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7:24互いに素でないといけない証明akx≡bk(modc) と表せるとする。このときakx=cl+bkからax=cl/k+bより、cl/k=ax-b(整数)…①kとcが互いに素のとき①式よりlがkの倍数(l=km)となるのでax=cm+b→ax≡b(modc)よって成立kとcが互いに素でないときk=Kg,c=Cgとすると(gは最大公約数)①式より、Cgl/Kg=ax-bCl/K=ax-b前述に帰着することでax≡b(modC)ax≡Ct+b(modc)(0≦t
知ったかしないで🙂
xが抜けてたみたいなので訂正しました
より簡潔に証明出来るはずです。 ax≡bx (mod.n)⇔x(a-b)≡0(mod.n)⇔x(a-b)はnの倍数︎ ︎ ︎ ︎xとnが互いに素なときはa-bがnの倍数となるので⇔a≡b (mod.n)
@coll eague ax≡bx の両辺がxで割れる ⇔ sx≡1 の同値変形が分からないので教えてもらえませんか？
合同式の割り算は割る数と法が互いに素という点も忘れずに指摘しているのは素晴らしいですね
合同式学ならそれは当たり前でしょ
そう言うことを言ってるんじゃ無い
@@先生さいぱん当たり前のことを当たり前って言って何が楽しいの
@@KDDI931当たり前って言えるほど自信があるってことだからそれはそれでよしじゃないのですか
@@KDDI931楽しいとか楽しくないとかという問題ではないのです
一応青チャートに載っている事だけどこの人が「こっちの方が簡単」って言って口で説明してくれると嬉しいわ。
教科書読むのと人が解説するのとは理解度段チ
@@ニャン太郎-x3z それは理解してるつもりになってるだけなんだよ
@@いい-f4i なんかズレてて草
@@いい-f4i 何について言及してんのか訳わからん
@@いい-f4i 会ってもない人のこと理解してる気になってて草
代数を専攻していた者ですが、正直これ大丈夫か？っていう感想です。答えは合っていますが、式を組み合わせる方法は「同値変形」ではないからかなり要注意です。（必要条件にすぎない）例えば4:49の 2x ≡ -2 (mod 4) がもうやばいです。この式の必要十分条件は x ≡ 1 (mod 2) つまり x ≡ 1,3 (mod 4) となって、解でない値も現れてしまっています。これはその前の 3x ≡ 1 (mod 4) の必要条件であって十分条件でないからこういうことが起こります。基本的には左辺か右辺の片方だけをいじって割っていく方法か演算表をおすすめします。
整数方程式ax+by=cはGCD(a,b)=1ならば0≦x≦b-1の範囲で整数解をもつという事実があるので、式変形をしていき x≡k(mod b) (0≦k≦b-1) という必要条件を導出できれば答えを求められます。動画のようにx≡k(mod b)を求めても必要条件にすぎないため ak+by=1を満たす整数yが存在するかはわからないが、x≡kでないxは不適であることと0≦x≦b-1の範囲で解が存在するということからx=kが解(の一つ)になります。たぶん
GCD(a,b)=1 の場合は x の整数解は mod b で必ず１つに定まります（整数解としては無限に存在）だからふつうに同値変形すれば必要十分な解が得られるはずなんですが・・・（河野さんは頭がいいから自分でフォローできてるだけで、やり方はよくないです）GCD(a,b)=1 の場合は解が mod b で２つ以上存在することはありえないですもちろん解が存在しないこともありえません例）x ≡ 1 (mod 4) とする x ≡ 1 (mod 4)この２式を足して 2x ≡ 2 (mod 4)これを解くと x ≡ 1 (mod 2)すなわち x ≡ 1, 3 (mod 4)あら不思議※２式目⇒３式目が同値変形ではありません
@@ryomiyazawa822「これを解くと」の部分で何をしてるのか教えてください。動画ではmodが変わる部分がなかったので動画では行われてない操作をしたのだと思うのですが。
@@あんまめ-y7h 少々マニアックですが、mod ごと両辺を 2 で割っています。もちろん基本的には河野さんのいうように、2 は mod の 4 と互いに素ではないため両辺を 2 で割ってはいけないという認識でいいですが、mod ごと 2 で割ってしまうことで同値変形ができます。 2x ≡ 2 (mod 4)⇔ 2x − 2 は 4 の倍数⇔ x − 1 は 2 の倍数⇔ x ≡ 1 (mod 2)
ちょうど授業でここやっているんだけど、おすすめに出てきた…。おすすめ有能すぎる！！そしてわかりやすい解説をしてくださる河野さんにもありがとう！
サムネイルにもあった 35x+48y=3 で考えると、35と48が互いに素であることからy の解が y=35k+ (特殊解）の形になることが割れてるので、y を35で割った余りがそのまま特殊解になるから 35を法とした合同式が有効ってことですね。
この文で理解した
どゆこと？
@@sai-vj6xm 特殊解を(x,y)=(a,b)としてx,yに代入すると、35a+48b=3これを35x+48y=3から引くと、35(x-a)+48(y-b)=035(x-a)=-48(y-b)35と48は互いに素だから、y-bが35の倍数の時のみ成立すると考えると、kを整数として、y-b=35ky=35k+bということは、yを35で割ると、yの特殊解の分だけ余るんですよね(確認は特にしてないので間違いがあったらすみません)追記 1箇所表記ミスがあったので訂正しました
