가령 0.5의 경우는 q를 2로 특정할 수 있겠지만 (그래서 0.5가 유리수임을 보이는 증명에서 q값을 지정할 수 있겠지만) e의 경우 q는 어떤 수로 특정할 수가 없지 않습니까? 그러니 e의 경우 특정의 q가 존재한다는 가정이 불가능한 거 아닌가요? 그렇다면 불가능한 것을 가정하여 가정이 틀렸다는 귀류법으로 증명(반증)이 되었다는 것은 틀린 거 아닌가요? 제가 수알못이라 조심스레 의문을 제기해 봅니다...
그냥 정성적으로 말하자면 e=p/q일때 p/q=1+...+1/q!+1/(1+q)!... 이어야 하는데 양변에 q!를 곱하면 p*(q-1)! = q!+(q-1)!+...+1+ 1/(1+q)+..... 이 되서 왼쪽 변의 값은 정수인데 오른쪽 값은 정수가 아니므로 증명이 된다. 와 같은 논리겠군요.
1. e가 무리수임을 보이기 위해 e=p/q, p는 정수를 만족하는 정수 q가 존재하지 않음을 보인다. 2-1. 예를 들어 q=90이면, 90의 배수를 아무거나 잡아도 그 수의 역수 단위로 눈금을 매기면 e가 눈금 위에 있어야한다. 2-2. 1/90!로 쪼갠 눈금 위에 있지 않다. 2-3. 따라서 q는 90이 될 수 없다. 3. 같은 방식으로 q는 어떠한 정수도 될 수 없음을 보일 수 있다. 저도 밑의 반박(?) 댓글들처럼 처음에는 증명이 부족하다고 생각했었는데, 몇 번 돌려보면서 위 과정으로 증명을 설명하신 걸로 이해했습니다. 제가 이해한게 맞다면, 2-2가 가장 low level로 들어가기도 하고 키포인트라 강조가 되면서 3번 과정이 영상 끝나면 잊혀지는 것 같습니다..! 그래서 3^(-1)+3^(-2)+...에 q=3 안 되니까 무리수인가? 하는 생각이 들면서 헷갈리는 것 같습니다. 2-2를 전체적인 흐름과 분리하여 설명되었다면 바로 납득이 되었을 것 같다는 개인적인 의견입니다 ㅎㅎ 얼핏 보면 1/(n!)의 합이 수렴함을 보이는 것 같기도 했구요,, 좋은 영상 감사합니당
3:35 잘 이해하며 보고있다가 유닛이라는 말에 이해가 안되네요. 유닛? unit? 단위 라는 뜻인가 아니면 한 조각 이라는 뜻인가 도대체 무엇을 뜻하는 건지 모르겠는데 영상을 계속 보다보니 이해가 되긴 하네요. 유닛이라고 하지 말고 저 숫자들을 90!분의1 눈금으로 표시한 수직선상에 놓아보자면~ 으로 설명했으면 더 좋았을 듯 합니다.
영상이 의미하고자 하는것은 알겠지만 오류가 있네요 뒤에있는 항의 합이 앞의 한눈금보다 작다는 것으로 증명했는데 1/4^(n-1) 수열을 예로 들자면 q항인 1/4^(q-1) 을 한 눈금으로 잡았을때 뒤의 항의 합이 1/(3*4^(q-1)) 이여서 q항보다 작지만 수열의 합은 무리수가 아닙니다. 뒤의 항의 합이 앞의 항보다 작다면 그것을 한 눈금으로 했을때 어떻게 되는지 보여야 할것입니다
@@Jibot-u5x 그래서 분자 q를 90으로 두어서 눈금의 간격을 1/90으로 고정한 것이죠. 나머지 항 들을 더 해도 눈금 하나를 채우지 못하니 모순이 발생하는 것입니다. 더 작은 눈금에 대해서도 설명해야 한다는 것은 처음 q=90이라고 둔 전제에 어긋나는 것입니다.
@@JSH118 분모를 무한대로 두지 않는 이상 증명은 어렵지 않나요? q를 90으로 잡고 91부터의 합이 눈금을 다 채우지 못한다 하더라도, 그만큼 작은 눈금 또한 존재하기 때문에 결국 무한대로 보내야 증명되는거 아닌가요? 영상 내용 이해는 했지만 무한대에 관한 설명은 좀 아쉬운 것 같네요
그런데 영상만 본다면 1 1/2 1/4 1/8 같은 등비수열의 합이 유리수인 수열도 이 아이디어를 적용시킬 수 있을 것처럼 느껴지는데 어디서 차이가 발생하는 걸까요?? 물론 수식상으로는 그 차이가 명확하게 드러나지만 아이디어(통찰? 직관,,?)면에서는 별 차이가 없는 건 같아서요
영상의 내용은 무리수의 통약불가능이라는 주제로 중학교 교사용 지도서에서참고용으로 다루긴 합니다. 하지만 학교에서 무리수를 이렇게 도입하지 않는 이유는 이 방식에는 귀류법 즉, 모순을 통해 unit(공통척도, 공통단위)가 존재하지 않음을 설명해야 하는데 보통 수준의 중학생들이 받아들이기 쉽지 않습니다. 따라서 모순을 보일 필요가 없는 ‘순환하지 않는 무한소수’로 도입하는 방식이 훨씬 자연스럽고 받아들이기 쉽기 때문에 그렇게 정의하는 것으로 알고 있습니다. 교과서 정의를 학습한 이후에 심화 학습이나 창의적 과제를 통해 가르치시는 분들이 계실 수도 있겠네요.
