@@rv7365 Две параллельные на растоянии 8. На нижней точка А, на верхней точка С, АС=17 Из С радиусом 10 две засечки: 1) внизу 15+6=21 2) внизу 15-6=9 Основание параллелограмма или 1) 21:2=10.5 или 2) 9:2=4.5 В обоих случаях угол А - острый. /А-острый - это что?
1)BHD - прямоугольный с гипотенузой BD=10 и высотой BH=8 и катетом HD=6(как египетский); Sbhd=½*√(10²-8²)*8=24; 2)BCD равновеликий с ACD 3)Отрежем BCD справа и приладим ему равновеликий ACD слева. Получился ещё один прямоугольный треугольник A'BH с гипотенузой A'B=AC=17 и высотой BH=8 Sa'bh=½*√(17²-8²)*8=60; S=24+60=84;
Перпендикуляр, опущенный с точки пересечения диагоналей O на основание AD, равен 4. AO равно 17/2, а DO 10/2 . По теореме Пифагора находим AD равным 10,5. Отсюда площадь параллелограмма равна 84.
Получаются два ответа/варианта (точка B левее точки D; и наоборот) и оба правильные. Решал двумя способами: быстрым и долгим. Обозначим AB = a, AD = b (основание), и пусть угол будет phi ( и всегда острым). Пусть BD = w =10, и AC = d =17. Высота BH = h = 8. Решаем в общем виде - формулы будут красивыми. По Пифагору имеем [1]: b + a*cos(phi) = sqrt(d^2 - h^2). Для малой диагонали два случая имеются, а именно когда b > a*cos(phi), и когда b < a*cos(phi). По Пифагору имеем либо [2]: b - a*cos(phi) = sqrt( w^2 - h^2), либо [3]: a*cos(phi) - b = sqrt( w^2 - h^2). Сложив [1] и [2] получим после преобразований [4]: b1 = (1/2)*(sqrt(d^2 - h^2) + sqrt(w^2 - h^2)), а вычтя из [1] выражение номер [3], имеем [5]: b2 = (1/2)*(sqrt(d^2 - h^2) - sqrt(w^2 - h^2)). Если подставить цифры получим b1 = 21/2 =10.5, и b2 = 9/2 = 4.5. Теперь интересно посмотреть какие у нас наклонные стороны, и какие углы. Возьмем [1], и либо [2] либо [3]. Возведем в квадрат (правые, левые части) сложим и перегруппируем. Видно что (a*cos(phi)^2 + h^2 = a^2 (ибо h = a *sin(phi)). После небольших манипуляций получим [6]: a^2 = (d^2 + w^2)/2 - b^2. Найдем a1, и а2, ну и углы тоже (приблизительно). У меня получились таким образом следующие два варианта. Первый [7.1]: b1= 10.5; a1= 9.18...; phi_1 = 60.6 (град.); плошадь = 84. Для второго случая получилось [7.2]: b2= 4.5; a2=13.20...; phi_2=37.3 (град.) и площадь = 36. (Кстати a*b*cos(phi)= 47.25 всегда.) Видно что первый паралеллограм более менее привычный, и точка B лежит левее точки D (поэтому и работает формула [2]). А вот второй паралеллограм весьма скособоченный и очень перекошенный: если смотреть на рисунок то точка B лежить теперь правее точки D (имеено поэтому и работает формула [3], а не [2]) Второй способ (немного долговатый) это взять [1], и либо [2] либо [3]. Возведем в квадрат (что мы сделали) и вычесть. Также опять воспользуемся фактом что (a*cos(phi)^2 = a^2 - h^2. А вместо a^2 использовать уравнение [6]. Получим после группировок и тп. следующее биквадратное уравнение [8]: b^4 + (h^2 - (d^2) /2 - (w^2)/ 2)* b^2 + ( (d^2 - w^2)/4 )^2. Дисктиминант может показаться страшным, но там много чего уходит и получается h^4 - (d^2)* h^2 - (w^2)* h^2 + (d^2)*(w^2). А это: (d^2 - h^2)*(w^2 - h^2). Заметьте также что линейный коэффициент не что иное как: (-1/2)(d^2 - h^2 + w^2 - h^2). Т.е. b^2 = (1/2)(1/2)( sqrt(d^2 - h^2) -/+ sqrt(w^2 - h^2))^2. Откуда получаем наши формулы для b, какими они были в выражениях [4] и [5]. ( Также думаю что если угол тупой, то просто замечаем что второй угол будет острым; и таким образом задачу с тупым углом сводим к нашей задаче где угол острый.) Очень интересная, и непростая задача. Спасибо за видео ролик и пищу для размышлений.