@@bocaasan ありがとうございます！わかりやすく説明してくれてありがとうございます！
@@bocaasan 最後のとこy＝-35k+bだと思うんですけどどうでしょう
やっぱ合同式は神。最近は合同式の扱い方を知らない人が多いからこういう動画本当に助かります。
お前も知らないんかいw他人事みたいにいうなや
今までじゃひたすら代入しないと求めれなかった問題の（3）を自力で解けるようになって気持ちいいです。本当に感謝です🙇♂️🙇♂️🙇♂️
ユークリッドの互除法がこれを求める一般的なやり方です！
(3)くらい係数が大きい式にひたすら代入は草。さすがにネタコメやろ
@@ww濫用の凪子 俺だったら2で諦める
@@コフマコゾエ 括るやつの方が一般的やないか？
「ここまでは難しくないですよね？」で心が折れた
このコメントめっちゃ好き
それな、もうやり方暗記しよう
ここまでくらいは頑張ろうや
それはもそも合同式頑張れ
mod4のもとで4y≡0なので11x≡1だと思う
mod小さい方割る数はmodの数と互いに素でないといけない合同式を使って特殊解を求める
共テ模試にも出てきてこれのおかげで秒で解けました、、ありがとうございます！！！！
この系統は初手ユークリッド安定だけど計算ミス怖いから助かった
今年の共通テスト数学IAの整数でこの考え方めっちゃ使えたー。見てよかった。
このまま一般もがんばれ！！！
@@dysun6182 なんか暖かい気持ちになったわサンガツ
@@ICE-pi6jeええんやで
この動画本当に助かった！！感謝しかない
modがもっと好きになるぅぅ
😐
もっども〜っど
たけmod
@@Teu_Y もっど！！
みんな 余ーるく たけもっどピアノ♫
最近授業でこの方法を説明してたんですけど意味わからなかったので助かりました！🥺
こんにちは！中学生です！高校生になったらやるんですか？
@@hironnbeach 大学受験でいいところ行くなら必須普通科でもやらないところはやらない
今年の共通、この考えかたがモロに有用でしたね
それな
モロ『やめてくれ。その攻撃は俺に効く。』
@@Bomb_Alice おもんな
@@Bomb_Alice 俺は結構好きやで
@@Bomb_Alice ﾀﾀﾅｲ👎
本質は同じですが、11x+4y= -x+4(y-3x)として、係数を小さくしている操作をしているようです
来週テストで数Aまじで理解してなかったけどこれ見て自信わいてきた！
定期考査でこの解き方したらはねられた計算式も答えも合ってたのに、、
ちょうど範囲で助かる。すぐ学生助けちゃうんだから♡
あした整数が範囲の定期試験あるから助かりした！ありがとう河野さん！！！
めっちゃ良かったね
ベストタイミング！
ベストではないと思う。これはあくまで受け身ではあって修得はしてなさそう。キツいと思うがこの人次第。
@@まる助楓 たしかに
@@まる助楓 この程度がキツいと思うなら合同式の勉強し直した方がいいですよ、、、
今年の共テがmod使うと便利って見て学校でmod教えてくれなかったので助かります🙇
今ちょうど数Aの整数の分野やってるんでめっちゃ助かります✨
めちゃくちゃわかりやすいです！！ありがとうございます🙇♂️
ちょうど今授業で一時不定やってたんでめっちゃ助かりましたありがとうございます
modはまじで便利だから使った方がいいよね。
ずっとまってたぞこれ！！！
modは分からずに使っている受験生がたくさんいるってなんかの参考書に書いてあったけど、コメ欄でそれがよく分かった
解き方は間違っていませんが，結果は減点でしょう。例えば(1)はその書き方であればx＝y＝3でも良いのか(代入すれば方程式が成立しない)と言うことになりかねませんし，解き方より方程式に合うように元に戻すことが肝です。以下，解答の一例(いずれもnは整数，小問毎に同一とする)：(1) (x, y)＝(4n-1, 3-11n)(2) (x, y)＝(48n-15, 11-35n)(3) (x, y)＝(1001n-99, 10-101n)二元の一次不等式ですし，ある一つの文字が不定なだけの解が出なければなりません。
この動画は特殊解を見つけることに重きを置いてるのでそこは省略しているだけです
バカ晒してて草
未だにノリでしか解けないけどそれでいいんかな～っていつも思う。合同式も分かるけどひっぱり出すより自分は楽。(2)48-35は13 あと10の差かーあ 35の倍は70、7*7=49 じゃん490なら480引けば10だなよっしゃ式作って片々引いたろ -15、11 ！みたいなちなみに(1)は3*4=12、ラッキー(3) は1001と10倍の1010の差は9か9 作れんなら90作れんじゃん1つ増やせば101と90で11つくれるねー、みたいなノリ
x≡aになったときaが解の一つなのが謎コメント欄の人たちほんとに理解できてるのか理解できた気になってるのかどっちなんだろうx≡a(mod b)のときx=bn+aと表せれるのかそういうこと？どういうこと？
俺も同じこと思った
大変今更だと思うけどx≡a(mod b)はx=bn+aと表せられるで合ってる動画の最初に11x+4y≡1(mod4) を11x≡1(mod4) に変形してるのと同じというか逆のことをしてるだけ
これは凄いわx求めたあとy求める時一の位揃えるだけでいいからややこしい計算とかで計算ミスせずにすむ。
なんでここにいるの笑
合同式ほんとに便利
