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この1冊で高校数学の基本の90%が身につく「中学の知識でオイラーの公式がわかる」amzn.to/2t28U8Cオイラーの公式Tシャツ、合言葉は「貫太郎」です。www.ttrinity.jp/p/248613/
学校の図書室にあって感動
一般化したいけどやり方が分からないって思ってたので、後半の解説がすごいためになりました。これが問題を作る側の思考なんですね!
貫太郎さんの動画を見始めてからの1年半の成果を今日の私大の入試で発揮したいと思います!
頑張ってください。
貴殿が不断の努力を発揮されますことを、心から祈っています。お気をつけて。
ご武運を!
頑張って!
🙏
この変形は初めて見た、テクニカルすぎる
p/pの発想が異次元
できそうでできない…そんな感覚でした。P倍するところの発想が面白いです。必要条件を見つけるという感じですかね…問題の作り方も知れて勉強になりました。
受験数学に関してはUA-camが一番参考になる。
4と9がそれぞれ累乗数だから、幾つかある手札の内でも直観的に整数問題に繋げれば良いと発想ができそうですね!
x,y が異なる正の実数で x^x=y^y なるとき、t=x/y と置くと x,y は t で表現することができ、x,y が有理数ならば t も有理数で、それからそのような x,y をすべて求めることができます。鈴木先生ならできると思うので、あとは略します。余談ですが x^y=y^x も同様なことができます。(すでに同様なコメントがありましたらごめんなさい。)
訂正。最初に考えてたのは t=y/x でした。まあ本質的に変わりはありませんが…
x,y を異なる正の有理数とします。t=y/x と置くと t も正の有理数で t≠1。y=tx なんでx^x=y^y=(tx)^(tx) 、1/x 乗すると x=(tx)^t=(x^t)(t^t)、x^t で割ると x^(1-t)=t^tt は 1 でないので x=t^(t/1-t)) 、y=xt=t^(1+(t/(1-t)))=t^(1/(1-t))t は有理数なんで互いに素な正の整数として t=n/m と置くと x=(n/m)^(n/(m-n))y=(n/m)^(m/(m-n)) で n,m を入れ替えても x,y が入れ替わるだけなのでn>m としてよい。x,y が、有理数となるためには n,m が m-n と互いに素なのでa=m-n と置くと n,m は、何かの整数のa乗に等しくなければならない。そこで n=u^a,m=v^a と置くと m=n+a なので v^a=u^a+a 、明らかに v>u なので v=u+b と置く。a≧2 ならば二項定理より a=v^a-u^a=(u+b)^a-u^a≧aub^(a-1)+b^a≧a+1 より矛盾、よって a=1 、ゆえに m=n+1、したがって x=(n/(n+1))^n, y=(n/(n+1))^(n+1)または x,y を入れ替えたもののが有利数解である。
「編集」のやり方を知らなかったため失礼しました。とりあえずこのままにしておきます。
7:00頃のpの条件ですが、p=aᵐ(m≧2)とはならないようです。b/a (1≦b
浪人生の頃、誰かから聞いた「a = a × 1 = a × p/p」みたいにあえて“1”を作るってのを思い出しました。懐かしく楽しい10分をありがとうございました。
lim x^x(x→+0)=1は以下のように示せます。lim logx^x (x→+0)=lim xlogx (x→+0)=lim (1/t)log(1/t) (x=1/tとおき、t→∞とした)=-lim logt/t (t→∞)=0よって、lim x^x (x→+0)=e^0=1本番で自明としていいような話ではないので、記述なら必ず言及した方がいいです。また、lim log t/t(t→∞)=0は基本的に自明でいいですが、どうしても示さないといけない場合は「t>1の時に0
訂正します(a/b)^n=(1+1/n)^n < e かな?
