마지막에 ”수학이라는 학문이 절대적인 규칙이 있거나 교과서라는 틀에 갇혀 있는 것이 아니다“ 라는 말씀이 너무 깊게 와닿았습니다! 정말 수학은 무한함이 아름다움인 것 같아요. 이렇게 선생님께서 항상 말씀하시던 수학 본연의 모습은 ‘끝이 없는 지적 유희 수단’이라는 뜻을 펼치심으로써 대중화를 위해 나아가는 모습이 너무 존경스럽습니다. 오늘도 좋은 영상 감사하고, 이상엽 선생님 항상 응원합니다!!
학생들을 가르친지 얼마 되지 않은 대학생입니다. 아이들에게 어떤 새로운 체계를 가르쳐주면 상엽선생님 말씀대로 이거 지금은 안된다고 했는데 나중에 또 되는 거 아니에요?라는 질문을 하는 아이들이 항상 나와요. 그러면 저는 웃으면서 그런 상상 하는 거 너무 좋다고, 사실은 이거 나중에 되는 걸로 배울 거라고 하며 아주 살짝은 알려주곤 했습니다. 그러나 최근에 고1 아이들이게 유리식 가르치면서 분모에 0은 혹은 나누기 0은 평생 하지 않을 거야 이거는 나중에 또 된다고 하고 그럴일 없으니까 잘 기억하자고, 초등학생 때 나누기를 어떻게 배웠는지 설명하면서 안되는 이유를 알려주었는데 이 영상을 보고는 많이 반성했습니다. 아이들이 극한을 배우고, 0/0꼴에 들어갈 때쯤 상엽 선생님께서 이야기하신 부분을 아이들과 같이 생각해보는 시간을 가져보면 좋을 것 같습니다 ㅎㅎ
안녕하세요 선생님. 수학강사이자 수학관련 유튜브를 열고 있는 윤성준이라고 합니다. 이번에 제가 0으로 나누면 안된다는 것에 관련하여 현실에 적용하는 방법을 이야기하는 영상을 촬영하였습니다. 그런데 중간에, 순수수학에서는 wheel theroy 라는 것도 있다고 언급을 하였고, 이에 대해 궁금해하실 수 있는 구독자분들을 위해 영상 해설에서 참고문헌을 드리겠다 하였습니다. 스톡홀롬 대학교의 제스퍼 칼스트롬 선생님의 논문링크를 응용함과 동시에, 이상엽선생님께서 강의해두신 이 영상의 링크를 같이 언급해두었습니다. 미리 양해를 구하고 언급해드렸어햐 하는데, 바퀴이론에 대해 정말 한국어로 된 설명중에 이보다 좋을수는 없다 싶은 선생님의 강의인지라.. 더 많은 분들이 보셨으면 하는 마음에 일단 먼저 링크를 걸어두었습니다. 이에 사과드립니다. 죄송합니다. 그래서 뒤늦게나마, 이렇게 찾아와서 영상 링크를 걸었다는 점을 말씀드리려 합니다. 제 영상의 링크는 여기(ua-cam.com/video/SykfZLdAEEE/v-deo.html)입니다. 혹시 보시고 제가 언급한 내용이나, 영상해설에서 설명드린 내용이 마음에 안드시면 바로 말씀해주세요. 바로 링크를 삭제하고 수정조치 하도록 하겠습니다. 모쪼록 앞으로도 항상 건강하시고, 좋은 강의 많이 보여주세요. 감사합니다.
사실 x=-x가 되는 수는 기존에도 0이라는 게 있죠. 수학자들 중에서도 사각형의 내각의 합이 꼭 360도여야 하는가, 삼각형의 내각의 합이 꼭 180도여야 하는가를 연구하다 모순이라고 할 수 없는 것을 모순이라고 결론내리고 포기하는 바람에 비유클리드 기하학의 첫 발견자가 되는 영예를 놓친 사람이 있습니다. (이름이 당장 기억나진 않네요. 어릴 적에 본 수학 서적에 있었는데...) 수학도에게도, 심지어 수학자에게도 고정관념을 깨는 건 쉽지 않다는 거죠.
모든 수에 0을 곱하면 0이 된다는 것을 깨야 0으로 나누기가 성립하지만 0으로 나누고 다시 곱해도 원래대로 돌아오지 않는다는 모순점이 생겨버리죠 그래서 기존 수체계에서 자연스럽게 행해졌던 것들이 다 비직관적인 부산물이 생겨버립니다. 하지만 0으로 나누기를 정의할 수 있다는 것 자체에 초점을 맞춰야겠죠. 0으로 나눈 결과 자체를 또 수 체계로 포함시키는 것은 굉장히 흥미롭습니다.
기존의 수학 기준으로 0으로 나누면 왜 안되는지에대한 설명을 납득할 수 있게 처음 들었네요. 그냥 외워라 수준의 교육은 정말로 지양해야 한다고 생각합니다. 이해를 하고 안하고는 배우는 학생들이 받아들일 문제이지 그걸 생략하고 쉽게 외워서 문제 쉽게 풀 수 있게 하는 걸 훌륭한 강의라고 생각하는 사람이 입시학원이면 몰라도 학교에선 있어선 안된다고 생각합니다
가르친다면 대부분 이렇게 가르칠겁니다. 곱셈의 역연산으로 가르칠때는 모든 수에 0을 곱하면 0이 되지? 그래서 1나누기 0 같은건 곱셈의 역연산이기 때문에 어떤 수에 0을 곱해도 1이 될수 없으니 안되고, 같은 이유로 0나누기 0은 모든 수가 다 가능하니/혹은 모든 수가 다 같아져버리니 정의할 수 없어. 또는 나눗셈을 처음 가르칠때 곱하면서 빼기 원리를 응용해서 0은 어떤수를 곱해서 빼도 0이지? 그래서 0으로 나눌 수 없어. 굉장히 거칠지만 맞는 말들입니다. 더 다듬어서 섬세하게 가르치면 이제 점점 수준높은 수학이 되는 것이구요.