@@sunwaptaaa 감사합니다. 무리수의 이런 성질을 통약불가능성(Incommensurability)이라고 하는군요. 어릴적 수학 공부를 할 때, 새로운 내용을 쉽게 쉽게 받아들이는 친구가 있고(보통 이런 친구들이 수학 성적이 좋았습니다) 이미지나 맥락 없이는 받아들이기 힘들어하는 친구가 있었는데, 저는 후자였습니다. 제게는 '정수, 소수, 순환하는 무한소수, 순환하지 않는 무한소수..'의 설명보다 무리수의 통약불가능성을 다루는 위 영상의 설명이 실수의 연속성에 대한 이미지가 만들어지면서 압도적으로 재밌고 의미있게 다가오는데요. 중학생 수준에서 증명까지 하지 않더라도 무리수는 '눈금 사이에 찍힌다'를 소개해줬더라면 더 재미있게 수학을 배웠을 것 같습니다. 상상의 나래를 펼치면서요 ^^
5개월전의 댓글을 지금봤네요. 일단 이 설명에서도 등비수열의 합 개념 등 중학교교과서에 싣기엔 다소 버거운 내용이있어 중학교과정에선 설명할 수가 없고요. 고등학교에서도 e가 무리수라고 알려져있다고만 기술하고있고 무리수임을 증명하지 않습니다. 이유는 직관적이지도않고 너무 어렵습니다… 무엇보다도 이 설명을 이해하셨다 하시니 원래 증명도 똑같이 전개되는 같은 내용이기에 쉽게 이해하실 수 있을텐데요. (물론 12math님이 너무나도 설명을 잘해주시긴했지만요). 단지 이번 영상은 왜 증명과정이 갑자기 왜 저렇게 튀어나오나에 대한 설명이라 생각하심 됩니다.
이 증명방식이 무한등비급수나 (1/pi^2)*(sum(1/k^2)) 같은 곳에는 적용이 안되어야 하는데 왜그럴까를 생각해보니 (1) 분모로 어떤 정수를 골라도 논리 전개가 가능해야 한다 (2) 급수에서 '앞부분'은 눈금으로 표현되고, '뒷부분'은 눈금으로 표현되지 않아야 한다 (눈금 정수개가 아니어야 한다) 이래야 e 증명법을 쓸수있겠네요
납득하기 위해 가장 좋은 비유는 문이 3개가 아니라 100개라고 가정하는 겁니다. 100개의 문 중에 상품이 한 문 뒤에 존재하고 사회자가 님이 선택한 문 외의 98개의 문을 열어서 뒤에 상품이 없다는 걸 보여줬다면, 선택한 문을 바꾸실 건가요 아니면 처음 선택한 문 뒤에 상품이 있을 거라고 믿으실 건가요?
@@bobddOKGG 문 4개 이상과 문 3개가 왜 다른 전제가 될까요? 어쨌거나 문을 하나만 남기고 연다는 전제는 동일한데요. 이해가 안 되고 납득이 안 되신다면 다른 설명을 해보겠습니다. 몬티홀 문제의 맹점은 "바꿀 것이냐, 유지할 것이냐"라는 양자택일 질문을 이용해 마치 확률이 1/2인 것처럼 속인다는 점에 있습니다. 만일 '거짓 문을 열어주면 반드시 문을 바꿔야 한다.'는 규칙이 있다면, 이 게임의 승률은 어떻게 될까요? 이 경우 이 게임에서 이기기 위해서는 처음 선택하는 문 뒤에 상품이 없어야 합니다. 문 세 개 중에서 상품이 있는 문은 오직 하나이므로, 처음 선택하는 문 뒤에 상품이 없을 확률은 2/3이 되고, 이 확률이 그대로 이 변형 몬티홀 문제의 승리 확률이 됩니다. 즉, 반드시 문을 바꾼다는 룰이 있거나 선택자가 그런 전략으로 임할 경우, 몬티홀 문제에서 문을 바꾸는 경우의 승률은 2/3이 되는 것입니다.
모든 유리수는 순환소수로 나타낼 수 있고, 모든 순환소수는 유리수이기에 원주율이 유리수이지 않느냐는 질문이랑 같은 질문으로 볼 수 있을 것 같습니다.(실제로 어떤 수가 실수라고 가정한다면 무리수가 아니라면 유리수니까요) 유리수를 '분수 꼴로 나타낼 수 있는 모든 수'로 뭉뚱그려 나타내는 경우가 많은데, 정확하게는 (정수)/(0이 아닌 정수) 꼴로 나타낼 수 있는 모든 수를 말하기 때문에 그렇습니다. 실제로 원주와 지름이 둘 다 정수가 되느냐고 묻는다면 그렇지 않죠.
@@12math 제가 시간이 없어서 중반부분까지만 보고, 수직선에 대응시킬수 없어서 무리수이다 로 논리를 전개하실줄 알고 답을 달았는데... 집에와서 끝까지 보고나니 무릎을 탁 칠 내용이네요. 좋은 영상 잘 봤습니다. e는 임의의 정수의 역수에 자연수배가 될수 없으므로 유리수가 아니다라는 논리는 아주 멋진것 같아요.
