수학교육과인데 1학년 수학 과목중에 젤 어려운게 집합론이었어요.. 선형대수나 1학년때 배우는 미적분학이랑은 비교할 수가 없는 난이도... 집합론 하면서 가장 인상 깊었던 부분이 무한집합의 크기 비교하는 부분이었난데 자연수집합의 크기랑 유리수 집합의 크기가 같다던지 그런게 굉장히 신기했던게 생각나네요. 대충 유리수 집합을 N × N \ {0} 으로 잡고 여기서 N의 부분집합으로 가는 전단사 함수가 존재하는데 {(m,n) -> 2^m × 3^n} 이는, N의 진부분 무한집합이므로 다시 여기서 N으로 가는 일대일 대응 함수가 존재하므로 결과적으로 N × N \ {0}에서 N으로 가는 일대일 대응 함수가 존재하므로 유리수 집합과 정수집합의 크기는 같다고 증명했던 기억이 나네요 딱 여기까진 재밌었는데... 카디널리티의 제곱연산부터 하우스도르프 어쩌고 하면서 머리가 깨지다가.. 집합론을 손에서 놨어요
궁금한 점이 있습니다. 일대일 대응이 되기만 하면, 즉 output이 하나의 해만 나오도록 집합을 정의할 수 있다면 두 집합의 농도는 같다고 이해했습니다. 만약 자연수 (1,2,3...)의 원소와 대응되도록 유리수를 소수 형태로 정의해보면, 1.xxxxx, 2.xxxxx, 3.xxxx, 이런 식으로 정의 할 수 있습니다. 1 자연수와 대응되는 유리수는 0.1 이고 2와 대응되는 것은 0.2 ... 이렇게 진행하는데 이때 무리수와 구별하기 위하여 적당히 큰 n이 유리수와 무리수를 구별할 경계라고 생각해 본다면, 0.xxxxxx....에 대한 집합의 갯수는 자연수의 갯수가 n일때 일대일 대응된다. 라고 할 수 있습니다. 다시 말해, 자연수의 n번째에서 0.xx...의 소수가 정의된 것이고 n+1부턴 1.00이 되는 셈입니다. 자연수 집합의 갯수를 X라고 정의한다면 유리수의 원소의 갯수는 X*n이 될 것임이 자명합니다. X*n과 X의 X가 무한대로 근접해질때 둘다 발산합니다. 만약 n이 X과 같은 속도로 증가한다면 유리수 집합이 자연수 집합에 비해 그것의 제곱만큼 더 클 것입니다. 하지만 위 영상의 논리대로라면 유리수와 자연수의 갯수는 같으므로 n은 X에 관해 상수 취급되어야 합니다. 관측의 경계가 상수이고, 그 경계는 발산한다. 마치 거울속에서 자기자신을 무한히 보지만 실제 거울과 나의 거리는 몇 안되는 것 처럼 보입니다. 고1 학생으로서 헷갈리는 부분이 많습니다. 미숙하지만 '무한'에 대해 알아보고 싶은 것이니 친절하게 알려주시면 감사하겠습니다. 저런식의 접근으로도 무한이 설명될 수 있을지 궁금합니다ㅡ
23:50 - 엄밀히 말하면 칸토어 집합의 길이가 0이라기 보다는, 칸토어 집합에서 제외된 부분의 길이가 1이다라고 해야 하지 않나요? 어디선가 구를 이루는 점들을 쪼개서 똑같은 면적의 구 2개를 만드는 수학적 기법을 본적이 있습니다. (찾아보니 바나흐-타르스키 역설이라고 하는군요) 그 기법과 칸토어 집합 길이 논하는게 성질이 같다면 칸토어 집합의 길이도 1, 칸토어 집합에서 제외된 부분의 길이도 1, 두 집합을 합친 집합의 길이도 1이라 할 수 있지 않나 싶어요.