誘導付きでこのようなタイプの一般化証明問題大学入試で出そうですね
後半の一般化の解説、ためになりました。x^xのグラフの形状がわかっていれば、解が二個あるのはわかりますが、初めてだと戸惑いますね。真面目で面白い問題でした。
テストの問題にするなら(1)x^x=kを満たす解の個数は?ってやつが誘導に入るかな?x^xを負の方向まで拡大すると離散的なグラフと連続的なグラフが一緒に楽しめますよ。ちなみに私が使っているアプリでx^xを出したところ、(0,1)は通る判定を受けました。
なんで解は4/9の1つだけではないか、が最初よくわからなかったが、なるほど。y=x^xが単調増加の関数だったら解は1つだけだけど、微分すると解が2つの範囲があると分かるからなのね。こういう他の可能性を疑うセンスやそれを調べられる能力って大事よね。
こういう一般化が楽しいですよね☺️
庭の梅の花が咲きはじめました。(1)1つの解は、ご覧のとおりx=4/9ですね。(2)2番目の解は爺は次のように考えました。右辺は(2/3)^(8/9)と変形できますから、左辺のxを、x=(2/3)^pとおくと、指数から、p=2・(2/3)^(2ーp)これからp=3とでますから、X=8/27がでます。ここで、(2)の・は積のつもりです。(3)感想、この問題を解くのに爺は、すこし知恵熱が出ました。弱い脳みそを、もつと苦労します。
知恵熱の意味間違えてますよ
@@_tower9552 乳幼児に関係があるんだね。爺見たいな、弱い脳味噌の持ち主に関係があると思い、面白はんぶんに、つかっていました。有り難う御座います。
@@田舎の爺さん 爺 猛者って感じする
最初の挨拶、あたかもこの人の名前が「真面目な方程式」っぽく聴こえてじわじわくる
おはようございます。ここにも、(極限としてですが、)0^0 が !それはさておき、この問題を理解するには、2度見3度見が必要なようです。
備忘録75G"【 方程式の 実数解の xの値 ⇔ グラフの 共有点の x座標 】 x > 0 のとき、f(x)= x^x ( >0 ) とおく。 log f(x)= log x^x 両辺を xで微分すると、f'(x)/f(x)= logx+1 f'(x)= ( logx+1 )・f(x), f'(x)=0 とおくと、x= e⁻¹ 増減表より 極小値 : f(e⁻¹)= ( e⁻¹ )^e⁻¹ 与式 ⇔ f(x)= ( 4/9 )^4/9 だから、 x= 4/9 は 解の一つである。・・・① グラフより、0 < x < e⁻¹ の範囲にもう一つダケ 存在する。 [ ここからは、指数法則に注意して 試行錯誤 ] ( 4/9 )^4/9 = ( 2/3 )^3・8/9・3 = ( 8/27 )^8/27 よって、もう一つの解は、 x= ( 8/27 )^8/27 ・・・② 以上より、求める実数解は ① ② ■
ヨシッ❗後半は問題を作る人向けだな(笑)。自分は、1/eを軸にして、大体線対称の位置にある値だろうと予想して、4/9=12/27、1/e=1/2.7…≒10/27なんで、8/27ぐらいだなと当たりを付けて、確認して見つけました。
当たりをつけて解けちゃうのがすごい!
テクニカルすぎて、いい問題とは思えんなぁ...
最近知りましたが、ランベルトのW関数が背景知識としてあれば解が2つあることは自明のようです。この問題においては変形が天下り的というのは同意ですが、ランベルトのW関数自体は自然現象を説明するのによく用いられるようなので、豆知識として勉強しておいても損はなさそうです。
お晩です。さっき帰ってきて、今日の問題に早速取り組みましたが、エー、行き止まりの袋小路を行ったり来たり。お手上げです。こんな問題をどこから持ってくるんだろうか?明日もよろしくお願いします。
一般化したくなるあたりさすが数学屋さん分かります
横市の医をやって欲しいな
真面目に別解f(t)=t*e^tの逆関数W(t)のうち値域がW(t)≧-1となるものをW₀(t)値域がW(t)0, a=(4/9)^(4/9)とするx^x=a両辺自然対数をとってxlogx=logae^(logx)*logx=logaW関数の定義よりlogx=W(loga)ここで天下り的かつ要関数電卓だがt=log(4/9)≒−0.8109のときf(t)=log(4/9)*e^log(4/9)=log(4/9)*4/9=log{(4/9)^(4/9)}=logaよりW₀(loga)=log(4/9)同様にt=3*log(2/3)≒−1.216のときf(t)=3*log(2/3)*e^(3*log(2/3))=3*log(2/3)*(2/3)^3=log(2/3)*((2^3)/(3^2))=log{(2/3)^((2^3)/9)}=log{(2/3)^(2*(4/9))}=log{(4/9)^(4/9)}=logaよりW₋₁(loga)=3*log(2/3)以上よりlogx=log(4/9), 3*log(2/3)∴x=4/9, 8/27