저도 첨언을 하자면 0.999....는 정확히 1이랑 같은 수입니다.3-2가 정확히 1인 거랑 같이요.결국 무한등비급수는 극한의 개념인데, 고등학교 때는 극한의 허술한 정의와 무한소의 애매함때문에 혼돈을 야기하는데 일단 넘어갑니다.마치 원의 넓이를 중학교때 배우는데 증명 안하고 넘어가는거랑 같은거에요.왜냐하면 결국 원의 넓이 증명은 적분을 써야하니까요. 마찬가지로 극한의 수렴값 또한 입실론-델타 논법으로 다시 정의하게 되고 이러면 모순들이 없어집니다.극한의 수렴값은 다가가는 값이 아니라 정확히 그 값입니다. 즉 초항이 a 공비가 r인 무한등비급수의 합의 수렴값은 a/(1-r)인데 이 과정중 n이 무한대로 갈 때 r^n의 극한값이 0에 가까워지는 무한소가 아닌 실제 0입니다. 무한소는 실수체계에서는 존재하지 않아요.단순히 생각해봐도 실수가 빽빽한데 무한소가 있다는 얘기는 모순입니다.왜냐하면 무한소의 절반도 무한소이니까요🤣즉 결국 무한소는 0이 될 수 밖에 없죠. 이렇듯 극한과 무한소는 양립할 수 없어요.애초에 미적분을 만든 뉴턴과 라이프니츠가 무한소가 애매한 개념임에도 사용했던 것이고, 자꾸 모순이 생기니 나중에 코시가 실수의 조밀성을 이용한 입실론 델타 논법으로 명확하게 정의합니다. 그리고 사실 극한까지 갈 필요도 없이 0.333....=1/3의 양변에 x3 0.999....=1임이 자명합니다. 사실 수학에는 "다가가는 수"라는 개념 자체가 없어요.수는 항시 고정입니다🙂 나중에 시간 되시면 입실론 델타 논법을 봐보시면 그 정의의 테크니컬함에 무릎을 치실겁니다😆
@@졸지마 "한없이" 다가간다는 표현이 잘못된 표현입니다. "한없이"라는 표현은 무한소를 전제로 했기 때문에 틀린 거에요. 0.999...는 1에 "한없이" 다가가는 수가 아니고, 정확히 1 입니다. 0.333.....=1/3인데 1/3은 그냥 유리수일뿐 어느 값에 다가가는 숫자가 아닙니다. 정리하자면 "한없이 다가가는 숫자"라는 거 자체가 수학에는 없구요.극한 또한 한없이 다가가는 것이 아닌 입실론 델타 논법으로 정확히 수렴값에 대응되는 그 값을 가집니다.🙂이게 현대 표준 해석학의 논지입니다. 고등학교에서 입실론-델타 논법을 가르치지 않는 이유는 중학교에서 원의 넓이를 정적분으로 증명하지 않는 것과 같은 이유입니다. 사실 그래서 저도 입실론-델타 논법을 배우기 전에는 똑같은 오해를 했었습니다. 이런 혼란은 교육 과정의 잘못이 아니라 그만큼 수학의 엄밀성을 반증한다 생각해요.
안녕하세요. 저도 무한등비급수를 생각했는데, 1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 +1/16 + ..... 이 합의 결과는 2로 알고 있는데, 위와 똑같은 방식으로 증명하면 무리수가 되는 거 아닌가요... 1.99999999. .. 1/64을 생각하고 64등분을 해도 다음의 1/128 은 표현하지 못함.. 대략 이렇게요..
이런 혼동을 겪고 있는 사람이 많은 것 같은데요, 영상 7:21부터 다시 보시면 됩니다. 쓰신 경우에서 1/128을 표현하지 못하는게 아니고, 1/128 부터 나머지 다 더한게 1/64보다 작음을 보일 수 없기 때문에(사실은 1/64 그 자체이지요.) 무리수임을 증명할 수 없습니다.
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칸트는 수학이 직관의 과학이라고 주장했었는데, 그 말의 의미를 이렇게 맛보게 해주시네요. 정말 멋집니다!!
맞는 말인데, 선구자들은 직관이 없으면 복잡해서 만들 수가 없는데, 대부분의 배우는 학생들에게 직관은 매우 조심해야 될 부분임.
@@myself6996 ?
@@myself6996 수학에서의 증명은, 자신의 생각을 타당하게 전달하기 위한 수단으로 중요하죠. 일단 자신의 주장을 일목요연하게 정리해서 전달하는 연습부터 시작해 보세요. 지금 간단한 말도 제대로 문법에 맞추어 구사하지 못하시는 것 보니 안타깝습니다.
@@dongwonkim5043 위에 분 말이 맞아요.
전 이해가 잘만 되는데 윗분 국어실력 걱정하지 말고 님 문해력을 키우는건 어때요?^^
정말 안타깝네요
@@ndsudld4834 아 반성할게요 ㅋㅋㅋㅋㅠ
감사합니다.
감사합니다!
Thanks!
고맙습니다!
오늘도 많이 배우고 갑니다. 감사합니다
감사합니다!
알파벳 e가 숫자라고 우기니 무리수라고 하는거죠 😉
맞습니다.
상당히 무리(無理)한 거지요.
하물며 영어 일파벳 F를 써놓고는
15라고 그러던가 16이라고 그러던가....
하여튼 뭐라 헛소리를 합디다.
e하하하하
이해가 한번에 되네요 😂
이런 무시기.. 모든 숫자가 무리수냐?
@@user-ghj3d8dgh 드립이잖아용..
수학교육 전공생 무릎을 탁 치고 가요... 수학을 어떻게 가르쳐야 하는지 완벽하게 아시는 분 같아요... 직관적으로 확 와닿는 설명 잘 듣고 갑니다....!
10:16 수식을 이해하기보다 사고를 이해해야된다는 말이 정말 깊게 울리네요 감사합니다.
이 분은 정말 수학적 개념을 현실의 세계로 잘 끌어와주시네요. 항상 감사합니다.
e에 대한 설명 두 개를 다 보았는데 정말 설명을 잘 하시네요.👍👍👍
특히 이번 설명은 논리적 상상의 위대함을 잘 보여주시네요. 조금만 유추하니 실수의 완비성과 데데킨트의 절단과도 바로 연결되네요. 마음 깊이 감사드립니다. ❤❤❤
와... 진짜 명쾌한 설명 감사합니다. 유리수의 분모의 역수를 unit으로 보는 방식이 저에게는 너무 신선하네요
고등학생분들 이게 경영대 가면 복리의 연속성장을 나타낼때 쓰이는 연산자고, 자연계에서는 동식물의 성장(연속적이겠죠 당연히?) 을 계산할때 쓰입니다. 뭐를 전공하게 되던, 연속성장을 나타낼때 쓰인다고 생각하시면 편합니다.
