Extrempunkte berechnen - Parameter, Funktionenschar
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- Опубліковано 17 тра 2024
- Extrempunkte berechnen Kurvenschar
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man bei einer Funktionenschar die Extremstellen mit Parameter bestimmen kann. Wir bilden die Ableitungen, um den Hochpunkt zu finden. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Extrempunkte
0:35 Ableitungen bilden
3:10 1. Ableitung Null setzen
5:09 pq-Formel mit Parameter
9:38 2. Ableitung prüfen
13:50 y-Wert berechnen
16:14 Bis zum nächsten Video :)
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Das einzige Problem weshalb mir Mathe Videos nicht wirklich helfen ist weil diese Aufgaben immer viel einfacher sind als die die wir in der Schule bekommen😫könntest du vielleicht nochmal ein Video zur Integralrechnung und Flächen berechnen machen aber mit schwereren Aufgaben und Kommazahlen?
Also nur weil da Kommazahlen sind heißt es nicht, dass diese Aufgaben schwerer sind😅 Versuche mal nur einen einzelnen Punkt was gezeigt wird anzuschauen und setzte das dann in der Schulaufgabe um, also nach dem Motto, Schritt für Schritt 👍
Kannst Du mal eine solche Aufgabe hier posten, also den Text dazu? Dann kann man sich besser vorstellen, was Du meinst.
Ein anderer Gedanke, der mir kommt, aber was nicht so sein muss: wenn man die Aufgabe hier im Video sieht, dann fällt einem die Aufgabe leicht, weil man jeden Schritt versteht. Das Ziel muss sein, dass man selbst sich lange mit der Aufgabe beschäftigt hat und selbst auf die Kniffe kommt. Oft fehlt einem ja nur eine entscheidende Idee, um das Problem zu lösen. Also schreibe mal, was denn eine schwere Aufgabe wäre. Dann kann man besser einschätzen, wo Du gerade Schwierigkeiten hast.
@@munichmusiclover Ja, das meinte ich auch, aber ich konnte mich nicht so gut ausdrücken 😅
@@munichmusiclover wie soll ich hier ein Arbeitsblatt hinschreiben.... das sind ja Sachaufgaben mit mehreren längeren Funktionen.
@ ich hab doch gesagt schwere Aufgaben und Kommazahlen. Ich weiß ich hab jetzt nicht viel aufgeschrieben aber in den Prüfungen zum Abi muss man schon mehr als das können was man in den Videos lernt. Es sind einfach komplizierte Sachaufgaben wo du rausfinden muss welcher Wert für was da steht und es gibt immer mindestens zwei lange Funktionen mit Kommazahlen. Du weißt halt auch nie direkt welchen Rechenweg du nehmen musst... deswegen komm ich nicht klar mit den Prüfungen die sehr bald anstehen
Danke !!! immer wieder toll und verständlich erklärt 👌👍
#videowunsch Ich wünsche mir immer noch ein kleines Kompendium über mathematisch korrekte Schreibweise, und das bishin zum Universitätsniveau. Quasi alles, was man braucht, um Wiki-Artikel zu lesen wie die Muttersprache.
Ja, aber... Mathe ist nun mal keine zentralistisch geführte Wissenschaft. Es gibt keine zentrale Institution, die mit der Kompetenz zur Normierung ausgestattet ist. Historisch bedingt: Wesentliche Fortschritte wurden regelmäßig von Einzelpersonen eingeführt, oft von "Außenseitern", verbunden mit deren Duktus, Ausdrucksformen, neuen Fachbegriffen. Das ist das leidige an Mathe: immer muss man mitdenken... Auf keinen Fall sollte man die mathematische Nomenklatur etwa als fette Beute den Legasthenikern der Dudenredaktion oder WIKI überlassen: die einen wollen nur ihr Geschreibsel vermarkten und ändern ihre "Vorstellungen" je nach dem, aus welcher politischen Richtung sie anal Zucker infundiert bekommen, bei den anderen gibt es keine konzeptionelle Stringenz wg der Programmatik des Projekts.
