Парадокс раскрывает, что недостаточно сказать "случайная хорда", что кажется естественным. Нужно еще и указать, что именно в ее распределении случайно и по какой плотности распределения. В ролике рассмотрены три варианта с равномерной плотностью распределения случайной величины. Трех разных случайных величин и закономерно разный результат.
Я к такому выводу пришёл: Надо изначально признать или договориться, что правильнее будет, когда при большой выборке случайных хорд, круг по его площади будет равномерно заштрихован (плотность штриховки одинакова). В таком случае подходит больше всего 3 вариант с вероятностью 1/2. Т.к. только в этом случае штриховка будет равномерной по всей площади круга (хорды перпендикулярно радиусу и равномерно случайным образом распределены между собой по этому же радиусу - плотность штриховки одинакова по всему полукругу). В 1 варианте при большой выборке плотность штриховки будет увеличиваться ближе к периферии, т.к. при равномерном распределении точек на окружности, кол-во хорд будет гуще там, где их длина становится меньше, т.е. ближе к периферии, вот и вероятность уже меньше для больших хорд и получается 1/3 (кстати для первого варианта неправильно расчитана вероятность, 1/3 это вероятность хорд с длиной более корня из 3 при единичном радиусе - вероятность хорд длиннее стороны вписанного равностороннего треугольника). Во втором варианте, когда выбирается случайно точка на всей площади круга и через нее проводится хорда, плотность штриховки от хорд в центре будет ещё меньше, чем при 1 варианте , т.к. хорды проведенные во внешнем кольце попадают только на площадь этого кольца, а хорды проведенные в центральном круге попадают так же и на площадь кольца. Поэтому это не равномерное распределение хорд по площади круга. Хотя сами точки из которых проводятся хорды распределены равеомерно по площади круга, но условие что должны строить только хорды в которых эта точка является серединой, изменило равномерность распределения хорд по площади круга.
Я четвёртый способ придумал: возьмём случайную точку на окружности, проведём касательную, от этой касательной проведём отрезок под случайным углом (0-90 градусов) внутрь окружности. Соответственно при угле менее 60градусов длина хорды будет меньше радиуса, т е вероятность уже наоборот: 2/3, что хорда меньше 1, и 1/3 что хорда больше 1 😂😂 По сути правильнее первый способ, как наиболее соответствующий условию задачи: окружность а не круг, более равномерно распределение точек
Есть более наглядный пример этого парадокса, чем с хордами. Он приводится в этом ua-cam.com/video/xy6xXEhbGa0/v-deo.html ролике (английский). Представим себе фабрику, производящую деревянные кубики со стороной кубика от 1 до 3 футов. Если спросим, какова вероятность, что случайный кубик будет иметь сторону от 1 до 2 футов, то получим очевидный ответ 1/2. Если переформулируем вопрос и спросим, какова вероятность, что случайный кубик будет иметь площадь стороны от 1 до 4 квадратных футов, то получим ответ 3/8. Если спросим, какова вероятность, что случайный кубик будет иметь объем от 1 до 8 кубических футов, то получим ответ 7/26.
Мне кажется, разница между первым и вторым ответом, в том, что в первом случае, случайная точка выбирается на окружности, во втором случае - в круге. А теперь нужно подумать, где логика неравнозначности этих случайностей)
Мне кажется этот парадокс вытекает из нашего стремления рассматривать бесконечности так же как и простые числа. Между 0 и 1 столько же точек сколько между 1 и 1/2. А мы тут говорим: раз у нас дуга в три раза короче, то и хорд лежащих на ней в 3 раза меньше. Но это не так, там столько же хорд - бесконечность
...проще говоря - это если подбрасывать монетку (орёл/решка"="2 варианта), но это не значит, что подкинув её 2 раза выпадет и то и то, может выпасть и 5 и 7 и т.д. раз одно и то же, согласны?! ...дело в том, что при каждом подкидывании "шанс" 1/2 (50/50), но почему то подавляющее большинство думают, что это "цикличное" действие...
В первом случае (метод двух точек на окружности) первая точка располагается на окружности случайным образом, а вторая уже нет. Это можно увидеть, если из первой точки провести бесконечное количество случайных прямых и рассчитать плотность вероятности пересечения окружности как функцию угла. Во втором случае (площади круга и кольца) математически не обоснован переход от переменной расстояния от центра окружности к ней же, возведенной в квадрат. Поэтому третий вариант точнее, хотя это нужно доказывать.
Все варианты правильные. Зависит от того, какой выбрать метод подбора точек. Мы упустили из виду, что мы ДУМАЕМ, что вроде одинаково бросаем шарики во всех трех случаях. Но это не так. Тут нужно изменить условия постановки задачи и выбрать конкретные условия и всё встанет на свои места.
"Парадокс" Бертрана - это не математических парадокс, а не доработка терминологии. Здесь нету ни какого парадокса - здесь есть не совсем точные рассуждения. Вот смотрите: рассмотрим игральную кость. В ней выпадание 6 получается с вероятностью 1/6. Потому что есть 6 вариантов и нужный только один - поэтому и 1/6. Но есть мы мозьмём не кубик, а параллелограм, то вариантов тоже будет шесть, но выпадание 6-ки уже не будет 1/6 - думаю это очевидно. Если 6-ка будет на большей стороне, то вероятность будет больше 1/6, а если будет на меньшей - то меньше. Возникает вопрос, а как вычислить точную вероятность в этом случает. А в этом случае нужно знать распределение плотностей вероятности. Когда кубик - мы точно знаем, что все вероятности равнозначны, из-за симметрии. А если не равнозначные. Получается, что в "парадоксе" Бертрана забыли указать как распределены плотности вероятностей распределения хорд. В первом примере ведущий сказал, что начальная точка равновероятно попкадает на окружность. А если нет. Во втором случает - равноверноятно попадает в круг. А если нет. В самой задаче сказано, что ходы случайно распределены. Но это ни чего не значит. Термин "случайно" обозначает какое-то конкретное действие по выбору, в зависимости от объекта, к которому этот термин применён. Если мы говорим про игральную кость, то случайно обозначает, что мы должны кость подкинуть и сильно закрутить. Если же мы кость не будет подкидывать и закручивать, а аккурано ложить на поверхность - то это уже не случайно. НО это касается игральной кости. А если это касается объекта Х - то это обозначает, какое-то конкретное действие связанное с объектом Х. И этих действий может быть много. Что и произошло с "парадоксом" Бертрана.