一見ふざけた問題だが、よくよく見ていると”ある式の一般化”のいい例になっていますねぇ。実際に出たら、対数までは取るだろうけど、そこから先の微分で詰む人が多いんじゃないかと思う。しかし、問題文の構造を知っていれば苦も無く解けるというのが面白いところ。…もっとも、受験の現場でこれ出されたら面白がっても居られないだろうけどね。
対数とったら多少は見通しが良くなるかもしれませんx=4/9は自明x^x=(4/9)^(4/9)両辺対数をとってx*logx=(4/9)*log(4/9)=(2/3)²*log(2/3)²=(2²/3²)*2*log(2/3)=(2³/3²)*log(2/3)=(2³/3³)*3*log(2/3)=(2/3)³*log(2/3)³∴x=(2/3)³
自然対数か、常用対数を使って解く方が良くないですか?えーっと、私もまだこの問題に手をつけていないんですけどね。途中から解説がややこしいです。
ためになるなあ。
y=x^xdy/dx=(1+lnx)x^xx=exp(-1)でyが最小lim(x→+0)y=1y|x=1 = 1だから、y=(4/9)^(4/9)で確かに2つ解を持つ
x^x=c^c を解くとは突詰めれば c^t=c/t を満たす t を見つけ出すこと(c^c=(c^t)^(c/t)だから)ですね。c=4/9の場合は、(4/9)^t=(4/9)/t ⇔ (4^t)*9t=4*(9^t)。このまま連立方程式 4^t=4, 9t=9^t を立てると t=1。4=2^2, 9=3^2 に着目して (2^(2t))*9t=4*(3^(2t)) にすると 2t が整数(tが1/2刻)の物も発見できるとわかるから両辺を2倍して (2^(2t))*9(2t)=8*(3^(2t)) にしてから連立方程式 2^(2t)=8, 9(2t)=3^(2t) を立てると 2t=3。t=3/2 だから x^x=(4/9)^(4/9) を満たす x は、(4/9)^1 と (4/9)^(3/2) すなわち 4/9 8/27。
c^t=c/tと置き換えるのはどこから出てきたアイデアですか?自分で見つけ出すしかないですか?
[4/9以外の数]^△ という形を、(4/9)^(4/9)から、計算結果が変化しないように変形して作ろうとしたとき^(4/9) から一部削って ^ の左側の 4/9 に入れる方法しか思いつかなかったから、その形が出て来ました。^(4/9) を ^(t*{(4/9)/t}) に分解して t* の部分を削って左側の 4/9 に入れれば、計算結果は変化しませんよね。入れるとは言っても、◇^(t*~) は (◇^t)^~ ですから、tを掛ける操作がt乗する操作に変換はされますが...つまり、計算結果が変化しないことを保障しつつ作ろうと思ったら、((4/9)^t) ^ ((4/9)/t) という形しか作れなかったわけです。それで、計算結果が変化しない物の中に、(4/9)^t の値と (4/9)/t の値が一致する物があったら、その値も x なわけです。「 x^x = その計算結果」を満たす x 。
@@kjsaka なるほど、ありがとうございます
初見です。おはようございます
解説が優しい
ありがとうございます。
こういうとてもためになる動画が増えるとネタ潰しをされる大学・予備校の出題者たちはさぞかしお困りではないのだろうかw
右辺整理して2,3の指数着目したら偶々8/27見つけれたw
普通2解あるなんて気づかないのに問題作った人すごいなあと思ったけどグラフ描いてみたら普通に納得しました笑
祝日のため、遅くなりましたが、動画視聴ならびに答案のPDFアップを済ませました。note.com/pc3taro/n/ne2d6751b5f37y=x^x (x>0) のグラフの概形が分かっていれば、解を2個もつための条件が分かり、実際に自明な解1つからそうではない解1つをみつけることが出来ますね。
2つ目の (2/3)^2を外に出すスキル覚えておきたいです😃
おはようございます😃
解が2つだけであることを示し忘れた…
pという数は bでもnでも割れない数なのでしょうか?
答えが有理数じゃない時は解けないんですかねー
I believe that 4/9 is one of the solutions.
x=4/9他に解が無ければ問題として成立しないがx=4/9だけ書いても部分点はもらえるのか?