Es bleibt nur, sich im bevorzugten Kreis auf etwas zu einigen.
Eine "verbindliche" Susannographie wäre deshalb erstrebenswert, hat sie vereinzelt auch in Videos schon angesprochen. Nur an der Schule oder besonders an der Uni könnte man damit scheitern, denn hier gilt im Zweifelsfall, was der Regionalfürst sich so vorstellt.
"Wenn Sie Unsinn lernen wollen, besuchen Sie die Lehrveranstaltungen meiner Kollegen."
Hi, magst nicht mal ein Video zu Laplace Transformationen machen?
Mag deine Videos am meisten ☺️
Würde mich auch interessieren
Ich bin dir sehr dankbar das du Mathe kannst. Du hilfst einen aus der Patsche danke schön ❤
Wie immer, sehr gut.
11:18 Hier könnte man auch so argumentieren:
Wir haben eine kubische Funktion der Form a^2x^3 + ...
Wegen a 0 ist a^2 > 0, d.h. der Leitkoeffizient (= Vorfaktor der höchsten Potenz x^3) ist positiv.
Das Verhalten der Funktion ist also im wesentlichen wie das Verhalten der kubischen Standardfunktion y = x^3,
d.h. die Kurve geht von "links unten" nach "rechts oben".
Dabei schneidet sie die x-Achse einmal (wenn sie keinen Extrempunkt hat)
oder dreimal (wen sie zwei Extrempunkte hat).
Da wir zwei Extremstellen gefunden haben, gibt es also zwei Extrempunkte.
Da die Kurve von links unten nach rechts oben geht, hat sie, von links nach rechts, zwangsläufig zuerst einen Hochpunk und dann einen Tiefpunkt. Der Hochpunkt hat also einen kleineren x-Wwrt als der Tiefpunkt.
Unsere beiden x-Werte sind 1/a und 3/a, beide positiv wegen a positiv.
Also ist 1/a der kleinere x-Wert und hier ist unser Hochpunkt.
Gute Argumentation, aber die beiden Nullstellen der ersten Ableitung sind nicht zwingend Extremstellen, sondern könnten theoretisch auch zwei Wendestellen (wie die Nullstelle von f(x) = x³) sein. Um nachzuweisen, dass das wirklich zwei Extremstellen sind, musst du also entweder zeigen, dass die Funktion selbst drei Nullstellen hat, zwischen denen die beiden Nullstellen der ersten Ableitung liegen, oder dir eben doch die zweite Ableitung anschauen oder die erste auf Vorzeichenwechsel an den beiden Nullstellen überprüfen.
@@teejay7578 Ja, zum Beispiel könnte man duebWendestelle brerchnen:
f''a(x) = 6a^2 - 12a = 0
6a^2 * x = 12a
Durch 6a teilen (geht, da a > 0):
a * x = 2
x = 2/a
Und das liegt genau zwischen den beiden Extremstellen 1/a und 3/a.
Schön erklärt, könntest du nochmal das gleiche oder ähnlich machen, da die Bayern Hoch- und Tiefpunkt über eine Vorzeichentabelle machen?
Ich kann mir bei der quadratisch Gleichung auch ein Loch ins Knie schiessen.
3a²x² - 12ax + 9 = 0
Erst einmal 3 ausklammern und beide Seiten durch 3 teilen, dann ist die 3 weg.
a²x² - 4ax + 3 = 0
Ich sehe sofort die Zerlegung in Faktoren. Den a²x² ist ein reines Quadrat. 3 kann nur durch 1 mal 3 entstehen und 1 plus 3 gibt die 4 in der Mitte. Die Vorzeichen sagen mir in beiden Klammern steht ein Minus.
(ax - 1)(ax - 3) = 0
Dann ist einmal...
ax = 1
und einmal...
ax = 3
Fertig, bevor jemand anders bei der pq-Formel ankommt.