Я тоже закодил. Но брал хорды выбирая две случайные точки на окружности. То есть, как в первом примере. Считал уже не шестиугольником, а формулами, получилась одна треть на длительной дистанции. Из 10 000 попыток хорда была меньше единицы в 3325 случаях, и больше единицы в 6675.
Проблема в том, что мы не знаем что такое "случайная хорда". Тут вопрос в распределении вероятностей. И этого в задаче не указано. Понятие "случайная хорда" мы вынужденно подменяем хордой построенной определенным методам по каким-то другим случайным данным. А равномерное распределение некоей случайной величины x вовсе не означает что мы получим равномерное распределение величины F(x), где F - некая функция. Поэтому если мы будем брать хорду построенную на двух случайных точках на окружности с равномерным распределением, то получающиеся случайные хорды уже не будут иметь равномерного распределения. И если под "случайной хордой" подразумевать хорду построенную случайно с равномерным распределением самих хорд, то верным будет последний вариант, о котором говорится в ролике. Т.е. в таком случае Ваш код изначально был неверен, ну и соответственно неверный код даст и неверный результат. Т.е. для хорд построенных по 2 случайным точкам на окружности с равномерным распределением этих точек Вы закодили и посчитали все верно. Но к сожалению сами эти хорды при данном раскладе уже не имеют равномерного распределения.
@@КириллАнопченко Нет. Псевдослучайность не должна оказывать какого-то сильного эффекта. Я про распределение. Ты выбираешь 2 случайные точки на окружности с равномерным распределением, но получающиеся хорды уже имеют неравномерное распределение по площади круга. попробуй закодить такое: Выбираем по прежнему 2 случайные точки на окружности, рисуем хорду попиксельно таким образом, что если пиксель относится к хорде то его яркость увеличивается на 1 (или на другую маленькую величину). А после отрисовки достаточного кол-ва хорд взгляни на получившийся рисунок. Средняя яркость пикселей ближе к центру будет заметно отличаться от средней яркости пикселей у краев. Если закодить случайные хорды по 2 варианту отличие будет еще заметнее, а если по 3 - то яркость внутри круга уже будет почти равномерной.
3-й способ единственно верный потому, что мы проводим хорду одним движением по прямой, при котором все остальные потенциальные хорды надо считать параллельными фактически проведенной. А значит достаточно провести перпендикулярную к хорде прямую (радиус или диаметр) и рассматривать точку пересечения с хордой как одномерную проекцию хорды на одномерное пространство всевозможных хорд
Проведем мысленный эксперимент. Как и предлагает Алексей Фролов в смоем космическом комментарии, представим что наша окружность фиксированного радиуса расположен в центре бесконечной плоскости. Мы бросаем по две случайные точки на эту плоскость и проводим через них линию, в случаи если линия, чудесным образом, пересекает окружность, мы считаем что произошло случайное событие - возникла новая случайная хорда. Какова вероятность того что длина случайной хорды меньше радиуса? Как посчитать? Немного упростим. При построении очередной случайной прямой, мы всегда можем провести перпендикуляр к этой прямой от центра окружности. В свою очередь, очевидно, что наше событие возникает только тогда, когда точка пересечения перпендикуляра и прямой удалена от центра окружности не далее чем на радиус окружности. Также очевидно, что в случае если событие наступило, случайная прямая пересекает перпендикуляр (радиус) в случайном месте. Это рассуждение полностью сводится к третьему способу решения задачи предложенном в ролике. Также, я поставил численные эксперимент. Сходится.
Хотел написать про 3 способ,потом просчитал вариант немного дальше и понял почему так: Типо представьте круг,закрашенный предположи черным цветом.Представьте корзинку для опытов(из которой очень удобно доставать хорды) теперь,я предлагаю разрезать этот круг на хорды с 0 толщиной(проще простого) и закинуть это все в корзинку,а потом закрытыми глазами как в лото доставать по 1.Очевидно,вероятность достать нужную хорду равна количеству хорд меньшей единицы поделить на количество всех хорд.Теперь главное: все зависит от того,как вы будете резать этот круг(кстати это очень точно доказывает,что число ответов в этой задаче не 3 как в видео,а бесконечность) Типо чтобы получить первый ответ,нужно чикать окружность прямыми,проходящими через 1 точку под всеми возможными углами(очевидно).Чтобы получить второй ответ можно,но построение не будет подобным тому,что делали в видео,т.к точек в круге очевидно больше чем хорд)чтобы получить третий ответ,нужно просто разрезать круг всевозможными параллельными линиями горизонту.Очевидно после любого разрезания будет оказываться,что вероятность равна количеству нужных хорд делить на количество всех хорд,т.к,повторюсь,мы все это бросаем в корзинку.Итог: все зависит от того,как вы будете резать.Кстати правило гласит,чтобы вы резали ТОЛЬКО ПРЯМЫМИ ЛИНИЯМИ,а то получатся хорды больше чем 2R.
Первый вариант сразу нет. Второй ближе к истине. Да второй. Опыты проводились? Какой результат? Почему выбрал второй, а не третий, по условию вроде как дана длина хорды, но вероятность распределена в площади круга, поэтому и считать вероятность надо через площадь
Это соображение не устраняет парадокса. Можно в условии указать больше или равно или меньше или равно, а, так как ширина хорды равна нулю, то можно считать, что хорд, равных единице, нет, вообще.
Первый способ неверен, поскольку хорды строятся веером, плотность покрытия площади круга выше у вершины пучка, а значит короткие хорды находятся в более выигрышном положении по отношению к длинным, их "больше входит" ) вероятность завышена. Третий способ неверен, потому что жестко выбран радиус и оценка вероятности проводится только в пучке резов, перпендикулярных ему. Это выгодно для длинных хорд (в зону их "влияния" отходят края круга, которые при другом выборе радиуса по праву принадлежали бы коротким хордам), вероятность для коротких хорд занижена. Второй расчет справедлив. Первый и третий приводятся к нему, если мы избавимся от неравномерности сечения пучками хорд, вращая круг.