최소단위가 됏던 유닛을 또 쪼개면서 양을 더 필요로 해가는게 무리수구나...
직관적인 증명이네요!
지난 e영상 한번 더 복습하고 와야겠어요
좋은 영상 감사합니다
직관적이어야 재밌다~ 수학도 물리도 👍👍
와 다음에 다시 봐야지 하는 마음이 마구 샘솟네요.. 7분까지 버텼음.
수학(유튜브) 좋아하는 문돌이 출신 직장인입니다. 퇴근하면서보는데 가슴이 두근두근 했어요
전에 읽었던 '무한의 신비'라는 책이 정말 이해되지 않았는데....
암튼 이 채널은 정말 좋은 것이란 것이 증명되었습니다.
임용준비중인 임고생입니다!
어제 수학교육학에서 무리수역사에서 무리수의 통약불가능성을 공부했었는데요
덕분에 통약불가능성을 제대로 이해할 수 있었습니다 감사합니다 ㅎㅎㅎㅎ
멋진 증명과 통찰력도 잘 보고갑니다 아침부터 행복하네요 너무 재미있었습니다 :)
직관에 의한 통찰이 남다르십니다. 많이 배우네요^^ 다른 영상들도 잘 보고 있습니다!!
감사합니다~!
오늘도 멋지네요!👍
가령 0.5의 경우는 q를 2로 특정할 수 있겠지만
(그래서 0.5가 유리수임을 보이는 증명에서 q값을 지정할 수 있겠지만)
e의 경우 q는 어떤 수로 특정할 수가 없지 않습니까?
그러니 e의 경우 특정의 q가 존재한다는 가정이 불가능한 거 아닌가요?
그렇다면 불가능한 것을 가정하여
가정이 틀렸다는 귀류법으로 증명(반증)이 되었다는 것은 틀린 거 아닌가요?
제가 수알못이라 조심스레 의문을 제기해 봅니다...
항상 가정이 참인 명제만 다루니 어색하실 수 있겠습니다만, 참인지 거짓인지 아직 모르는 명제에 대해 참이라고 가정하는 것 자체에 논리적 오류는 없습니다.
오호!
그렇군요
무리하게 개속 쪼개바야 의미 없네 ㅎㅎ
야야 무리하지마
그건 무리야
호오! 시간 가는 줄 모르고 봤습니다. 근데 무슨 소린지 하나도 못 알아 들었습니다. 저 많이 무리했네요. 메리무리스마스
아니에요 엄청 대단한 머리좋은 천재들만 수학자인 거 맞아요 박사님 영상을 보고 나니 더 그런 생각이 드네요 정말 멋있고 대단해 보여요
오늘도 무릎을 탁! 정말 감탄하고 갑니다!
e는 유리수의 값으로 표현되니깐 무리수이긴 해도 패턴이 있는 무리수이네요. 다른 무리수(루트2 등)도 유리수의 값으로 표현될 수 있는지 궁금하네요.
감사합니다 덕분에 불면증이 치료됐습니다
그냥 정성적으로 말하자면 e=p/q일때
p/q=1+...+1/q!+1/(1+q)!... 이어야 하는데
양변에 q!를 곱하면
p*(q-1)! = q!+(q-1)!+...+1+ 1/(1+q)+..... 이 되서
왼쪽 변의 값은 정수인데 오른쪽 값은 정수가 아니므로 증명이 된다.
와 같은 논리겠군요.
조금만 더 고민해보셔요~!
우변 값이 정수가 아니라는 보장이 없습니다~
@@Gangster-j7h 우변에 1/(1+q) +...가 1/q보다 작으므로 우변은 정수일 수가 없습니다.
영상에서는 무한등비급수를 이용해서 보였고, 영상에서의 눈금을 이용한 증명과 근본적으로 같습니다.
요새 완전 떡상하셨네요. 제가 다 뿌듯하네요🎉
직관적으로 이해할수 있는 정말 좋은 설명인것 같습니다. ^^ 감사합니다.
1. e가 무리수임을 보이기 위해 e=p/q, p는 정수를 만족하는 정수 q가 존재하지 않음을 보인다.
2-1. 예를 들어 q=90이면, 90의 배수를 아무거나 잡아도 그 수의 역수 단위로 눈금을 매기면 e가 눈금 위에 있어야한다.
2-2. 1/90!로 쪼갠 눈금 위에 있지 않다.
2-3. 따라서 q는 90이 될 수 없다.
3. 같은 방식으로 q는 어떠한 정수도 될 수 없음을 보일 수 있다.
저도 밑의 반박(?) 댓글들처럼 처음에는 증명이 부족하다고 생각했었는데, 몇 번 돌려보면서 위 과정으로 증명을 설명하신 걸로 이해했습니다. 제가 이해한게 맞다면, 2-2가 가장 low level로 들어가기도 하고 키포인트라 강조가 되면서 3번 과정이 영상 끝나면 잊혀지는 것 같습니다..! 그래서 3^(-1)+3^(-2)+...에 q=3 안 되니까 무리수인가? 하는 생각이 들면서 헷갈리는 것 같습니다. 2-2를 전체적인 흐름과 분리하여 설명되었다면 바로 납득이 되었을 것 같다는 개인적인 의견입니다 ㅎㅎ 얼핏 보면 1/(n!)의 합이 수렴함을 보이는 것 같기도 했구요,, 좋은 영상 감사합니당
학교시험 문제로 나왔는데 이렇게 이해하기 쉽게 설명해주셔서 정말 좋은 것 같아요!!
@@eunhajoo6976대학..?
가만히 눈을 감으니 잠만 오네요 선생님..
프린스턴 도서관에서 눈만 감고있었는데 과제다했다하던 누군가가 생각나네요 ㅋㅋ
사실 저도 눈 감고 생각하다 자는 경우 많습니다..
