Отличная задачка. Дошел, что нужно просмотреть углы, но остановился на половине, пошел по пути свойства биссектрисы и сторон треугольника. Зашел в тупик. Если бы видел раннее решение, про которое вы говорили , то пошел бы правильным путем.
Дойдя до уравнения а+b-c=4 уже можно было дать ответ Вспомним, что радиус вписанной окружности равен (а+b-c)/2= 4/2 =2 Теперь по формуле S=pr получаем: S= 2•15=30
∠ACK=∠KCH и ∠HCF=∠FCB ибо CK и СF биссектрисы ∠ACH и ∠BCH. Пусть ∠ACK=∠KCH = α , а ∠HCF=∠FCB = β. Все эти четыре угла в сумме составляют прямой ∠C треугольника ABC. То есть 2α+2β=90°, откуда найдем, что α+β=45°. То есть можем сказать, что ∠ KCH +∠HCF= 45°. Рассмотрим треугольник KCF: в нем имеем ∠FCK=45° и KF=4. По теореме синусов найдем радиус описанной окружности вокруг треугольника KCF. 4/sin(45°)=2R отсюда R=2sqrt(2). Как известно, центр описанной окружности (назовем О) будет лежать на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, отсюда, назвав основание перпендикуляра точкой N получим прямоугольный треугольник OFN с катетом NF =2 (потому что перпендикуляр серединный, то есть сторону разделит на две равные части, отсюда KN=NF=2) и гипотенузой OF = R= 2sqrt(2). По теореме Пифагора, найдем катет ON =2. ON⊥KF, а значит ON⊥AB треугольника ABC, поскольку KF является частью AB. ∠KCF - вписанный угол, равный 45°. А значит центральный ∠KOF = 2∠KCF = 90°. Помимо точек C, K и F описанная окружность вокруг треугольника CKF пересекает сторону CD и в четвертой точке (назовем Е). Четырехугольник CKFE является вписанным в окружность. Докажем, что это трапеция. Достаточно будет того, что FE ∥ СK. Отсюда будет следовать, что CKFE равнобедренная трапеция, поскольку только такую можно вписать в окружность. В прямоугольном треугольнике CKH ∠KCH = α, отсюда ∠СKH = 90°-α. (потому что сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°). ∠ KCE содержит в себе ∠KCH, ∠HCF, ∠FCB, которые в сумме составляют α+2β. Воспользовавшись тем, что α +β=45° получим, что ∠KCE = α+2(45°-α) = 90°-α. Поскольку четырехугольник вписанный, сумма противолежащих углов будет равна 180°. Отсюда ∠KCE+∠KFE =180°. ∠KFE = 180- 90°+α = 90°+α, а тогда смежный ему ∠BFE = 90°-α. Получим, что ∠BFE = ∠СKH = 90°-α. Прямые FE и CK наклонены под одинаковым углом к одной и той же прямой AB, а значит FE ∥ СK , отсюда CKFE - равнобедренная трапеция. А значит KF=CE=4 как боковые стороны равнобедренной трапеции. Треугольники KOF и COE равны по трем сторонам. Треугольник KOF прямоугольный равнобедренный, а значит и COE тоже. То есть ∠ECO = 45° Раз равны треугольники, то равны будут и высоты OL = ON =2, OL⊥BC. Весь ∠ACB составляет 90° , а его часть, ∠ECO = 45°. Значит оставшаяся часть ∠ACO = 45°. Отсюда CO - биссектриса ∠ACB. Точка O равноудалена от сторон AB и CB треугольника ABC на одинаковые расстояния ON и OL соответственно, а значит BO - тоже биссектриса, но уже ∠CBA. O - точка пересечения двух биссектрис углов ∠ACB и ∠CBA треугольника ABC, как известно, третья биссектриса угла ∠BAС в треугольнике ABC придет в ту же точку O, поэтому точка O - точка пересечения трех биссектрис, на которой, как известно, лежит центр вписанной в треугольник окружности. Отсюда доказано, что точка, которая является центром описанной окружности вокруг треугольника KCF совпадает с точкой, которая является центром вписанной окружности в треугольник ABC. А значит, например ON можно считать радиусом вписанной окружности в треугольник ABC. Зная периметр P=30, полупериметр будет p=15, а ON = r =2 (найдено в процессе доказательства) По формуле S= pr получим, что S= 15*2=30.
Практически все задачи сводятся к решению системы уравнений из равенств об одном и том же, полученных разными путями. Вот здесь у нас, школоты, проблемка. Куча данных часто приводить к тождествам. Ньюанс в получении уравнений разными путями, но с теми же искомыми неизвестными.
@ я не против решения) очень даже за. Видимо условие не понял. Треугольник прямоугольный . Периметр 30 см. половина гипотенузы - 4 см. И найти площадь всего.
Наш канал на ДЗЕН: dzen.ru/geometry.
Отличная задачка. Дошел, что нужно просмотреть углы, но остановился на половине, пошел по пути свойства биссектрисы и сторон треугольника. Зашел в тупик. Если бы видел раннее решение, про которое вы говорили , то пошел бы правильным путем.
Дойдя до уравнения а+b-c=4 уже можно было дать ответ
Вспомним, что радиус вписанной окружности равен (а+b-c)/2= 4/2 =2
Теперь по формуле S=pr получаем: S= 2•15=30
Замечательная задача!!
Спасибо.
Спасибо за видео! Очень интересно!
Жлаь, мало поняли красоту задачи. Темнота!!!