Hallo Susanne, vielen Dank für deine tolle Erklärung. Jetzt weiß ich, wo mein Fehler war. Ich kam bei der pq- Formel nicht weiter, weil ich vergessen hatte das Reziproke zu bilden. Dankeschön 💕
6:00 Ich würde vor dem Start der pq-Formel einmalig p/2 = -2/a ausrechnen, da man das zweimal in der Formel braucht.
7:10 Bei (p/2)^2 muss man eben gerade NICHT wegen der Minusse aufpassen, denn die werden sowieso weg-quadriert!
Beim zweiten Punkt ist aber Vorsicht geboten: Wenn du direkt "4/a²" hinschreibst, kann dir nichts passieren, aber ich kann mir gut vorstellen, dass es den ein oder anderen Lehrer gibt, der es dir ankreiden wird, wenn du "(2/a)²" statt "(-2/a)²" hinschreibst, auch wenn es am Endergebnis nichts ändert.
@@teejay7578 Das Problem hab ich nicht, denn ich bin selbst Lehrer und gebe solche Hinweise auch in meinem Unterricht :-)
Eine Funktion dritten Grades in x hat entweder einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt oder einen Stelle, an der die Steigung 0 ist, die aber kein Extremwert ist oder gar keinen Extremwert. Wenn ich also zwei verschiedene Nullstellen der ersten Ableitung finde und die erste, die ich überprüfe, ist ein Tiefpunkt, brauche ich das zweite Ergebnis nicht mehr überprüfen, das ist dann automatisch die Stelle eines Hochpunkts.
Alternative Prüfung der zweiten Ableitung: Die zweite Ableitung ist eine lineare Funktion, die streng monoton steigend ist (6a² = positiver x-Koeffizient) und deren Nullstelle 2/a ist. Ergo ist sie negativ für alle kleineren x (u. a. 1/a) und positiv für alle größeren (u. a. 3/a).
PS: Alle, die wissen, dass 2 die Hälfte von 4 ist, können bei 6:30 eine ganze Minute (!) vorspulen, ohne was zu verpassen. 🙄
Algo
Sorry fürs Offtopic, aber habe deine Doppelgängerin gefunden!! Gib auf UA-cam mal "Vois sur ton chemin Cover - Les Choristes (MoonSun)" ein. Die Sängerin (MoonSun) schaut dir extrem ähnlich!
Cool, dass du meine Band entdeckt hast! 😄
Super erklärt, sogar ich konnte den Erklärungen folgen. Unklar geblieben ist, was die Funktionenschar bedeutet.
Es ist eine Schar da du unendlich viele Funktionen gegeben hast. Je nachdem welches a es wird ist es eine andere Funktion.
Man braucht bei dieser Aufgabe keine zweite Ableitung. Es ist meiner Meinung nach einfacher den Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung zu untersuchen. Ein Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus bedeutet einen Hochpunkt. Die erste Ableitung ist eine Parabel, die wegen 3a^2>0 nach oben geöffnet ist. Hat eine Parabel zwei verschiedene Nullstellen, wechselt bei beiden das Vorzeichen. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, sind die Werte für sehr hohe und sehr hohe negative x positiv. Folglich ist der erste Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus, der zweite von Minus nach Plus. Somit ist die erste Nullstelle ein Hochpunkt, die zweite ein Tiefpunkt. Wegen 1/a
Da passt gut der pq-Formel-Song: ua-cam.com/video/hoqOO1IkUHE/v-deo.html
Die Formel kenne ich anders:
Minuspehhalbe plusminus die Wurzel aus Pehquadratviertelminuskuh. :))
Das kann man besser auswendig lernen, finde ich. Ist natürlich Ansichtssache.