互いに素じゃないといけないなら法にするのは素数のほうが良さそうですね😃
modは使うことによって得れる情報はあまりで場合分けした時よりも少ない時もあるけど、やっぱり便利
このことがわかっていて合同式使ってる人は大体の問題解ける
中3の初めに学校でやった合同式の素晴らしさに4か月前に気付いた受験生。
数学できる人間はこれでやったら便利やなぁ。合同式って数学苦手な人にとっては意味不明だから、万人に教えるのには向かなそう。塾講やってますが、賢い生徒が来たらこれ教えたい。
2:27 オナ゛ジモノダカラで 吹いてしまった
これのおかげで共テ耐えた
残念ながらmodより楽の方法があるのに。例えば11x +4y= 1だったら、小さい数字の方でくくる。4(y +2x)＋3x=1となり、y+2xをzに置きかえて、4z＋3x= 1にすれば、解がz= 1、x= − 1みたいに簡単に出てきて、yも出てくるので、多分こっちのが簡単
正直にいうと慣れ。modで極めた奴は(2)の計算レベルなら5秒でxの値出せる(実際mod使い続けてたら直感でパッパ出てくる)傘形の堀削式互助法も十分使い勝手いいけど汎用性が高いって意味ではmodを使うんがベストだと思う(河野玄斗さんはこの動画で一次不定方程式の他にも便利なことを示唆してる)
これは競技プログラマの間で拡張ユークリッドの互除法と言われているものです。おそらく正式な専門用語ではないので、「拡張されたユークリッドの互除法」と呼ぶべきでしょうけど。でも裏技とはギリ呼んでいいとも思います。
そうなの？あれと同じなのこれ？byプログラマー
これユークリッドの互除法使って解いたな
あれめちゃくちゃ面倒くさいですよね。
けど絶対に解ける
凄い！！最初あんま期待せずに見始めたけど感動しました！
ひたすら感動しながら観せてもらいました。
4:08 11xを4で割った余りが1の時、3xを4で割った余りが1 ←わからん助けてくれｗ
合同式はmodの数の倍数で両辺足したり引いたりできるから、式をより簡単にするために11x−8xしてる。
@@user-ut4nc4ls5q ありがとうございます！そもそも合同式の理解が間違ってましたｗ
もう理解されたなら余計かもしれませんが、11x = (3+8)x = 3x+8x となり、これを4で割ると 8x だけが消えて、3x が残ります。
@@user-ut4nc4ls5q 横から失礼マジ感謝
今年もやっぱり出ましたね。
共テ前直前だけど、見てよかったもっとはやくしりたかった
知らない間に18分経ってました…なんて分かりやすいんだ…
ちょうど習ったから運命だと思ってる
ありがたいです
今気づけてよかった！
この方法で第4問の[タチツ]解きましたー！時間ギリギリすぎて、脳死でできるこのやり方サンクス今回は誘導なしだったんで、ほんとに助かりました
超わかりやすかった！今までずっとユークリッド使ってたけど断然こっちの方がいいわ！
エウクレイデス
与式(1)を直線y=f(x)とおくと傾きf'(x)=11/4は単純増加だから分子の4に着目し11=2*4+3などよりx≡3(mod4)。図にする方が説明は楽？ 式が与えられているなら値は線上にあればいい。互いに素とまでいう必要はないからね。
yの係数が負だった時は同じことをしてもいいんですか？
うわこれ神動画やなあ応用効きまくりだと思います
なに言ってるのかあんま分からんけどなんか凄そう
教えてあげようか
ありがとうありがとうありがとうありがとうありがとうありがとうありがとうテスト前日になんとなくみてたら完璧に仕上がってしまった。明日のテスト楽しみ過ぎる
すべて求めよとか、整数解が沢山ある場合も教えて欲しい
I日後の方に乗っけておきました
現役のときこれ苦戦してたーあの時から河野先生の動画が見られていれば…
わかりやすい
凄すぎる。ユーグリットの互除法なんて使う必要ないじゃん
学生の時に合同式を習わなかったのもあるが、(2)は35x+48yについて(x,y)=(2,-1)代入で22が、(3,-2)代入で9が得られることから(6,-4)で18が得られることがわかり、(-4,3)で4が得られることがわかる。よって(-8,6)で8が得られ、(11,-8)で1が得られることがわかる。この1が得られれば後は楽勝で(33,-24)で3になるとわかる。やってることはユークリッドのショートカットなんやろけど、うだうだやらずに常にx・yに何入れたら幾らになるかを考えることが出来るので良いから楽な気が…ノリで小さくしていくってのはかなり共感！結局如何にして寄せて行くかなんでね…
ほんとに助けられた。
マイナスを含む方程式の場合の解き方がイマイチ分からないのですが、そのときはユークリッドの互除法を使ったほうがいいですかね？
河野さん「整数の全パターン網羅！」みたいな動画出して欲しいです！🙏
一時不定方程式ってめちゃくちゃめんどくさいかった記憶あるからこれはスゲ～ってなった。
ax+by=ca(x-i)+by=c-ai (c-ai) = 0 mod bby=(c-ai)-am
a,b,n∈Z；「a=b ⇒ a≡ｂ (modｎ)」つまり 必要条件ですね 十分性のチェックをしないといけないのでは？
48x ✖︎35y =3で質問なのですが、y=-24まで求められました。しかし、mod35において-24に+35をした11という答えが意味わかりません。なぜ35を足すのでしょうか。
まじありがとうございます
3元一次不定方程式もお願いします!
何その凄そうなやつ
合同式 割る 互いに素（メモ）
参考になりました!!
