Bonjour 6:12 Je ne comprends pas pourquoi le fait que ce truc est négligeable devant 1/n permet d'aboutir au résultat .! et si on remplace ce 1/n par quelque chose d'autre qui tend vers 0, ça va marcher aussi? J'arrive pas à voir la définition à travers ce qui est écrit "Un∼Vn si et seulement si Un−Vn=o(Vn)" Merci d'avance!
Un autre moyen de traiter la cas f continue en utilisant ce qu’on a fait avant: Soit epsilon > 0: f étant continue sur le segment [0:1], il existe une suite de polynômes P_n qui converge uniformément vers f, ie ||f-P_n|| -> 0. Soit K tels que ||f-P_K||N_0 )=>| nG_n-P_K(1)|N_N_0: |f(1) - n*I_n|< |f(1)-P_K(1)| + | P_K(1) - n*G_n| + |n*(G_n -I_n)|
Bon réflexe en effet d'utiliser le puissant thm d'approximation polynomiale de Weierstrass. 👍 Bon ici, pour être sincère, ça me semble un peu "snob" car ce thm est vraiment non trivial 😁. Mais après tout il est au programme de spé MP maintenant (peut-être pas de PC 🤔)
@@CassouMathPrepa Oui, en fait mon idée partait de travailler avec la suite de fonction g_k x|-> 2k * int(x-1/k à x+1/k) f(t)dt qui converge uniformément vers f sur [0:1]. Mais il faut avant tout régler les problèmes de bords. Pour ça, on aurait pu étendre f, à disons, [-1/2:3/2] en posant f(x) = f(1) si x>1 et pareil pour les negatifs. Cela garde le caractère continue de f et permet de conclure. Mais en fait c’est moins jolie que ce je pensais. On aurait aussi pu travailler avec la densité des fonctions constantes par morceaux, qui découle de l’uniforme continuité des fonctions continues sur un compact.
On peut traiter le cas général (f continue) avec le changement de variables u=t^n ? le 1/n sort de l'élément différentiel et l'intégrande devient u^(1/n)*f(u^(1/n)) qui tend vers f(1) lorsque n tend vers l'infini.
@@CassouMathPrepa Oui, tu as raison, le fait que le "C" dépend de n (et bien qu'il soit dans ]0,1[), cela ne permet pas de conclure que n * (Cn)^n tend vers 0. (ex : Cn = 1-1/n) Dommage ;)
Bonjour, d'ou vient votre intervalle dans lequel vous prenez t à 10:23 ? Normalement d'après la défintion on a le 1 au voisinage de t donc 1 appartient à [t -A, t+A] ce qui équivaut à t appartient à [1-A, 1+A] non ?
@@CassouMathPrepa Oui bien sûr en fait ce que je ne comprends c'est la borne de gauche, [1-A,1+A] devient [1-A,A] car A>0 mais pour avoir l'inégalité que vous avez il faudrait prendre A > 1/2 ou je me trompe ?
Alors je pense que mon A est différent de celui de votre cours. Je ne peux pas le choisir mais je sais qu'il existe. Il formalise le fait de dire "pour x assez proche de 1". On pourrait changer ce A par "1-delta" avec les notations usuelles. Je ne sais pas si ça aide
Merci beaucoup ! Cest un reel plaisir de visionner la correction de tels exos en tant que preparationnaire
même en temps que lauréat ça reste un plaisir haha!
Très chouette exercice, bien choisi, bien présenté, un plaisir de voir ce genre de vidéo en français ! Longue vie à cette chaîne !
Un grand merci 🙏 🙏
Bel exo sur les moments 👍 Très utilisé en stat.
Bonjour
6:12 Je ne comprends pas pourquoi le fait que ce truc est négligeable devant 1/n permet d'aboutir au résultat .!
et si on remplace ce 1/n par quelque chose d'autre qui tend vers 0, ça va marcher aussi?
J'arrive pas à voir la définition à travers ce qui est écrit
"Un∼Vn si et seulement si Un−Vn=o(Vn)"
Merci d'avance!