おはようございます。
面白い問題でした。
うん、なるほどなどこで使うんだ?
数学得意だったけど出だしのy’/yで「微分、そのままだから…」のところから何でそうなるんだっけ?って感じだった。
対数微分法は、逆関数の微分公式と合成関数の微分公式と(e^x)'=e^xから簡単に導けますよ。
右辺って1/eに近いんですね。初めて知りました。
おはようございます。特殊な方程式ですが、意外な場面で使い道があるかも知れないと、考えました。ありがとうございました。
面白い問題だけど、なんかズルい解法のような気がするこんな問題が入試で出たら知ってなければ絶対に解けんわ
すいません、なんかわからなくなりました非自明解は27/64ですか?でも(27/64)^(27/64)-(4/9)^(4/9)0にならないと思うんですけど(27÷64)^(27÷64)-(4÷9)^(4÷9)=-0.002564585034
動画をご覧下さい。
xが正の数っていうのは問題で与えられた条件ですか?
x>0で考えて下さい。
サムネから「もうひとつの解をみつけろ」という鈴木老師のセクシーボイスが聴こえてきました。eの底を取った対数を取ったとき、logxと定数/xのグラフから「二つ目」を見つけかけましたが、「で?」という感じになって止まってしまいました。指数で考えたら良かったかー。
受験数学面白いな
おやすみなさい
_人人人人人人人人人_> 解け < ̄Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y ̄
解け(威圧)
解け(迫真)
この人の見てれば早慶は余裕
こういう一般化や発展を自分でやろうと思うかどうかが、別れ目。
複素数とまでいかずとも X ‹ 0 の場合の考慮は???
ピント外れ連発で草
x
@@あいうえお-g4w8o 複素指数で検索.
@@あいうえお-g4w8o 『そのような記述』とは具体的に何のことですか?
@@あいうえお-g4w8o e^(πix)=(-1)^x (2行目右側の式)e^(πix)=cos(πx)+isin(πx) (オイラーの公式)ゆえに (-1)^x=cos(πx)+isin(πx)
なんか医学部の入試ってこんな感じで絶対やってないと解けへんやんっていうの出すからせこいよね…学問じゃなくて点を取るための訓練という感じ
基本的に医学部は「エキセントリックな発想で患者を治す」のではなく、「すでにある治療法をとにかく調べまくって、適切に当てはめて患者を治す」人を育てたい学部ですからね。前者も誰かがやらねばならん分野ではありますが、全員がそれでは困る…
なのに皆さんなぜあんなに医者を有り難がるんですかね?日本の医師をサービス業としてみた場合、合格レベルに達している医者が過半数に達しているのは精神科のみ。これは悲しい話ですが、事実です。特別な能力と権限を持っていても人間として終わってる奴が多すぎる。特に内科と眼科は本当に酷い。コロナ渦に対して様々な陰謀論が吹き出る根本的な理由も医師と業界の傲岸さにあるのは間違いないです。
この人見てれば東大も余裕
「うーん、9分の4やな!ww」
X=(2/3)^aに置換したら簡単にいけた
対数取っても行き詰まるし、やはり指数法則を使って与えられた式を ○^○ に変形するしかないかな、平方数なのがクサいなと思いつつ変形を試みるも、結局もとの式にもどってしまう。4:00 から後の変形のテクニックはちょっと思いつきません・・・。その後の一般化の話も含めて本日も勉強になりました。ありがとうございました。
こういう時x=4t/9でおいちゃう全然答え出ないじゃん!
結果、4/9と8/27と言うこと?
26/51は?
解の一つは9分の4
p/pは思いつかん
見る前:x=4/9じゃないの?見た後:わけわからん!!!!!文系だから「すべて求めよ」と言われるとパに来る
1/2^1/2=1/4^1/4???
両辺4乗すると1/2^2=1/4 あってるのか 不思議
指数、対数なんて学生時代から虚覚えだったしもう忘れたなー、解答見ても何言ってっかワカンネ。つーかタブレットじゃ老眼進み過ぎて指数が見えん。。。
一般化で見失ったよ!
変わった変形ですね
文系用 2:56
???? Why
あ
x=4/9
8/27しかなくね??って思ったら…
この1冊で高校数学の基本の90%が身につく「中学の知識でオイラーの公式がわかる」amzn.to/2t28U8C
オイラーの公式Tシャツ、合言葉は「貫太郎」です。www.ttrinity.jp/p/248613/
学校の図書室にあって感動
一般化したいけどやり方が分からないって思ってたので、後半の解説がすごいためになりました。
これが問題を作る側の思考なんですね!