⑴3x≡1の両辺に4をかけると12x≡4≡0となり、その式から11x≡1の辺々引いて、x≡-1≡3とするのかなと思った。
整数しか考えないから割り算して分数にするの禁止で、代わりにかけ算してあまり取るのはオッケーというルールをいつもイメージして、余りをとって１にできるかをこの手の問題に対するひとつの戦法としてますね。
笑えるほど便利で終始笑ってた。ユーグリッドの互除法を使ってたのが効率悪い気がしてきた
本来合同式は高校で習わない応用のものだったからね、、、整数問題で合同式強すぎる笑笑
互除法で良いんですよ。時間がかかるっちゃかかるけど、たいしてかかるわけでもないし。modは落とし穴が存外ある。大学の先生が合同式ですぐ解ける問題なんて避けるからね。それより原理に基づいて互除法を使う方が未来があるぞ。ユーグリットの互除法はa=bx+cのaとbのGCNがbとcのGCNが等しいことが大本になってるからユーグリットを使う問題は大抵が互いに素な数が用いられて右辺が1のパターンが多い。つまり原理に基づいたら一つの解は絶対出てくるわけだからおしゃれに解く必要はない
@@ドルブ-j3o動画の趣旨はオシャレに解くことではなく時短を目的にしてるんだから別にいいだろ
@@0320-h3g まぁ、共通テストで時間が足りない人にはいいでしょうね。そもそも、共通テストで時間が足りない人は小技を覚える前にやることがある気がしますが
@@0320-h3g まぁそうひねくれなさんな。一浪京大生って名前を見て思ったけど京大に限らず、modって条件が決まってるから記述で使うにはグレーなところもあるのよ。アホな採点管が模試でノリで○しても2次では実際×くらったりね。この人の動画では難関題志望者も多いからその危惧を示唆するものとして原理に基づくユークリッドの安全性を示してくれてるのにすぎん。でもまぁmodの危険性を味わった事ないならそう思うのも自然やし、自分の範疇外だったらなんもコメントしない方がいい気がするなぁ
共通テストこの方法で解きました！
買った人に質問なんですけど徹底基礎講座ってどんな感じでしたか？目に見えて結果が出るレベルのものだったら購入考えてます。
⑵の最後の質問で、なんでy≡-24って答えでたのに、さらに35-24≡11の計算するんですか？誰か教えてくださいお願いします🙇
為になる〜
合同式の割り算で法の値と割る数が互いに素であることは記述の時は示した方がいいのでしょうか？
互いに素だからって書けばあとは自明だとおもう
すごー！
この方法を初めて知ったとき衝撃的でした。
質問です。ｘ≡〇（mod△）とできた後に、ｘ=△ｋ+○としてもう一方も求めるという方法でもいけますか？
いけるけどめんどくね？
整数解ならそれでいけますよ
@@insider0.8 言うて一瞬やで
合同式の利点が全くなくなるけどね
そんなんk=0ぶちこめや
13x+5y＝1の時のやり方を教えてください！
2年前ですが一応答えときますwmod5のもとで 13x≡1(mod5) 13÷5=2...3なので、 3x≡1(mod5) 右辺に5をたして、 3x≡6(mod5)両辺を3で割り、(3と5は互いに素) x≡2(mod5)となり、x=2、y=-5と求められます。
本当にありがとうございます！ 昨日のテストまでに見たかった！！ハハッ、、、
もっとはやく見つければよかった〜〜
modってまじでおもろくて好き
有識者さんに質問です例えば1番の11x+4y=1 で解説にあるように解いていくとx≡3≡-1 (mod 4) となりますよね仮に問題が全ての正数解を求めよ。だった場合、x=4k+3とx=4k-1 の２つが出てきますよね？この場合どちらが正しいのでしょうか？プラチカの44番でこのような場面にあって困っています
どちらでも大丈夫です
正の数の解(自然数)ならばkの範囲に注意ですが、整数解ならどちらでもOKです
ほんとに神授業だ←役に立たないコメント。w
【質問】問題(2)で、35x=3(1-16y)→ 35x≡0 (mod 3)35と3は互いに素なので、辺々35で割って x≡0 (mod 3)『目標』の「x≡」は求まったけど特殊解はわかりません。係数を法にしたときには特殊解に至り、そうでないときには特殊解に至らないのはなぜか教えてください。
係数のmodを考えないと意味ないですよ。その考えで行くと極端な話mod２のときの x≡ y≡ の形を求めたら一般にx,y≡０or１となりますがこれはx,yに当てはまる整数の偶奇がわかるだけで、例えば問2にxとyが偶数だ奇数だと言う条件だけで整数を当てはめたとしても一部満たすものはあるとはいえ、すべてがこの一次不定方程式は満たすことはありません。mod3でも同じです。必要条件でしかないはずです。また、合同式を用いれば特殊解を求めずに一般解が求まります。特殊解も勿論求められますけど。
@@mr.minerva1302 係数を法としても必要条件に過ぎないと思ったのですがどうでしょうか？
（2）の問題で言うとyの特殊解は整数を無限に並べた時35回に1回登場するんですよ。理由はxの一般解はx=ak+b（xは整数）で全てのxに対して対応するyの解が存在するからです。なので3を法にすると35回に1回のルールを無視した不適な解（yに代入してもxが整数では無いもの）が出てきてしまいます。係数を法にした時だけ35回に1回のルールを守った解のみが現れるので必要十分条件になります
この方の説明が芯を食っています。河野玄斗さんは、必要条件で絞る→代入で十分条件を確認、なので別に正しいですが、あくまで方法論に止まっているということですね。
筆算でユークリッド書いてから、連分数展開する方法が個人的に1番楽かも
別に終始何言ってるか分かんないんだけど見てしまう