@@12math ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 상상하니까 너무 웃겨요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
정말 좋은 설명 감사합니다. 감명이네요...
3:35 잘 이해하며 보고있다가 유닛이라는 말에 이해가 안되네요. 유닛? unit? 단위 라는 뜻인가 아니면 한 조각 이라는 뜻인가 도대체 무엇을 뜻하는 건지 모르겠는데 영상을 계속 보다보니 이해가 되긴 하네요. 유닛이라고 하지 말고 저 숫자들을 90!분의1 눈금으로 표시한 수직선상에 놓아보자면~ 으로 설명했으면 더 좋았을 듯 합니다.
기수불 기말불 적립총액 이랑 연결해서 수업해봤습니다 좋네요
진짜 신기하다..
아무리 작은 수 이지만 무한하게 더 하는데 길이는 더 이상 늘어나지않고 특정한 길이로 수렴한다는게 너무 신기함..
마치 모래 알갱이를 무한히 쌓아도 달에 도달할 수 없는 것 같음
우리 게이는 1/3도 신기 하노?
ㄹㅇ 이거네ㅋㄱㅋㄱㅋㄱㅋㄱㅋㄱ
@시그마 비슷한걸로 1+2+3+4+5+6+7+...=-1/12이 있습니다.
이것도 짝대기 그리면 수학적인지는 모르겠지만 이해되네요
모래 알갱이 무한히 쌓으면 달에 왜 도달 못해 ㅋㅋ
감탄하고 갑니다
궁금한 점이 있는데요 n이 정수면 n!도 정수니까 1/n!은 유리수잖아요 그럼 n이 아무리 커진다 해도 결국 유리수끼리 더하는거니까 유리수가 나와야 하는거 아닌가요?
정의 자체에서 그냥 증명이 되네요 신기하다.. 답을 구할 필요도 없는
구독 눌러놓길 정말 잘했다
1/n!은 결국 0으로 수렴하니까 이 증명법은 배경지식 없이는 극한 개념과 혼동될거같아요.
예를 들어 저는 y=x^-2을 1에서 무한대 까지 적분하는 걸로 1은 무리수라는 정말 무리수 같은 이야기가 나와요
영상이 의미하고자 하는것은 알겠지만 오류가 있네요
뒤에있는 항의 합이 앞의 한눈금보다 작다는 것으로 증명했는데
1/4^(n-1) 수열을 예로 들자면
q항인 1/4^(q-1) 을 한 눈금으로 잡았을때
뒤의 항의 합이 1/(3*4^(q-1)) 이여서 q항보다 작지만 수열의 합은 무리수가 아닙니다.
뒤의 항의 합이 앞의 항보다 작다면 그것을 한 눈금으로 했을때 어떻게 되는지 보여야 할것입니다
무한등비급수는 무리수가 아니겠지만 그것보다 무한합이 작고, 그게 앞에 정의한 한눈금보다 작다는 논리입니다.
@@Jibot-u5x 그래서 분자 q를 90으로 두어서 눈금의 간격을 1/90으로 고정한 것이죠. 나머지 항 들을 더 해도 눈금 하나를 채우지 못하니 모순이 발생하는 것입니다. 더 작은 눈금에 대해서도 설명해야 한다는 것은 처음 q=90이라고 둔 전제에 어긋나는 것입니다.
@@JSH118 분모를 무한대로 두지 않는 이상 증명은 어렵지 않나요? q를 90으로 잡고 91부터의 합이 눈금을 다 채우지 못한다 하더라도, 그만큼 작은 눈금 또한 존재하기 때문에 결국 무한대로 보내야 증명되는거 아닌가요? 영상 내용 이해는 했지만 무한대에 관한 설명은 좀 아쉬운 것 같네요
@@happiness26764 처음 90으로 예를든건 일반적인 상황을 도출하고 이해하기 위한 예시로 든것입니다
결국 마지막에는 임의의 정수 p/q를 e로잡고
q!으로 했으니 결국 무한대의개념을 도입해도 오류가발생해서 e는 무리수이죠
좋은 설명 잘들었습니다
예전에 해석학 공부할 때 이런 증명을 귀류법으로만 받아들였는데 이렇게 상상을 할 수 있었다면 조금 더 재밌게 배웠었을 거 같네요
그런데 영상만 본다면 1 1/2 1/4 1/8 같은 등비수열의 합이 유리수인 수열도 이 아이디어를 적용시킬 수 있을 것처럼 느껴지는데 어디서 차이가 발생하는 걸까요?? 물론 수식상으로는 그 차이가 명확하게 드러나지만 아이디어(통찰? 직관,,?)면에서는 별 차이가 없는 건 같아서요
눈금이 정확히 그려지는 유리수인가가 포인트입니다.
설명을 듣고 다시 증명을 보니 바로 이해가 되네요!
어렵지만 재밌네요 ㅎㅎ 감사합니당
명쾌하네요. 어떠한 증명식보다 직관적이고, 원리적입니다.
감사합니다!
머리가 특별히 엄청 좋은 건 아니라고 하셨는데, 맞는 말씀입니다.
다만 그 안 특별한 엄청이 정말 매우매우매우 엄청이죠 ㅋㅋ
12분 48초 동안 잘 숙면하고 갑니다.
0.999999..=0.9+0.99+0.999+0.9999+... =1 이므로 유리수이지만, 위와 같은 논리로 얘기하면 항상 눈금보다 작은 수가 존재하므로 무리수가 되나요?
0.999... 은 정확히 1이고 눈금에 있는 수입니다. 점점점으로 표기하는것이 가까워지는 그 수 자체를 지칭하는 것입니다. 영상에서 말하는 논리에서도 무한등비급수 자체는 유리수입니다. 무한등비급수보다 작은 값이라 눈금위에 있지 않은 것이 포인트입니다.
