Prof. non sono certo che il fatto che se il limiti di una successione implica che il limite di ogni sottosuccessione sia lo stesso, valga anche per le serie. E' sicuro? Sum (1/n!) converge a "e" Sum [[1/(2n)!] non converge ad "e" . Lo stesso per Sum (1/n^2), la sottoserie dei soli pari e dei soli dispari hanno tutte somme diverse. Probabilmente si può solo affermare che se la serie è assolutamente convergente allora le sottoserie hanno lo stesso carattere.
Ho parlato di successioni non di serie. E ho trattato delle successioni delle somme parziali. Quelle che tu chiami "sottoserie" non sono sottosuccessioni delle somme parziali. Il tuo esempio non ha nulla a che vedere con il teorema che ho citato
OK, credo di avere capito, quindi b(2n) va intesa come la somma fino al termine 2n - esimo, non la somma dei soli termini di indice pari.@@GaetanoDiCaprio
Mi sto appassionando al problema e ve ne propongo una estensione, che è però solo una mia congettura. 1/(n/m+1)+1/(n/m+2)+...+1/(n(1/m+1)) il cui lim infinito vale log(1+m)
@@GaetanoDiCaprio provo a scriverlo in latex, forse si capisce meglio? \lim_{n ightarrow+\infty}\frac{1}{\frac{n}{m}+1}+\frac{1}{\frac{n}{m}+2}+...+\frac{1}{\frac{n}{m}+n}=\log(1+m)
io l'ho risolta con un metodo che alla fine si riconduce alla tua seconda traccia di soluzione: come prima cosa, scrivo i primi termini della successione: n=1 abbiamo: 1/2 n=2 abbiamo: 1/3+1/4 che posso scrivere così: 1/2+1/3+1/4 - 1/2 n=3 abbiamo 1/4+1/5+1/6 che posso scrivere così: 1/2+1/3+1/4+1/5+1/6 - (1/2+1/3) n=4 abbiamo 1/5+1/6+1/7+1/8 che posso scrivere così: 1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8 - (1/2+1/3+1/4) ...e via dicendo, ci accorgiamo che la successione che proponi, può essee scritta così: k=2n k=n lim n->∞ Σ (1/k) - Σ (1/k) = S k=1 k=1 a questo punto, facciamo un pochino il giochetto che si usa per il calcolo della costante di Eulero-Mascheroni, perciò, passiamo dal discreto al continuo, sostituendo quindi le sommatorie con gli integrali, indicando con A e 2A dei, del tutto generici, limiti superiori d'integrazione, e chiamando S il risultato dell'operazione, e indicando con "Ln" il logaritmo naturale, abbiamo che: 2A A S = ∫ dx /x - ∫ dx /x svolgendo il calcolo: S= Ln 2A - Ln A = Ln (2A/A) = Ln2 1 1
Grazie, finalmente qualcuno che controlla i calcoli! Effettivamente la relazione corretta si ottiene traslando quello che ho scritto di 1 (cioè sostituendo n+1 al posto di n). Quindi si ottiene a(n+1) = a(n) + 1/(2n+1) - 1/(2n+2). Grazie per aver individuato l'errore, la tua proposta alternativa però non serve per dimostrare il limite.
Prof. non sono certo che il fatto che se il limiti di una successione implica che il limite di ogni sottosuccessione sia lo stesso, valga anche per le serie. E' sicuro? Sum (1/n!) converge a "e" Sum [[1/(2n)!] non converge ad "e" . Lo stesso per Sum (1/n^2), la sottoserie dei soli pari e dei soli dispari hanno tutte somme diverse. Probabilmente si può solo affermare che se la serie è assolutamente convergente allora le sottoserie hanno lo stesso carattere.
Ho parlato di successioni non di serie. E ho trattato delle successioni delle somme parziali. Quelle che tu chiami "sottoserie" non sono sottosuccessioni delle somme parziali. Il tuo esempio non ha nulla a che vedere con il teorema che ho citato
OK, credo di avere capito, quindi b(2n) va intesa come la somma fino al termine 2n - esimo, non la somma dei soli termini di indice pari.@@GaetanoDiCaprio
@@antoniopace3007 Esatto
IL VOLTO DEL MAESTRO… così si perde un po’ di magia, senza il volto faceva molto Pitagora dietro la tenda che spiega agli allievi…
Il volto c'era già nella foto... 😉
Mi sto appassionando al problema e ve ne propongo una estensione, che è però solo una mia congettura. 1/(n/m+1)+1/(n/m+2)+...+1/(n(1/m+1)) il cui lim infinito vale log(1+m)
🤔 non è chiaro
@@GaetanoDiCaprio provo a scriverlo in latex, forse si capisce meglio? \lim_{n
ightarrow+\infty}\frac{1}{\frac{n}{m}+1}+\frac{1}{\frac{n}{m}+2}+...+\frac{1}{\frac{n}{m}+n}=\log(1+m)
io l'ho risolta con un metodo che alla fine si riconduce alla tua seconda traccia di soluzione:
come prima cosa, scrivo i primi termini della successione:
n=1 abbiamo: 1/2
n=2 abbiamo: 1/3+1/4 che posso scrivere così: 1/2+1/3+1/4 - 1/2
n=3 abbiamo 1/4+1/5+1/6 che posso scrivere così: 1/2+1/3+1/4+1/5+1/6 - (1/2+1/3)
n=4 abbiamo 1/5+1/6+1/7+1/8 che posso scrivere così: 1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8 - (1/2+1/3+1/4)
...e via dicendo, ci accorgiamo che la successione che proponi, può essee scritta così:
k=2n k=n
lim n->∞ Σ (1/k) - Σ (1/k) = S
k=1 k=1
a questo punto, facciamo un pochino il giochetto che si usa per il calcolo della costante di Eulero-Mascheroni, perciò, passiamo dal discreto al continuo, sostituendo quindi le sommatorie con gli integrali, indicando con A e 2A dei, del tutto generici, limiti superiori d'integrazione, e chiamando S il risultato dell'operazione, e indicando con "Ln" il logaritmo naturale, abbiamo che:
2A A
S = ∫ dx /x - ∫ dx /x svolgendo il calcolo: S= Ln 2A - Ln A = Ln (2A/A) = Ln2
1 1
Ottimo
In realtà è: a(n+1) = a(n) + 1/2(2n+1)(n+1), e non a(n+1)= a(n) + (1/2n- 1) - (1/2n) . a(n) è la prima successione.
Grazie, finalmente qualcuno che controlla i calcoli! Effettivamente la relazione corretta si ottiene traslando quello che ho scritto di 1 (cioè sostituendo n+1 al posto di n). Quindi si ottiene a(n+1) = a(n) + 1/(2n+1) - 1/(2n+2). Grazie per aver individuato l'errore, la tua proposta alternativa però non serve per dimostrare il limite.