貫太郎さんの動画を見始めてからの1年半の成果を今日の私大の入試で発揮したいと思います!
頑張ってください。
貴殿が不断の努力を発揮されますことを、心から祈っています。お気をつけて。
ご武運を!
頑張って!
🙏
この変形は初めて見た、テクニカルすぎる
p/pの発想が異次元
できそうでできない…そんな感覚でした。
P倍するところの発想が面白いです。必要条件を見つけるという感じですかね…
問題の作り方も知れて勉強になりました。
受験数学に関してはUA-camが一番参考になる。
4と9がそれぞれ累乗数だから、幾つかある手札の内でも直観的に整数問題に繋げれば良いと発想ができそうですね!
x,y が異なる正の実数で x^x=y^y なるとき、t=x/y と置くと x,y は t で表現することができ、
x,y が有理数ならば t も有理数で、それからそのような x,y をすべて求めることができます。
鈴木先生ならできると思うので、あとは略します。
余談ですが x^y=y^x も同様なことができます。
(すでに同様なコメントがありましたらごめんなさい。)
訂正。最初に考えてたのは t=y/x でした。まあ本質的に変わりはありませんが…
x,y を異なる正の有理数とします。t=y/x と置くと t も正の有理数で t≠1。
y=tx なんでx^x=y^y=(tx)^(tx) 、1/x 乗すると x=(tx)^t=(x^t)(t^t)、x^t で割ると x^(1-t)=t^t
t は 1 でないので x=t^(t/1-t)) 、y=xt=t^(1+(t/(1-t)))=t^(1/(1-t))
t は有理数なんで互いに素な正の整数として t=n/m と置くと x=(n/m)^(n/(m-n))
y=(n/m)^(m/(m-n)) で n,m を入れ替えても x,y が入れ替わるだけなので
n>m としてよい。x,y が、有理数となるためには n,m が m-n と互いに素なので
a=m-n と置くと n,m は、何かの整数のa乗に等しくなければならない。
そこで n=u^a,m=v^a と置くと m=n+a なので v^a=u^a+a 、明らかに v>u なので v=u+b と置く。
a≧2 ならば二項定理より a=v^a-u^a=(u+b)^a-u^a≧aub^(a-1)+b^a≧a+1 より矛盾、
よって a=1 、ゆえに m=n+1、したがって x=(n/(n+1))^n, y=(n/(n+1))^(n+1)
または x,y を入れ替えたもののが有利数解である。
「編集」のやり方を知らなかったため失礼しました。とりあえずこのままにしておきます。
7:00頃のpの条件ですが、p=aᵐ(m≧2)とはならないようです。
b/a (1≦b
浪人生の頃、誰かから聞いた「a = a × 1 = a × p/p」みたいにあえて“1”を作るってのを思い出しました。
懐かしく楽しい10分をありがとうございました。
lim x^x(x→+0)=1は以下のように示せます。
lim logx^x (x→+0)
=lim xlogx (x→+0)
=lim (1/t)log(1/t) (x=1/tとおき、t→∞とした)
=-lim logt/t (t→∞)
=0
よって、lim x^x (x→+0)=e^0=1
本番で自明としていいような話ではないので、記述なら必ず言及した方がいいです。
また、lim log t/t(t→∞)=0は基本的に自明でいいですが、
どうしても示さないといけない場合は
「t>1の時に0
訂正します
(a/b)^n=(1+1/n)^n < e かな?
誘導付きでこのようなタイプの一般化証明問題大学入試で出そうですね
後半の一般化の解説、ためになりました。x^xのグラフの形状がわかっていれば、解が二個あるのはわかりますが、初めてだと戸惑いますね。真面目で面白い問題でした。
テストの問題にするなら(1)x^x=kを満たす解の
個数は?ってやつが誘導に入るかな?