저도 어렸을 때부터 "나누기 0"을 정의할 수 없다고 하는 것에 대해서 근호 안에 -1을 넣은 것을 허수 i라고 정의하듯 1/0을 새로운 기호로 정의하고 사용할 수는 없는 것인가? 이미 정의해봤는데 의미가 없어서 알려지지 않은 것인가?하는 의문을 오랜시간 품어왔었습니다. 그런데 이 영상을 통해 Wheel Theory라는 것이 있었다는 사실을 알게되어 너무 기쁩니다. 그런데 한가지 궁금한 점은 13:23부분에 x*무한대(1/0)을 그냥 무한대(1/0)이라고 쓰셨는데, 분수의 곱셈에 의해서 x*(1/0) = x/0이 되어야하는 것 아닐까요? 따로 x/0에 대한 정의가 언급되어있지 않아서 질문드립니다. 항상 유익한 영상 감사드립니다.
1분 --> 나누지않았다/ 2분 --> 2개로 나누었다 / 0분 --> 나누지 않았다 2분의 1은 (0.5+0.5) 1를 2개나누었다는 뜻 0.5 가 2개 있다는 결과 0분의 1은 1이다. ( 1를 나누지 않았다는 뜻 정답은 1이다.) 0분의 1이 무한대라는 가정은 틀렸다 0분의 0은 0이다. (0을 나누지않았다 즉 0이다.) ChatGPT에게 물어보았다. 강사분과 같은 주장을 계속 하더군요. 그래서 질문을 조금 바꾸었습니다. 저의 질문 지금 나는 수학을 말하는 것이 아니다. 언어가 맞는 지 묻는 것이다. ( 0분의 1 )의 언어적 의미는, 1을 나누지 않았다는 뜻이 맞습니까? ChatGPT 의 답변 네, 맞습니다. "0분의 1"의 언어적 의미는 "1을 나누지 않았다"는 뜻입니다. 이는 수학적으로는 정의되지 않는 상황이지만, 언어적으로는 이렇게 해석할 수 있습니다. "분모가 0이고 분자가 1인 분수"라는 개념 자체는 수학에서 정의되지 않기 때문에, 언어적인 해석으로써 "1을 나누지 않았다"는 의미가 적절합니다. 제 결론 언어적으로는 맞는데 수학적으로는 틀리다? 그렇다면 수학적 표현방식이 또는 수학적 정의가 잘못됐다 수정되야한다.
수학에 대해 항상 학생위치에 있어본 입장에서 가장 혼란 스러웠던것이 복소수 들어갈때였죠. 즉 제곱해서 -1이 되는것을 가정해보고 그것을 i로 규정하자라고 출발합니다. 문제는 가정한것인데 정의로 탈바꿈 된다는것이죠. 즉 정의할거면 가정과정도 필요 없는것이죠. 정의는 서로의 약속이니까요. 그러면서 제곱하면 항상 양수다라는 생각마저 다깨져버립니다.그때부터 실수영역에서라는 조건을 달고다녀야한답니다. 이럴거면 처음부터 그게 초등학교든 중학교든 현재까지 구분한 수체계는 이렇다를 알려주고 이 수체계에서 우리가 다룰것은 이거다라고 범위를 설정하고 지수든 근이든 다루는것이 맞는것이다라는것이죠. 배울때마다 당연하다라고 배운것을 다시 또 깨야한다라는것은 이전 선생님이 당연하다라 가르친것에 대해 분노를 느껴야하고, 예전에 달고다니지 않은 꼬리를 꼭 확인해야하만 하는 문제가 발생합니다. 심지어 그런 꼬리 확인했는지 가지고 맞고 틀림을 가르는 짓거리까지 하지요. 선생들이 당연하다라 해놓고, 이제는 그걸 확인하라고하며, 심지어 그것으로 맞고틀림을 결정하는 짓거리를 벌이는 현실, 그것도 나름 엄밀성을 중요시 한다라는 수학이라는 학문을 가르치는 현장에서 구조적으로 모순을 만들어가는 모습입니다. 제발 중학교때부터라도 수체계 알려주세요. 그냥 약속이잖아요. 그 복잡한 약속인 지수는 알려 주면서 그 단순한 수체계 약속은 왜 안알려주나요? 수체계의 약속을 안다면 근의 공식에서 루트안에 음수가 나왔을때 당황하지는 않을것입니다. 왜냐면 허수가 나왔구나라고 알테니까요. 그냥 사칙연산 알려주듯이만 알려주라는것입니다. 참고로 나눗셈의 정의가 곱셈의 역연산으로 정의되었다라는것을 나눗셈을 처음 사용해본지 몇십년지나서 처음 알았습니다.덕분에 곱셈의 정의가 어떻게 된것인지도 궁금증이 생기네요.
기존 고등학교 수학으로 표현하자면 0/0의 경우는 부정형이므로, 부정형의 기호를 입실론이라 표현한 느낌이네요. 즉 부정형을 0과 무한대(불능)를 포함한 모든 수라고 생각하면, 부정형과의 연산은 당연히 부정일수밖에 없고, wheel theory의 비유로 표현하자면, 하나의 점이자 원 전체를 대표 혹은 축약해서 표현한 느낌, 현실세계로 치면 이세계 트럭에 치여버린 숫자, 한번 이세계에 가면 돌아올 수 없는 숫자. 물론 극한을 배우면 부정형 중에서도 정해지는 값이 많기 때문에 수렴속도라든지 발산여부 등을 평가할 수 있겠지만, 결국 그것도 하나의 문자에 대한 연산이지 다른 두개 이상의 문자가 서로 독립적으로 발산 및 수렴한다면 두 독립적인 문자의 연산은 수렴 발산을 도출할 수 없는 한 항상 부정형일수밖에 없겠지요. 즉, 제가 봤을때 wheel theory의 경우는 수 체계의 확장이라기보단 부정 불능을 문자로 표현한 것에 불과하다 이게 제 생각입니다. 0.999... = 1과 비슷한 느낌으로, 0.999... 와 1의 같음은 결국 0.999...라는 표현 방식 때문에 1과 다르지 않을까 하는 혼란을 일으킨 것처럼, 부정 불능을 직교 기호(혹은 입실론)와 무한대 기호를 쓸 뿐이고, 기호 간의 연산만 확장하여 정의한 느낌. 사실 이미 부정형이 되어버린 숫자와의 연산은 의미없는데 말이지요.(모든 사칙연산에 대해 부정형이 도출됨)
안녕하세요 선생님! 몇년 전부터 항상 영상 잘 보고 있습니다! 다름이 아니라 질문이 있어서 이렇게 댓글 남깁니다! 12:30 에서 무한+무한을 계산할 때 (1/0)+(1/0)=(1*0+1*0)/0=0/0와 같이 통분 계산을 적용해서 엡실론이 된다 하셨는데, 분모가 0으로 같으므로 굳이 통분을 할 필요 없이 그냥 덧셈, 즉 (1/0)+(1/0)=(1+1)/0=2/0=2*(1/0) 이 되어 답이 무한이 될 수는 없나요??ㅠㅠ
그리고 해당 수 체계를 만든다고 했을때, 미지수 x y에 0, 부정, 불능을 포함시킨다면 굉장히 복잡하고 더러운 계산이 생기겠죠. x-x != 0, x/x !=1, 0x != 0, 1/x != x^(-1) 등등... 이항이나 역연산 등이 당연하게 여겨졌던 기존 수체계와는 달라지기 때문에 /0을 정의한것 만으로 수 체계가 많이 더러워집니다. 하지만 결국 우리는 (-1)*(-1)=+1 라는 수체계를 받아들여서 계산을 간단하게 할 것이냐, (-1)*(-1)=-1라는 수체계를 받아들여서 좀더 직관적인 음수 곱셈을 만들 것이냐 두 개 사이에서 선택했듯이, /0을 정의하는지 안하는지에 따라 계산의 복잡성을 취사선택할 수 있다는 점은 수학자들에게 매력으로 다가올 수 있겠습니다. 연산의 간단함은 사실 피연산자들에게 규칙이 있기 때문에 생기는 것으로, 0을 제외하는것 만으로 편리함을 누렸으니 0을 포함시키면 불편함을 얻긴 해야겠지요.