+가 좀 이상하게 되어있네요
수학을 좋아하는 사람이에요. 우연히 영상을 보게되었는데 ㅎㅎ 너무 흥미롭네요 구독합니다~
이 영상을 보고 유치원생으로 젊어졌습니다 감사합니다
무한등비급수의 합은요? 실제로는 유리수 이지만, 같은 논리로 무리수임이 증명 가능한거 아닌가요?
무한등비급수는 뒤에 있는 무한합이 정확히 한 눈금을 차지하게 되는 q가 있게 됩니다.
정말 멋진 설명입니다.
역시 수학은 직관+논리로 설명되어지네요.
분수와 정수라는 유리수를 더했더니 무리수가 나오네 ㅋㅋㅋㅋ 재밌다 약간 제논의 역설이랑 비슷한건가?
선생님 과외는 안하시나요 ㅠㅜ 배우고 싶어요
3:30-4:20 ‘눈금’ 이미지를 도입한 설명이 너무 쉽고 천재적이에요 학교에서는 왜 이렇게 안가르칠까요? 😂
영상의 내용은 무리수의 통약불가능이라는 주제로 중학교 교사용 지도서에서참고용으로 다루긴 합니다. 하지만 학교에서 무리수를 이렇게 도입하지 않는 이유는 이 방식에는 귀류법 즉, 모순을 통해 unit(공통척도, 공통단위)가 존재하지 않음을 설명해야 하는데 보통 수준의 중학생들이 받아들이기 쉽지 않습니다. 따라서 모순을 보일 필요가 없는 ‘순환하지 않는 무한소수’로 도입하는 방식이 훨씬 자연스럽고 받아들이기 쉽기 때문에 그렇게 정의하는 것으로 알고 있습니다. 교과서 정의를 학습한 이후에 심화 학습이나 창의적 과제를 통해 가르치시는 분들이 계실 수도 있겠네요.
@@sunwaptaaa 감사합니다. 무리수의 이런 성질을 통약불가능성(Incommensurability)이라고 하는군요. 어릴적 수학 공부를 할 때, 새로운 내용을 쉽게 쉽게 받아들이는 친구가 있고(보통 이런 친구들이 수학 성적이 좋았습니다) 이미지나 맥락 없이는 받아들이기 힘들어하는 친구가 있었는데, 저는 후자였습니다. 제게는 '정수, 소수, 순환하는 무한소수, 순환하지 않는 무한소수..'의 설명보다 무리수의 통약불가능성을 다루는 위 영상의 설명이 실수의 연속성에 대한 이미지가 만들어지면서 압도적으로 재밌고 의미있게 다가오는데요. 중학생 수준에서 증명까지 하지 않더라도 무리수는 '눈금 사이에 찍힌다'를 소개해줬더라면 더 재미있게 수학을 배웠을 것 같습니다. 상상의 나래를 펼치면서요 ^^
정확하다기엔 애매하긴 하지만 학교에서도 무리수가 유리수의 눈금 사이에 찍힌다는 사실을 전달하긴 합니다.
수직선에 나타낼 수 있는 모든 숫자는 유리수와 무리수로 이루어져 있다는 이야기로요
5개월전의 댓글을 지금봤네요. 일단 이 설명에서도 등비수열의 합 개념 등 중학교교과서에 싣기엔 다소 버거운 내용이있어 중학교과정에선 설명할 수가 없고요. 고등학교에서도 e가 무리수라고 알려져있다고만 기술하고있고 무리수임을 증명하지 않습니다. 이유는 직관적이지도않고 너무 어렵습니다… 무엇보다도 이 설명을 이해하셨다 하시니 원래 증명도 똑같이 전개되는 같은 내용이기에 쉽게 이해하실 수 있을텐데요. (물론 12math님이 너무나도 설명을 잘해주시긴했지만요). 단지 이번 영상은 왜 증명과정이 갑자기 왜 저렇게 튀어나오나에 대한 설명이라 생각하심 됩니다.
저 증명이 이런 의미였군요. 좋은 영상 감사합니다
천잰가? 바로 구독 누름
이 증명방식이 무한등비급수나 (1/pi^2)*(sum(1/k^2)) 같은 곳에는 적용이 안되어야 하는데 왜그럴까를 생각해보니
(1) 분모로 어떤 정수를 골라도 논리 전개가 가능해야 한다
(2) 급수에서 '앞부분'은 눈금으로 표현되고, '뒷부분'은 눈금으로 표현되지 않아야 한다 (눈금 정수개가 아니어야 한다)
이래야 e 증명법을 쓸수있겠네요
와 바로 이해가 되네요ㄷㄷ
연산이 힘듬 .. 여러분에겐 무리에요. 그래서 무리수! 그냥 외우라고 이해하기에는 여러분 지능으로 무리에요
완벽하게 이해했어!
뭔가 해안선 길이 구하는 느낌ㅋㅋㅋ e란 숫자 크기 구하는 과정요 ㅋㅋㅋ
그러니까 수학자들은 특별히 똑똑하고 대단하다는것이 증명되네요
분수의 거듭제곱도 알려주세요!
몬티홀 딜레마 설명해주실 수 있나요? 바꾸는 게 확률이 높아진다는 걸 들어서 알긴 하는데 도저히 납득이 안되어서요
납득하기 위해 가장 좋은 비유는 문이 3개가 아니라 100개라고 가정하는 겁니다.
100개의 문 중에 상품이 한 문 뒤에 존재하고 사회자가 님이 선택한 문 외의 98개의 문을 열어서 뒤에 상품이 없다는 걸 보여줬다면, 선택한 문을 바꾸실 건가요 아니면 처음 선택한 문 뒤에 상품이 있을 거라고 믿으실 건가요?