x^xを負の方向まで拡大すると離散的なグラフと
連続的なグラフが一緒に楽しめますよ。
ちなみに私が使っているアプリでx^xを出した
ところ、(0,1)は通る判定を受けました。
なんで解は4/9の1つだけではないか、が最初よくわからなかったが、なるほど。y=x^xが単調増加の関数だったら解は1つだけだけど、微分すると解が2つの範囲があると分かるからなのね。こういう他の可能性を疑うセンスやそれを調べられる能力って大事よね。
こういう一般化が楽しいですよね☺️
庭の梅の花が咲きはじめました。(1)1つの解は、ご覧のとおりx=4/9ですね。(2)2番目の解は爺は次のように考えました。右辺は(2/3)^(8/9)と変形できますから、左辺のxを、x=(2/3)^pとおくと、指数から、p=2・(2/3)^(2ーp)これからp=3とでますから、X=8/27がでます。ここで、(2)の・は積のつもりです。(3)感想、この問題を解くのに爺は、すこし知恵熱が出ました。弱い脳みそを、もつと苦労します。
知恵熱の意味間違えてますよ
@@_tower9552 乳幼児に関係があるんだね。爺見たいな、弱い脳味噌の持ち主に関係があると思い、面白はんぶんに、つかっていました。有り難う御座います。
@@田舎の爺さん 爺 猛者って感じする
最初の挨拶、あたかもこの人の名前が「真面目な方程式」っぽく聴こえてじわじわくる
おはようございます。
ここにも、(極限としてですが、)0^0 が !
それはさておき、この問題を理解するには、2度見3度見が必要なようです。
備忘録75G"【 方程式の 実数解の xの値 ⇔ グラフの 共有点の x座標 】 x > 0 のとき、
f(x)= x^x ( >0 ) とおく。 log f(x)= log x^x 両辺を xで微分すると、f'(x)/f(x)= logx+1
f'(x)= ( logx+1 )・f(x), f'(x)=0 とおくと、x= e⁻¹ 増減表より 極小値 : f(e⁻¹)= ( e⁻¹ )^e⁻¹
与式 ⇔ f(x)= ( 4/9 )^4/9 だから、 x= 4/9 は 解の一つである。・・・① グラフより、
0 < x < e⁻¹ の範囲にもう一つダケ 存在する。 [ ここからは、指数法則に注意して 試行錯誤 ]
( 4/9 )^4/9 = ( 2/3 )^3・8/9・3 = ( 8/27 )^8/27 よって、
もう一つの解は、 x= ( 8/27 )^8/27 ・・・② 以上より、求める実数解は ① ② ■
ヨシッ❗
後半は問題を作る人向けだな(笑)。
自分は、1/eを軸にして、大体線対称の位置にある値だろうと予想して、
4/9=12/27、1/e=1/2.7…≒10/27なんで、8/27ぐらいだなと当たりを付けて、確認して見つけました。
当たりをつけて解けちゃうのがすごい!
テクニカルすぎて、いい問題とは思えんなぁ...
最近知りましたが、ランベルトのW関数が背景知識としてあれば解が2つあることは自明のようです。
この問題においては変形が天下り的というのは同意ですが、ランベルトのW関数自体は自然現象を説明するのによく用いられるようなので、豆知識として勉強しておいても損はなさそうです。
お晩です。さっき帰ってきて、今日の問題に早速取り組みましたが、エー、行き止まりの袋小路を行ったり来たり。お手上げです。こんな問題をどこから持ってくるんだろうか?明日もよろしくお願いします。
一般化したくなるあたりさすが数学屋さん
分かります
横市の医をやって欲しいな
真面目に別解
f(t)=t*e^tの逆関数W(t)のうち
値域がW(t)≧-1となるものをW₀(t)
値域がW(t)0, a=(4/9)^(4/9)とする
x^x=a
両辺自然対数をとって
xlogx=loga
e^(logx)*logx=loga
W関数の定義より
logx=W(loga)
ここで天下り的かつ要関数電卓だが
t=log(4/9)≒−0.8109のとき
f(t)=log(4/9)*e^log(4/9)
=log(4/9)*4/9
=log{(4/9)^(4/9)}
=logaより
W₀(loga)=log(4/9)
同様に
t=3*log(2/3)≒−1.216のとき
f(t)=3*log(2/3)*e^(3*log(2/3))
=3*log(2/3)*(2/3)^3
=log(2/3)*((2^3)/(3^2))
=log{(2/3)^((2^3)/9)}
=log{(2/3)^(2*(4/9))}
=log{(4/9)^(4/9)}
=logaより