Mein Lösungsvorschlag ▶
f(x)= a²x³-6ax²+9x
für a > 0
erste Ableitung:
df(x)/dx= a²*3x²-6a*(2x)+9
df(x)/dx=0
⇒
3a²x²-12ax+9=0
Δ= 144a²-4*(3a²)*9
Δ= 144a²-108a²
Δ= 36a²
√Δ= 6a
x₁= (12a+6a)/2*(3a²)
x₁= 18a/6a²
x₁= 3/a
x₂= (12a-6a)/6a²
x₂= 6a/6a²
x₂= 1/a
df(x)/dx= a²*3x²-6a*(2x)+9 ⬆
d²f(x)/dx²= 6a²x-12a
⇒
d²f(3/a)/dx²= 6a²*(3/a)-12a
d²f(3/a)/dx²= 18a - 12a
d²f(3/a)/dx²= 6a > 0
= Tiefpunkt-Minimum !
d²f(1/a)/dx²= 6a²*(1/a)-12a
d²f(3/a)/dx²= 6a - 12a
d²f(3/a)/dx²= - 6a < 0
= Hochpunkt-Maximum !
⇒
f(1/a)= a²*(1/a)³-6a*(1/a)²+9*(1/a)
f(1/a)= 1/a - 6/a + 9/a
f(1/a)= 4/a
Hp= (1/a, 4/a) ist die Lösung !
Eigentlich braucht man für Polynomfunktionen 3. Grades keine 2. Ableitung um den HP zu bestimmen. Eine Polynomfunktion 3. Grades hat entweder einen Sattelpunkt, oder einen HP und einen TP. Bei 2 unterschiedlichen Extremwerten hat man einen HP und einen TP. Ist die Funktion in der Form +a(x)^3... , dann geht die Funktion (für a>0) von links unten nach rechts oben, d.h. der linke Extremwert muss ein HP sein.
Führen Sie bitte auf welcher Kurve liegen alle Hochpunkte der Funktionenschar (Ortskurve)
Es ist keine Kurve, sondern eine Gerade: f(n) = 4n mit n > 0
Setzt man für n den Wert 1/a ein, erhält man 4/a.
Punkt hat die Koordinaten: x = 1/a ; y = 4/a
x-Koordinate nach a umstellen und in y-Koordinate einsetzen
a = 1/x
y = 4/(1/x) = 4x
=> Ortskurve ist o(x) = 4x
Hallo Susanne,
mal sehen, ob ich das noch hinbekomme:
ich schreibe * um 'mal' zu kennzeichnen.
Dann sieht das etwas übersichtlicher aus.
Für die Funktionenschar fa mit fa(x) = a^2 * x^3 - 6a * x^2 + 9 * x sollen die Hochpunkte berechnet werden.
zunächst: a ist 'irgendeine Konstante', die ich wie eine 'normale' Zahl behandeln kann. x ist die eigentliche Funktionsvariable.
Weil x weder im Nenner, noch als negative Potenz auftaucht, brauche ich bezüglich des Definitionsbereichs keine Besonderheiten/Einschränkungen beachten.
Sonderfall a=0:
für a=0 ist f0(x) = 0 * x^3 - 0 * x^2 + 9 * x |
f0(x) = 9 * x. Dies ist der Graph einer Geraden durch den Ursprung mit der Steigung 9.
Hier gibt es keine Hochpunkte weil die Funktion (streng) monoton ansteigt.
alle weiteren Überlegungen gelten für a0
Dann "Kochrezept"
* Punkte mit waagrechter Tangente finden für Extremstellen
* gefundene Stellen auf Hoch-, Tief-, oder Wendepunkte untersuchen. Da nur Hochpunkte gefragt sind, die anderen Fundstellen ignorieren.
1) Ableitungen
f'a(x) = 3a^2 * x^2 - 12a * x + 9
f''a(x) = 6a^2 * x - 12 Hier ist der Fehler.
