Ho risolto il primo punto mettendo in evidenza x al numeratore e al denominatore e semplificando. Considerato che (sinx)/x e (cosx)/x tendono a zero per x che va a +∞, si ottiene il risultato. Questo si basa su un teorema che afferma che se f(x)→0 e g(x) è limitata, allora f(x)g(x) →0, (nel nostro caso f(x)=1/x e g(x)=sinx, al numeratore e f(x)=1/x, g(x)=cosx al denominatore). Per la seconda risposta, concordo col ragionamento usato. Come diceva il mio Prof di analisi, bisogna riflettere bene prima di usare De L'Hopital!😄 Complimenti per il canale e gli spunti di riflessione!
Complimenti per il video, molto interessante, in particolare il ragionamento conclusivo per dimostrare che il limite del rapporto delle derivate non esiste per mezzo della contronominale del teorema di unicità del limite! (mi confermi anche lei se è cosi) Buona giornata e grazie.
@@GaetanoDiCaprioper gli argomenti trattati per la chiarezza espositiva e per l’interazione con gli iscritti. Infine per il rigore metodologico utilizzato.
Io, molto brevemente, ho pensato che per x tendente a infinito senx e cosx , che sono funzioni limitate, sono irrilevanti, resta invece x/x che tende a 1. Oppure, come si fa per i limiti all'infinito delle funzioni razionali, si divide la frazione sopra e sotto per x, essendo senx e cosx sempre comprese tra -1 e 1, divise per x tendente a infinito producono i termini senx/x e cosx/x che tendono a 0 e quindi si trova ancora, ovviamente, 1.
Si può aggiungere, a commento ulteriore, che se il limite del rapporto delle derivate delle funzioni non esiste, come nel caso relativo all'esercizio proposto, NON È DETTO che non esista il limite dato, come in effetti accade nel caso proposto.
Buon pomeriggio, qualora non disponessi di una calcolatrice grafica per poter osservare la funzione, qual è la procedura da seguire per dimostrare l'impossibilità di utilizzare de l'hopital? La procedura di utilizzo di valori di tentativo multipli di pigreco e pigreco/2 la posso usare a prescindere o c'è il rischio di andare fuori strada?
Per dimostrare rigorosamente che non esiste un limite per x che tende a infinito, il metodo delle due successioni che tendono a limiti diversi è sostanzialmente l'unico. Quando x tende a un valore finito, invece, il metodo dei limiti destro e sinistro diversi è abbastanza usuale (ma non copre tutti i casi!)
Il limite del rapporto delle derivate non può esistere perché trattasi di evidente funzione periodica su tutto R ==> De L'Hopital inapplicabile. Per il calcolo del limite, io avrei diviso numeratore e denominatore per "x" (essendo il limite a +infinito, x è sicuramente diverso da zero) ed otteniamo: (1+sinx/x)/(1-cosx/x) con le due frazioni che tendono a zero; pertanto il limite è 1. Ma balzava agli occhi anche senza fare troppi conti: il numeratore è somma di una funzione che tende ad infinito + una funzione limitata; il denominatore è somma di una funzione che tende ad infinito dello stesso ordine del numeratore + una funzione limitata...
@@vrcfncpdci Il più importante è questo: un sistema di intonazione si costruisce così: prendendo una frequenza e moltiplicandola per 2^1/n Es: il sistema classico occidentale ha 12 note, se C vale 2, C# vale 2x2^1/12. E così via.
@@GaetanoDiCaprioApplicando il teorema del confronto si dovrebbe avere 1+sinx compreso tra 0 e 2 e 1+cosx compreso tra 0 e 2 anch'esso, quindi dividendo si dovrebbe avere (1+sinx)/(1+cosx) compreso tra 0/0 e 2/2, ovvero tra 0/0 e 1. Non si potrebbe dire che dato che 0/0 non esiste, il limite non esiste? O semplicemente significa che il limite non può essere calcolato con il teorema del cofronto?
Ho risolto il primo punto mettendo in evidenza x al numeratore e al denominatore e semplificando. Considerato che (sinx)/x e (cosx)/x tendono a zero per x che va a +∞, si ottiene il risultato. Questo si basa su un teorema che afferma che se f(x)→0 e g(x) è limitata, allora f(x)g(x) →0, (nel nostro caso f(x)=1/x e g(x)=sinx, al numeratore e f(x)=1/x, g(x)=cosx al denominatore). Per la seconda risposta, concordo col ragionamento usato. Come diceva il mio Prof di analisi, bisogna riflettere bene prima di usare De L'Hopital!😄
Complimenti per il canale e gli spunti di riflessione!
Quando Lei spiega, sembra tutto più semplice.
Complimenti per il video, molto interessante, in particolare il ragionamento conclusivo per dimostrare che il limite del rapporto delle derivate non esiste per mezzo della contronominale del teorema di unicità del limite! (mi confermi anche lei se è cosi)
Buona giornata e grazie.
Non è esattamente la contronominale di quel teorema.
@@GaetanoDiCaprio ah ok chiaro, quale implicazione ha utilizzato allora in particolare? E di quale teorema?