@@xiti2834 애초에 전제가 문 3개에서 시작하는건데 문을 늘리면 전제를 바꿔버리는거 아닌가요? 문 4개이상일때는 님말이 맞겠지만 문3개일 경우는 다르게봐야죠
@@bobddOKGG 문 4개 이상과 문 3개가 왜 다른 전제가 될까요? 어쨌거나 문을 하나만 남기고 연다는 전제는 동일한데요. 이해가 안 되고 납득이 안 되신다면 다른 설명을 해보겠습니다.
몬티홀 문제의 맹점은 "바꿀 것이냐, 유지할 것이냐"라는 양자택일 질문을 이용해 마치 확률이 1/2인 것처럼 속인다는 점에 있습니다. 만일 '거짓 문을 열어주면 반드시 문을 바꿔야 한다.'는 규칙이 있다면, 이 게임의 승률은 어떻게 될까요?
이 경우 이 게임에서 이기기 위해서는 처음 선택하는 문 뒤에 상품이 없어야 합니다. 문 세 개 중에서 상품이 있는 문은 오직 하나이므로, 처음 선택하는 문 뒤에 상품이 없을 확률은 2/3이 되고, 이 확률이 그대로 이 변형 몬티홀 문제의 승리 확률이 됩니다.
즉, 반드시 문을 바꾼다는 룰이 있거나 선택자가 그런 전략으로 임할 경우, 몬티홀 문제에서 문을 바꾸는 경우의 승률은 2/3이 되는 것입니다.
@@xiti2834 아 100개라고 생각해도 이해가 안 됐는데! 새로운 규칙에 따라 무조건 바꾼다고 생각하고 확률이 몇일까 생각하니까 드디어 몇 년 만에 이해가 됐어요! 감사합니다
요새 썸네일도 유튜브트랜드에 맞춰서 제작하시고 유튜브채널 성장을 위해 노력하시는모습이 잘보이는거 같네요 채널성장도 잘되는거 같고요
e=p/q라고 했을 때 분모분자에 (q-1)!을 곱하면 p(q-1)!이 정수가 될 수 없다는거죠?
네 한편으론 정수인데 또다른 한편으론 정수가 아니니 모순입니다
아, 그렇구나. 완벽히 이해했어
항상 영상 유익하게 잘 보고 있습니다.
호기심이 해결되지 않아 부탁 하나 드려봅니다
혹시 초계승($)에 대해 설명해주실수 있을련지요...
인터넷에 있는 설명만으로는 이해가 잘 되지 않습니다...
superfactorial 인가 보네요?
3$ = 1! x 2! x 3!
과 같이 정의되는 것 같습니다.
@@12math 그렇군요! 답변해 주셔서 감사합니다!
따봉이라카이!!!
감히... 무리수를 논하다니... 목숨이 몇개라도 되는건가...
재밌땅
저 초6이고 궁금한게 있는데 원주율은 원주 나누기 지름인데 이건 분수로 나타낼 수 있고 그렇다는건 순환소소가 되어야 하는데 왜 므리수인가요?
모든 유리수는 순환소수로 나타낼 수 있고, 모든 순환소수는 유리수이기에 원주율이 유리수이지 않느냐는 질문이랑 같은 질문으로 볼 수 있을 것 같습니다.(실제로 어떤 수가 실수라고 가정한다면 무리수가 아니라면 유리수니까요)
유리수를 '분수 꼴로 나타낼 수 있는 모든 수'로 뭉뚱그려 나타내는 경우가 많은데, 정확하게는 (정수)/(0이 아닌 정수) 꼴로 나타낼 수 있는 모든 수를 말하기 때문에 그렇습니다.
실제로 원주와 지름이 둘 다 정수가 되느냐고 묻는다면 그렇지 않죠.
무리뉴로 보고 들어왔네요
n! 이외의 분모를 갖는 유리수일수 있는 가능성은 증명을 하지 않아도 당연한건가요?
n이 분모일때을 가정하고, 눈금단위는 더 잘게 쪼갠 n!로 사용한 논리입니다
e를 애초애 무리수로 정의를 했는데 유리수라 가정하고 유리수가 아니니 무리수다 라고 하는 듯이 들리네요?
혹시 현업은 뭐 하고계신지 여쭤봐도 될까요?
한 핀테크 업체에서 ai 엔진개발 총괄하고 있습니다
이제 학력 사항을 유치원 졸로 해야 하나...
이게 이해군요
문득 궁금해졌는데 십진법에서 무리수면 이진법이나 십일진법에서도 무리수인가요?
네. 결국 p/q(p,q는 정수)꼴로 나타낼 수 없다는 사실은 바뀌지 않으니까요
@@hmthmt0875 감사합니다
재밌는 건 무리수 진법이라는 것도 있다는 겁니다. 루트2는 루트2진법으로 1이고, 2루트2 진법으로 0.5이고, 루트3진법으로는 (루트3/루트2)죠. 이런 것도 생각해볼 수 있어요
유리수는 무리수인가요?
저렇게 생각할 수도 있군요..
e를 처음 배웠을때 태초의 발견과정이 궁금했는데
혹시, 무리수는 "모두" 무한이란 개념과 관련이 있는 걸까요?
그러겠죠? 무리수가 순환하지 않는 무한소수니까요
@@애플-m2t 아 맞다 무한소수엿지..
@@Snowflake_tv 무리수는 유리수의 코시수열의 극한으로 표현돼서 그렇습니다
무리수도 수직선에 대응되는 점이 있습니다. 가령 루트 2는 무리수 이지만 한변이 1인 정사각형의 대각선의 길이에 대응하는 '정확한' 길이를 가졌죠.
또, 1=0.9순환소수로 생각하면 0.9, 0.99 이런식으로 한없이 다가가는것도 가능합니다.
무리수도 대응되는 점이 있지만, 영상에서 말씀드린 눈금에 해당하지 않겠죠. 그리고 0.999...은 정확히 1에 대응하는 숫자입니다. 제 영상중 0.999...에 다룬 영상도 있으니 참고부탁드려요.