Определяем катет с тр-ка , у которого гипотенуза 10 , катет - высота 8 . Тр-к египетский - катет у основания 6 , синус верхнего угла этого тр-ка : Sin a= 6/10=3/5 , Cos(90*-a)=Sin a . Из правого треугольника к этому углу , у которого : верхнее основание , обозначим в , сторона примыкающая к углу (90*-а) равна 5 , сторона противолежащая - 17/2 (у параллелограмма его диагонали делят друг друга пополам) . По теореме косинусов - (17/2)*2=в*2+5*2-2хвх5Cos(90*-a) , подставляя Cos(90*-a)=Sin a=3/5 и преобразовав , получаем уравнение 4в*2-24в-189=0 , в12=(24+-\/24*2+4х4х189)2х4= (24+-60)/8 , в=84/8=41/2 (второй корень имеет отрицательное значение) . Площадь параллелограмма S=вh=(21/2)8=84 . Прошу прощения , рано поставил на паузу , подумал : у маэстро есть простейшее решение - буквенного обозначения не будет . Прием маэстро возьму на вооружение .
Решил через треугольник AOD (О - центр). Диагонали делятся в центре пополам, высота также там будет половина от данной. Основание состоит из двух половинок, разделённые высотой, которые можно найти по Пифагору. Сложим их, и умножим на высоту В итоге сразу же имеем формулу для площади: 8*(sqrt(8.5^2-4^2)+sqrt(5^2-4^2))=84 Собственно, выше уже это предложили.
Но вот что интересно. Если из точки С провести параллельную BD, пусть СС1, то мы получим треугольник DC1C = ABD по 3-му признаку, площадь которого половина площади параллелограмма, площадь ACD тоже равна половине площади параллелограмма, значит площадь большого треугольника АС1С будет равна площади параллелограмма. Боковые стороны у треугольника равны диагоналям параллелограмма 17 и 10 соответственно, высота остаётся 8. Применив для площади формулу половина основания на высоту с одной стороны и формулу Герона с другой основание треугольника АС1, которое равно 2AD, имеет 2 значение 21 и 9, т.е. AD может быть равно 10,5 и 4,5; соответственно площадь 84 и 36. Оснований считать длину 4,5 лишним корнем нет, т.к. высота ВН может приходиться как на сторону AD так и на её продолжение. Следовательно у задачи есть еще одно решение
Спасибо. Это интерсно возникает из того, что тр-к AOD задается двумя сторонами AO и OD и высотой OM не однозначно: в общем случае это два дополняющих тр-ка. Но у меня в описании сказано, что /А - стрый и неоднозначность исчезает.
@@user-xz1zw9jx6u Да, вы правы, при остром A не исчезает, нужно указывать либо угол AOD - тупой, либо точка H лежит внутри отрезка AD. Спасибо, что обнаружили, опубликуем. А adept говорит - простые задачки. У Казакова простых редко бывает!
Так, вроде выкрутился пифагорчиками. Из треугольника НВД второй катед = 6 Основание тогда это х+6 Теперь проведём вторую высоту с точки А на продолжение стороны ВС. Поскольку высоты параллельны то Н1В = АН = х Тогда из второго треугольника у которого гиппотенуза АС 17 и АН1 катед 8 второй катед получается 15. А второй катед это основание + х Итого х+6 + х = 15 откуда х 4.5 Откуда площадь 10,5*8 = 84
Нет, неправильно. Если 2 стороны треугольника имеют одинаковую длину, это не означает, что эти треугольники равны. Третье условие здесь отсутствует. Третье условие - это угол 90 градусов.