Второй и третий варианты-неправильные.Мы берем точку внутри круга и две точки на окружности равноудаленные от нее и лежащие с ней на одной прямой.Но если мы берем точку внутри круга то чем дальше она от центра тем больше вероятность что эти две точки выпадут.То есть конечно вероятности всегда равны 0 но если мы возьмем производную суммы вероятностей то всё будет именно так. Почитав википедию и послушав еще раз условие задачи уточняю: эти рассуждения верны только если мы случайным образом выбираем точки на окружности, если мы случайным образом выбираем саму хорду , то я думаю третье решение будет наверное верным, а может второе.Ну это если мы её выбираем как случайную прямую.
Вероятность по первому способу (1/3) более правильная. Так как другие способы имеют меньшие вероятности и по сути являются частями (подмножествами) одного большего множества решений (большей вероятности). Другими словами, нельзя считать подмножество всем множеством, если определенно известно что это подмножество :)
Долго думал, как можно было бы реализовать этот эксперимент на практике... Пока ничего не придумал. Но интуитивно кажется, что второй способ самый корректный.
Предлагаю взглянуть на это под другим углом:) В задаче указано, что хорда выбирается случайно. Как именно случайно не указано. Кто то начнёт кидать точки в радиус кто то соломинки, это не важно. Методов выбрать хорду бесконечное множество. Что бы решить задачу, нужно знать много о мире в котором она возникла. Устройство психики людей, и какие из множества методов с большей вероятностью они предпочтут. Нужно знать так же с какой вероятностью люди начнут пытаться сочетать методы и пробовать выбирать хорды. Пренебречь тем множеством людей которые пытаются решить эту задачу в уме и хорды не выбирают. Равно как и исключить тех людей, которые в действительности не имели дел ни с окружностями ни с хордами. Учесть те выборы хорд, которые совершали не люди. Зная все это, а так же то сколько и каких попыток уже было, становится понятным, что некий конечный результат, указывающий на значение вероятности все же есть. Но из-за технического не обладания данными, его невозможно вычислить. Без нашего ведома этот процесс работает и с течением времени становится все точнее и точнее. И тут насколько могу понимать нужно хорошо дружить с трудами Пуанкаре и обладать вычислительными способностями бога;) но мне видится главным, что по своей сути условия задачи достаточно конкретны что бы иметь единственное конечное решение в нашей вселенной.
Андрей Васильев , видимо, все зависит от того, как мозг человека обрабатывает зрительный сигнал, т.е. какое понятие равномерности скрыто в системе "глаза-мозг".
Послушайте! Это же не физика, а математика. В математике не имеет значения никакой субъективный фактор. Способ задания хорды не имеет значения. Имеет значение, чтобы были учтены все возможные хорды. Ответы не получаются одинаковыми либо, потому что где-то есть ошибка, либо мы имеем дело с чудом, которое нарушает законы мышления и логики. Ошибок я не вижу, а признавать возможность чуда не хочется, но, может придется? Я допускаю, что способы задания хорды не исчерпывают всех возможных хорд. Но моего соображения не хватает, чтобы это показать. Кстати, в википедии выбран метод, которого в видео не было.
А почему бы не произвести практический эксперимент? Напишем программу, которая будет рисовать хорду случайно на окружности. Сделав огромное кол-во таких операций, получим результат, который точно должен одним из этих ответов (понятно, что приблизительно)
+Андрей Щетников - По определению хорды - выбирать случайным образом две точки на окружности. Отбрасывать повторяющиеся хорды. Считать все события и благоприятные события. Поскольку компьтер оперирует конечными величинами - число точек на окружности конечно, и при желании можно перебрать все хорды, посчитать их длины за разумное время. Результат будет приближенным, однако перепутать приближение к 1/3 и к 1/4 сложно.
xlenchik не совсем согласна на счёт того, что число точек на окружности конечно. Число точек может стремиться к бесконечности, так как по определению образующая окружности состоит из точек, число которых стремиться к бесконечности, в то время как площади этих точек тоже стремятся к бесконечности По этому правильнее будет сказать, что конечно только то число точек, площади которых точно известны Хотя на результат эксперимента это практически никак не повлияет
Я написал прогу для случая случайного выбора двух точек на окружности и получил 1/3.Вопрос в том что если бы я случайно выбирал прямые равномерно распределенные по пространству я бы получил другой ответ.
А какова вероятность, что случайным образом проведенная хорда окажется диаметром? 1) Согласно определению, хорда соединяет две точки окружности. Фиксируем первый конец хорды. Какова вероятность из бесконечного числа точек выбрать вторую точно напротив? вероятность равна 1/ ∞ = 0. 2) Число достоверных событий = количество всех хорд = ∞. Число благоприятных событий = количество всех диаметров = ∞. Вероятность = ∞/ ∞ = 1? Софистика. Можно доказать что угодно. На школьном уровне определения понятия вероятность задача не корректна.
Вообще-то понятие меры множества в данном случае является интуитивно понятным. А строгое колмогоровское определение вероятности основывается на этом понятии. Так что здесь ответ конечно 0 (если только вы не организовали процесс таким образом, что все хорды проводятся через центр окружности).
да, формально соглашусь, ноль. Поэтому диаметров не существует. Хотя их бесконечно много. Если же попросить любого человека, не знакомого с предысторией вопроса, провести случайным образом 100 или 1000 хорд, он рано или поздно построит диаметр, и вероятность по здравому смыслу не ноль. Без определения вероятности для множеств мощности континуум разговор не корректен.
Вы не объяснили в ролике причину возникновения разных "ответов" у этой задачи. Школьник, на которого видео ориентировано, додуматься до объяснения самостоятельно не сможет, даже если он будущий колмогоров - не хватает математической базы. В итоге математика сводится на уровень карточных фокусов. С удовольствием смотрю ваши ролики. Думаю было бы логично и методически верно снять продолжение этого урока. Дать хотя бы обзорно школьникам понимание что такое "взрослая" теория вероятностей.