ちょうど今やってるところだから助かるかりゅ
今日の模試出ました…あと1日早ければ😭
できるだけわり算避けて加減法してる感じですね
(2)の時、どちらも自然数で答える時はどうやって計算すればいいのでしょうか、😢
自然数なら不可能ですなぜなら、x≧1,y≧1より(左辺)≧73つまり、xyが自然数ならば、左辺は3になることは有り得ません
やり方知らんかった時xとＹの係数差をどんどん倍にして感覚でなんやかんやしてたわ。わかる人いるかな
7:24互いに素でないといけない証明
akx≡bk(modc)
と表せるとする。このとき
akx=cl+bk
から
ax=cl/k+b
より、
cl/k=ax-b(整数)…①
kとcが互いに素のとき
①式よりlがkの倍数(l=km)となるので
ax=cm+b
→ax≡b(modc)よって成立
kとcが互いに素でないときk=Kg,c=Cgとすると(gは最大公約数)
①式より、
Cgl/Kg=ax-b
Cl/K=ax-b
前述に帰着することで
ax≡b(modC)
ax≡Ct+b(modc)(0≦t
知ったかしないで🙂
xが抜けてたみたいなので訂正しました
より簡潔に証明出来るはずです。
ax≡bx (mod.n)
⇔x(a-b)≡0(mod.n)
⇔x(a-b)はnの倍数
︎ ︎ ︎ ︎xとnが互いに素なときはa-bがnの倍数となるので
⇔a≡b (mod.n)
@coll eague
ax≡bx の両辺がxで割れる ⇔ sx≡1 の同値変形が分からないので教えてもらえませんか？
合同式の割り算は割る数と法が互いに素という点も忘れずに指摘しているのは素晴らしいですね
合同式学ならそれは当たり前でしょ
そう言うことを言ってるんじゃ無い
@@先生さいぱん当たり前のことを当たり前って言って何が楽しいの
@@KDDI931当たり前って言えるほど自信があるってことだからそれはそれでよしじゃないのですか
@@KDDI931楽しいとか楽しくないとかという問題ではないのです
一応青チャートに載っている事だけどこの人が「こっちの方が簡単」って言って口で説明してくれると嬉しいわ。
教科書読むのと人が解説するのとは理解度段チ
@@ニャン太郎-x3z それは理解してるつもりになってるだけなんだよ
@@いい-f4i なんかズレてて草
@@いい-f4i 何について言及してんのか訳わからん
@@いい-f4i 会ってもない人のこと理解してる気になってて草
代数を専攻していた者ですが、正直これ大丈夫か？っていう感想です。答えは合っていますが、
式を組み合わせる方法は「同値変形」ではないからかなり要注意です。（必要条件にすぎない）
例えば4:49の 2x ≡ -2 (mod 4) がもうやばいです。
この式の必要十分条件は x ≡ 1 (mod 2) つまり x ≡ 1,3 (mod 4) となって、解でない値も現れてしまっています。
これはその前の 3x ≡ 1 (mod 4) の必要条件であって十分条件でないからこういうことが起こります。
基本的には左辺か右辺の片方だけをいじって割っていく方法か演算表をおすすめします。
整数方程式ax+by=cはGCD(a,b)=1ならば0≦x≦b-1の範囲で整数解をもつという事実があるので、式変形をしていき x≡k(mod b) (0≦k≦b-1) という必要条件を導出できれば答えを求められます。
動画のようにx≡k(mod b)を求めても必要条件にすぎないため ak+by=1を満たす整数yが存在するかはわからないが、x≡kでないxは不適であることと0≦x≦b-1の範囲で解が存在するということからx=kが解(の一つ)になります。
たぶん
GCD(a,b)=1 の場合は x の整数解は mod b で必ず１つに定まります（整数解としては無限に存在）
だからふつうに同値変形すれば必要十分な解が得られるはずなんですが・・・
（河野さんは頭がいいから自分でフォローできてるだけで、やり方はよくないです）
GCD(a,b)=1 の場合は解が mod b で２つ以上存在することはありえないです
もちろん解が存在しないこともありえません
例）x ≡ 1 (mod 4) とする
x ≡ 1 (mod 4)
この２式を足して
2x ≡ 2 (mod 4)
これを解くと
x ≡ 1 (mod 2)
すなわち
x ≡ 1, 3 (mod 4)
あら不思議
※２式目⇒３式目が同値変形ではありません
@@ryomiyazawa822「これを解くと」の部分で何をしてるのか教えてください。動画ではmodが変わる部分がなかったので動画では行われてない操作をしたのだと思うのですが。
@@あんまめ-y7h 少々マニアックですが、mod ごと両辺を 2 で割っています。
もちろん基本的には河野さんのいうように、2 は mod の 4 と互いに素ではないため両辺を 2 で割ってはいけないという認識でいいですが、
mod ごと 2 で割ってしまうことで同値変形ができます。
2x ≡ 2 (mod 4)
⇔ 2x − 2 は 4 の倍数
⇔ x − 1 は 2 の倍数
⇔ x ≡ 1 (mod 2)
ちょうど授業でここやっているんだけど、おすすめに出てきた…。おすすめ有能すぎる！！そしてわかりやすい解説をしてくださる河野さんにもありがとう！
サムネイルにもあった 35x+48y=3 で考えると、35と48が互いに素であることから
y の解が y=35k+ (特殊解）の形になることが割れてるので、
y を35で割った余りがそのまま特殊解になるから 35を法とした合同式が有効ってことですね。
この文で理解した
どゆこと？
@@sai-vj6xm 特殊解を(x,y)=(a,b)としてx,yに代入すると、35a+48b=3
これを35x+48y=3から引くと、