Большинство 8-классников решают именно так. Задача на пятерочку. А какое у вас решение, незапутанное. Просто интересно. Вот я лично короче решений поосто не вижу. Все будут на 2 действия длиннее при описании на контрольной. Давайте спосрить.
@@kazakovgeom Нет предмета спора. Я иронично буквально спросил: есть ли более сложное решение, которое выглядит прилично, если не думать о том решении, что в ролике.
Спасибо, Валерий, что исправили описку в заставке, указав размер 17 на нужной диагонали. Убрали мои по этому поводу комментарии, которые я сам хотел удалить. Я не смотрю до конца ваши решения, только рисунок с расставленными буквами, после чего, ставлю на паузу и решаю на бумаге. Потом сравниваю ответ с вашим. В конце и увидел о втором варианте, увидел картинку, в которой вместо диагонали 10, провели диагональ 17, так, что получилась прямоугольная трапеция. Я поставил планшет на паузу и сделал свой рисунок, оставив на месте диагональ 10, и повернув вправо от высоты основание 10,5, таким образом, что часть основания равная 6, оказалась слева, а часть, равная 4,5, справа, потом провёл диагональ 17. Получилось красиво, высота 8, оказалась снаружи от параллелограмма! Ответ тот же 36! В варианте 1, ответ 84.
Если тормозит просмотр, то прямо сейчас открываю на ДЗЕНЕ параллельный. Если по поводу вторгго ответа, то А - острый гарантирует один ответ. Не все атк просто оказывается.
хорошая задача для начинающих. Решал на скорую руку и не вникая вашим методом
Если решать невнимательно, то получим два ответа (читайте комменты). Но есть еще несколько козырных способов. 1) через тр-к AOD и еще 2) ...
@@kazakovgeomтеперь увидел в описании под видео, потому что в условии на самом видео это уточнение отсутствует
@@rv7365
Что увидели?
/А-острый, это что означает?
@@user-xz1zw9jx6u увидел про острый угол, тогда действительно второе решение исключается
@@rv7365
Две параллельные на растоянии 8.
На нижней точка А, на верхней точка С,
АС=17
Из С радиусом 10 две засечки:
1) внизу 15+6=21
2) внизу 15-6=9
Основание параллелограмма или
1) 21:2=10.5
или
2) 9:2=4.5
В обоих случаях
угол А - острый.
/А-острый - это что?
1)BHD - прямоугольный с гипотенузой BD=10 и высотой BH=8 и катетом HD=6(как египетский);
Sbhd=½*√(10²-8²)*8=24;
2)BCD равновеликий с ACD
3)Отрежем BCD справа и приладим ему равновеликий ACD слева. Получился ещё один прямоугольный треугольник A'BH с гипотенузой
A'B=AC=17
и высотой BH=8
Sa'bh=½*√(17²-8²)*8=60;
S=24+60=84;
Перпендикуляр, опущенный с точки пересечения диагоналей O на основание AD, равен 4. AO равно 17/2, а DO 10/2 . По теореме Пифагора находим AD равным 10,5. Отсюда площадь параллелограмма равна 84.
Получаются два ответа/варианта (точка B левее точки D; и наоборот) и оба правильные. Решал двумя способами: быстрым и долгим. Обозначим AB = a, AD = b (основание), и пусть угол будет phi ( и всегда острым). Пусть BD = w =10, и AC = d =17. Высота BH = h = 8. Решаем в общем виде - формулы будут красивыми. По Пифагору имеем [1]: b + a*cos(phi) = sqrt(d^2 - h^2). Для малой диагонали два случая имеются, а именно когда b > a*cos(phi), и когда b < a*cos(phi). По Пифагору имеем либо [2]: b - a*cos(phi) = sqrt( w^2 - h^2), либо [3]: a*cos(phi) - b = sqrt( w^2 - h^2). Сложив [1] и [2] получим после преобразований [4]: b1 = (1/2)*(sqrt(d^2 - h^2) + sqrt(w^2 - h^2)), а вычтя из [1] выражение номер [3], имеем [5]: b2 = (1/2)*(sqrt(d^2 - h^2) - sqrt(w^2 - h^2)). Если подставить цифры получим b1 = 21/2 =10.5, и b2 = 9/2 = 4.5.