리만 구와 비슷한 점이 있습니다. 선생님께서 실수 집합에서의 wheel을 설명해 주셨지만, 사실은 어떠한 integral domain에도 wheel을 정의할 수 있습니다. 실수 집합 R에 대하여 wheel인 R⊙을 정의할 수 있고... 마찬가지로 복소수 집합 C에 대하여 wheel인 C⊙을 정의할 수 있습니다. C⊙는 복소 평면 C에 1/0인 무한대, 그리고 0/0을 추가한 것입니다. 그런데 복소 평면 C에 1/0인 무한대를 합치면(연산은 무시하고) 리만 구와 위상구조가 같습니다. 다시 말씀드리면, 리만 구에 0/0을 추가하면 C⊙와 위상 구조가 같습니다.
이분도 통분에 대한 얘기를 하고 계시는군요. /0 꼴의 수 들, 즉 0을 분모로 할 경우 일반적인 연산이 성립하지 않고, 분자항끼리 계산할 때는 항상 0이 곱해져야 합니다. 즉, 1/0 + 1/0을 하든, 0/0 + 0/0을 하든 항상 0이 나오고, 무한과 기저(부정형) 끼리의 덧셈과 뺄셈은 서로 분모가 0이므로 항상 분자가 0이 되어 부정형이 도출되는 것이죠. 통분은 참고로 분모분자에 같은 수 곱셈을 생략하셔서 나타나는 현상입니다. 나눗셈이 곱셈의 역연산과 똑같이 정의되지 않는 상황에서 최소공배수를 이용한 통분 (여기서는 분배법칙처럼 사용하셨지요)을 함부로 하는 순간 해당 수 체계에서는 뒤틀림이 발생할 수밖에 없지요. 해당 수체계는 0으로 나누기를 정의하기 위해 나눗셈을 곱셈의 역연산으로 정의하기를 포기한 세상입니다. 당연히 분배법칙과 통분 등의 곱셈의 역연산으로서의 나눗셈이 수반되어야 하는 상황에선 원래 알고 있던 공식들이 성립하지 않지요.
그냥 wheel의 모양에 부합시키기 위해 그렇습니다. 수직선은 양쪽이 끊어진 무한히 긴 직선이지요. 그 둘을 한데 이어서 위상수학적으로 원과 같은 형태로 접합하기 위해서 점이 딱 하나 필요한데 그것이 무한대의 기호를 할 뿐이지, 양과 음을 모두 내포하게 되는겁니다. 그리고 이제 입실론이라고 표현하신 기호는 그 원과 동떨어져있는 한 점이기 때문에 모든 사칙연산이 해당 점으로 이동해버려서 의미없어지는 것이죠.
![[짤막강연] 수학을 잘하는 사람이란?](http://i.ytimg.com/vi/MaLMYhrbfuY/mqdefault.jpg)
![[짤막강연] 수학을 잘하는 사람이란?](/img/tr.png)
![[지식in] 분수계 미적분학이란? Fractional Calculus](http://i.ytimg.com/vi/NE-5wmbz7mI/mqdefault.jpg)
![[지식in] 정말로 점이 모이면 선이 될까?](http://i.ytimg.com/vi/YZKp8cLS4Fw/mqdefault.jpg)
![[강연] 직관과는 다른 무한의 세계 1](/img/n.gif)
15:50 추가로 설명하면 대수 구조 wheel은 ⊙와 같은 위상구조를 가지기 때문에
그냥 wheel 대수 구조를 표현하는 기호로 ⊙를 씁니다.
수험생들을 십수년간 지도해온 제 입장에선 상엽샘 강의가 충격, 신선 했습니다. 강의가 끝나고나서도 텅빈 강의실에 혼자 남아 곱씹게 된 계기였습니다. 선생님 고맙습니다. 부디 건강하셔서 앞으로도 명품강의 쭈욱 부탁드립니다!
마지막에 ”수학이라는 학문이 절대적인 규칙이 있거나 교과서라는 틀에 갇혀 있는 것이 아니다“ 라는 말씀이 너무 깊게 와닿았습니다! 정말 수학은 무한함이 아름다움인 것 같아요. 이렇게 선생님께서 항상 말씀하시던 수학 본연의 모습은 ‘끝이 없는 지적 유희 수단’이라는 뜻을 펼치심으로써 대중화를 위해 나아가는 모습이 너무 존경스럽습니다.
오늘도 좋은 영상 감사하고, 이상엽 선생님 항상 응원합니다!!
어제 강연을 들으며 완전 즐거웠습니다.
수학의 본질은 그 자유로움에 있다는 말이 떠오르며 확 와닿았어요.
앞으로도 생각의 지평을 넓힐수 있는 강연 부탁드려요!
감사합니다!
