Два геометрических доказательства теоремы про тангенсы | Ботай со мной
Вставка
- Опубліковано 29 сер 2024
- #БотайСоМной #053
Два доказательства теоремы про тангенсы
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Яндекс.Деньги): money.yandex.r...
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
В субботу днём вышло видео [ • Геометрическое доказат... ] с геометрическим доказательством формулы Герона. Оно было основано на красивом тригонометрическом факте -- если сумма трёх углов равна 180 градусов, то сумма их тангенсов равна произведению их тангенсов. В том видео я сказал, что не умею доказывать это утверждение чисто геометрически, и предложил моим подписчикам подумать о том, как это можно было бы сделать.
В тот же вечер Ришат прислал одно геометрическое доказательство, а в воскресенье Иван прислал еще одно.
И вот, в понедельник утром я решил записать для вас видео с рассказом про эти доказательства )
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
9 класс. Подготовка к ОГЭ: trushinbv.ru/oge9
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 1-12): trushinbv.ru/eg...
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/eg...
11 класс. Подготовка к олимпиаде Физтех: trushinbv.ru/fi...
Другие курсы Фоксфорда: foxford.ru/lib...
Личный сайт: TrushinBV.ru
ЕГЭ и ОГЭ по математике | Борис Трушин: ege_tru...
Группа сайта TrushinBV.ru: trushin...
Личная страница: trushinbv
Группа сайта: / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
Инстаграм: / trushinbv
UA-cam-канал: / trushinbv
Спасибо, Борис! Очень изящно. Получил эстетическое удовольствие от просмотра и осмысления ролика. Очень жаль, что удовольствие от доказательства теорем начал получать не в школе а... после окончания вуза, в 24 года.
Никогда не поздно)
За вступление как обычно лайк не глядя
За вступление как обычно дислайк. =(. Отвратительно.
@@tdu819 чел, ты..
Вот это да! Захотел - и на тебе! Спасибо, ребята! Герон стал из алгебы геометрией :))
Суровое и элегантное доказательство. Спасибо! ❤😍❤
Гении...
Смотрю на количество лайков и просто радуюсь за человечество :)
Я: сложная интересная тема
Видео начинается
Борис,: Все! Все! Все!
Я: надо же
просто супер, геометрия это крутая дисциплина
Можно воспользоваться теоремой о том, что для любой точки: ha/Ha + hb/Hb + hc/Hc = 1, где Ha, Hb, Hc - высоты треугольника, ha, hb, hc - высоты точки (со знаком). Для ортоцентра имеем: ha/Ha = (ba/Ha)*(ca/Ha) = (1/tgB)*(1/tgC), где ba и ca - проекции сторон b и c на сторону a.
Настоящая Магия! Молодцы ребята!!!
Борис, что думаете насчет идеи снять видео о простых геометрических фактах, которые школьники обычно запоминают, не понимая, откуда они взялись? Например, неравенство треугольника, теоремы о средней линии, соотношения между углами и сторонами (против б. стороны лежит б. угол) и пр.?
Про неравенство треугольника и против большей стороны лежит больший угол давно хочу снять. Спасибо, что напомнили )
Второе доказательство мне понравилось больше, и оно более наглядно. Но первое, которое само по себе тоже красивое, легче распространяется и на случай тупоугольного треугольника. Отличие лишь в том, что вместо суммы площадей треугольников берётся их разность.
Да, это жестко...
Красиво
да, именно как во вступлении я решаю геометрию
красотища
Поздравляю. Вы геометрически доказали формулу тангенса суммы (как легко проверить после того как гамму убрали, эта родимая формула и получается). А если еще немного повозиться, учитывая что
(sin(x)cos(y)+sin(y)cos(x))^2 + (cos(x)cos(y)-sin(y)sin(x))^2 = 1,
то и формулы синуса и косинуса суммы.
Волшебство
думаю, это можно доказать в оруглах.
Спасибо, Борис Викторович, Ришар и Иван!
Красиво..
Как первое решение выглядит с тупым углом треугольника интуитивно ясно. Нужно рассмотреть не сумму площадей, а разность (ещё не проверил, но вроде должно сработать.. :)
А вот, как во втором способе быть с тем, если один угол тупой, а два других - острые? Кто-нибудь знает, как второй способ обобщить на любой треугольник?..
Проверил для тупоугольного треугольника, на основе 1го способа. Картинка другая, но все сошлось, соотношение работает
Я натолкнулся на видео с разбором Гаокао(китайского эквивалента ЭГЭ) и там одна задача с этим материалом:
А+В+С=180 град,sinA=2sinBSinC.Какое наименьшее значение может принимать tgAtgBtgC.