W₋₁(loga)=3*log(2/3)
以上より
logx=log(4/9), 3*log(2/3)
∴x=4/9, 8/27
一見ふざけた問題だが、よくよく見ていると”ある式の一般化”のいい例になっていますねぇ。
実際に出たら、対数までは取るだろうけど、そこから先の微分で詰む人が多いんじゃないかと思う。
しかし、問題文の構造を知っていれば苦も無く解けるというのが面白いところ。
…もっとも、受験の現場でこれ出されたら面白がっても居られないだろうけどね。
対数とったら多少は見通しが良くなるかもしれません
x=4/9は自明
x^x=(4/9)^(4/9)
両辺対数をとって
x*logx=(4/9)*log(4/9)
=(2/3)²*log(2/3)²
=(2²/3²)*2*log(2/3)
=(2³/3²)*log(2/3)
=(2³/3³)*3*log(2/3)
=(2/3)³*log(2/3)³
∴x=(2/3)³
自然対数か、常用対数を使って解く方が良くないですか?えーっと、私もまだこの問題に手をつけていないんですけどね。途中から解説がややこしいです。
ためになるなあ。
y=x^x
dy/dx=(1+lnx)x^x
x=exp(-1)でyが最小
lim(x→+0)y=1
y|x=1 = 1
だから、y=(4/9)^(4/9)で確かに2つ解を持つ
x^x=c^c を解くとは突詰めれば c^t=c/t を満たす t を見つけ出すこと(c^c=(c^t)^(c/t)だから)ですね。
c=4/9の場合は、(4/9)^t=(4/9)/t ⇔ (4^t)*9t=4*(9^t)。このまま連立方程式 4^t=4, 9t=9^t を立てると t=1。
4=2^2, 9=3^2 に着目して (2^(2t))*9t=4*(3^(2t)) にすると 2t が整数(tが1/2刻)の物も発見できるとわかるから
両辺を2倍して (2^(2t))*9(2t)=8*(3^(2t)) にしてから連立方程式 2^(2t)=8, 9(2t)=3^(2t) を立てると 2t=3。
t=3/2 だから x^x=(4/9)^(4/9) を満たす x は、(4/9)^1 と (4/9)^(3/2) すなわち 4/9 8/27。
c^t=c/tと置き換えるのはどこから出てきたアイデアですか?自分で見つけ出すしかないですか?
[4/9以外の数]^△ という形を、(4/9)^(4/9)から、計算結果が変化しないように変形して作ろうとしたとき
^(4/9) から一部削って ^ の左側の 4/9 に入れる方法しか思いつかなかったから、その形が出て来ました。
^(4/9) を ^(t*{(4/9)/t}) に分解して t* の部分を削って左側の 4/9 に入れれば、計算結果は変化しませんよね。
入れるとは言っても、◇^(t*~) は (◇^t)^~ ですから、tを掛ける操作がt乗する操作に変換はされますが...
つまり、計算結果が変化しないことを保障しつつ作ろうと思ったら、((4/9)^t) ^ ((4/9)/t) という形しか作れなかったわけです。
それで、計算結果が変化しない物の中に、(4/9)^t の値と (4/9)/t の値が一致する物があったら、
その値も x なわけです。「 x^x = その計算結果」を満たす x 。
@@kjsaka
なるほど、ありがとうございます
初見です。おはようございます
解説が優しい
ありがとうございます。
こういうとてもためになる動画が増えると
ネタ潰しをされる大学・予備校の出題者たちはさぞかしお困りではないのだろうかw
右辺整理して2,3の指数着目したら偶々8/27見つけれたw
普通2解あるなんて気づかないのに問題作った人すごいなあと思ったけどグラフ描いてみたら普通に納得しました笑
祝日のため、遅くなりましたが、動画視聴ならびに答案のPDFアップを済ませました。
note.com/pc3taro/n/ne2d6751b5f37
y=x^x (x>0) のグラフの概形が分かっていれば、解を2個もつための条件が分かり、実際に自明な解1つからそうではない解1つをみつけることが出来ますね。
2つ目の (2/3)^2を外に出すスキル覚えておきたいです😃
おはようございます😃
解が2つだけであることを示し忘れた…
pという数は bでもnでも割れない数なのでしょうか?
答えが有理数じゃない時は解けないんですかねー
I believe that 4/9 is one of the solutions.
x=4/9
他に解が無ければ問題として成立しないが
x=4/9だけ書いても部分点はもらえるのか?