35(x-a)+48(y-b)=0
35(x-a)=-48(y-b)
35と48は互いに素だから、
y-bが35の倍数の時のみ成立すると考えると、kを整数として、
y-b=35k
y=35k+b
ということは、yを35で割ると、yの特殊解の分だけ余るんですよね
(確認は特にしてないので間違いがあったらすみません)
追記 1箇所表記ミスがあったので訂正しました
@@bocaasan
ありがとうございます！
わかりやすく説明してくれてありがとうございます！
@@bocaasan
最後のとこy＝-35k+bだと思うんですけどどうでしょう
やっぱ合同式は神。最近は合同式の扱い方を知らない人が多いからこういう動画本当に助かります。
お前も知らないんかいw他人事みたいにいうなや
今までじゃひたすら代入しないと求めれなかった問題の（3）を自力で解けるようになって気持ちいいです。本当に感謝です🙇♂️🙇♂️🙇♂️
ユークリッドの互除法が
これを求める一般的なやり方
です！
(3)くらい係数が大きい式にひたすら代入は草。さすがにネタコメやろ
@@ww濫用の凪子 俺だったら2で諦める
@@コフマコゾエ 括るやつの方が一般的やないか？
「ここまでは難しくないですよね？」で心が折れた
このコメントめっちゃ好き
それな、もうやり方暗記しよう
ここまでくらいは頑張ろうや
それはもそも合同式頑張れ
mod4のもとで4y≡0なので
11x≡1だと思う
mod小さい方
割る数はmodの数と互いに素でないといけない
合同式を使って特殊解を求める
共テ模試にも出てきてこれのおかげで秒で解けました、、ありがとうございます！！！！
この系統は初手ユークリッド安定だけど計算ミス怖いから助かった
今年の共通テスト数学IAの整数でこの考え方めっちゃ使えたー。見てよかった。
このまま一般もがんばれ！！！
@@dysun6182 なんか暖かい気持ちになったわサンガツ
@@ICE-pi6jeええんやで
この動画本当に助かった！！
感謝しかない
modがもっと好きになるぅぅ
😐
もっども〜っど
たけmod
@@Teu_Y もっど！！
みんな 余ーるく たけもっどピアノ♫
最近授業でこの方法を説明してたんですけど意味わからなかったので助かりました！🥺
こんにちは！中学生です！高校生になったらやるんですか？
@@hironnbeach 大学受験でいいところ行くなら必須普通科でもやらないところはやらない
今年の共通、この考えかたがモロに有用でしたね
それな
モロ『やめてくれ。その攻撃は俺に効く。』
@@Bomb_Alice おもんな
@@Bomb_Alice 俺は結構好きやで
@@Bomb_Alice
ﾀﾀﾅｲ👎
本質は同じですが、11x+4y= -x+4(y-3x)として、係数を小さくしている操作をしているようです
来週テストで数Aまじで理解してなかったけどこれ見て自信わいてきた！
定期考査でこの解き方したらはねられた
計算式も答えも合ってたのに、、
ちょうど範囲で助かる。すぐ学生助けちゃうんだから♡
あした整数が範囲の定期試験あるから助かりした！ありがとう河野さん！！！
めっちゃ良かったね
ベストタイミング！
ベストではないと思う。これはあくまで受け身ではあって修得はしてなさそう。キツいと思うがこの人次第。
@@まる助楓 たしかに
@@まる助楓 この程度がキツいと思うなら合同式の勉強し直した方がいいですよ、、、
今年の共テがmod使うと便利って見て
学校でmod教えてくれなかったので助かります🙇
今ちょうど数Aの整数の分野やってるんでめっちゃ助かります✨
めちゃくちゃわかりやすいです！！
ありがとうございます🙇♂️
ちょうど今授業で一時不定やってたんでめっちゃ助かりました
ありがとうございます
modはまじで便利だから使った方がいいよね。
ずっとまってたぞこれ！！！
modは分からずに使っている受験生がたくさんいるってなんかの参考書に書いてあったけど、コメ欄でそれがよく分かった
解き方は間違っていませんが，結果は減点でしょう。
例えば(1)はその書き方であればx＝y＝3でも良いのか(代入すれば方程式が成立しない)と言うことになりかねませんし，解き方より方程式に合うように元に戻すことが肝です。
以下，解答の一例(いずれもnは整数，小問毎に同一とする)：
(1) (x, y)＝(4n-1, 3-11n)
(2) (x, y)＝(48n-15, 11-35n)
(3) (x, y)＝(1001n-99, 10-101n)
二元の一次不等式ですし，ある一つの文字が不定なだけの解が出なければなりません。
この動画は特殊解を見つけることに重きを置いてるのでそこは省略しているだけです
バカ晒してて草
未だにノリでしか解けないけどそれでいいんかな～っていつも思う。合同式も分かるけどひっぱり出すより自分は楽。
(2)48-35は13 あと10の差かー
あ 35の倍は70、7*7=49 じゃん
490なら480引けば10だな
よっしゃ式作って片々引いたろ
-15、11 ！みたいな
ちなみに(1)は3*4=12、ラッキー
(3) は1001と10倍の1010の差は9か
9 作れんなら90作れんじゃん
1つ増やせば101と90で11つくれるねー、みたいなノリ
x≡aになったときaが解の一つなのが謎
コメント欄の人たちほんとに理解できてるのか
理解できた気になってるのかどっちなんだろう
x≡a(mod b)のときx=bn+aと表せれるのか
そういうこと？どういうこと？
俺も同じこと思った
大変今更だと思うけど
x≡a(mod b)はx=bn+aと表せられるで合ってる
動画の最初に
11x+4y≡1(mod4) を
11x≡1(mod4) に変形してるのと同じ
というか逆のことをしてるだけ
これは凄いわ