Bonjour.
Divisez par v_n. Vous obtenez que u_n/v_n tend vers 1. Car un petit o de 1 c'est une suite qui tend vers zéro.
Un autre moyen de traiter la cas f continue en utilisant ce qu’on a fait avant:
Soit epsilon > 0:
f étant continue sur le segment [0:1], il existe une suite de polynômes P_n qui converge uniformément vers f, ie ||f-P_n|| -> 0.
Soit K tels que ||f-P_K||N_0 )=>| nG_n-P_K(1)|N_N_0:
|f(1) - n*I_n|< |f(1)-P_K(1)| + | P_K(1) - n*G_n| + |n*(G_n -I_n)|
Bon réflexe en effet d'utiliser le puissant thm d'approximation polynomiale de Weierstrass. 👍
Bon ici, pour être sincère, ça me semble un peu "snob" car ce thm est vraiment non trivial 😁. Mais après tout il est au programme de spé MP maintenant (peut-être pas de PC 🤔)
@@CassouMathPrepa Oui, en fait mon idée partait de travailler avec la suite de fonction g_k x|-> 2k * int(x-1/k à x+1/k) f(t)dt qui converge uniformément vers f sur [0:1].
Mais il faut avant tout régler les problèmes de bords. Pour ça, on aurait pu étendre f, à disons, [-1/2:3/2] en posant f(x) = f(1) si x>1 et pareil pour les negatifs.
Cela garde le caractère continue de f et permet de conclure. Mais en fait c’est moins jolie que ce je pensais.
On aurait aussi pu travailler avec la densité des fonctions constantes par morceaux, qui découle de l’uniforme continuité des fonctions continues sur un compact.
On peut traiter le cas général (f continue) avec le changement de variables u=t^n ? le 1/n sort de l'élément différentiel et l'intégrande devient u^(1/n)*f(u^(1/n)) qui tend vers f(1) lorsque n tend vers l'infini.
Effectivement sans le théorème de convergence dominée on échappe pas aux epsilon...
Bonjour. Oui intéressant quand on a le thm de convergence dominée en effet 👍
Oui moi aussi j'avais fait comme ça
J'ai fait pareil haha
Pour le cas facile, on a aussi la limite de f(1)/n=0 pour conclure il faut dire I_n=f(1)/n+0(1/n^2)
Bonjour, à 08:50, ne pourrait-on pas appliquer le théorème de la moyenne : on aurait ainsi directement que Un tend vers 0 ?
Bonjour. Hmm... pas gagné car le "c" qu'on obtiendrait par le thm de la moyenne dépendrait de "n" et me semble incontrôlable non ? 🤔
@@CassouMathPrepa Oui, tu as raison, le fait que le "C" dépend de n (et bien qu'il soit dans ]0,1[), cela ne permet pas de conclure que n * (Cn)^n tend vers 0. (ex : Cn = 1-1/n) Dommage ;)
Bonjour, d'ou vient votre intervalle dans lequel vous prenez t à 10:23 ?
Normalement d'après la défintion on a le 1 au voisinage de t donc 1 appartient à [t -A, t+A] ce qui équivaut à t appartient à [1-A, 1+A] non ?
Oui mais ici f est definie sur [0,1] donc on ne s'occupe pas des t>1
@@CassouMathPrepa Oui bien sûr en fait ce que je ne comprends c'est la borne de gauche, [1-A,1+A] devient [1-A,A] car A>0 mais pour avoir l'inégalité que vous avez il faudrait prendre A > 1/2 ou je me trompe ?
Alors je pense que mon A est différent de celui de votre cours.
Je ne peux pas le choisir mais je sais qu'il existe. Il formalise le fait de dire "pour x assez proche de 1".
On pourrait changer ce A par "1-delta" avec les notations usuelles.
Je ne sais pas si ça aide
@@CassouMathPrepa Ah oui en fait je croyais que ce vous appelez A était delta
Je comprends maintenant merci beaucoup pour votre réponse !