Можно быстро решить задачу, если знать, что sin(54) = Ф/2, где Ф - золотое число. Хотя это соотношение прямо можно вывести из данной задачи и неплохо было бы в конце это упомянуть.
Без построений. x=4cos36°. Найдём cos36° алгебраически. Из формулы приведения cos72°=-cos(180°-72°)=-cos108°, перенесём всё в одну сторону и выразим через 36°. Тогда cos(2×36°)+cos(3×36°)=0, подставим значение косинуса двойного и тройного угла, 2(cos36°)^2-1+4(cos36°)^3-3cos36°=0. Обозначим cos36°=t, тогда 4t^3+2t^2-3t-1=0, если есть целый корень, то он среди делителей -1. Проверяем, при t=-1 верно. Делением на (t+1), раскладываем на множители (t+1)(4tt-2t-1)=0. При t=-1, cos36° не=-1, решений нет. При 4tt-2t-1=0, t1=(1-V5)/4<0, но cos36°>0, остаётся cos36°=t2=(1+V5)/4. Ответ: X=1+V5.
Эту задачу меня попросила решить ученица 9кл. Я долго мучилась. Пошла по вашему пути и т.д, но ребенку было сложно. Взяли таблицу Брадиса, решили как обычно. Спасибо, обязательно пересмотрю этот ваш детектив.
Спасибо конечно. От только объясните мне чем ваш ответ более приемлем чем 4*sin(54) ? Не имея под рукой таблички или калькулятора вы тоже не возьмете корень квадратный от 5. Чисто показать "как я умею нестандартно решать задачи" ? ну да, ваш способ имеет смысл. В плане жизненного применения - ваш способ более затратен по времени и бесполезен. Все равно в жизни надо давать конкретный результат выраженный числом, а не выражение... (я бы посмотрел как бы вам плотник отрезал кусок доски в размер = (1 + корень квадратный(5))... Поэтому и не вижу смысла в практичности вашего решения... Может по этому в школе таким "финтам ушами" и не учат? потому что в жизни оно не надо...?
Лютый трэш какой-то. sin(54) = cos(36) = cos(π/5). Это табличный косинус, равный (1+√5)/4. Всё, задача решена. Впрочем, если в школьных учебниках пропущено в таблицах значение для π/5 (обычно есть только для π/4 и π/6), то вычислить самостоятельно тоже очень легко по формуле двойного угла. Обозначим x = cos(π/5). Очевидно, что cos(π/5) = cos(π - 4π/5) = - cos(4π/5) => если обозначить t = π/5, то cost + cos4t = 0; По формуле двойного угла (применённой дважды): cos4t = 2(2cos²t-1)² - 1. Значит получаем уравнение 8x⁴-8x²+x+1 = 0. Корни -1 и 1/2 очевидны. Кроме того, очевидно, что они не годятся. Делим уравнение в столбик на (x+1), получим 8x³-8x²+1 = 0. Потом снова делим в столбик на (x-1/2) и получаем 4x²-2x-1 = 0 => x = (1±√5)/4. Корень с минусом, очевидно, не подходит. Вот и всё. Вычислили вообще без всякой геометрии. Есть правда более быстрый и изящный способ вычисления и в принципе тоже достаточно просто знать формулы двойного угла. Пусть x = cos(π/5); y= cos(2π/5); cos(4π/5) = -x. По формулам двойного угла получаем два простых уравнения: y=2x²-1 и -x = 2y²-1. Вычитая второе уравнение из первого получаем x+y = 2(x²-y²) = 2(x+y)(x-y); x+y не может быть равен 0, значит x-y = 1/2. А тогда x-1/2 = 2x²-1. Отсюда получаем то же самое квадратное уравнение: 4x²-2x-1 = 0.
Не понятно, чем единица плюс корень из 5 лучше четырёх, умноженных на синус 54 градусов? С практической точки зрения, например, чтобы отложить отрезок такой длины рулеткой, и то, и другое надо считать на калькуляторе. Только разница в том, что первый вариант ответа можно посчитать сразу, а для второго надо будет потратить кучу времени на построения, преобразования и решение квадратного уравнения.
Спасибо, очень красивое решение. Калькуляторы и таблицы даже не рассматриваем, конечно, но можно найти sin54°, пользуясь тем, что 54=3•18, 36=2•18, 54+36=90. Это известные примеры из тригонометрии. Ваше решение, безусловно, интереснее уже тем, что оно геометрическое.
Если отразить треугольник по стороне CB, то получится угол (54*2=108) - это угол правильного пятиугольника. Отношение диагонали которого к стороне =(1+√5)/2. Сторона у нас 4, => 2(1+√5)=2X => X=1+√5
Вполне красивое решение! И даёт пищу для мозга, а не тупого использования таблиц...И прекратите, умники, говорить о том, что кто - то у кого - то крадёт задачи! Одни и те же ( или похожие)задачи можно встретить у многих авторов...Решайте, а не занимайтесь интригами!
![Почему площадь сферы в четыре раза больше её тени? [3Blue1Brown]](/img/n.gif)
Если вы придете к токарю и скажите : « обточи мне, брат токарь, деталь на толщину квадратный корень из пяти»! ….Все равно придется извлекать.
Можно быстро решить задачу, если знать, что sin(54) = Ф/2, где Ф - золотое число. Хотя это соотношение прямо можно вывести из данной задачи и неплохо было бы в конце это упомянуть.