Richtig:
f''a(x) = 6a^2 * x - 12a
2) Punkte mit waagrechter Tangente: f'a(x) = 0
3a^2 * x^2 - 12a * x + 9 = 0 |:3
a^2 * x^2 - 4a * x + 3 = 0 |: a^2 (zulässig, da a0 ist)
x^2 - (4/a) * x + (3/a^2) |pq-Formel
p: -(4/a), -(p/2): 2/a, q: 3/a^2
x1: 2/a + sqrt(4/a^2 - 3/a^2) = 2/a + sqrt(1/a^2) = 2/a + 1/a = 3/a
x2: 2/a - sqrt(4/a^2 - 3/a^2) = 2/a - sqrt(1/a^2) = 2/a - 1/a = 1/a
Extrempunkte bei x1: 3/a und x2: 1/a
f''a(3/a) = 6a^2 * 3/a - 12= 18 * a - 12 = 6(3 * a - 4)
Für a < 4/3 wird 2. Ableitung negativ -> Hochpunkt an der Stelle x1: 3/a
f''a(1/a) = 6a^2 * 1/a - 12 = 6 * a - 12 = 6(a - 2)
Für a < 2 wird 2. Ableitung negativ -> Hochpunkt an der Stelle x2: 1/a
Hoffentlich habe ich mich nicht vertan.
EDIT:
Habe völlig überlesen, dass a > 0 vorgegeben war, dann wäre die Berücksichtigung a = 0 nicht notwendig gewesen.
Habe mich ausserdem verrechnet.
Bei der 2. Ableitung ein a unterschlagen... Dann kann der Rest leider auch nicht mehr stimmen.
LG aus dem Schwabenland.
Lösung:
Für Extremwerte bildet man zunächst die erste und zweite Ableitung:
fₐ(x) = a²x³ - 6ax² + 9x
f'ₐ(x) = 3a²x² - 12ax + 9
f''ₐ(x) = 6a²x - 12a
Hochpunkte befinden sich dort, wo die erste Ableitung 0 ist und die zweite Ableitung negativ ist.
Schauen wir zunächst in welchem Bereich die zweite Ableitung negativ ist:
6a²x - 12a < 0 |+12a
6a²x < 12a |:6a² → a² ist immer positiv, keine Vorzeichen-Änderung
x < 2/a
0 = 3a²x² - 12ax + 9 |:3
0 = a²x² - 4ax + 3
x = (-(-4a) ± √((-4a)² - 4(a²)(3))) / (2(a²))
x = (4a ± √(16a² - 12a²)) / (2a²)
x = (4a ± √(4a²)) / (2a²)
x = (4a ± 2a) / (2a²)
x = (2 ± 1) / a
x₁ = 3/a
x₂ = 1/a
Da die zweite Ableitung den Bereich auf x < 2/a eingeschränkt hat, fällt x₁ = 3/a weg und nur x = 1/a bleibt für den Hochpunkt übrig.
Zuletzt setzt man dann noch x = 1/a in fₐ ein um den tatsächlichen Punkt zufinden:
fₐ(x) = a²x³ - 6ax² + 9x
fₐ(1/a) = a²(1/a)³ - 6a(1/a)² + 9(1/a)
fₐ(1/a) = a²/a³ - 6a/a² + 9/a
fₐ(1/a) = 1/a - 6/a + 9/a
fₐ(1/a) = 4/a
Der Hochpunkt liegt also bei (1/a | 4/a).
Da a im Nenner beider Punkte liegt, kann man sagen, dass "je größer a ist, desto niedriger ist der Hochpunkt"
wieso sagt sie immer "echt", reicht es nicht einfach "größer" oder "kleiner" zu sagen? hat sich das iwie so eingebürgert? wenn ja, warum?
Um es von größer/kleiner gleich Null zu unterwcheident
Wieso zeigst du nur einfache Beispiele, nach einer Funktion fünften Grades hat mir dieses Video nicht geholfen. Warte ab
Trassierung und Funktionsschar kapier ich überhaupt nicht.