Legge di composizione interna , proprietà distributiva associativa , commutativa .Lez 1/5
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- Опубліковано 23 жов 2024
- Legge di composizione interna , e proprietà distributiva, associativa , commutativa per le operazioni .
Propedeutiche per i concetti di Semigruppo , gruppo , anello e campo .
Il concetto di legge di composizione interna è così importante che merita ogni attenzione allo scopo di mettere in evidenza tutta la generalità .
Prima di parlare di semigruppo , gruppo , anello e campo è importante definire e capire il concetto di legge di composizione interna e le proprietà di cui possono godere alcune leggi .
Si parlerà di proprietà commutativa , proprietà associativa e proprietà distributiva .
Quando si parla di operazione matematica non ci riferiremo solo alle quattro operazioni a cui siamo abituati , ma ci riferiremo ad un concetto astratto molto più generale , e non per forza una data operazione deve agire su due entità numeriche ,, ma anche su oggetti generici di qualsiasi natura .
Parecchi esempi saranno divulgati al fine di concretizzare le regole che a prima vista possono sembrare ostili .
#salvoromeo #strutturealgebriche #leggecomposizione
Prof, per dimostrare che un'operaz non è di composizione interna basta un controesempio (far vedere un caso specifico). Ma per dimostrare che invece lo è bisogna dimostralo. Lo stesso discorso vale per le proprietà. Nel caso della commutatività per l'addizione su N, non basta dire che a+b=b+a; va fatta una dimostrazione .... altrimenti si è solo data una spiegazione della definizione di cosa significhi commutativa....giusto Prof?
Bella lezione, grazie! 😀
Grazie , ma ancora devo rilasciare il continuo .Questa è solo la lezione di antipasto per presentare le principali strutture algebriche .
Ancora grazie per l'apprezzamento .
Abbiamo detto che l'elevamento a potenza non gode né di proprietà commutativa né associativa: però esiste un solo caso dove è valida quella commutativa: dati due elementi n=2 ed m=4 proviamo ad eseguire la potenza: 2⁴=16 e 4²=16. In questo caso molto strano 2⁴=4². In altri casi no. Allora dobbiamo guardare quale dei due è il maggiore. Con n=2 ed m=3 deduco che 85². Posso provarlo con tanti altri numeri. Ad esempio con n=3 ed m=8. Sicuramente 3^8>8³. E lo posso verificare: 3^8=6561 numero molto spaventoso, o lo lasciamo così come 3^8 oppure portiamolo come equivalente di 9⁴ od 81². Invece 8³=512 anche questo è un pochettino spaventoso meglio esprimerlo come 2^9. Proviamo anche con questo altro esempio dove non vale la proprietà associativa: scelti a caso n=6 m=4 e q=5 è ovvio che n^(m^q)>(n^m)^q.
6^(4^5)=6^1024 mentre (6^4)^5=1296^5=6^20. In conclusione tra gli esponenti 1024>20. Se li volessi in fattori primi 2^10>2²×5. Oppure in notazione scientifica 1,024×10³>2×10.
Esatto 2⁴ oppure 4² sono casi in cui si ha una coincidenza , ma la proprietà commutativa non vale poiché deva valere per ogni coppia di interi naturali diversi da zero .
Anche per la sottrazione la proprietà commutativa non vale. Se cambio di posto il minuendo con il sottraendo ottengo lo stesso modulo del risultato ma con segno opposto. Però stando all'interno degli interi relativi la differenza tra due numeri la posso considerare una somma con l'opposto del sottraendo cioè il segno - non come operatore ma come segno del numero relativo. Quindi n-m=-m+n.
Come ho visto al minuto 37.00 che per la divisione non vale la proprietà distributiva al lato sinistro di una somma o differenza vorrei dimostrarlo dando dei valori a questi termini: a=8; b=15; c=92. Allora se
c÷(a+b)≠c÷a+c÷b vorrei capire quale risultato è maggiore:
92÷(8+15)=92÷23=4
92÷8+92÷15=23÷2+92÷15=
(345+184)÷30=529/30=17 & 19/30
In conclusione
c÷(a+b)c÷a-c÷b.
A cosa serve una "Legge di Composizione Interna"?
Top !
Bellissima lezione, segnalo un piccolo errore a 34:13 dove penso s'intendesse somma e non divisione.
La ringrazio per la segnalazione .Provvederò a mettere un messaggio in evidenza per segnalare la svista .
La ringrazio ancora