Ежу понятно, что в первом и втором случаях "парадокс" - не парадокс, а банальных обман. Заключается в первом случае в том, что при расчетах берется "для простоты" одна точка на окружности. Но нужно учитывать, что при перемещении этой точки по окружности, количество хорд, которые больше радиуса будут задваиваться чаще, чем хорды длиной меньше радиуса., кратно отношению синего сектора к зеленому. Во втором случае подмена происходит похожим способом, но этой случай даже нелепо разбирать, ибо автор видео вам рисует все что угодно, но не хорды. Ведь хорда - это по определению - линия, соединяющая две точки кривой, а не как у автора, проходящая через множества точек внутри окружности.
первый способ не отвечает условиям задачи, 2 и 3 отличаются способом вычисления вероятности выпадения длинны хорды от 0 до 1. Подумав пару минут понял что без бутылки тут не разобраться но вероятный ответ - правильный 3й вариант!
Третій це ймовірність перпендикулярних радіусу хорд заданих однією випадковою точкою на радіусі. Другий спосіб знаходження зони ймовірних точок з хордою менше одиниці. Перший це ймовірність знаходження другої точки відносно першої розташованою колі з потрібною величиною. Який тут парадокс.
Олександр Шпак , парадокс в тім, що ці імовірності різні, хоча інтуїтивно здається, що відповідь повинна бути одна. Якщо симетричну монету підкидати нескінченну кількість разів, то частота появи орла буде прямувати до 1/2. Питання: до якого числа буде прямувати імовірність з даної задачі: якщо нескінченну кількість разів проводити експеримент? Нехай є 1000 людей й кожного з них попросити провести 10 хорд. Яка буде частота, ближче до якого з цих розв'язків?
Да вы наверное издеваетесь. Задача Бртрана - элементарная задача из теории вероятностей. Даже я совсем не математик решил её за 5 минут. Кстати, все три подхода дают неправельные результаты. Если взять любой учебник по теории вероятностей, то на первых страницах 3-5 будет дано объяснение, почему так вычислять вероятности нельзя. Ну и вы будите смеяться, но распределение хорд по длинам НЕРАВНОМЕРНОЕ!!! Ну и подсказка как её решить правильно. Надо остановиться на правильном рассуждении о равномерном распредлении точек по окружности и потом применить теорму Пифагора для прямоугольного треугольника и всё у вас получится.
Ну тут вссё просто. Надо вспомнить как изобреталась вероятность. А она начиналась с подбрасывания монеты и броска игральной кости. Причём были сказаны замечательные слова о том чтобы получилась вероятность монета и игральная кость должны быть ЧЕСТНЫМИ. Что это значит? Ну, например, у меня есть монета которая почти всегда выпадает орлом вверх просто потому что я приклеил кусок жвачки к одной стороне. Понятно, что от такой монены при изобретении вероятности отказались. У честной монеты не должно быть неравенства между сторонами, да и у игральной кости любая сторона должна иметь равные права оказаться сверху со всеми остальными, только тогда получится, как я это называю, теоретическая вероятность. Ну а почему для хорды мы должны делать исключение? Если мы хотим получить теоретическую вероятность, то хорда тоже должна быть честной. Хорда - это всего лишь дветочки на окружности. Значит, чтобы хорда была честной надо чтобы на окружности любая точка имела равные права со всеми остальными чтобы быть точкой хорды. Вот мы и получили равномерное расрпределение. Если у нас есть непрерываная случайная величина с равномерным распределением, то мы знаем как найти вероятность попасть на какой-то участок: надо просто разделить длину этого участка на всю длину. Вот теперь у нас есть всё чтобы решить задачу Бертрана правильно. Но это совсем не интересно. Ну получим мы одно число и что? Какая от этого польза? Мы лучше решим такую задачку. Найти вероятность того, что случайно выбранная хорда будет иметь длину больше наперёд заданного числа L. Для этого выбираем одну точку на окружности и смотрим, где должна находиться вторая точка, чтобы длина хорды была больше L. Видно, что это непрерывный кусочек окружности. Измеряем его длину и делим на длину окружности. Получаем ответ: вероятность равна 2 делённое на пи и умноженное на arccos(L/D), где D это диаметр окружности. Ну а теперь можно получить и функцию распределения хорд по длинам и плотность распределения и даже можно подставить данные задчи Бертрана и получить правильный ответ, причём один, а не два и не три. Кстати, я сделал три различных симуляции для плотности распределения и получилось отличное совпадение с теорией. Если будут ещё вопросы, добро пожаловть.
наверное - никакую из трех процедур нельзя назвать более правильной, так как мы всегда ограничиваем случайности,делая их псевдо случайностями. При полностью случайном выборе точка может упасть и на Солнце и в Большую Медведицу... мелко как-то плаваем, все пытаемся попасть в круг, да на линию.... а это не случайность в чистом виде, а элемент намеренности.
Парадокс раскрывает, что недостаточно сказать "случайная хорда", что кажется естественным. Нужно еще и указать, что именно в ее распределении случайно и по какой плотности распределения.
В ролике рассмотрены три варианта с равномерной плотностью распределения случайной величины. Трех разных случайных величин и закономерно разный результат.
Я к такому выводу пришёл:
Надо изначально признать или договориться, что правильнее будет, когда при большой выборке случайных хорд, круг по его площади будет равномерно заштрихован (плотность штриховки одинакова).
В таком случае подходит больше всего 3 вариант с вероятностью 1/2. Т.к. только в этом случае штриховка будет равномерной по всей площади круга (хорды перпендикулярно радиусу и равномерно случайным образом распределены между собой по этому же радиусу - плотность штриховки одинакова по всему полукругу).
В 1 варианте при большой выборке плотность штриховки будет увеличиваться ближе к периферии, т.к. при равномерном распределении точек на окружности, кол-во хорд будет гуще там, где их длина становится меньше, т.е. ближе к периферии, вот и вероятность уже меньше для больших хорд и получается 1/3 (кстати для первого варианта неправильно расчитана вероятность, 1/3 это вероятность хорд с длиной более корня из 3 при единичном радиусе - вероятность хорд длиннее стороны вписанного равностороннего треугольника).