학생들을 가르친지 얼마 되지 않은 대학생입니다.
아이들에게 어떤 새로운 체계를 가르쳐주면 상엽선생님 말씀대로 이거 지금은 안된다고 했는데 나중에 또 되는 거 아니에요?라는 질문을 하는 아이들이 항상 나와요.
그러면 저는 웃으면서 그런 상상 하는 거 너무 좋다고, 사실은 이거 나중에 되는 걸로 배울 거라고 하며 아주 살짝은 알려주곤 했습니다.
그러나 최근에 고1 아이들이게 유리식 가르치면서 분모에 0은 혹은 나누기 0은 평생 하지 않을 거야
이거는 나중에 또 된다고 하고 그럴일 없으니까 잘 기억하자고, 초등학생 때 나누기를 어떻게 배웠는지 설명하면서 안되는 이유를 알려주었는데
이 영상을 보고는 많이 반성했습니다.
아이들이 극한을 배우고, 0/0꼴에 들어갈 때쯤 상엽 선생님께서 이야기하신 부분을 아이들과 같이 생각해보는 시간을 가져보면 좋을 것 같습니다 ㅎㅎ
너무너무 훌륭한 내용과 강의입니다. 감탄과 존경을 바칩니다. 교과서도 훌륭하지만 때로는 교과서를 벗어나는 참신한 발상도 너무 멋지네요~ 감사합니다
기존 밖의 관점에서 들여다보는 수학이 재미있을 수 있음을 알려주심과 좋은 시야를 선물해주셔서 감사합니다😃
선생님이 던져주시는 문장 하나하나가 무심코 지나쳤던 개념들을 정립시켜줍니다. 수학에 얼마나 흥미를 두셨는지 깨닫게 됩니다.
수학은 물질세계를 상정하지 않고 논리규칙에 따라서 독자적으로 만들어지는 것이고 현실에서는 수학의 일부를 해석해서 응용하는 거죠
한마디로 이렇게 두자 이렇게 생각해보자 라고 시작하는게 수학의 특징이라고 할 수 있습니다
이런 점에서 물리학도 수학과 비슷하지요 차이점은 물리학은 현실세계의 관찰이 주고 수학은 추상의 추상의 추상을 거듭한다는 점이에요
논리라는 것도 이 세상의 절대적인 규칙이 아닙니다 그렇게 보이는 것일 뿐이죠
논리규칙도 아리스토텔레스를 시작으로 사람이 만든 것입니다
갑자기 0에서 1이 생긴 게 신기해요. 0에서 1로 무슨 근거로 나아갈수있었을까요?
@@Snowflake_tv 눈꽃님 진짜 어딜가나 등장하시네요
@@PrimeNumber7919 관심사라 ㅋㅋ
우와 진짜 쉽게 잘 전달하시네요 간추릴부분과 강조해야할부분을 분명하게 알고계신듯
안녕하세요 선생님. 수학강사이자 수학관련 유튜브를 열고 있는 윤성준이라고 합니다.
이번에 제가 0으로 나누면 안된다는 것에 관련하여 현실에 적용하는 방법을 이야기하는 영상을 촬영하였습니다.
그런데 중간에, 순수수학에서는 wheel theroy 라는 것도 있다고 언급을 하였고,
이에 대해 궁금해하실 수 있는 구독자분들을 위해 영상 해설에서 참고문헌을 드리겠다 하였습니다.
스톡홀롬 대학교의 제스퍼 칼스트롬 선생님의 논문링크를 응용함과 동시에,
이상엽선생님께서 강의해두신 이 영상의 링크를 같이 언급해두었습니다.
미리 양해를 구하고 언급해드렸어햐 하는데, 바퀴이론에 대해 정말 한국어로 된 설명중에 이보다 좋을수는 없다 싶은 선생님의 강의인지라..
더 많은 분들이 보셨으면 하는 마음에 일단 먼저 링크를 걸어두었습니다. 이에 사과드립니다. 죄송합니다.
그래서 뒤늦게나마, 이렇게 찾아와서 영상 링크를 걸었다는 점을 말씀드리려 합니다.
제 영상의 링크는 여기(ua-cam.com/video/SykfZLdAEEE/v-deo.html)입니다.
혹시 보시고 제가 언급한 내용이나, 영상해설에서 설명드린 내용이 마음에 안드시면
바로 말씀해주세요. 바로 링크를 삭제하고 수정조치 하도록 하겠습니다.
모쪼록 앞으로도 항상 건강하시고, 좋은 강의 많이 보여주세요. 감사합니다.
현직 수학 강사입니다. 존경합니다. 좀 더 공부하고 배우겠습니다.
저도 어릴때 0을 나누고 곱하면서 저런 놀이(?)를 했었어요,, 그땐 1/0=-1/0이라는 결론 때문에 모순이라 생각하곤 그만뒀었는데, x=-x가 무조건 될수 없다고 생각한 탓이었나봐요 ;)
사실 x=-x가 되는 수는 기존에도 0이라는 게 있죠.
수학자들 중에서도 사각형의 내각의 합이 꼭 360도여야 하는가, 삼각형의 내각의 합이 꼭 180도여야 하는가를 연구하다 모순이라고 할 수 없는 것을 모순이라고 결론내리고 포기하는 바람에 비유클리드 기하학의 첫 발견자가 되는 영예를 놓친 사람이 있습니다. (이름이 당장 기억나진 않네요. 어릴 적에 본 수학 서적에 있었는데...)
수학도에게도, 심지어 수학자에게도 고정관념을 깨는 건 쉽지 않다는 거죠.
모든 수에 0을 곱하면 0이 된다는 것을 깨야 0으로 나누기가 성립하지만
0으로 나누고 다시 곱해도 원래대로 돌아오지 않는다는 모순점이 생겨버리죠
그래서 기존 수체계에서 자연스럽게 행해졌던 것들이 다 비직관적인 부산물이 생겨버립니다.
하지만 0으로 나누기를 정의할 수 있다는 것 자체에 초점을 맞춰야겠죠.
0으로 나눈 결과 자체를 또 수 체계로 포함시키는 것은 굉장히 흥미롭습니다.