Без построений. x=4cos36°. Найдём cos36° алгебраически. Из формулы приведения cos72°=-cos(180°-72°)=-cos108°, перенесём всё в одну сторону и выразим через 36°. Тогда cos(2×36°)+cos(3×36°)=0, подставим значение косинуса двойного и тройного угла, 2(cos36°)^2-1+4(cos36°)^3-3cos36°=0. Обозначим cos36°=t, тогда 4t^3+2t^2-3t-1=0, если есть целый корень, то он среди делителей -1. Проверяем, при t=-1 верно. Делением на (t+1), раскладываем на множители (t+1)(4tt-2t-1)=0. При t=-1, cos36° не=-1, решений нет. При 4tt-2t-1=0, t1=(1-V5)/4<0, но cos36°>0, остаётся cos36°=t2=(1+V5)/4. Ответ: X=1+V5.
Эту задачу меня попросила решить ученица 9кл. Я долго мучилась. Пошла по вашему пути и т.д, но ребенку было сложно. Взяли таблицу Брадиса, решили как обычно. Спасибо, обязательно пересмотрю этот ваш детектив.
Спасибо конечно. От только объясните мне чем ваш ответ более приемлем чем 4*sin(54) ? Не имея под рукой таблички или калькулятора вы тоже не возьмете корень квадратный от 5. Чисто показать "как я умею нестандартно решать задачи" ? ну да, ваш способ имеет смысл. В плане жизненного применения - ваш способ более затратен по времени и бесполезен. Все равно в жизни надо давать конкретный результат выраженный числом, а не выражение... (я бы посмотрел как бы вам плотник отрезал кусок доски в размер = (1 + корень квадратный(5))... Поэтому и не вижу смысла в практичности вашего решения... Может по этому в школе таким "финтам ушами" и не учат? потому что в жизни оно не надо...?
Нельзя найти синус 54 без калькулятора, но корень из 5 без калькулятора - легко! Ставьте лайк.
Имхо, идиотизм, ибо в школе учат ручками вычислять синусы, плюс таблицы брадиса - всегда доступны на контрольных/экзаменах.
Лютый трэш какой-то. sin(54) = cos(36) = cos(π/5). Это табличный косинус, равный (1+√5)/4. Всё, задача решена. Впрочем, если в школьных учебниках пропущено в таблицах значение для π/5 (обычно есть только для π/4 и π/6), то вычислить самостоятельно тоже очень легко по формуле двойного угла. Обозначим x = cos(π/5). Очевидно, что cos(π/5) = cos(π - 4π/5) = - cos(4π/5) => если обозначить t = π/5, то cost + cos4t = 0; По формуле двойного угла (применённой дважды): cos4t = 2(2cos²t-1)² - 1. Значит получаем уравнение 8x⁴-8x²+x+1 = 0. Корни -1 и 1/2 очевидны. Кроме того, очевидно, что они не годятся. Делим уравнение в столбик на (x+1), получим 8x³-8x²+1 = 0. Потом снова делим в столбик на (x-1/2) и получаем 4x²-2x-1 = 0 => x = (1±√5)/4. Корень с минусом, очевидно, не подходит. Вот и всё. Вычислили вообще без всякой геометрии. Есть правда более быстрый и изящный способ вычисления и в принципе тоже достаточно просто знать формулы двойного угла. Пусть x = cos(π/5); y= cos(2π/5); cos(4π/5) = -x. По формулам двойного угла получаем два простых уравнения: y=2x²-1 и -x = 2y²-1. Вычитая второе уравнение из первого получаем x+y = 2(x²-y²) = 2(x+y)(x-y); x+y не может быть равен 0, значит x-y = 1/2. А тогда x-1/2 = 2x²-1. Отсюда получаем то же самое квадратное уравнение: 4x²-2x-1 = 0.
Слодная , особенно , когда негр рядом ... ему бы мячик с кольцом
А чем плох sin54°? Чем корень лучше синуса? 🤷♀️
Лучше взять меньший
Не понятно, чем единица плюс корень из 5 лучше четырёх, умноженных на синус 54 градусов? С практической точки зрения, например, чтобы отложить отрезок такой длины рулеткой, и то, и другое надо считать на калькуляторе. Только разница в том, что первый вариант ответа можно посчитать сразу, а для второго надо будет потратить кучу времени на построения, преобразования и решение квадратного уравнения.
Спасибо, очень красивое решение. Калькуляторы и таблицы даже не рассматриваем, конечно, но можно найти sin54°, пользуясь тем, что 54=3•18, 36=2•18, 54+36=90. Это известные примеры из тригонометрии. Ваше решение, безусловно, интереснее уже тем, что оно геометрическое.
Если отразить треугольник по стороне CB, то получится угол (54*2=108) - это угол правильного пятиугольника. Отношение диагонали которого к стороне =(1+√5)/2. Сторона у нас 4, => 2(1+√5)=2X => X=1+√5
Круто 👍 спасибо за решение
Большое спасибо от двух братьев. Они любят такие задачи
Очень лёгкая, решил с помощью синуса угла и таблицы Брадиса, я её можно сказать в уме решил
Вопрос: чем принципиально отличается корень из пяти от синуса 54 градусов?)
Вполне красивое решение! И даёт пищу для мозга, а не тупого использования таблиц...И прекратите, умники, говорить о том, что кто - то у кого - то крадёт задачи! Одни и те же ( или похожие)задачи можно встретить у многих авторов...Решайте, а не занимайтесь интригами!
А что значит нет калькулятора, когда я учился таблицы Брадиса без проблемм разрешали брать на экзамен. Теперь как то по другому?