Во втором варианте, когда выбирается случайно точка на всей площади круга и через нее проводится хорда, плотность штриховки от хорд в центре будет ещё меньше, чем при 1 варианте , т.к. хорды проведенные во внешнем кольце попадают только на площадь этого кольца, а хорды проведенные в центральном круге попадают так же и на площадь кольца. Поэтому это не равномерное распределение хорд по площади круга. Хотя сами точки из которых проводятся хорды распределены равеомерно по площади круга, но условие что должны строить только хорды в которых эта точка является серединой, изменило равномерность распределения хорд по площади круга.
Спасибо за понятное и наглядное объяснение парадокса Бертрана
Я четвёртый способ придумал: возьмём случайную точку на окружности, проведём касательную, от этой касательной проведём отрезок под случайным углом (0-90 градусов) внутрь окружности. Соответственно при угле менее 60градусов длина хорды будет меньше радиуса, т е вероятность уже наоборот: 2/3, что хорда меньше 1, и 1/3 что хорда больше 1 😂😂
По сути правильнее первый способ, как наиболее соответствующий условию задачи: окружность а не круг, более равномерно распределение точек
РЕСПЕЕЕКТ, очень долго бился, вы мне помогли, спасибо!
Есть более наглядный пример этого парадокса, чем с хордами. Он приводится в этом ua-cam.com/video/xy6xXEhbGa0/v-deo.html ролике (английский).
Представим себе фабрику, производящую деревянные кубики со стороной кубика от 1 до 3 футов.
Если спросим, какова вероятность, что случайный кубик будет иметь сторону от 1 до 2 футов, то получим очевидный ответ 1/2.
Если переформулируем вопрос и спросим, какова вероятность, что случайный кубик будет иметь площадь стороны от 1 до 4 квадратных футов, то получим ответ 3/8.
Если спросим, какова вероятность, что случайный кубик будет иметь объем от 1 до 8 кубических футов, то получим ответ 7/26.
Мне кажется, разница между первым и вторым ответом, в том, что в первом случае, случайная точка выбирается на окружности, во втором случае - в круге. А теперь нужно подумать, где логика неравнозначности этих случайностей)
Мне кажется этот парадокс вытекает из нашего стремления рассматривать бесконечности так же как и простые числа. Между 0 и 1 столько же точек сколько между 1 и 1/2. А мы тут говорим: раз у нас дуга в три раза короче, то и хорд лежащих на ней в 3 раза меньше. Но это не так, там столько же хорд - бесконечность
...проще говоря - это если подбрасывать монетку (орёл/решка"="2 варианта), но это не значит, что подкинув её 2 раза выпадет и то и то, может выпасть и 5 и 7 и т.д. раз одно и то же, согласны?! ...дело в том, что при каждом подкидывании "шанс" 1/2 (50/50), но почему то подавляющее большинство думают, что это "цикличное" действие...
В первом случае (метод двух точек на окружности) первая точка располагается на окружности случайным образом, а вторая уже нет. Это можно увидеть, если из первой точки провести бесконечное количество случайных прямых и рассчитать плотность вероятности пересечения окружности как функцию угла. Во втором случае (площади круга и кольца) математически не обоснован переход от переменной расстояния от центра окружности к ней же, возведенной в квадрат. Поэтому третий вариант точнее, хотя это нужно доказывать.
Все варианты правильные. Зависит от того, какой выбрать метод подбора точек. Мы упустили из виду, что мы ДУМАЕМ, что вроде одинаково бросаем шарики во всех трех случаях. Но это не так. Тут нужно изменить условия постановки задачи и выбрать конкретные условия и всё встанет на свои места.
При данном условии бросания шариков верным будет второй вариант.
"Парадокс" Бертрана - это не математических парадокс, а не доработка терминологии.
Здесь нету ни какого парадокса - здесь есть не совсем точные рассуждения. Вот смотрите: рассмотрим игральную кость. В ней выпадание 6 получается с вероятностью 1/6. Потому что есть 6 вариантов и нужный только один - поэтому и 1/6. Но есть мы мозьмём не кубик, а параллелограм, то вариантов тоже будет шесть, но выпадание 6-ки уже не будет 1/6 - думаю это очевидно. Если 6-ка будет на большей стороне, то вероятность будет больше 1/6, а если будет на меньшей - то меньше. Возникает вопрос, а как вычислить точную вероятность в этом случает. А в этом случае нужно знать распределение плотностей вероятности. Когда кубик - мы точно знаем, что все вероятности равнозначны, из-за симметрии. А если не равнозначные.
Получается, что в "парадоксе" Бертрана забыли указать как распределены плотности вероятностей распределения хорд. В первом примере ведущий сказал, что начальная точка равновероятно попкадает на окружность. А если нет. Во втором случает - равноверноятно попадает в круг. А если нет.
В самой задаче сказано, что ходы случайно распределены. Но это ни чего не значит. Термин "случайно" обозначает какое-то конкретное действие по выбору, в зависимости от объекта, к которому этот термин применён. Если мы говорим про игральную кость, то случайно обозначает, что мы должны кость подкинуть и сильно закрутить. Если же мы кость не будет подкидывать и закручивать, а аккурано ложить на поверхность - то это уже не случайно. НО это касается игральной кости. А если это касается объекта Х - то это обозначает, какое-то конкретное действие связанное с объектом Х. И этих действий может быть много. Что и произошло с "парадоксом" Бертрана.
Я тоже закодил. Но брал хорды выбирая две случайные точки на окружности. То есть, как в первом примере.
Считал уже не шестиугольником, а формулами, получилась одна треть на длительной дистанции. Из 10 000 попыток хорда была меньше единицы в 3325 случаях, и больше единицы в 6675.
Проблема в том, что мы не знаем что такое "случайная хорда". Тут вопрос в распределении вероятностей. И этого в задаче не указано.
Понятие "случайная хорда" мы вынужденно подменяем хордой построенной определенным методам по каким-то другим случайным данным. А равномерное распределение некоей случайной величины x вовсе не означает что мы получим равномерное распределение величины F(x), где F - некая функция. Поэтому если мы будем брать хорду построенную на двух случайных точках на окружности с равномерным распределением, то получающиеся случайные хорды уже не будут иметь равномерного распределения.
