What if countability is inconsistent? (adopted from Mueckenheim): If the fractions m/n are enumerated by the natural numbers k according to Cantor's function k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m then all the fractions of the sequence 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, ... are enumerated. But if the natural numbers first are in bijection with the integer fractions of the first column of the matrix 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... 2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ... 3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ... 4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ... 5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ... ... then they must be distributed over the matrix such that no fraction remains without index. That means, there is a permutation such that the X of the first column XOOOO... XOOOO... XOOOO... XOOOO... XOOOO... ... by being exchanged with the O's cover all matrix positions. All O's will vanish. This is obviously impossible because exchanging cannot reduce them. The number of not indexed fractions, represented by O's, will remain constant forever, in infinity. Why do mathematicians believe in Cantor yet?
Was ich nicht verstanden habe ist, dass die Menge der ganzen Zahlen mindestens doppelt so groß wie die Menge der natürlichen Zahlen sein muss, wie kann die Funktion dann bijektiv sein? (Schon klar, dass Z und N unendlich sind, aber ist trotzdem für mich schwer zu verstehen)
Moin, aber "- (n-1) / 2" und "(1-n)/2" münden ins gleiche Ergebnis also ist das kein Fehler :) Du kannst das Minus auch vertauschen also gerade = "- n/2" ungerade n+1/2. Das ist wurscht ;)
Deine Videos sind echt sehr hilfreich :D mach bitte unbedingt mehr
Danke für das positive Feedback. Ich versuch mein Bestes :-)
stark, das macht es mir viel einfacher!
Danke :)
Hey, wieder einen guten mathekanal gefunden 🤩 danke dafür und abo habe ich natürlich gleich da gelassen
What if countability is inconsistent? (adopted from Mueckenheim):
If the fractions m/n are enumerated by the natural numbers k according to Cantor's function
k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m
then all the fractions of the sequence
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, ...
are enumerated.
But if the natural numbers first are in bijection with the integer fractions of the first column of the matrix
1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ...
3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ...
4/1, 4/2, 4/3, 4/4, ...
5/1, 5/2, 5/3, 5/4, ...
...
then they must be distributed over the matrix such that no fraction remains without index. That means, there is a permutation such that the X of the first column
XOOOO...
XOOOO...
XOOOO...
XOOOO...
XOOOO...
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by being exchanged with the O's cover all matrix positions. All O's will vanish. This is obviously impossible because exchanging cannot reduce them. The number of not indexed fractions, represented by O's, will remain constant forever, in infinity. Why do mathematicians believe in Cantor yet?
Was ich nicht verstanden habe ist, dass die Menge der ganzen Zahlen mindestens doppelt so groß wie die Menge der natürlichen Zahlen sein muss, wie kann die Funktion dann bijektiv sein? (Schon klar, dass Z und N unendlich sind, aber ist trotzdem für mich schwer zu verstehen)
Also bei unendlichen Zahlen gibt es ja eigentlich kein "doppelt so groß". Es gibt albzählbar unendlich oder überabzahlbar unendlich.
Was ist ûberabzählbar?
Omg ich liebe dich
Kleiner Fehler: f(n) ist für die ungeraden natürlichen Zahlen (1-n)/2 :-)
Ansonsten top Videos, mehr davon bitte👍🏼
Moin, aber "- (n-1) / 2" und "(1-n)/2" münden ins gleiche Ergebnis also ist das kein Fehler :) Du kannst das Minus auch vertauschen also gerade = "- n/2" ungerade n+1/2. Das ist wurscht ;)