기존의 수학 기준으로 0으로 나누면 왜 안되는지에대한 설명을 납득할 수 있게 처음 들었네요. 그냥 외워라 수준의 교육은 정말로 지양해야 한다고 생각합니다. 이해를 하고 안하고는 배우는 학생들이 받아들일 문제이지 그걸 생략하고 쉽게 외워서 문제 쉽게 풀 수 있게 하는 걸 훌륭한 강의라고 생각하는 사람이 입시학원이면 몰라도 학교에선 있어선 안된다고 생각합니다
보통 초등학교나 중학교에서
가르칩니다.
처음 들어보셨다면 교사들이
잘못한 겁니다.
@@hyeonsseungsseungi 저렇게 역산 개념으로 설명해준다고요? 무한소분의1의 개념으로 1/0 을 마치 무한대인것처럼 설명하신 선생님이 있긴 한데
교과서에는 있었을겁니다. 강사님께서 말씀하신 것처럼 그게 정의 그 자체라서요. 하지만 가르치는 분들이 그걸 강조하지 않으시거나 별 의미 없다고 오해하시는 경우가 매우 많죠.
가르친다면 대부분 이렇게 가르칠겁니다.
곱셈의 역연산으로 가르칠때는 모든 수에 0을 곱하면 0이 되지? 그래서 1나누기 0 같은건 곱셈의 역연산이기 때문에 어떤 수에 0을 곱해도 1이 될수 없으니 안되고,
같은 이유로 0나누기 0은 모든 수가 다 가능하니/혹은 모든 수가 다 같아져버리니 정의할 수 없어.
또는 나눗셈을 처음 가르칠때 곱하면서 빼기 원리를 응용해서 0은 어떤수를 곱해서 빼도 0이지? 그래서 0으로 나눌 수 없어.
굉장히 거칠지만 맞는 말들입니다. 더 다듬어서 섬세하게 가르치면 이제 점점 수준높은 수학이 되는 것이구요.
오늘도 잘 들었습니다.
감사합니다. 선생님.
재밌는 강연 해주셔서 너무나 감사드립니다!
프로그래밍에서 자주 마주칠 수 있는 오버플로우와 비슷해서 굉장히 흥미로웠습니다!
우와 그렇게도 보이네요!
∞는 infinity고, ε를 NaN으로 치환하면 위의 합과 곱 관계가 전부 맞아떨어지네요! 흥미롭습니다.
저도 어렸을 때부터 "나누기 0"을 정의할 수 없다고 하는 것에 대해서 근호 안에 -1을 넣은 것을 허수 i라고 정의하듯 1/0을 새로운 기호로 정의하고 사용할 수는 없는 것인가? 이미 정의해봤는데 의미가 없어서 알려지지 않은 것인가?하는 의문을 오랜시간 품어왔었습니다. 그런데 이 영상을 통해 Wheel Theory라는 것이 있었다는 사실을 알게되어 너무 기쁩니다.
그런데 한가지 궁금한 점은 13:23부분에 x*무한대(1/0)을 그냥 무한대(1/0)이라고 쓰셨는데, 분수의 곱셈에 의해서 x*(1/0) = x/0이 되어야하는 것 아닐까요? 따로 x/0에 대한 정의가 언급되어있지 않아서 질문드립니다. 항상 유익한 영상 감사드립니다.
x×∞ = (x/1)×(1/0) = (1/(1/x))×(1/0) = (1×1)/((1/x)×0) = 1/0 = ∞
와 같이 증명 가능합니다 ^^
@@lsy_math 감사합니다!
1분 --> 나누지않았다/ 2분 --> 2개로 나누었다 / 0분 --> 나누지 않았다
2분의 1은 (0.5+0.5) 1를 2개나누었다는 뜻 0.5 가 2개 있다는 결과
0분의 1은 1이다. ( 1를 나누지 않았다는 뜻 정답은 1이다.)
0분의 1이 무한대라는 가정은 틀렸다
0분의 0은 0이다. (0을 나누지않았다 즉 0이다.)
ChatGPT에게 물어보았다.
강사분과 같은 주장을 계속 하더군요.
그래서 질문을 조금 바꾸었습니다.
저의 질문
지금 나는 수학을 말하는 것이 아니다.
언어가 맞는 지 묻는 것이다.
( 0분의 1 )의 언어적 의미는, 1을 나누지 않았다는 뜻이 맞습니까?
ChatGPT 의 답변
네, 맞습니다. "0분의 1"의 언어적 의미는 "1을 나누지 않았다"는 뜻입니다. 이는 수학적으로는 정의되지 않는 상황이지만, 언어적으로는 이렇게 해석할 수 있습니다. "분모가 0이고 분자가 1인 분수"라는 개념 자체는 수학에서 정의되지 않기 때문에, 언어적인 해석으로써 "1을 나누지 않았다"는 의미가 적절합니다.
제 결론
언어적으로는 맞는데 수학적으로는 틀리다?
그렇다면 수학적 표현방식이 또는 수학적 정의가 잘못됐다 수정되야한다.
수학에 대해 항상 학생위치에 있어본 입장에서 가장 혼란 스러웠던것이 복소수 들어갈때였죠. 즉 제곱해서 -1이 되는것을 가정해보고 그것을 i로 규정하자라고 출발합니다. 문제는 가정한것인데 정의로 탈바꿈 된다는것이죠. 즉 정의할거면 가정과정도 필요 없는것이죠. 정의는 서로의 약속이니까요. 그러면서 제곱하면 항상 양수다라는 생각마저 다깨져버립니다.그때부터 실수영역에서라는 조건을 달고다녀야한답니다. 이럴거면 처음부터 그게 초등학교든 중학교든 현재까지 구분한 수체계는 이렇다를 알려주고 이 수체계에서 우리가 다룰것은 이거다라고 범위를 설정하고 지수든 근이든 다루는것이 맞는것이다라는것이죠. 배울때마다 당연하다라고 배운것을 다시 또 깨야한다라는것은 이전 선생님이 당연하다라 가르친것에 대해 분노를 느껴야하고, 예전에 달고다니지 않은 꼬리를 꼭 확인해야하만 하는 문제가 발생합니다. 심지어 그런 꼬리 확인했는지 가지고 맞고 틀림을 가르는 짓거리까지 하지요. 선생들이 당연하다라 해놓고, 이제는 그걸 확인하라고하며, 심지어 그것으로 맞고틀림을 결정하는 짓거리를 벌이는 현실, 그것도 나름 엄밀성을 중요시 한다라는 수학이라는 학문을 가르치는 현장에서 구조적으로 모순을 만들어가는 모습입니다. 제발 중학교때부터라도 수체계 알려주세요. 그냥 약속이잖아요. 그 복잡한 약속인 지수는 알려 주면서 그 단순한 수체계 약속은 왜 안알려주나요? 수체계의 약속을 안다면 근의 공식에서 루트안에 음수가 나왔을때 당황하지는 않을것입니다. 왜냐면 허수가 나왔구나라고 알테니까요. 그냥 사칙연산 알려주듯이만 알려주라는것입니다. 참고로 나눗셈의 정의가 곱셈의 역연산으로 정의되었다라는것을 나눗셈을 처음 사용해본지 몇십년지나서 처음 알았습니다.덕분에 곱셈의 정의가 어떻게 된것인지도 궁금증이 생기네요.