Я вывел формулу tgAtgBtgC=tgA+tgB+tgC и дальше застопорил.Мне кажется,что сумму легче оценивать снизу?
Как вы считаете?
2sinBsinC = sinA = sin(B+C) = sinBcosC+cosBsinC, 2tgBtgC = tgB+tgC, (2tgB-1)(2tgC-1)=1, b=tgB, c=tgC, tgA=-tg(B+C)=-(b+c)/(1-bc), tgAtgBtgC=-(b+c)bc/(1-bc), 2bc=b+c, c=b/(2b-1), -(b+c)bc/(1-bc) = -(b+b/(2b-1))b^2/(2b-1)/(1-b^2/(2b-1)) = -(2b^4/(2b-1))/(2b-1-b^2) = 2b^4/((2b-1)(b-1)^2), эта функция может быть сколь угодно малой и сколь угодно большой, т.к. на бесконечности эквивалентна 2b^4/(2b•b^2)=b.
Вопрос ко второму доказательству:
Откуда мы взяли, что альфа+бета+гамма=180 градусов?
Сумма углов треугольника
@@andreyshudrik1140 какого треугольника? Каждый угол находится в разных треугольников
Albert π_π узнал?
это условие, то есть мы хотим доказать что если сумма альфа бетты и гаммы 180 град, то выполняется равенство который Борис уже доказал.То есть это всего лишь условие, но это не выполняется для произвольных углов тангенса
Здравствуйте, Борис! Наткнулся на одну жуткую 19 задачу про мышей и вино. Как её вообще объяснять?!
Катарсис 2 решение
мужик в юморе просто жесток
Подскажите, а в обратную сторону работает: если сумма тангенсов равна их произведению, то сумма углов равна 180?
Сумма углов треугольника всегда 180 градусов
Это аксиома
@@user-uk1eu4md8e, это теорема, которая несложно доказывается. Если не верите, то уточните в школьном учебнике.
@@user-uk1eu4md8e Имелось в виду, истинно ли следующее высказывание? tgα+tgβ+tgγ=tgα*tgβ*tgγ α+β+γ=π/2
перенеси tg y в правую сторону, раздели на 1-tga*tgb, получишь -tg(a+b) = tg y, понятно отсюда, что a + b + y = pi*n, n в Z, в геоме углы меньше pi и больше нуля, тогда 0< a + b + y < 3pi, значит возможные варианты - pi, 2pi, ну или их сумма - 360 или 180 градусов. Если все углы - острые, то их сумма не превосходит 3pi/2 -> единственный вариант - 180 градусов.
Ты можешь задать вопрос, почему я так фривольно поделил на tg a tg b - 1, ведь tg a*tg b вполне могло быть единичкой. Хорошо, если tg a*tg b = 1, то получаем равенство: tg a + tg b + tg y = tg y, я думаю вполне очевидно, что tg a, tg b не нули и одного знака, но тогда такое выражение выше "абсурдно". И такое могло произойти, если a + b = pi/2 + pi n, но тогда и прямая теоремка не очень формулируется.
почему сумма отношении площадей треугольников даст нам площадь большего треугольника
это площади 3х треугольников на которые разрезают данный треугольник. Сумма трех площадей меньших треугольников равна площади большого
"Какие могут быть тупые " как воду глядел
Предлагаю назвать эту теорему- теоремой Трушина.
все призовых мест не осталось!!!
второе тоже занято уже))
Почему бы для угла бетта не воспользоваться равенством углов при взаимоперпендикулярности сторон? Так будет быстрее.
Может я чего то не понял, но второе доказательство же не работает для случаев, если в начале у треугольников разные длины катетов?
А где доказательство для теоремы котангенсов?)
первый)
Третий год смотрю эти доказательства (особенно второе) и постоянно ощущаю магию.
На какие "остальные" случаи? Есть только один другой случай - тупоугольный треугольник (у которого, конечно, только один угол тупой). Ведь у прямоугольного треугольника не у всех углов есть тангенс.
Вроде работает и для тупых углов(для проверки взял углы 30⁰;45⁰,105⁰)
Вроде? Точно проверил? Пересчитай ещё раз.
Углы со взаимно перпендикулярными сторонами РАВНЫ.
ЭТО проходили древние Греки.
ну и последний шаг никто не сделал - геометрически доказать на тупых углах