Теперь интересно посмотреть какие у нас наклонные стороны, и какие углы. Возьмем [1], и либо [2] либо [3]. Возведем в квадрат (правые, левые части) сложим и перегруппируем. Видно что (a*cos(phi)^2 + h^2 = a^2 (ибо h = a *sin(phi)). После небольших манипуляций получим [6]: a^2 = (d^2 + w^2)/2 - b^2. Найдем a1, и а2, ну и углы тоже (приблизительно). У меня получились таким образом следующие два варианта. Первый [7.1]: b1= 10.5; a1= 9.18...; phi_1 = 60.6 (град.); плошадь = 84. Для второго случая получилось [7.2]: b2= 4.5; a2=13.20...; phi_2=37.3 (град.) и площадь = 36. (Кстати a*b*cos(phi)= 47.25 всегда.) Видно что первый паралеллограм более менее привычный, и точка B лежит левее точки D (поэтому и работает формула [2]). А вот второй паралеллограм весьма скособоченный и очень перекошенный: если смотреть на рисунок то точка B лежить теперь правее точки D (имеено поэтому и работает формула [3], а не [2])
Второй способ (немного долговатый) это взять [1], и либо [2] либо [3]. Возведем в квадрат (что мы сделали) и вычесть. Также опять воспользуемся фактом что (a*cos(phi)^2 = a^2 - h^2. А вместо a^2 использовать уравнение [6]. Получим после группировок и тп. следующее биквадратное уравнение [8]: b^4 + (h^2 - (d^2) /2 - (w^2)/ 2)* b^2 + ( (d^2 - w^2)/4 )^2. Дисктиминант может показаться страшным, но там много чего уходит и получается h^4 - (d^2)* h^2 - (w^2)* h^2 + (d^2)*(w^2). А это: (d^2 - h^2)*(w^2 - h^2). Заметьте также что линейный коэффициент не что иное как: (-1/2)(d^2 - h^2 + w^2 - h^2). Т.е. b^2 = (1/2)(1/2)( sqrt(d^2 - h^2) -/+ sqrt(w^2 - h^2))^2. Откуда получаем наши формулы для b, какими они были в выражениях [4] и [5].
( Также думаю что если угол тупой, то просто замечаем что второй угол будет острым; и таким образом задачу с тупым углом сводим к нашей задаче где угол острый.)
Очень интересная, и непростая задача. Спасибо за видео ролик и пищу для размышлений.
Отлично!
Определяем катет с тр-ка , у которого гипотенуза 10 , катет - высота 8 . Тр-к египетский - катет у основания 6 , синус верхнего угла этого тр-ка : Sin a= 6/10=3/5 , Cos(90*-a)=Sin a . Из правого треугольника к этому углу , у которого : верхнее основание , обозначим в , сторона примыкающая к углу (90*-а) равна 5 , сторона противолежащая - 17/2 (у параллелограмма его диагонали делят друг друга пополам) . По теореме косинусов - (17/2)*2=в*2+5*2-2хвх5Cos(90*-a) , подставляя Cos(90*-a)=Sin a=3/5 и преобразовав , получаем уравнение 4в*2-24в-189=0 , в12=(24+-\/24*2+4х4х189)2х4=
(24+-60)/8 , в=84/8=41/2 (второй корень имеет отрицательное значение) . Площадь параллелограмма
S=вh=(21/2)8=84 . Прошу прощения , рано поставил на паузу , подумал : у маэстро есть простейшее решение - буквенного обозначения не будет . Прием маэстро возьму на вооружение .
Решил через треугольник AOD (О - центр). Диагонали делятся в центре пополам, высота также там будет половина от данной. Основание состоит из двух половинок, разделённые высотой, которые можно найти по Пифагору. Сложим их, и умножим на высоту
В итоге сразу же имеем формулу для площади: 8*(sqrt(8.5^2-4^2)+sqrt(5^2-4^2))=84
Собственно, выше уже это предложили.
