вам отвечать вовремя.
Спасибо!
И вам спасибо, что смотрите канал.
Мне 60, с удовольствием решаю.
Спасибо. Так и нужно. геометрия - вечная молодость ума.
Продлить отрезки КМ и ВС до взаимного пересечения. Получаем равнобедренный треугольник, где ВМ - биссектриса и перпендикуляр на основание. Верхний (левый) угол 17+17=34. На остальные углы приходится 180-34=146. Они равны в равнобедренном, соотв: 146:2=73
Спасибо за ваше решение.
В первой задаче, если всё построить аккуратно под линеечку и транспортир сразу бросится в глаза, что угол BMK=90 град. То, что это не случайность, легко проверить, взяв другой прямоугольник с другим соотношением сторон ( угол CBM будет иметь другую величину ). Т.е. получена хорошая подсказка. Вывод: чертёж надо строить точно.
Да, конечно. Я втречал в задаче из втупительных в Оксфорд, где было сказано в условии, что чертеж искажен.
Можно без дополнительных построений, если начать чуть с другого конца.
Построим треугольник MDK, подобный треугольнику ВСМ. Легко видеть, что уголо ВМК - прямой.
Катеты тр-ка ВМК являются гипотерузами тр-ков ВСМ и MDK, т.е. отношение такое же,
так что треугольник ВМК так же подобен им.
Да, можно подобием. Правда, подобие - 2-я половина 8 класса. И я хочу подтянуть 8-классников к ролику.
Nice selection of problems with exquisite solutions!
Thank you very much for your rating.
Sorry for the late reply.
На 9:24 неточность. Утверждается, что ∠P=∠B. На самом деле ∠P=∠KBP, потому, что ∠B=90º
Неточности нет , этот угол рассматривается не в прямоугольнике, а в соответствующем треугольнике!
та ладно, это обычные формальности
@@user-jt8to5dx2f Спасибо за понимание.
Если АВМК можно вписать в окружность, то
Да, это если можно. А если нельзя? Должен быть признак вписанного 4-ка. Подумайте
В задаче 2 решил через подобие PBM и PCD (по 3м углам) с коэффициентом подобия = 2 (CD = 2BM), значит PB = CB. Значит треугольник PFC равнобедренный и находим угол DFC.
Спасибо.
Благодарю.Во 2й задаче у Вас сверху слева написано 72 градуса - описка.
Там не описка, а просто обман зрения: штриховка наложилась на 32 - и вот Вам 72 градуса. Посмотрите внимательно, укрупните видео. Да, в общем-то дело не в этом. Хороший разбор задач для школьников!
@@user-lq2hv4db4r благодарю.
Спасибо. Уже не стереть описку.
можно было провести из точки M прямую, параллельную AD, тогда образуется р/б треугольник, а там уже потом доказать по т. Фалеса равенства некоторых отрезков
Спасибо. Да, проведение параллеьной часто упрощает решение.
Первую решил следующим способом:
Проведем из точки М прямую до прямой ВК, параллельную сторонам ВС и АD. Получаем среднюю линию (обозначим ее ЕМ). Угол ВМЕ=СВМ=17°, а значит треугольник ВЕМ равнобедренный, откуда следует, что ВЕ=ЕМ=ЕК, следовательно, треугольник МЕК тоже равнобедренный, и углы МКЕ и КМЕ равны. Откуда угол К=(180-34)/2=73°
Чего? точка K уже лежит на прямой AD, как через нее провести еще одну параллельную прямую?
@@vladbulgakov2104 извиняюсь, провести из точки М. Исправил
Хорошее решение. Только надо отметить, что точка Е является точкой пересечения ВК и средней линии прямоугольника , проведенной через точку М. Иначе не каждый догадается, что речь идет не о самой средней линии, а о ее части от точки М и до пересечения её с ВК.
Ага. Я решил точно также
@@user-lq2hv4db4r отметил
В старину называли друг друга "государи" простые люди
Согласен! Так и нам нужно называть
Если в прямоугольнике провести диагональ ВД то угол ВДС будет 45 гр. Угол СВК=34 гр. он меньше угла СВД а значит отрезок ВК должен пересекайся со стороной СД а не со стороной АД.
Наш прямоугольник может быть оооочень длинный, или оооочень короткий (чертеж всегда условный). Нарисуйте два квадратика подряд - это наш прямоугольник. Проведите в нем угол в 34 - и вы явно упретесь в AD. Но то, что думате об этом - очень хорошо.
Ну, я свою точку Р получил через ВР и СР. Тр-ки КМД и СМР равны, сл-но тр-ник КВР-равнобедренный(биссектриса есть медиана). Угол К=73
Отлично!
Нашёл недостающие углы:
∠ABK = 56° = 90° - 2×17°
∠BMC = 73°
Обнаружил, что треугольники △BCM и △BMK подобны т. к. имеется по равному углу, а прилежащие стороныпропорциональны.
△BCM ≈△BMK
BC/BM = BM/BK
BC/BM = cos17°; BM = 1/cos17° - прямоугольный треугольник
AB = 2CM = 2tg17°
BK = AB/cos56° = (2tg17°)/cos(90° - 2×17°)
BM/BK = (1/cos17°)×cos(90° - 2×17°)/(2tg17°) =
sin(2×17°)/(cos17°×2tg17°) =
((2sin17°×cos17°)×cos17°)/(cos17°×2sin17°)
После сокращения получим
BM/BK = cos17° ⇒ BM/BK = BC/BM
В подобных треугольниках углы, лежащие против соответствующих сторон равны.