x求めたあとy求める時一の位揃えるだけでいいからややこしい計算とかで計算ミスせずにすむ。
なんでここにいるの笑
合同式ほんとに便利
互いに素じゃないといけないなら法にするのは素数のほうが良さそうですね😃
modは使うことによって得れる情報はあまりで場合分けした時よりも少ない時もあるけど、やっぱり便利
このことがわかっていて合同式使ってる人は大体の問題解ける
中3の初めに学校でやった合同式の素晴らしさに4か月前に気付いた受験生。
数学できる人間はこれでやったら便利やなぁ。
合同式って数学苦手な人にとっては意味不明だから、万人に教えるのには向かなそう。
塾講やってますが、賢い生徒が来たらこれ教えたい。
2:27 オナ゛ジモノダカラで 吹いてしまった
これのおかげで共テ耐えた
残念ながらmodより楽の方法があるのに。例えば11x +4y= 1だったら、小さい数字の方でくくる。4(y +2x)＋3x=1となり、y+2xをzに置きかえて、4z＋3x= 1にすれば、解がz= 1、x= − 1みたいに簡単に出てきて、yも出てくるので、多分こっちのが簡単
正直にいうと慣れ。modで極めた奴は(2)の計算レベルなら5秒でxの値出せる(実際mod使い続けてたら直感でパッパ出てくる)
傘形の堀削式互助法も十分使い勝手いいけど汎用性が高いって意味ではmodを使うんがベストだと思う(河野玄斗さんはこの動画で一次不定方程式の他にも便利なことを示唆してる)
これは競技プログラマの間で拡張ユークリッドの互除法と言われているものです。おそらく正式な専門用語ではないので、「拡張されたユークリッドの互除法」と呼ぶべきでしょうけど。でも裏技とはギリ呼んでいいとも思います。
そうなの？
あれと同じなのこれ？
byプログラマー
これユークリッドの互除法使って解いたな
あれめちゃくちゃ面倒くさいですよね。
けど絶対に解ける
凄い！！最初あんま期待せずに見始めたけど感動しました！
ひたすら感動しながら観せてもらいました。
4:08 11xを4で割った余りが1の時、3xを4で割った余りが1 ←わからん
助けてくれｗ
合同式はmodの数の倍数で両辺足したり引いたりできるから、式をより簡単にするために11x−8xしてる。
@@user-ut4nc4ls5q
ありがとうございます！そもそも合同式の理解が間違ってましたｗ
もう理解されたなら余計かもしれませんが、11x = (3+8)x = 3x+8x となり、これを4で割ると 8x だけが消えて、3x が残ります。
@@user-ut4nc4ls5q 横から失礼マジ感謝
今年もやっぱり出ましたね。
共テ前直前だけど、見てよかった
もっとはやくしりたかった
知らない間に18分経ってました…なんて分かりやすいんだ…
ちょうど習ったから運命だと思ってる
ありがたいです
今気づけてよかった！
この方法で第4問の[タチツ]解きましたー！時間ギリギリすぎて、脳死でできるこのやり方サンクス
今回は誘導なしだったんで、ほんとに助かりました
超わかりやすかった！今までずっとユークリッド使ってたけど断然こっちの方がいいわ！
エウクレイデス
与式(1)を直線y=f(x)とおくと傾きf'(x)=11/4は単純増加だから分子の4に着目し11=2*4+3などよりx≡3(mod4)。図にする方が説明は楽？ 式が与えられているなら値は線上にあればいい。互いに素とまでいう必要はないからね。
yの係数が負だった時は同じことをしてもいいんですか？
うわこれ神動画やなあ
応用効きまくりだと思います
なに言ってるのかあんま分からんけどなんか凄そう
教えてあげようか
ありがとうありがとうありがとうありがとうありがとうありがとうありがとう
テスト前日になんとなくみてたら完璧に仕上がってしまった。明日のテスト楽しみ過ぎる
すべて求めよとか、整数解が沢山ある場合も教えて欲しい
I日後の方に乗っけておきました
現役のときこれ苦戦してたー
あの時から河野先生の動画が見られていれば…
わかりやすい
凄すぎる。ユーグリットの互除法なんて使う必要ないじゃん
学生の時に合同式を習わなかったのもあるが、(2)は35x+48yについて(x,y)=(2,-1)代入で22が、(3,-2)代入で9が得られることから(6,-4)で18が得られることがわかり、(-4,3)で4が得られることがわかる。よって(-8,6)で8が得られ、(11,-8)で1が得られることがわかる。この1が得られれば後は楽勝で(33,-24)で3になるとわかる。やってることはユークリッドのショートカットなんやろけど、うだうだやらずに常にx・yに何入れたら幾らになるかを考えることが出来るので良いから楽な気が…
ノリで小さくしていくってのはかなり共感！
結局如何にして寄せて行くかなんでね…
ほんとに助けられた。
マイナスを含む方程式の場合の解き方がイマイチ分からないのですが、そのときはユークリッドの互除法を使ったほうがいいですかね？
河野さん「整数の全パターン網羅！」
みたいな動画出して欲しいです！🙏
一時不定方程式ってめちゃくちゃめんどくさいかった記憶あるからこれはスゲ～ってなった。
ax+by=c
a(x-i)+by=c-ai (c-ai) = 0 mod b
by=(c-ai)-am
a,b,n∈Z；「a=b ⇒ a≡ｂ (modｎ)」つまり 必要条件ですね 十分性のチェックをしないといけないのでは？
48x ✖︎35y =3で質問なのですが、
y=-24まで求められました。しかし、mod35において-24に+35をした11という答えが意味わかりません。なぜ35を足すのでしょうか。
まじありがとうございます
3元一次不定方程式もお願いします!
何その凄そうなやつ
合同式 割る 互いに素（メモ）
参考になりました!!