Да-а-а… "Задача-ловушка №..." или "Горе от ума"(А.Грибоедов)😢
∠ACK=∠KCH и ∠HCF=∠FCB ибо CK и СF биссектрисы ∠ACH и ∠BCH. Пусть ∠ACK=∠KCH = α , а ∠HCF=∠FCB = β. Все эти четыре угла в сумме составляют прямой ∠C треугольника ABC. То есть 2α+2β=90°, откуда найдем, что α+β=45°. То есть можем сказать, что ∠ KCH +∠HCF= 45°. Рассмотрим треугольник KCF: в нем имеем ∠FCK=45° и KF=4. По теореме синусов найдем радиус описанной окружности вокруг треугольника KCF. 4/sin(45°)=2R отсюда R=2sqrt(2). Как известно, центр описанной окружности (назовем О) будет лежать на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, отсюда, назвав основание перпендикуляра точкой N получим прямоугольный треугольник OFN с катетом NF =2 (потому что перпендикуляр серединный, то есть сторону разделит на две равные части, отсюда KN=NF=2) и гипотенузой OF = R= 2sqrt(2). По теореме Пифагора, найдем катет ON =2. ON⊥KF, а значит ON⊥AB треугольника ABC, поскольку KF является частью AB. ∠KCF - вписанный угол, равный 45°. А значит центральный ∠KOF = 2∠KCF = 90°. Помимо точек C, K и F описанная окружность вокруг треугольника CKF пересекает сторону CD и в четвертой точке (назовем Е). Четырехугольник CKFE является вписанным в окружность. Докажем, что это трапеция. Достаточно будет того, что FE ∥ СK. Отсюда будет следовать, что CKFE равнобедренная трапеция, поскольку только такую можно вписать в окружность. В прямоугольном треугольнике CKH ∠KCH = α, отсюда ∠СKH = 90°-α. (потому что сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°). ∠ KCE содержит в себе ∠KCH, ∠HCF, ∠FCB, которые в сумме составляют α+2β. Воспользовавшись тем, что α +β=45° получим, что ∠KCE = α+2(45°-α) = 90°-α. Поскольку четырехугольник вписанный, сумма противолежащих углов будет равна 180°. Отсюда ∠KCE+∠KFE =180°. ∠KFE = 180- 90°+α = 90°+α, а тогда смежный ему ∠BFE = 90°-α. Получим, что ∠BFE = ∠СKH = 90°-α. Прямые FE и CK наклонены под одинаковым углом к одной и той же прямой AB, а значит FE ∥ СK , отсюда CKFE - равнобедренная трапеция. А значит KF=CE=4 как боковые стороны равнобедренной трапеции. Треугольники KOF и COE равны по трем сторонам. Треугольник KOF прямоугольный равнобедренный, а значит и COE тоже. То есть ∠ECO = 45° Раз равны треугольники, то равны будут и высоты OL = ON =2, OL⊥BC. Весь ∠ACB составляет 90° , а его часть, ∠ECO = 45°. Значит оставшаяся часть ∠ACO = 45°. Отсюда CO - биссектриса ∠ACB. Точка O равноудалена от сторон AB и CB треугольника ABC на одинаковые расстояния ON и OL соответственно, а значит BO - тоже биссектриса, но уже ∠CBA. O - точка пересечения двух биссектрис углов ∠ACB и ∠CBA треугольника ABC, как известно, третья биссектриса угла ∠BAС в треугольнике ABC придет в ту же точку O, поэтому точка O - точка пересечения трех биссектрис, на которой, как известно, лежит центр вписанной в треугольник окружности. Отсюда доказано, что точка, которая является центром описанной окружности вокруг треугольника KCF совпадает с точкой, которая является центром вписанной окружности в треугольник ABC. А значит, например ON можно считать радиусом вписанной окружности в треугольник ABC. Зная периметр P=30, полупериметр будет p=15, а ON = r =2 (найдено в процессе доказательства) По формуле S= pr получим, что S= 15*2=30.
Просто шикарнейшая задача!!!
1. CB=KB=x (тр-к равноб.)
2. AC=AF=y (тр-к равноб.)
3. 2x+2y-4=30; x+y=17; AB=30-(x+y)=13; r=(x+y-AB)/2=(17-13)/2=2; S=rp=2*15=30
Практически все задачи сводятся к решению системы уравнений из равенств об одном и том же, полученных разными путями. Вот здесь у нас, школоты, проблемка. Куча данных часто приводить к тождествам. Ньюанс в получении уравнений разными путями, но с теми же искомыми неизвестными.
Пытаюсь найти ошибку в решении своем
Система выводится вроде простая
a+b=22
a*a+b*b=64
a*b=s*2
Но решения иррациональные . что не так?
KH = 12/13
Угол с же прямой . зачем огород городить с треугольниками
Вы просто не поняли решения. Решение абсолютно верное. Это олимпиданая задача. Вы должны выразить 4 через a,b,c
@ я не против решения) очень даже за. Видимо условие не понял. Треугольник прямоугольный . Периметр 30 см. половина гипотенузы - 4 см. И найти площадь всего.
Одна из моих задачек сообразить, что и для какого класса. Надо составить табличку допустимых способов решений для каждого класса.
Есть идеи как решить по другому?
Вы решайте любым, это информация для учителей.
@@ДмитрийИвашкевич-я8тпочему не 8 гипотенуза ?
Не совсем понял почему гипотенуза не равна 8. Вроде две половинки по 4 в сумме которые дают 8. Или не так
@@GeometriaValeriyKazakov нет, это ролики для меня. Учителям ничего не нужно кроме школьной заученной программы. Почти всем.