@@12math 제가 시간이 없어서 중반부분까지만 보고, 수직선에 대응시킬수 없어서 무리수이다 로 논리를 전개하실줄 알고 답을 달았는데...
집에와서 끝까지 보고나니 무릎을 탁 칠 내용이네요.
좋은 영상 잘 봤습니다. e는 임의의 정수의 역수에 자연수배가 될수 없으므로 유리수가 아니다라는 논리는 아주 멋진것 같아요.
저도 첨언을 하자면 0.999....는 정확히 1이랑 같은 수입니다.3-2가 정확히 1인 거랑 같이요.결국 무한등비급수는 극한의 개념인데, 고등학교 때는 극한의 허술한 정의와 무한소의 애매함때문에 혼돈을 야기하는데 일단 넘어갑니다.마치 원의 넓이를 중학교때 배우는데 증명 안하고 넘어가는거랑 같은거에요.왜냐하면 결국 원의 넓이 증명은 적분을 써야하니까요.
마찬가지로 극한의 수렴값 또한 입실론-델타 논법으로 다시 정의하게 되고 이러면 모순들이 없어집니다.극한의 수렴값은 다가가는 값이 아니라 정확히 그 값입니다.
즉 초항이 a 공비가 r인 무한등비급수의 합의 수렴값은 a/(1-r)인데 이 과정중 n이 무한대로 갈 때 r^n의 극한값이 0에 가까워지는 무한소가 아닌 실제 0입니다.
무한소는 실수체계에서는 존재하지 않아요.단순히 생각해봐도 실수가 빽빽한데 무한소가 있다는 얘기는 모순입니다.왜냐하면 무한소의 절반도 무한소이니까요🤣즉 결국 무한소는 0이 될 수 밖에 없죠.
이렇듯 극한과 무한소는 양립할 수 없어요.애초에 미적분을 만든 뉴턴과 라이프니츠가 무한소가 애매한 개념임에도 사용했던 것이고, 자꾸 모순이 생기니 나중에 코시가 실수의 조밀성을 이용한 입실론 델타 논법으로 명확하게 정의합니다.
그리고 사실 극한까지 갈 필요도 없이
0.333....=1/3의 양변에 x3
0.999....=1임이 자명합니다.
사실 수학에는 "다가가는 수"라는 개념 자체가 없어요.수는 항시 고정입니다🙂
나중에 시간 되시면 입실론 델타 논법을 봐보시면 그 정의의 테크니컬함에 무릎을 치실겁니다😆
@@Zeddy27182 저분은 0.999...이 1이 아니라고 하시지 않았어요. 0.9, 0.99, 0.999, ...의 극한이 1이 된다고 하셨죠.
@@졸지마 "한없이" 다가간다는 표현이 잘못된 표현입니다. "한없이"라는 표현은 무한소를 전제로 했기 때문에 틀린 거에요.
0.999...는 1에 "한없이" 다가가는 수가 아니고, 정확히 1 입니다.
0.333.....=1/3인데 1/3은 그냥 유리수일뿐 어느 값에 다가가는 숫자가 아닙니다.
정리하자면 "한없이 다가가는 숫자"라는 거 자체가 수학에는 없구요.극한 또한 한없이 다가가는 것이 아닌 입실론 델타 논법으로 정확히 수렴값에 대응되는 그 값을 가집니다.🙂이게 현대 표준 해석학의 논지입니다.
고등학교에서 입실론-델타 논법을 가르치지 않는 이유는 중학교에서 원의 넓이를 정적분으로 증명하지 않는 것과 같은 이유입니다. 사실 그래서 저도 입실론-델타 논법을 배우기 전에는 똑같은 오해를 했었습니다. 이런 혼란은 교육 과정의 잘못이 아니라 그만큼 수학의 엄밀성을 반증한다 생각해요.
이젠 무리수를 던지네..........
개간지
오 시각화 쩌네요
0.9999999999999999999999999999999999.... 가 1에 수렴해서 1이라고 하는것과 반대네요.
레드벨 미적분학에 이 내용이 있습니다.
q가 e보다 더 빨리 작아지면 되는것 아닌가요?
아직도 난 무리수가 어디로 움직이는거 같아
모르면 일단 "바보"세요 로 잘못봤네....
안녕하세요. 저도 무한등비급수를 생각했는데, 1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 +1/16 + ..... 이 합의 결과는 2로 알고 있는데, 위와 똑같은 방식으로 증명하면 무리수가 되는 거 아닌가요... 1.99999999. .. 1/64을 생각하고 64등분을 해도 다음의 1/128 은 표현하지 못함.. 대략 이렇게요..
무한등비급수는 유리수입니다. 합이 그 유리수 값보다 작고 눈금 한칸이 채 안된다는 것이 포인트입니다.
무한등비급수와 무한급수의 정의가 모호하여 발생한 혼돈 같습니다.
이런 혼동을 겪고 있는 사람이 많은 것 같은데요, 영상 7:21부터 다시 보시면 됩니다. 쓰신 경우에서 1/128을 표현하지 못하는게 아니고, 1/128 부터 나머지 다 더한게 1/64보다 작음을 보일 수 없기 때문에(사실은 1/64 그 자체이지요.) 무리수임을 증명할 수 없습니다.
근데 이런건 어떻까요? 유리수라 함은 분수로 표현이 가능하고 분수로 표현이 가능하다 함은 분수의 배수로 표현이 가능한데 임의의 매우 큰 1/n에 대하여 그의 배수가 될 수 없음을 보이는거죠
그거랑 이거랑 같은 얘기에요
@@승언-i9q 생각해보니까 그 말이네요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 나 바본가
안녕하세용 학교 같은학과 후밴데 이메일로 진로관련해서 몇가지 질문드려도 괜찮을까요??
이메일 주세요 :)
(무리가 아니었다?)