⑴3x≡1の両辺に4をかけると
12x≡4≡0となり、
その式から11x≡1の辺々引いて、
x≡-1≡3とするのかなと思った。
整数しか考えないから割り算して分数にするの禁止で、代わりにかけ算してあまり取るのはオッケーというルールをいつもイメージして、余りをとって１にできるかをこの手の問題に対するひとつの戦法としてますね。
笑えるほど便利で終始笑ってた。
ユーグリッドの互除法を使ってたのが効率悪い気がしてきた
本来合同式は高校で習わない応用のものだったからね、、、
整数問題で合同式強すぎる笑笑
互除法で良いんですよ。時間がかかるっちゃかかるけど、たいしてかかるわけでもないし。modは落とし穴が存外ある。
大学の先生が合同式ですぐ解ける問題なんて避けるからね。
それより原理に基づいて互除法を使う方が未来があるぞ。
ユーグリットの互除法は
a=bx+cのaとbのGCNがbとcのGCNが等しいことが大本になってるから
ユーグリットを使う問題は大抵が
互いに素な数が用いられて右辺が1のパターンが多い。つまり原理に基づいたら一つの解は絶対出てくるわけだから
おしゃれに解く必要はない
@@ドルブ-j3o動画の趣旨はオシャレに解くことではなく時短を目的にしてるんだから別にいいだろ
@@0320-h3g
まぁ、共通テストで時間が足りない人にはいいでしょうね。
そもそも、共通テストで時間が足りない人は小技を覚える前にやることがある気がしますが
@@0320-h3g まぁそうひねくれなさんな。
一浪京大生って名前を見て思ったけど京大に限らず、modって条件が決まってるから記述で使うにはグレーなところもあるのよ。
アホな採点管が模試でノリで○しても2次では実際×くらったりね。
この人の動画では難関題志望者も多いからその危惧を示唆するものとして原理に基づくユークリッドの安全性を示してくれてるのにすぎん。
でもまぁmodの危険性を味わった事ないならそう思うのも自然やし、自分の範疇外だったらなんもコメントしない方がいい気がするなぁ
共通テストこの方法で解きました！
買った人に質問なんですけど徹底基礎講座ってどんな感じでしたか？目に見えて結果が出るレベルのものだったら購入考えてます。
⑵の最後の質問で、なんでy≡-24って答えでたのに、さらに35-24≡11の計算するんですか？
誰か教えてくださいお願いします🙇
為になる〜
合同式の割り算で法の値と割る数が互いに素であることは記述の時は示した方がいいのでしょうか？
互いに素だからって書けばあとは自明だとおもう
すごー！
この方法を初めて知ったとき衝撃的でした。
質問です。ｘ≡〇（mod△）とできた後に、
ｘ=△ｋ+○としてもう一方も求めるという方法でもいけますか？
いけるけどめんどくね？
整数解ならそれでいけますよ
@@insider0.8 言うて一瞬やで
合同式の利点が全くなくなるけどね
そんなんk=0ぶちこめや
13x+5y＝1の時のやり方を教えてください！
2年前ですが一応答えときますw
mod5のもとで
13x≡1(mod5) 13÷5=2...3なので、
3x≡1(mod5) 右辺に5をたして、
3x≡6(mod5)両辺を3で割り、(3と5は互いに素)
x≡2(mod5)となり、
x=2、y=-5と求められます。
本当にありがとうございます！ 昨日のテストまでに見たかった！！ハハッ、、、
もっとはやく見つければよかった〜〜
modってまじでおもろくて好き
有識者さんに質問です
例えば1番の11x+4y=1 で解説にあるように解いていくと
x≡3≡-1 (mod 4) となりますよね
仮に問題が全ての正数解を求めよ。だった場合、
x=4k+3とx=4k-1 の２つが出てきますよね？
この場合どちらが正しいのでしょうか？
プラチカの44番でこのような場面にあって困っています
どちらでも大丈夫です
正の数の解(自然数)ならばkの範囲に注意ですが、整数解ならどちらでもOKです
ほんとに神授業だ←役に立たないコメント。w
【質問】問題(2)で、35x=3(1-16y)→ 35x≡0 (mod 3)
35と3は互いに素なので、辺々35で割って x≡0 (mod 3)
『目標』の「x≡」は求まったけど特殊解はわかりません。
係数を法にしたときには特殊解に至り、そうでないときには特殊解に至らないのはなぜか教えてください。
係数のmodを考えないと意味ないですよ。
その考えで行くと極端な話mod２のときの x≡ y≡ の形を求めたら一般に
x,y≡０or１となりますが
これはx,yに当てはまる整数の偶奇がわかるだけで、
例えば問2にxとyが偶数だ奇数だと言う条件だけで整数を当てはめたとしても
一部満たすものはあるとはいえ、すべてがこの一次不定方程式は満たすことはありません。
mod3でも同じです。
必要条件でしかないはずです。
また、合同式を用いれば特殊解を求めずに一般解が求まります。特殊解も勿論求められますけど。
@@mr.minerva1302 係数を法としても必要条件に過ぎないと思ったのですがどうでしょうか？
（2）の問題で言うと
yの特殊解は整数を無限に並べた時35回に1回登場するんですよ。理由はxの一般解はx=ak+b（xは整数）で全てのxに対して対応するyの解が存在するからです。なので3を法にすると35回に1回のルールを無視した不適な解（yに代入してもxが整数では無いもの）が出てきてしまいます。係数を法にした時だけ35回に1回のルールを守った解のみが現れるので必要十分条件になります
この方の説明が芯を食っています。河野玄斗さんは、必要条件で絞る→代入で十分条件を確認、なので別に正しいですが、あくまで方法論に止まっているということですね。
筆算でユークリッド書いてから、連分数展開する方法が個人的に1番楽かも
別に終始何言ってるか分かんないんだけど見てしまう
ちょうど今やってるところだから助かるかりゅ
今日の模試出ました…あと1日早ければ😭
できるだけわり算避けて加減法してる感じですね
(2)の時、どちらも自然数で答える時はどうやって計算すればいいのでしょうか、😢
自然数なら不可能です
なぜなら、
x≧1,y≧1より(左辺)≧73
つまり、xyが自然数ならば、左辺は3になることは有り得ません
やり方知らんかった時xとＹの係数差をどんどん倍にして感覚でなんやかんやしてたわ。
わかる人いるかな