옛날에 초딩때 1/0 = ∞로 정의하고
-∞ = -1/0
= 1/(0/-1)
= 1/0
= ∞
이렇게 끄적거려 본 적이 있는데
실제로 있는 이론이였다니 신기하네요
초딩때 수2? 미적1? 하셨었나요 무한대를 어케알고 있었나요
흥미로운 주제로 강의해 주셔서 감사합니다
이러한 점들 때문에 수학이 세상을 이해하는 코드이면서 내가 신이될 수 있는(내가 만드는 정의에 따른 체계 생성) 코드이기도 한 게 재미있는 부분인 것 같습니다.
기존 고등학교 수학으로 표현하자면 0/0의 경우는 부정형이므로, 부정형의 기호를 입실론이라 표현한 느낌이네요. 즉 부정형을 0과 무한대(불능)를 포함한 모든 수라고 생각하면, 부정형과의 연산은 당연히 부정일수밖에 없고, wheel theory의 비유로 표현하자면, 하나의 점이자 원 전체를 대표 혹은 축약해서 표현한 느낌, 현실세계로 치면 이세계 트럭에 치여버린 숫자, 한번 이세계에 가면 돌아올 수 없는 숫자.
물론 극한을 배우면 부정형 중에서도 정해지는 값이 많기 때문에 수렴속도라든지 발산여부 등을 평가할 수 있겠지만, 결국 그것도 하나의 문자에 대한 연산이지 다른 두개 이상의 문자가 서로 독립적으로 발산 및 수렴한다면 두 독립적인 문자의 연산은 수렴 발산을 도출할 수 없는 한 항상 부정형일수밖에 없겠지요. 즉, 제가 봤을때 wheel theory의 경우는 수 체계의 확장이라기보단 부정 불능을 문자로 표현한 것에 불과하다 이게 제 생각입니다. 0.999... = 1과 비슷한 느낌으로, 0.999... 와 1의 같음은 결국 0.999...라는 표현 방식 때문에 1과 다르지 않을까 하는 혼란을 일으킨 것처럼, 부정 불능을 직교 기호(혹은 입실론)와 무한대 기호를 쓸 뿐이고, 기호 간의 연산만 확장하여 정의한 느낌. 사실 이미 부정형이 되어버린 숫자와의 연산은 의미없는데 말이지요.(모든 사칙연산에 대해 부정형이 도출됨)
안녕하세요 선생님! 몇년 전부터 항상 영상 잘 보고 있습니다! 다름이 아니라 질문이 있어서 이렇게 댓글 남깁니다!
12:30 에서 무한+무한을 계산할 때 (1/0)+(1/0)=(1*0+1*0)/0=0/0와 같이 통분 계산을 적용해서 엡실론이 된다 하셨는데, 분모가 0으로 같으므로 굳이 통분을 할 필요 없이 그냥 덧셈, 즉 (1/0)+(1/0)=(1+1)/0=2/0=2*(1/0) 이 되어 답이 무한이 될 수는 없나요??ㅠㅠ
9:36 정의는 지켜야 합니다.
@@서울촌놈-k6y 초등학교에서 배운 것처럼, 분모가 같은 경우 분모는 그대로 두고 분자끼리 덧셈을 할 수도 있는 것이지 않나요?
@@서울촌놈-k6y 덧셈의 정의가 왜 저거 한개밖에 없는건가요?
여기서 더하기는 더이상 우리가 아는 더하기가 아니라 반드시 저 특수한 체계 내에서의 더하기로 쓰기로 정의했기 때문에 불가능합니다.
@@lja3723 여러 더하기를 쓰면 처음 댓글에 말씀하신 대로 답이 여러개가 되어버려 모순이 발생하기 때문입니다.
이게 수학이죠. 감사합니다
잘들었습니다 상엽쌤:)
그리고 해당 수 체계를 만든다고 했을때, 미지수 x y에 0, 부정, 불능을 포함시킨다면 굉장히 복잡하고 더러운 계산이 생기겠죠.
x-x != 0, x/x !=1, 0x != 0, 1/x != x^(-1) 등등... 이항이나 역연산 등이 당연하게 여겨졌던 기존 수체계와는 달라지기 때문에 /0을 정의한것 만으로 수 체계가 많이 더러워집니다.
하지만 결국 우리는 (-1)*(-1)=+1 라는 수체계를 받아들여서 계산을 간단하게 할 것이냐, (-1)*(-1)=-1라는 수체계를 받아들여서 좀더 직관적인 음수 곱셈을 만들 것이냐
두 개 사이에서 선택했듯이, /0을 정의하는지 안하는지에 따라 계산의 복잡성을 취사선택할 수 있다는 점은 수학자들에게 매력으로 다가올 수 있겠습니다.
연산의 간단함은 사실 피연산자들에게 규칙이 있기 때문에 생기는 것으로, 0을 제외하는것 만으로 편리함을 누렸으니 0을 포함시키면 불편함을 얻긴 해야겠지요.
듣고있으면 힐링이 되어요
6:10 여기 중요한 말씀이 있었네요
wheel에서는 +, ×외에도 나눗셈 연산 /이 별개로 정의됩니다.
아 진짜 너무 재밌다
아니 저는 이런 거 진짜 너무 재밌고 부모님께 이거 내용 설명해주거나 이 채널 영상 같이 보고 그러는데 부모님이 너무 재미없다고 내가 하는 일이 비실용적인 거라고 하셔서 마상
새로운 지평을 깨닫게 해주셔서 그저 감사합니다.