@@거북선-b1k칸토어가 저렇게비작관적이고 모호한 무한이라는 개념을 깊게 연구하고 주장했다 보니 당시 수학계로부터 왕따를 당하게 됩니다. 앙리 푸앙카레는 칸토어의 무한집합을 수학적 질병이라고까지 친했고,영상에서도 언급하셨듯이 칸토어 지도교수가 ‘칸토어는 수학계를 정신병동으로 끌고 가고 있다’고 까지 했습니다. 웃프게도 실제로 칸토어는 결국 정신병동에서 생을 마감하게 됩니다…
![[강연] 직관과는 다른 무한의 세계 2](http://i.ytimg.com/vi/xj025Nql2IY/mqdefault.jpg)
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상엽쌤 최고~
수학쌤들이 존경하는 쌤!!👍
생각이 많아지는 좋은 시간이었습니다 감사합니다
이렇게 비직관적인 수학이 현실세계를 잘 설명할 수 있다는게 신기할따름이네요
머리 멋지네요
영상 올려주셔서 감사합니다
수학교육과인데 1학년 수학 과목중에 젤 어려운게 집합론이었어요.. 선형대수나 1학년때 배우는 미적분학이랑은 비교할 수가 없는 난이도... 집합론 하면서 가장 인상 깊었던 부분이 무한집합의 크기 비교하는 부분이었난데 자연수집합의 크기랑 유리수 집합의 크기가 같다던지 그런게 굉장히 신기했던게 생각나네요. 대충 유리수 집합을 N × N \ {0} 으로 잡고 여기서 N의 부분집합으로 가는 전단사 함수가 존재하는데 {(m,n) -> 2^m × 3^n} 이는, N의 진부분 무한집합이므로 다시 여기서 N으로 가는 일대일 대응 함수가 존재하므로 결과적으로 N × N \ {0}에서 N으로 가는 일대일 대응 함수가 존재하므로 유리수 집합과 정수집합의 크기는 같다고 증명했던 기억이 나네요 딱 여기까진 재밌었는데... 카디널리티의 제곱연산부터 하우스도르프 어쩌고 하면서 머리가 깨지다가.. 집합론을 손에서 놨어요
멋집니다!
I think infinity is a really cool concept!
와 신기하네요 현재 고1인데 재밌게 봤습니다
궁금한 점이 있습니다. 일대일 대응이 되기만 하면, 즉 output이 하나의 해만 나오도록 집합을 정의할 수 있다면 두 집합의 농도는 같다고 이해했습니다.
만약 자연수 (1,2,3...)의 원소와 대응되도록 유리수를 소수 형태로 정의해보면, 1.xxxxx, 2.xxxxx, 3.xxxx, 이런 식으로 정의 할 수 있습니다. 1 자연수와 대응되는 유리수는 0.1 이고 2와 대응되는 것은 0.2 ... 이렇게 진행하는데 이때 무리수와 구별하기 위하여 적당히 큰 n이 유리수와 무리수를 구별할 경계라고 생각해 본다면, 0.xxxxxx....에 대한 집합의 갯수는 자연수의 갯수가 n일때 일대일 대응된다. 라고 할 수 있습니다. 다시 말해, 자연수의 n번째에서 0.xx...의 소수가 정의된 것이고 n+1부턴 1.00이 되는 셈입니다. 자연수 집합의 갯수를 X라고 정의한다면 유리수의 원소의 갯수는 X*n이 될 것임이 자명합니다.
X*n과 X의 X가 무한대로 근접해질때 둘다 발산합니다. 만약 n이 X과 같은 속도로 증가한다면 유리수 집합이 자연수 집합에 비해 그것의 제곱만큼 더 클 것입니다. 하지만 위 영상의 논리대로라면 유리수와 자연수의 갯수는 같으므로 n은 X에 관해 상수 취급되어야 합니다.