Buongiorno Prof, la musica iniziale mi ricorda qualcosa. Abbracci
Il miglior canale UA-cam per MATEMATICA in assoluto)
Pensi????? Sono lusingato di questo giudizio ma in particolare per quali aspetti?
@@GaetanoDiCaprio molto ben spiegata è anche qualita HD)
@@GaetanoDiCaprioper gli argomenti trattati per la chiarezza espositiva e per l’interazione con gli iscritti. Infine per il rigore metodologico utilizzato.
@@jhonnygladstone4631 grazie
@@GaetanoDiCaprio buona sera professore continui così che è bravissimo; un vero docente interattivo. S
Cordiali saluti 👋
Io, molto brevemente, ho pensato che per x tendente a infinito senx e cosx , che sono funzioni limitate, sono irrilevanti, resta invece x/x che tende a 1. Oppure, come si fa per i limiti all'infinito delle funzioni razionali, si divide la frazione sopra e sotto per x, essendo senx e cosx sempre comprese tra -1 e 1, divise per x tendente a infinito producono i termini senx/x e cosx/x che tendono a 0 e quindi si trova ancora, ovviamente, 1.
esatto, ho risolto come te
Certo assolutamente corretto
Si può aggiungere, a commento ulteriore, che se il limite del rapporto delle derivate delle funzioni non esiste, come nel caso relativo all'esercizio proposto, NON È DETTO che non esista il limite dato, come in effetti accade nel caso proposto.
Esatto!
Spiegazioni chiare e limpide
Buon pomeriggio, qualora non disponessi di una calcolatrice grafica per poter osservare la funzione, qual è la procedura da seguire per dimostrare l'impossibilità di utilizzare de l'hopital? La procedura di utilizzo di valori di tentativo multipli di pigreco e pigreco/2 la posso usare a prescindere o c'è il rischio di andare fuori strada?
Per dimostrare rigorosamente che non esiste un limite per x che tende a infinito, il metodo delle due successioni che tendono a limiti diversi è sostanzialmente l'unico. Quando x tende a un valore finito, invece, il metodo dei limiti destro e sinistro diversi è abbastanza usuale (ma non copre tutti i casi!)
Il limite del rapporto delle derivate non può esistere perché trattasi di evidente funzione periodica su tutto R ==> De L'Hopital inapplicabile. Per il calcolo del limite, io avrei diviso numeratore e denominatore per "x" (essendo il limite a +infinito, x è sicuramente diverso da zero) ed otteniamo: (1+sinx/x)/(1-cosx/x) con le due frazioni che tendono a zero; pertanto il limite è 1.
Ma balzava agli occhi anche senza fare troppi conti: il numeratore è somma di una funzione che tende ad infinito + una funzione limitata; il denominatore è somma di una funzione che tende ad infinito dello stesso ordine del numeratore + una funzione limitata...
Ottimo
Ciao la musica all'inizio sono i Doors? Non riesco a capire bene
No, è la musica di un gruppo dal nome Chordaria che è stato attivo per qualche anno intorno al 2010. Io all'epoca ero autore e chitarrista del gruppo
Quali legami fra musica e matematica? Qualcuno dovrebbe esplicitare questi legami , spero anche formalmente con linguaggio matematico .
@@vrcfncpdci
Il più importante è questo: un sistema di intonazione si costruisce così: prendendo una frequenza e moltiplicandola per 2^1/n
Es: il sistema classico occidentale ha 12 note, se C vale 2, C# vale 2x2^1/12.
E così via.
@@vrcfncpdci Non è un tema "nuovo". Già per Pitagora musica e matematica erano intimamente connesse
Per risolverlo il limite, bastava moltiplicare numeratore e denominatore per 1/x , x num. reale positivo, e poi calcolarlo con facilità adesso
👍
Si può applicare nuovamente il teorema del confronto per vedere se è applicabile de l'hospital?
In generale o in questo caso?
@@GaetanoDiCaprio In questo caso
@@JohnDoeSteveAustin In questo caso no, perché il teorema del confronto può essere usato per calcolare un limite non per dimostrare che non esiste
@@GaetanoDiCaprioApplicando il teorema del confronto si dovrebbe avere 1+sinx compreso tra 0 e 2 e 1+cosx compreso tra 0 e 2 anch'esso, quindi dividendo si dovrebbe avere (1+sinx)/(1+cosx) compreso tra 0/0 e 2/2, ovvero tra 0/0 e 1. Non si potrebbe dire che dato che 0/0 non esiste, il limite non esiste? O semplicemente significa che il limite non può essere calcolato con il teorema del cofronto?
@@JohnDoeSteveAustin si è già dato la risposta da solo....
Salve professore, come dimostrazione dell'inesistenza del limite propongo questa, utilizzando sempre il metodo del confronto:
-1 < cos(x) < +1
-1+1 < cos(x) + 1 < +1+1
0 < cos(x) + 1 < 2
-1 < sin(x) < +1
-1 + 1 < sin(x) < +1+1
0 < sin(x) < 2
quindi
0/0 < (cos x + 1)/(sin x + 1) < 2
Essenzialmente nel confronto si va a dividere per 0.
No è errato
Complimenti
Se divido numeratore e denominatore per x, senx/x e cosx/x tendono a 0. Il limite è =1
👏
👏