И если под "случайной хордой" подразумевать хорду построенную случайно с равномерным распределением самих хорд, то верным будет последний вариант, о котором говорится в ролике.
Т.е. в таком случае Ваш код изначально был неверен, ну и соответственно неверный код даст и неверный результат. Т.е. для хорд построенных по 2 случайным точкам на окружности с равномерным распределением этих точек Вы закодили и посчитали все верно. Но к сожалению сами эти хорды при данном раскладе уже не имеют равномерного распределения.
@@glukmaker я понимаю, они псевдослучайны или что-то в этом роде. Я понял это после кучи экспериментов. Написал штук 5-6 вариаций
@@КириллАнопченко Нет. Псевдослучайность не должна оказывать какого-то сильного эффекта. Я про распределение. Ты выбираешь 2 случайные точки на окружности с равномерным распределением, но получающиеся хорды уже имеют неравномерное распределение по площади круга.
попробуй закодить такое: Выбираем по прежнему 2 случайные точки на окружности, рисуем хорду попиксельно таким образом, что если пиксель относится к хорде то его яркость увеличивается на 1 (или на другую маленькую величину). А после отрисовки достаточного кол-ва хорд взгляни на получившийся рисунок. Средняя яркость пикселей ближе к центру будет заметно отличаться от средней яркости пикселей у краев. Если закодить случайные хорды по 2 варианту отличие будет еще заметнее, а если по 3 - то яркость внутри круга уже будет почти равномерной.
@@glukmaker Я знаю, я рисовал 10к хорд на одной окружности. Центр был почти незаполнен
3-й способ единственно верный потому, что мы проводим хорду одним движением по прямой, при котором все остальные потенциальные хорды надо считать параллельными фактически проведенной. А значит достаточно провести перпендикулярную к хорде прямую (радиус или диаметр) и рассматривать точку пересечения с хордой как одномерную проекцию хорды на одномерное пространство всевозможных хорд
Проведем мысленный эксперимент. Как и предлагает Алексей Фролов в смоем космическом комментарии, представим что наша окружность фиксированного радиуса расположен в центре бесконечной плоскости. Мы бросаем по две случайные точки на эту плоскость и проводим через них линию, в случаи если линия, чудесным образом, пересекает окружность, мы считаем что произошло случайное событие - возникла новая случайная хорда. Какова вероятность того что длина случайной хорды меньше радиуса? Как посчитать? Немного упростим. При построении очередной случайной прямой, мы всегда можем провести перпендикуляр к этой прямой от центра окружности. В свою очередь, очевидно, что наше событие возникает только тогда, когда точка пересечения перпендикуляра и прямой удалена от центра окружности не далее чем на радиус окружности. Также очевидно, что в случае если событие наступило, случайная прямая пересекает перпендикуляр (радиус) в случайном месте. Это рассуждение полностью сводится к третьему способу решения задачи предложенном в ролике. Также, я поставил численные эксперимент. Сходится.
Спасибо
Ведь "имеется окружность", а не круг. Первый способ более правильный с точки зрения постановки задачи.
Хотел написать про 3 способ,потом просчитал вариант немного дальше и понял почему так: Типо представьте круг,закрашенный предположи черным цветом.Представьте корзинку для опытов(из которой очень удобно доставать хорды) теперь,я предлагаю разрезать этот круг на хорды с 0 толщиной(проще простого) и закинуть это все в корзинку,а потом закрытыми глазами как в лото доставать по 1.Очевидно,вероятность достать нужную хорду равна количеству хорд меньшей единицы поделить на количество всех хорд.Теперь главное: все зависит от того,как вы будете резать этот круг(кстати это очень точно доказывает,что число ответов в этой задаче не 3 как в видео,а бесконечность) Типо чтобы получить первый ответ,нужно чикать окружность прямыми,проходящими через 1 точку под всеми возможными углами(очевидно).Чтобы получить второй ответ можно,но построение не будет подобным тому,что делали в видео,т.к точек в круге очевидно больше чем хорд)чтобы получить третий ответ,нужно просто разрезать круг всевозможными параллельными линиями горизонту.Очевидно после любого разрезания будет оказываться,что вероятность равна количеству нужных хорд делить на количество всех хорд,т.к,повторюсь,мы все это бросаем в корзинку.Итог: все зависит от того,как вы будете резать.Кстати правило гласит,чтобы вы резали ТОЛЬКО ПРЯМЫМИ ЛИНИЯМИ,а то получатся хорды больше чем 2R.
Гомотопия вам поможет. Так как вы рассматриваете разные пространства с точки зрения топологии.
Первый вариант сразу нет. Второй ближе к истине. Да второй. Опыты проводились? Какой результат? Почему выбрал второй, а не третий, по условию вроде как дана длина хорды, но вероятность распределена в площади круга, поэтому и считать вероятность надо через площадь
1/3 короче и 2/3 длинее неверно, еще нужно вычесть случаи, когда хорда =1
Это соображение не устраняет парадокса. Можно в условии указать больше или равно или меньше или равно, а, так как ширина хорды равна нулю, то можно считать, что хорд, равных единице, нет, вообще.
Вероятность 1/2, так как числа равномерно занимаю промежуток между 0 и 2. В 50% число от 0 до 1 и в 50% от 1 до 2 ✌😛
А в чём парадокс-то? Лишать систему степеней свободы и смотреть, как меняется вероятность появления системы в том или ином состоянии?
"Естественного" способа нет. В решениях распределения разные. Какое нужно распределение - тот способ и "естественный".
Первый способ неверен, поскольку хорды строятся веером, плотность покрытия площади круга выше у вершины пучка, а значит короткие хорды находятся в более выигрышном положении по отношению к длинным, их "больше входит" ) вероятность завышена.
Третий способ неверен, потому что жестко выбран радиус и оценка вероятности проводится только в пучке резов, перпендикулярных ему. Это выгодно для длинных хорд (в зону их "влияния" отходят края круга, которые при другом выборе радиуса по праву принадлежали бы коротким хордам), вероятность для коротких хорд занижена.