관측의 경계가 상수이고, 그 경계는 발산한다. 마치 거울속에서 자기자신을 무한히 보지만 실제 거울과 나의 거리는 몇 안되는 것 처럼 보입니다.
고1 학생으로서 헷갈리는 부분이 많습니다. 미숙하지만 '무한'에 대해 알아보고 싶은 것이니 친절하게 알려주시면 감사하겠습니다. 저런식의 접근으로도 무한이 설명될 수 있을지 궁금합니다ㅡ
유리수는 분수꼴로 나타낼수있고 이를통해 일대일 대응이 되기때문에 크기가 같습니다. 뒷얘기는 일단 가정하신게 틀려서 잘읽히지 않네요
추가적으로 이해를 잘못하신게 자연수크기와 짝수크기
자연수크기와 정수크기도 같습니다. 2배가 아니구요
@@kimjw1261 분수꼴이 아닌 소수꼴로 일대일 대응시킨다면 어떻게 같다는 것을 증명할 수 있을지 고민해 보았습니다.
유리수는 유한소수와 순환소수가 섞여있는데 유한소수만 대응시키고 순환소수는 제외한 걸 의식하지 못하고 자연수=유한소수
23:50 - 엄밀히 말하면 칸토어 집합의 길이가 0이라기 보다는, 칸토어 집합에서 제외된 부분의 길이가 1이다라고 해야 하지 않나요?
어디선가 구를 이루는 점들을 쪼개서 똑같은 면적의 구 2개를 만드는 수학적 기법을 본적이 있습니다. (찾아보니 바나흐-타르스키 역설이라고 하는군요)
그 기법과 칸토어 집합 길이 논하는게 성질이 같다면 칸토어 집합의 길이도 1, 칸토어 집합에서 제외된 부분의 길이도 1, 두 집합을 합친 집합의 길이도 1이라 할 수 있지 않나 싶어요.
좋은 강의 감사합니다!
충격적이군요. 보는 내내 헛웃음과 감탄의 도가니였습니다.
상엽쌤~~~ 오늘 싸인받았어야하는데
ㅠㅠ 집에와서 후회중
현재 고3인데 칸토어집합부분이 많이어렵네요.. 되게 흥미로워서 수능끝나고 한번 생각해봐야겠어요
응원합니다
수능은 잘 보셨을까요? 재밌게 놀고있기를
진짜 그 당시에 정신병동 말 나올만 했다 ㅋㅋㅋ
???
@@거북선-b1k칸토어가 저렇게비작관적이고 모호한 무한이라는 개념을 깊게 연구하고 주장했다 보니 당시 수학계로부터 왕따를 당하게 됩니다. 앙리 푸앙카레는 칸토어의 무한집합을 수학적 질병이라고까지 친했고,영상에서도 언급하셨듯이 칸토어 지도교수가 ‘칸토어는 수학계를 정신병동으로 끌고 가고 있다’고 까지 했습니다. 웃프게도 실제로 칸토어는 결국 정신병동에서 생을 마감하게 됩니다…
첫댓글... 잘보고 있습니다!!
직관과는 다른 무한을 탐구하고자 수학과에 지원한 고3입니다!!
칸토어의 무한의 크기 비교는 올해 학교에서 탐구해본적이 있어 신기하네요 ㅎㅎ
화이팅입니다..
초한서수열과도 관련이 있을까요? w + 1 < w + 2 < ... < w + w = w * 2 = w 이런 형식이었던 것 같았는데...
초한 서수에서 ω+ω와 ω는 같지 않습니다.
학생들에게 심심한 애도를
영상을 보니 왜 당시 카토어가 정신이상자 취급받아 정신병원에 입원했는지 알 수 있는 영상이었습니다. 🥲
X+X제곱2+X제곱3+X제곱4...이고,
X는1이상에 자연수 이고,
X=1일때 무한값은?
X=2일때 무한값은?
X=3
X=4
...
계산 할수 있을까?ㅋㅋ
오쉣..재밌다