Но вот что интересно. Если из точки С провести параллельную BD, пусть СС1, то мы получим треугольник DC1C = ABD по 3-му признаку, площадь которого половина площади параллелограмма, площадь ACD тоже равна половине площади параллелограмма, значит площадь большого треугольника АС1С будет равна площади параллелограмма. Боковые стороны у треугольника равны диагоналям параллелограмма 17 и 10 соответственно, высота остаётся 8. Применив для площади формулу половина основания на высоту с одной стороны и формулу Герона с другой основание треугольника АС1, которое равно 2AD, имеет 2 значение 21 и 9, т.е. AD может быть равно 10,5 и 4,5; соответственно площадь 84 и 36. Оснований считать длину 4,5 лишним корнем нет, т.к. высота ВН может приходиться как на сторону AD так и на её продолжение. Следовательно у задачи есть еще одно решение
Точно. Есть.
Потому что я это вижу.
Спасибо. Это интерсно возникает из того, что тр-к AOD задается двумя сторонами AO и OD и высотой OM не однозначно: в общем случае это два дополняющих тр-ка. Но у меня в описании сказано, что /А - стрый и неоднозначность исчезает.
@@kazakovgeom
Куда исчезает неоднозначность?
@@user-xz1zw9jx6u Да, вы правы, при остром A не исчезает, нужно указывать либо угол AOD - тупой, либо точка H лежит внутри отрезка AD. Спасибо, что обнаружили, опубликуем. А adept говорит - простые задачки. У Казакова простых редко бывает!
Отличная задача.
Так, вроде выкрутился пифагорчиками.
Из треугольника НВД второй катед = 6
Основание тогда это х+6
Теперь проведём вторую высоту с точки А на продолжение стороны ВС. Поскольку высоты параллельны то Н1В = АН = х
Тогда из второго треугольника у которого гиппотенуза АС 17 и АН1 катед 8 второй катед получается 15.
А второй катед это основание + х
Итого х+6 + х = 15 откуда х 4.5
Откуда площадь 10,5*8 = 84
Нет, неправильно. Если 2 стороны треугольника имеют одинаковую длину, это не означает, что эти треугольники равны. Третье условие здесь отсутствует. Третье условие - это угол 90 градусов.
Спасибо. Непонятно, кому вы пишите коммент. У нас речь идет о двух сторонах и ВЫСОТЕ к третьей. То ест даны 3 элемента.
Саиа формула площади параллелограмма выводится через равенства этих треугольников.
Точно!
По катету и гипотенузе.
Решил также. А посложнее и запутаннее можно? )))))
Большинство 8-классников решают именно так. Задача на пятерочку. А какое у вас решение, незапутанное. Просто интересно. Вот я лично короче решений поосто не вижу. Все будут на 2 действия длиннее при описании на контрольной. Давайте спосрить.
@@kazakovgeom
Нет предмета спора. Я иронично буквально спросил: есть ли более сложное решение, которое выглядит прилично, если не думать о том решении, что в ролике.
Спасибо, Валерий, что исправили описку в заставке, указав размер 17 на нужной диагонали. Убрали мои по этому поводу комментарии, которые я сам хотел удалить. Я не смотрю до конца ваши решения, только рисунок с расставленными буквами, после чего, ставлю на паузу и решаю на бумаге. Потом сравниваю ответ с вашим. В конце и увидел о втором варианте, увидел картинку, в которой вместо диагонали 10, провели диагональ 17, так, что получилась прямоугольная трапеция. Я поставил планшет на паузу и сделал свой рисунок, оставив на месте диагональ 10, и повернув вправо от высоты основание 10,5, таким образом, что часть основания равная 6, оказалась слева, а часть, равная 4,5, справа, потом провёл диагональ 17. Получилось красиво, высота 8, оказалась снаружи от параллелограмма! Ответ тот же 36! В варианте 1, ответ 84.
Да, времени особо нет. Рассеянность. Спасибо.
Ссылка на данный канал на ДЗЕНЕ: dzen.ru/geometry
Да печалька...Канал явно пробуксовывает. Может, потому, что всё слишком просто?
на другом канале Казакова всё непросто. или не всё так просто.
Если тормозит просмотр, то прямо сейчас открываю на ДЗЕНЕ параллельный. Если по поводу вторгго ответа, то А - острый гарантирует один ответ. Не все атк просто оказывается.