Второй расчет справедлив. Первый и третий приводятся к нему, если мы избавимся от неравномерности сечения пучками хорд, вращая круг.
Второй и третий варианты-неправильные.Мы берем точку внутри круга и две точки на окружности равноудаленные от нее и лежащие с ней на одной прямой.Но если мы берем точку внутри круга то чем дальше она от центра тем больше вероятность что эти две точки выпадут.То есть конечно вероятности всегда равны 0 но если мы возьмем производную суммы вероятностей то всё будет именно так.
Почитав википедию и послушав еще раз условие задачи уточняю: эти рассуждения верны только если мы случайным образом выбираем точки на окружности, если мы случайным образом выбираем саму хорду , то я думаю третье решение будет наверное верным, а может второе.Ну это если мы её выбираем как случайную прямую.
Второе )
Вероятность по первому способу (1/3) более правильная. Так как другие способы имеют меньшие вероятности и по сути являются частями (подмножествами) одного большего множества решений (большей вероятности). Другими словами, нельзя считать подмножество всем множеством, если определенно известно что это подмножество :)
Как доказать, что не существует ещё одного способа, который даёт ещё большую вероятность?
Вообще сложно сказать, являются ли другие множества подможеством одной, так как они бесконечные
Где доказательство?
Однозначный ответ P=1-√3/2 или хорда короче радиуса будет с вероятностью приблизительно 13.397%. Не вижу парадокса.
Долго думал, как можно было бы реализовать этот эксперимент на практике... Пока ничего не придумал. Но интуитивно кажется, что второй способ самый корректный.
Возьми любой коленвал в ДВС. А еще лучше ротор, но он 3 мерный в 2 плоскостях крутится. Короче, купи старую советскую мясорубку поймешь.
Оставлю второй комментарий. Каким образом хорду не получи, проверни её по кругу и считай соотношение площадей.
Предлагаю взглянуть на это под другим углом:) В задаче указано, что хорда выбирается случайно. Как именно случайно не указано. Кто то начнёт кидать точки в радиус кто то соломинки, это не важно. Методов выбрать хорду бесконечное множество. Что бы решить задачу, нужно знать много о мире в котором она возникла. Устройство психики людей, и какие из множества методов с большей вероятностью они предпочтут. Нужно знать так же с какой вероятностью люди начнут пытаться сочетать методы и пробовать выбирать хорды. Пренебречь тем множеством людей которые пытаются решить эту задачу в уме и хорды не выбирают. Равно как и исключить тех людей, которые в действительности не имели дел ни с окружностями ни с хордами. Учесть те выборы хорд, которые совершали не люди. Зная все это, а так же то сколько и каких попыток уже было, становится понятным, что некий конечный результат, указывающий на значение вероятности все же есть. Но из-за технического не обладания данными, его невозможно вычислить. Без нашего ведома этот процесс работает и с течением времени становится все точнее и точнее. И тут насколько могу понимать нужно хорошо дружить с трудами Пуанкаре и обладать вычислительными способностями бога;) но мне видится главным, что по своей сути условия задачи достаточно конкретны что бы иметь единственное конечное решение в нашей вселенной.
Андрей Васильев , видимо, все зависит от того, как мозг человека обрабатывает зрительный сигнал, т.е. какое понятие равномерности скрыто в системе "глаза-мозг".
Послушайте! Это же не физика, а математика. В математике не имеет значения никакой субъективный фактор. Способ задания хорды не имеет значения. Имеет значение, чтобы были учтены все возможные хорды. Ответы не получаются одинаковыми либо, потому что где-то есть ошибка, либо мы имеем дело с чудом, которое нарушает законы мышления и логики. Ошибок я не вижу, а признавать возможность чуда не хочется, но, может придется? Я допускаю, что способы задания хорды не исчерпывают всех возможных хорд. Но моего соображения не хватает, чтобы это показать. Кстати, в википедии выбран метод, которого в видео не было.
Никакого парадокса нет. Нет общепринятого понятия "случайная хорда". А если появится, то и результат будет один единственный.
Если нас интересует равномерное распределение самих хорд - то верным является третий вариант.
А почему бы не произвести практический эксперимент? Напишем программу, которая будет рисовать хорду случайно на окружности. Сделав огромное кол-во таких операций, получим результат, который точно должен одним из этих ответов (понятно, что приблизительно)
Так в том и вопрос: как именно эта программа будет рисовать случайную хорду?
+Андрей Щетников - По определению хорды - выбирать случайным образом две точки на окружности. Отбрасывать повторяющиеся хорды. Считать все события и благоприятные события. Поскольку компьтер оперирует конечными величинами - число точек на окружности конечно, и при желании можно перебрать все хорды, посчитать их длины за разумное время. Результат будет приближенным, однако перепутать приближение к 1/3 и к 1/4 сложно.
xlenchik не совсем согласна на счёт того, что число точек на окружности конечно. Число точек может стремиться к бесконечности, так как по определению образующая окружности состоит из точек, число которых стремиться к бесконечности, в то время как площади этих точек тоже стремятся к бесконечности
По этому правильнее будет сказать, что конечно только то число точек, площади которых точно известны
Хотя на результат эксперимента это практически никак не повлияет
Я написал прогу для случая случайного выбора двух точек на окружности и получил 1/3.Вопрос в том что если бы я случайно выбирал прямые равномерно распределенные по пространству я бы получил другой ответ.
программа будет генерировать не случайные, а псевдослучайные числа
А какова вероятность, что случайным образом проведенная хорда окажется диаметром?
1) Согласно определению, хорда соединяет две точки окружности. Фиксируем первый конец хорды. Какова вероятность из бесконечного числа точек выбрать вторую точно напротив? вероятность равна 1/ ∞ = 0.
2) Число достоверных событий = количество всех хорд = ∞. Число благоприятных событий = количество всех диаметров = ∞. Вероятность = ∞/ ∞ = 1?
Софистика. Можно доказать что угодно.
На школьном уровне определения понятия вероятность задача не корректна.
Вообще-то понятие меры множества в данном случае является интуитивно понятным. А строгое колмогоровское определение вероятности основывается на этом понятии. Так что здесь ответ конечно 0 (если только вы не организовали процесс таким образом, что все хорды проводятся через центр окружности).