В △BCM сторона BC соответствует стороне BM в △BMK ⇒ ∠BKM = ∠BMC = 73°
Ответ: ∠BKM = 73°
Спасибо за такое подробное изложение.
А есть ещё обращение Судари.
Мне тоже очень нравится это обращение.
Moжна продлит КМ и получим равнобедренный триугольник и там сразу получим прямой ответ.180-(17+17)=146÷2=73
Да, согласен, можно продлять KM. Спасибо, что смотрите наш канал.
Кстати, середина круга лежит на середине ВК
О каком ркгу еидет речь, ведь там 2 круга получается.
est bistroe reshenie ! Dostotochno provesti parallelnuyu pryamuyu cherez tochku M storonu AD.
Thank you. There is probably a quick fix. But I did not find a continuation of your idea. Write in detail.
Что значит простые углы?
Наверное, "прямые" углы. Может оговорился. Простых углов нет
73....180-(17+90)=73....
Спасибо. Хотельс бы подробнее, а вдруг вы придумали новый способ.
6:27 может ли угол BMK ≠ 90°
Да, нет же. Это следует из решения.
ua-cam.com/video/5wCHtIuDxG4/v-deo.html
Четвёртый способ:
Отразим ∆ВСМ относительно ВМ. Получим два равных ∆ВСМ=∆BEМ. Углы СВМ=ЕВМ=КВМ=а=17°;
ВМС=ВМЕ=90°-а=в;
Отрезки МЕ=СМ=МД;
∆ЕМК=∆ДМК (по катету и гипотенузе)
Тогда искомый угол к=ВКМ=ЕКМ=ДКМ = 90°-ЕМК = 90°-ДМК;
ЕМК=ДМК=½(180°-СМЕ).
СМЕ=ВМС+ВМЕ=2в = 2(90°-а) = 180°-2а; =>
ЕМК=ДМК=½(180°-(180°-2а))=а; =>
к=90°-а=в;
В текущем примере к=90°-17°=73°;
Олитчный способ.
CM = MD = x
AB = CD = 2x
BC = AD = x*ctg(17) = x*a
AK = 2x*ctg(34)
KD = BC - AK = x(ctg(17) - 2ctg(34)) = x(a - 2*(a^2 - 1)/2a) = x/a
Отлично. Спасибо.
задача № 2 ,ответ 116
64 правильно
64 правильно
Как-то я немного запутался. Решение пока не смотрел. Разве может быть, чтобы угол КВС был равен 34? Ведь это меньше 45. Мне кажется, точка К должна лежать выше диагонали ВD для этого
Так это не квадрат .
@@nataliadergunova6269 да, точно! Спасибо
Ну, как, решили сами?
@@nataliadergunova6269 Спасибо за помощь.
Если в четырехугольнике АВМК , который можно вписать в окружность , противоположные углы ВАК и ВМК по 90 градусов , то зачем все другие рассуждения ? ВМК =90 градусов , то ВКМ = 73 градуса .
Почему "в четырехугольнике АВМК , можно вписать в окружность"? Это даже на глаз неверно. И кто сказал, что угол BMK = 90? Волшебная фея? В этом-то как раз и заключается решение. Спасибо, что смотрите нас. Внимательно изучайте решения.
а нет, все правильно 64
Напрашивается равнобедренный треугольник , ибо есть медиана, она же биссектриса! Далее всё просто.
Интуиция в геометрии - это главное.
Биссектрисы односторонних углов пересекаются на середине и образуют прямой угол .
Вот и всё решение .Слова немного переставить , ничего чертить не надо .
Наташа, это Вы про что толкуете? О каких биссектрисах каких односторонних углов в рассматриваемых задачах Вы хотите поведать? О какой середине ведете речь?
@@user-lq2hv4db4r Есть теорема,Что биссектрисы внутренних односторонних угло в пересекаются под прямым углом на середине между параллельными . ВС и АД параллельные ,ВК секущая .
@@nataliadergunova6269 Так где Вы видите пересекающиеся биссектрисы односторонних углов? Расскажите-ка всем! ВК - секущая, но не биссектриса, ВМ - биссектриса, но не одностороннего угла при параллельных. Так о каком собственном решении Вы хотите поведать? Разъясните-ка конкретно свое решение, если Вы уж видите где-то очевидное!
@@user-lq2hv4db4r ВС и АД параллельные. ВК секущая .ВМ биссектриса угла СВК (т.к. по 17 *) а ВМ-то идёт до середины между параллельными , значит КМ биссектриса угла ВКД (он является односторонним с СВК ), а биссектрисы олносторонних угов пресекаются на середине между параллельными под прямым углом . И тут хоть из треуг-ка АВМ хоть из односторонних углов узнаётся искомый угол .(односторонние углы в сумме 180) Ну что ? А ю о*кей ?
@@nataliadergunova6269 Наташенька! Посмотрите-ка, лапочка, что такое односторонние углы при параллельных прямых!
Угол БМК не может быть прямым, по той причине, что в прямоугольном треугольнике МДК гипотенуза МК не может быть равна катету МД.
Спасибо. В результате угол BMK = 90. Ваше утверждение оказалось неточным. Спасибо, что смотрите наш канал.
Получается, угол ВКМ равен 73 градуса!
Для чего, проводим через точку М среднюю линию до пересечения с
ВК, из чего следует, что треугольник ВКМ, что его разбили на два равнобедренный треугольников;ВТМ и МТК!
Угол ВТМ равен 146,а угол МТК равен 34! Из Равнобедренности МТК следует, что две оставшиеся стороны равны по 73 градуса!
Я так думаю! 😁😁
Спасибо. Да, все верно. Извините за поздний ответ.