おはようございます。
面白い問題でした。
うん、なるほどな
どこで使うんだ?
数学得意だったけど出だしのy’/yで「微分、そのままだから…」のところから何でそうなるんだっけ?って感じだった。
対数微分法は、逆関数の微分公式と合成関数の微分公式と(e^x)'=e^xから簡単に導けますよ。
右辺って1/eに近いんですね。初めて知りました。
おはようございます。特殊な方程式ですが、意外な場面で使い道があるかも知れないと、考えました。ありがとうございました。
面白い問題だけど、なんかズルい解法のような気がする
こんな問題が入試で出たら知ってなければ絶対に解けんわ
すいません、なんかわからなくなりました
非自明解は27/64ですか?
でも(27/64)^(27/64)-(4/9)^(4/9)0にならないと思うんですけど
(27÷64)^(27÷64)-(4÷9)^(4÷9)
=-0.002564585034
動画をご覧下さい。
xが正の数っていうのは問題で与えられた条件ですか?
x>0で考えて下さい。
サムネから「もうひとつの解をみつけろ」という鈴木老師のセクシーボイスが聴こえてきました。
eの底を取った対数を取ったとき、logxと定数/xのグラフから「二つ目」を見つけかけましたが、「で?」という感じになって止まってしまいました。指数で考えたら良かったかー。
受験数学面白いな
おやすみなさい
_人人人人人人人人人_
> 解け <
 ̄Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y ̄
解け(威圧)
解け(迫真)
この人の見てれば早慶は余裕
こういう一般化や発展を自分でやろうと思うかどうかが、別れ目。
複素数とまでいかずとも X ‹ 0 の場合の考慮は???
ピント外れ連発で草
x
@@あいうえお-g4w8o 複素指数で検索.
@@あいうえお-g4w8o 『そのような記述』とは具体的に何のことですか?
@@あいうえお-g4w8o
e^(πix)=(-1)^x (2行目右側の式)
e^(πix)=cos(πx)+isin(πx) (オイラーの公式)
ゆえに (-1)^x=cos(πx)+isin(πx)
なんか医学部の入試ってこんな感じで絶対やってないと解けへんやんっていうの出すからせこいよね…
学問じゃなくて点を取るための訓練という感じ
基本的に医学部は「エキセントリックな発想で患者を治す」のではなく、「すでにある治療法をとにかく調べまくって、適切に当てはめて患者を治す」人を育てたい学部ですからね。
前者も誰かがやらねばならん分野ではありますが、全員がそれでは困る…
なのに皆さんなぜあんなに医者を有り難がるんですかね?
日本の医師をサービス業としてみた場合、合格レベルに達している医者が過半数に達しているのは精神科のみ。これは悲しい話ですが、事実です。
特別な能力と権限を持っていても人間として終わってる奴が多すぎる。
特に内科と眼科は本当に酷い。
コロナ渦に対して様々な陰謀論が吹き出る根本的な理由も医師と業界の傲岸さにあるのは間違いないです。
この人見てれば東大も余裕
「うーん、9分の4やな!ww」
X=(2/3)^aに置換したら簡単にいけた
対数取っても行き詰まるし、やはり指数法則を使って与えられた式を ○^○ に変形するしかないかな、平方数なのがクサいなと思いつつ変形を試みるも、結局もとの式にもどってしまう。4:00 から後の変形のテクニックはちょっと思いつきません・・・。
その後の一般化の話も含めて本日も勉強になりました。ありがとうございました。
こういう時
x=4t/9
でおいちゃう
全然答え出ないじゃん!
結果、4/9と8/27と言うこと?
26/51は?
解の一つは9分の4
p/pは思いつかん
見る前:x=4/9じゃないの?
見た後:わけわからん!!!!!
文系だから「すべて求めよ」と言われるとパに来る
1/2^1/2=1/4^1/4???
両辺4乗すると1/2^2=1/4 あってるのか 不思議
指数、対数なんて学生時代から虚覚えだったしもう忘れたなー、解答見ても何言ってっかワカンネ。
つーかタブレットじゃ老眼進み過ぎて指数が見えん。。。
一般化で見失ったよ!
変わった変形ですね
文系用 2:56
???? Why
あ
x=4/9
8/27しかなくね??って思ったら…