да, формально соглашусь, ноль. Поэтому диаметров не существует. Хотя их бесконечно много.
Если же попросить любого человека, не знакомого с предысторией вопроса, провести случайным образом 100 или 1000 хорд, он рано или поздно построит диаметр, и вероятность по здравому смыслу не ноль.
Без определения вероятности для множеств мощности континуум разговор не корректен.
Вы не объяснили в ролике причину возникновения разных "ответов" у этой задачи. Школьник, на которого видео ориентировано, додуматься до объяснения самостоятельно не сможет, даже если он будущий колмогоров - не хватает математической базы. В итоге математика сводится на уровень карточных фокусов.
С удовольствием смотрю ваши ролики. Думаю было бы логично и методически верно снять продолжение этого урока. Дать хотя бы обзорно школьникам понимание что такое "взрослая" теория вероятностей.
xlenchik Не могли бы вы хотя бы намекнуть в чем же причина? И как же правильно решается данный парадокс?
Полностью согласна!
Ежу понятно, что в первом и втором случаях "парадокс" - не парадокс, а банальных обман. Заключается в первом случае в том, что при расчетах берется "для простоты" одна точка на окружности. Но нужно учитывать, что при перемещении этой точки по окружности, количество хорд, которые больше радиуса будут задваиваться чаще, чем хорды длиной меньше радиуса., кратно отношению синего сектора к зеленому. Во втором случае подмена происходит похожим способом, но этой случай даже нелепо разбирать, ибо автор видео вам рисует все что угодно, но не хорды. Ведь хорда - это по определению - линия, соединяющая две точки кривой, а не как у автора, проходящая через множества точек внутри окружности.
первый способ не отвечает условиям задачи, 2 и 3 отличаются способом вычисления вероятности выпадения длинны хорды от 0 до 1. Подумав пару минут понял что без бутылки тут не разобраться но вероятный ответ - правильный 3й вариант!
Вау
Третій це ймовірність перпендикулярних радіусу хорд заданих однією випадковою точкою на радіусі. Другий спосіб знаходження зони ймовірних точок з хордою менше одиниці. Перший це ймовірність знаходження другої точки відносно першої розташованою колі з потрібною величиною. Який тут парадокс.
Олександр Шпак , парадокс в тім, що ці імовірності різні, хоча інтуїтивно здається, що відповідь повинна бути одна. Якщо симетричну монету підкидати нескінченну кількість разів, то частота появи орла буде прямувати до 1/2. Питання: до якого числа буде прямувати імовірність з даної задачі: якщо нескінченну кількість разів проводити експеримент? Нехай є 1000 людей й кожного з них попросити провести 10 хорд. Яка буде частота, ближче до якого з цих розв'язків?
Да вы наверное издеваетесь. Задача Бртрана - элементарная задача из теории вероятностей. Даже я совсем не математик решил её за 5 минут. Кстати, все три подхода дают неправельные результаты. Если взять любой учебник по теории вероятностей, то на первых страницах 3-5 будет дано объяснение, почему так вычислять вероятности нельзя. Ну и вы будите смеяться, но распределение хорд по длинам НЕРАВНОМЕРНОЕ!!! Ну и подсказка как её решить правильно. Надо остановиться на правильном рассуждении о равномерном распредлении точек по окружности и потом применить теорму Пифагора для прямоугольного треугольника и всё у вас получится.
А какой все же правильный? Как применить к точкам прямоугольный треугольник?
Ну тут вссё просто. Надо вспомнить как изобреталась вероятность. А она начиналась с подбрасывания монеты и броска игральной кости. Причём были сказаны замечательные слова о том чтобы получилась вероятность монета и игральная кость должны быть ЧЕСТНЫМИ. Что это значит? Ну, например, у меня есть монета которая почти всегда выпадает орлом вверх просто потому что я приклеил кусок жвачки к одной стороне. Понятно, что от такой монены при изобретении вероятности отказались. У честной монеты не должно быть неравенства между сторонами, да и у игральной кости любая сторона должна иметь равные права оказаться сверху со всеми остальными, только тогда получится, как я это называю, теоретическая вероятность. Ну а почему для хорды мы должны делать исключение? Если мы хотим получить теоретическую вероятность, то хорда тоже должна быть честной. Хорда - это всего лишь дветочки на окружности. Значит, чтобы хорда была честной надо чтобы на окружности любая точка имела равные права со всеми остальными чтобы быть точкой хорды. Вот мы и получили равномерное расрпределение. Если у нас есть непрерываная случайная величина с равномерным распределением, то мы знаем как найти вероятность попасть на какой-то участок: надо просто разделить длину этого участка на всю длину. Вот теперь у нас есть всё чтобы решить задачу Бертрана правильно. Но это совсем не интересно. Ну получим мы одно число и что? Какая от этого польза? Мы лучше решим такую задачку. Найти вероятность того, что случайно выбранная хорда будет иметь длину больше наперёд заданного числа L. Для этого выбираем одну точку на окружности и смотрим, где должна находиться вторая точка, чтобы длина хорды была больше L. Видно, что это непрерывный кусочек окружности. Измеряем его длину и делим на длину окружности. Получаем ответ: вероятность равна 2 делённое на пи и умноженное на arccos(L/D), где D это диаметр окружности. Ну а теперь можно получить и функцию распределения хорд по длинам и плотность распределения и даже можно подставить данные задчи Бертрана и получить правильный ответ, причём один, а не два и не три. Кстати, я сделал три различных симуляции для плотности распределения и получилось отличное совпадение с теорией. Если будут ещё вопросы, добро пожаловть.
5:40 не ручку бросаем
с 8 минуты перестал улавливать объяснение роли вероятности
я закодил там 1/3
наверное - никакую из трех процедур нельзя назвать более правильной, так как мы всегда ограничиваем случайности,делая их псевдо случайностями. При полностью случайном выборе точка может упасть и на Солнце и в Большую Медведицу... мелко как-то плаваем, все пытаемся попасть в круг, да на линию.... а это не случайность в чистом виде, а элемент намеренности.