수학의 본질은 그 자유로움에 있다
정작 자유롭지 못함을 온몸으로 겪은 칸토어...
힝 ㅠㅠㅠㅠㅠ
논리 체계 자체가 자유롭지 못하니까요...
최근에 좋은 쪽으로 바빠서 상엽쌤 강의도 책도 못 보고 있었는데, 간만에 쉬면서 본 상엽쌤 강의는 여전히 제 머리에 신선한 자극을, 마음에 감동을 주네요.
수학의 본질은 그 자유로움에 있다는 칸토어 선생님의 말씀을 다시금 상기하게 되네요.
선생님들 대상으로 강의하시는 것 부터 넘사벽 ㅎ
이 분 처음 보는데 찐인데??
태클러들은 이거 보면 “입시 교육, 학생들 못알아들어라고“ 하겠지만 실제로 그런 지식을 없고 정제된 밀가루처럼 알고 있는 거겠지, 그래서 파인만이 그 부분을 지적한거고
12:34 이 부분에서 무한 + 무한 = 1/0 +1/0 이라고 표기하셨고 그 이후에 서로 통분하셨습니다. 통분하신 이유가 같은 0이라고 하여도 0은 0+,0-라는 극한값을 포함하고 있기 때문에 0의 값이 서로 다르기에 통분하신 것입니까?
새롭게 정의를 하니까 새로운 규칙이 탄생했네요 놀랍네요
수학에 있어 논쟁이란 존재하지 않는다.검증만이 있을 뿐 - 가우스
수학의 본질은 그 자유로움에 있다 - 칸토어
항상 좋은 강연 감사합니다! 다음에 또 뵈요!
x와 epsilon의 연산을 증명할 때 왜 x/1 에서 번분수를 취해서 1/(1/x)로 바꿔주는 건가요?
번분수를 취하지 않아도 x + e = x/1 + 0/0 = (x*0+1*0)/(1*0) = 0/0 = e 로 증명이 되지 않나요?
됩니다. 분자를 1로 맞추는 건 제 습관이에요.
@@lsy_math 번분수 사용안해도 얼마든지 똑같은 결과가 나오더라고요
@@bk4995 번분수를 이용해 분자를 1로 맞추지 않으면 많은 경우에 연산이 매끄럽게 전개되지 않습니다.
예를 들어, 2×∞ = (2/1)×(1/0) = (2×1)/(1×0) = 2/0 = 2×∞ = ...
와 같이 맴돈다든지, 막히게 됩니다.
강의 잘 봤습니다.
무한대 - 무한대 = (1 / 0) - (1 / 0) = 0 / 0 = 엡실론
이라고 봐도 되겠네요?
0을 발견한 건 수천년 전이건만.. 아직도 완전히 이해 하지 못하고 있었군요.
꼭 블랙홀을 보는 것 같아요. 0과 만나면 시간이 정지하는 특이점을 만나는 것 같은...
여기서 햇갈리시면 안될것은 입시 수학과 학문 수학은 별개입니다.
입시수학은 절대 창의력을 발현하면 안됩니다 풀이가 엉뚱해지고 시간이 많이 걸리고 결국 조지죠
저 정의대로 만든 게 프로젝티브 스페이스라니 흥미롭군요
앗 엡실론때매 프로젝티브스페이스가 아니네여…
위상수학 책에 예제로 있을 법한 재미난 수체계인데 처음 보네요
12:44 에서 0으로 통분 되어 있으니
2/0 이라고 적고 나면 이 방법으로는
기존 무한대를 1/0 으로 정의했으니
2/0은 무한대라고 설명할 수 없어서
곱해서 통분하는 방식을 택한거라 이해하면 되나요 선생님? 너무 궁금하네요.
감사합니다 덕분에 무지개반사 무한대를 무지개반사 앱실론으로 받아칠수 있게 되었습니다
내용을 전개하면서 x/1을 그대로 둬도 무리가 없어 보이는데 1/(1/x)로 표현하는 이유가 따로 있는지 여쭤보고 싶습니다.
좋은 내용의 강의 언제나 감사드립니다.
같은 댓글에 상엽님께서 답변주신게 있네요. 많은 경우에 전개가 매끄럽기위한 습관이시라고.
무한대에서 가지고 노시는거 보고 ..... 에잉 이제 쌤 알아서 하세용,,, 이러고 있어요 ㅠㅠㅋㅋㅋㅋ 재밌는데 몸이 거부해요 ㅜ
보면서도 이해한지 모르겠네요. 참 재밌는 것 같습니다. 감사합니다
궤도님이랑 합방해보셨으면 좋겠다…
정할수 없다와 확실히 졸라큼 이 생각만 머릿속에 하고잇으면 직관적으로 다 알겟어요
좋은 강의 언제나 감사합니다. 0으로 나누기가 정의된다는 점에서 최근에 알게된 리만 구와 비슷하다 싶어서 찾아봤는데 관련된 자료를 못 찾았습니다. 혹시 이에 관련된 키워드가 있을까요?
en.wikipedia.org/wiki/Wheel_theory
감사합니다. 검색할 때 오타를 쳤었나보네요.
리만 구와 비슷한 점이 있습니다. 선생님께서 실수 집합에서의 wheel을 설명해 주셨지만,
사실은 어떠한 integral domain에도 wheel을 정의할 수 있습니다.
실수 집합 R에 대하여 wheel인 R⊙을 정의할 수 있고...
마찬가지로 복소수 집합 C에 대하여 wheel인 C⊙을 정의할 수 있습니다.
C⊙는 복소 평면 C에 1/0인 무한대, 그리고 0/0을 추가한 것입니다.
그런데 복소 평면 C에 1/0인 무한대를 합치면(연산은 무시하고) 리만 구와 위상구조가 같습니다.
다시 말씀드리면, 리만 구에 0/0을 추가하면 C⊙와 위상 구조가 같습니다.
@@hyeonsseungsseungi 마지막 요약까지 정말 감사합니다. 사실 리만 구도 잘 이해가 안되는 개념이었는데 영상과 남겨주신 댓글로 많은 안개가 걷힌 느낌이네요!
선생님 감사합니다.
재밌었어요 ㅎㅎㅎ
재밌어요
우주가 무한대~무한대면 닫힌 무한대이고
무한대인 우주에서 생명체는 엡슬론 만큼 존재하니 지구 하나 일수도, 들일수도..
