大学入試解説 京大2003年理系第4問［数II 多項式の除法］

[@たらこたらこ-w8n]

アップありがとうございます！ 楽しみにしていました。

[@斎藤たかし-i7o]

中々の良問ですね

[@MultiYUUHI]

おお、古賀殿が動画をアップしてらっしゃる。

[@pokkesub8327]

パズルみたいで楽しい

[@いまひろ09]

x²+x+1で割り切れると言うことは
x³＝1の複素数解ωがx²+x+1＝0の解であることから
ωを代入してゼロになることを示せば良い
(ω¹⁰⁰+1)¹⁰⁰+(ω²+1)¹⁰⁰+1
＝(ω+1)¹⁰⁰+(-ω)¹⁰⁰+1
＝(-ω²)¹⁰⁰+ω¹⁰⁰+1
＝ω²⁰⁰+ω¹⁰⁰+1
=ω²+ω+1＝0
よって、
(x¹⁰⁰+1)¹⁰⁰+(x²+1)¹⁰⁰+1はx²+x+1で割り切れる

[@user-tg4ei3cl8k]

それだとf(ω)＝0を証明したに過ぎませんよ

[@いまひろ09]

ありがとうございます。
2次以上の多項式がx=ωを解に持つとき
f(x)はx^2+x+1で割り切れることは明らかですが
ご指摘のとおり
不十分な説明でした。
f(ω)=0のとき
f(x)=0はx=ωを解に持つので
x=ω*=ω^2も解に持つ
すなわち
f(x)は(x-ω)(x-ω^2)で割り切れるので
x^2-(ω+ω^2)x+1
=x^2+x+1より
f(x)はx^2+x+1
で割り切れる
ということですね。
ちなみに
f(x)にx=ω^2を代入すると
(ω^200+1)^100+(ω^4+1)^100+1
=(ω^2+1)^100+(ω+1)^100+1
=(-ω)^100+(-ω^2)^100+1
=ω^100+ω^200+1
=ω+ω^2+1=0
より
f(ω^2)=0となりますね

[@いまひろ09]

係数が実数の場合は明らかですよ。
問題文から係数が複素数の多項式のことは言っていないつもりです

[@mad_da_ipinch]

サムネ見てωかなって思って動画見たらやっぱりωだった

[@ああああ-y3v8s]

一番好きなUA-camrです。二番目はヒカキンです。

[@佐藤あ-j4z]

☺