Desafio cabuloso do underground matemático!
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- Опубліковано 18 вер 2024
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Seja bem vindo à mais um episódio do programa Arroz, Feijão e Equações.
Hoje vamos resolver um desafio de Matemática sobre Geometria Plana. Trata-se de uma questão de Matemática do underground matemático.
Enunciado da questão:
Qual o comprimento do raio do setor circular abaixo?
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esses tempos comecei a estudar matemática básica, e cara realmente tem que ter domínio na base, nesse exercício fiquei feliz por entender que ele utilizou produtos notáveis e fatoração pra resolução, é pouco mas já é um início para a compreender a matemática
Muito bacana professor. Legal que você vai resolvendo e apresenta os conceitos. Isso é um presentão Mestre
O ângulo entre os lados 1 e √2 é (360°-90°)/2 = 135°. O lado oposto ao ângulo de 135° mede R√2. Temos então um triângulo de lados 1, √2 (com ângulo de 135° entre eles), e lado oposto a esse ângulo medindo R√2. Logo, ao aplicarmos a lei dos cossenos encontra-se R = √10/2.
Interessante. Como sabes que o ângulo entre esses lados é dado por isso?
Também fiz aqui dessa forma, ia comentar, mas como você já deu essa solução, só venho dizer que foi a mesma que pensei.
A medida do ângulo inscrito é igual a metade do arco formado pelos seus lados.@@MarcosSilva-vd3ly
Outra forma de ver que o ângulo é 135° é traçar a reta do ângulo de 90 até o ponto que une os lados 1 e raíz de 2. Como se formam dois triângulos isósceles, se um dos ângulos do triângulo for alpha e o outro beta, ao olhar pra soma dos ângulos internos do quadrilátero (juntando os dois triângulos) tem de valer a igualdade 90 + 2*(alpha + beta)=360. Daí alpha+beta = 135°
Uma forma de ver que é 135° é traçar o restante da circunferência. Veja que temos 90° iniciais, logo o restante precisa ser 270° porque uma circunferência tem 360°. Pelo teorema do ângulo inscrito, esse ângulo precisa ser metade do arco oposto a ele. 270°/2 = 135°.
Fui nesse esquema.
Seja A o ponto onde sobe o segmento de comprimento 1, B o ponto de interseção dos segmentos de medida 1 e 2 e C o ponto superior do quarto de círculo.
Se rebater A em relação ao centro círculo gerando D, o quadrilátero ABCD será cíclico. D increve um arco de quarto de círculo, logo o ângulo ADC=45o. Como é cíclico, ACB=135.. pelo triângulo ACB e lei dos cossenos: 1+2+ 2*raiz(2)*raiz(2)/2=l^2. ==> l=raiz(5)
Mas pelo triângulo AOC, onde O é o centro do círculo, l=R*raiz(2)...R=raiz(10)/2. Já foi o like, vamos ao vídeo.
sqrt(5/2)
Muito boa resolução e bela questão mas tem algumas horas que a explicação(as contas) ficam fora da nossa tela, o que é um problemão né. Ex.: No final do video de 14:43 até o fim da resolução, não consegui ver o que ele escreveu.
O meu deu √10/2
o meu tb!
O meu também
mas é a mesma coisa que ele acho é só racionalizar
Vc fez racionalização normal
A que ele usou é racionalização inversa. Onde o numerador é racionalizado.
vou chamar theta de B e alfa de A só pra facilitar a escrita
como A + B = 90, cos(A + B) = cos90 = 0
usando cosseno da soma, da pra descobrir que cos^2(A) + cos^2(B) = 1
aí é só usar a lei dos cossenos pra descobrir os cossenos de A e de B em função de R e substituir
Foi assim q eu resolvi
Esse foi top , obrigado por compartilhar tanto conhecimento professor!!!!!
Muito boa, obrigado!
Descobri que o ângulo entre esses dois segmentos é 135° pelo teorema do ângulo inscrito. Ele está apontando para um arco de 270°.
Sabendo o ângulo e os dois segmentos só com uma lei dos cossenos e um pitágoras já mata a questão
O meu deu raiz de 10 sobre 2(raiz só no 10). Só usei uma lei dos cossenos pra descobrir o lado que fecharia o triangulo e dps usei a lei dos senos.
o dificil dessas questões é fazer as contas de cabeça enquanto to cm a boca cheia de farinha
A solução é interessante. Mas acredito que a torna difícil é o caminho que ele tomou. Resolvi usando uma simples lei dos cossenos.
Eu fiz a lei dos cossenos para ambos os triângulos, daí eu igualei o seno de theta e o cos de theta, elevei ambos ao quadrado e igualei a 1, isso deu uma equação a quarta, mas dava pra simplificar para a quadrática, achei dois valores e joguei a raiz quadrada neles, desconsiderei os valores negativos, e estava entre raiz de 5/2, e raiz de 1/2, a segunda opção não poderia ser porque você tem uma diagonal raiz de 2 dentro da circunferência e que poderia ser formado pelo quadrado de lado 1, e como um dos lados estaria justamente no raio, então o raio tinha que ser pelo menos maior ou igual a 1, então só poderia ser raiz de 5/2.
Rapaz, Também usei a lei dos cossenos pra achar esses valores, mas eu isolei o seno e o cosseno em função de R, elevei ambos ao quadrado e apliquei na identidade trigonométrica( sen^2(x) + cos^2(x) = 1). Daí ela vai te dar uma equação biquadrada e você resolve pro R que faz sentido, que no caso é o raiz de 5/2. Já que não vi ninguém dizendo ter feito igual, resolvi compartilhar :D. Um abraço e bom papiro guys!!
Fera demais...
Po, Engenheirão, exagerou aí, pai kkkkkkkkkkkkk
Era mais fácil traçar a reta que unia os pontos da circunferência que estavam com seu raio destacado na figura. Aí você percebe que o ângulo entre a reta de medida √2 e a de medida 1 é 135° (ângulo inscrito) e o resto é fácil
Só usar ângulo inscrito
resolução alternativa: fechamos o triangulo retangulo de catetos R e R e hipotenusa = a a base do outro triangulo formado, chmaremos a hipotenusa de A.
no triangulo 2 de lados 1 , raiz de 2 e A o angulo oposto a A chamaremos de @.
@ é igual a metade do arco de circunferencia que ele enxerga logo como ele enxerga 3\4 de circunferencia seu valor é de 135 graus.
sabendo disso podemos usar a lei dos cossenos para descobrir o valor de A e logo após usamos o teorema de pitágoras para descobrir que 2R^2=A^2
resolvendo em R temos R=raiz de 10 \2
Pô, fiz o triângulo R√2, √2, 1 daí toquei lei dos cossenos no ângulo de 135, pq e é um ângulo inscrito q enxerga o círculo todo com exceto 90°
Almoçando de capacete.
√10/2
5/(2)^1/2
lei dos senos + lei dos cossenos no triangulo 1, raiz de 2 e R raiz de 2 ja bastava