.
13:39 에서 굳이 x/1 을 범분수로 나타낸 이유는 무엇인가요?
그런데 쌤이 말씀하신 무한대와 엡실론이 사칙연산에 대해 닫혀있나요? (지나가는 수알못입니다)
수학 너무 재밌네요
진짜 소름돋네요..
난 선생님 아닌데도 잼있당..
탈모인의 머리카락수를 0으로 나눠도 아무일도 일어나지 않는다
0/0=■
1/0=●라 하면
■+●=0/0+1/0=(0×0+1×0)/0=0/0=■
로 구할 수도 있는데
■+●=0/0+1/0=1/0(0+1)=(1/0)×1=1/0=●
로도 구할 수 있지 않나요?
그냥 수라면 그런 계산이 가능했지먼 새로 도입한 기호들(1/0, 0/0)에 대해선 정의를 조심히 따라줘야 할겁니다. 상엽쌤이 새 기호를 정의하신 후에 덧셈 뺄셈등의 일견 당연해보이는 정의들을 하나하나 해주신 이유일 거고요.
wheel에서 덧셈을 어떻게 정의한다고 이미 약속을 했으므로 그것을 따라 주어야 합니다.
그리고 wheel에서는 우리가 알고 있는 법칙들이 그대로 성립하지 않는 경우가 많습니다.
@@user-xq6ou3vw2z
wheel 에서는 (x+y)z + 0z = xz + yz입니다.
x=0, y=1, z=/0을 대입하면
0/0 + 1/0 = (1+0)/0 + 0/0 = 1/0 + 0/0이 되어, 식이 한 바퀴 순환할 뿐 아무것도 증명이 되지 않습니다.
그런데 (x+y)z = xz + yz라고 하는 틀린 수식을 적용하면
0/0 + 1/0 = (1+0)/0 = 1/0라는 틀린 결과가 나타납니다.
이분도 통분에 대한 얘기를 하고 계시는군요. /0 꼴의 수 들, 즉 0을 분모로 할 경우 일반적인 연산이 성립하지 않고, 분자항끼리 계산할 때는 항상 0이 곱해져야 합니다.
즉, 1/0 + 1/0을 하든, 0/0 + 0/0을 하든 항상 0이 나오고, 무한과 기저(부정형) 끼리의 덧셈과 뺄셈은 서로 분모가 0이므로 항상 분자가 0이 되어 부정형이 도출되는 것이죠.
통분은 참고로 분모분자에 같은 수 곱셈을 생략하셔서 나타나는 현상입니다. 나눗셈이 곱셈의 역연산과 똑같이 정의되지 않는 상황에서 최소공배수를 이용한 통분
(여기서는 분배법칙처럼 사용하셨지요)을 함부로 하는 순간 해당 수 체계에서는 뒤틀림이 발생할 수밖에 없지요.
해당 수체계는 0으로 나누기를 정의하기 위해 나눗셈을 곱셈의 역연산으로 정의하기를 포기한 세상입니다. 당연히 분배법칙과 통분 등의
곱셈의 역연산으로서의 나눗셈이 수반되어야 하는 상황에선 원래 알고 있던 공식들이 성립하지 않지요.
흥미로운 이야기네요 ㅋㅋㅋ
워 진짜 재밌네요
선생님 강연은 어디가서 들을수있는지 알수있을까요??
수학의 자유로움
덧셈의 역원이라는 개념이 퇴색되는 것 같아 신기하네요!
어쩌면 미래에 학생들은 0을 나눈 엑실론이 주류가 되어 배울수도 있겠네
선생님~ 000 도 있어요?
??? : 응 공부해서 수학과를 가려무나
자매품
선생님~ 귀신 있나요?
??? : 지평좌표계라고 아니?
자명환이면 정의 할 수 있는
20분 순삭 개꿀잼 ㅋㅋ
처음 올라왔을때 보고 뭐지? 뭔소리지 했는데 5개월후에 한번 더보니
엡실론 이자식 데체 뭐지 ?
오 참신하네요...
20분 길이를 시간가는 줄 모르고 봤네요
???: 0분의 0꼴이지요? 로비탈 쓰세요.
수학자랑 얘기하면 너무 절거울거 같아
Trivial ring일줄 알았는데 아니었네
덧셈에 대해 group 구조가 안되서 trivial ring이 안되는거 같아요. monoid 구조정도를 들고 있는듯 한데요, 왜 이런걸 생각해야 하는지 중요한 예시가 궁금하네요
trivial ring은 수학자들이 잘 다루지
않으려고 하는 경향이 있는 것 같습니다.
수학에는 100%가 없다... 제가 재수생들 수학상담할 때 첫마디...
안 늙으신다 ㄷㄷ
영원의 오솔길은 굽어있다
와지린다
무한으로 무한을 느끼는
상고 나와서 18살에 은행근무 했다.
이제 65살인데 수학,물리,화학,생물,지리등 공부가 정말 하고 싶는데... 그놈의 담배를 끊지 못하는 내 수준은 "게으런 자는 포부만 키우다 죽어간다"는 웃픈 현실이여~
파이값과 수 체계 사이의 관계를 암시하는 듯한..
❤❤❤
어머나
17:04 선생님 마이너스 무한대가 왜 0이 아니라 무한대가 되는지 이해가 안 갑니다!!
15:00분에 설명되어있는데요? 번분수 과정에서 0나누기 -1이 0이 되면서 마이너스 부호가 사라져서 그렇게 되지요
그냥 wheel의 모양에 부합시키기 위해 그렇습니다. 수직선은 양쪽이 끊어진 무한히 긴 직선이지요. 그 둘을 한데 이어서 위상수학적으로 원과 같은 형태로 접합하기 위해서 점이 딱 하나 필요한데 그것이 무한대의 기호를 할 뿐이지, 양과 음을 모두 내포하게 되는겁니다. 그리고 이제 입실론이라고 표현하신 기호는 그 원과 동떨어져있는 한 점이기 때문에 모든 사칙연산이 해당 점으로 이동해버려서 의미없어지는 것이죠.
#Div/0!
라마누잔합처럼 가능하다고 가정해서 접근하면 이런 결론이 나올 수 있다고 생각하면 될까요?
한국의 3B1B
와..?
?
a/a= 1 ㅇl고
0/0=?