대칭식을 이용하면 더 쉽게 제곱근이 필요한 이유를 알 수 있죠. 라그랑주의 방식입니다. 이차방정식의 계수는 근 a,b에 관한 대칭식 -(a+b), ab 로 표현이 되는데, 이 식은 a와 b를 서로 바꿔도 계수가 변하지 않죠. 즉 계수들의 사칙연산으로 이루어진 근의 공식이 있다면 a = (사칙연산) 으로 표현이 될텐데 이 식에서 a를 b로, b를 a로 바꾸면 좌변은 b로 바뀌는데 우변은 그대로입니다. 이것은 모순이므로 이차방정식의 근의 공식은 제곱근이 필요합니다.
@@peterjake1679수학교육사적으로도 ‘진정한 의미의 수학’ 혹은 ‘현대수학의 정수‘를 보편적인 학생들에게 가르치려는 시도는 많았습니다. 우리가 수학짬을 먹을대로 먹은 사람이라 잘 보이는 것을 ’애들은 더 빨리 배웠으면 좋겠다‘해서 그게 그리 잘 되는 건 아니더라고요
루트의 진짜 의미에 대해 자세하게 다루는 이 영상은 정말로 흥미롭게 봤습니다. 5차방정식과 2차방정식의 근의 공식이 어떻게 표현되는지에 대한 내용이 명쾌하게 전달되면서, 강의자의 열정과 전문성을 느낄 수 있었습니다. 수학적인 개념을 깊이 있게 이해하고 싶은 사람들에게 추천하는 강의입니다.
얻어가는 지식 1. 루트는 함수가 아니고 두개의 값을 표현하는 기호이다. 물론 "양의 제곱근"이라고 정의할 수도 있지만 복소수로 가면 크게 의미가 없다. 2. 루트가 들어가는 2차방정식의 근의공식은 함수처럼 보이지만 함수가 아니다. - 모순을 위해 2차방정식의 서로 다른 두 근 x, y (x != y) 가 각각 계수에 대한 함수 r1(a, b) = x, r2(a, b) = y 라고 가정하자. a와 b는 x와 y를 더하고 곱하여 표현 가능하고 덧셈과 곱셈은 교환법칙 commutative 하므로 x와 y를 서로 바꾸어도 a, b 값은 변하지 않는다. ("서로 바꾼다" 라는 표현을 더 정교하게 할 수 있을것 같지만 잘 모르겠네요 ㅋㅋ) 하지만 이는 y = r1(a, b) = x = r2(a, b) = y 라는 결과로 이어지고 x != y라는 가정에 모순을 얻었다. 따라서 r1, r2는 함수가 아니다. 3. 위 증명에서 r1, r2가 a, b에 대한 사칙연산이라면 함수여야 하는데 함수가 아니므로 사칙연산일 수 없다 정리해 봤습니다. 오류 있으면 알려주세요!
항상 영상 잘보고 있습니다 그럼 저 2차함수 복소수근을 나타내는 툴에서 좌측 (0,0) (-1,0)을 적당한경로로 돌려서 원래자리로 복귀하면 우측에서 (-1,0) (1,0)의 자리가 뒤바뀔수 있나요? 가능하다면 그걸 보여줬으면 훨씬 눈으로 같은 값의 함숫값이 다르게 나온다는게 직관적으로 이해가 쉬울거같아서요~
계수 점과 그 움직임에 따른 해의 점을 연속적으로 움직이는 툴을 보다가 갑자기 떠올랐는데요, 이런 생각은 어떨까요? 복소평면상에서 해집합을 모두 이어 하나의 그래프로 만들면, 2차방정식일 때는 K2가, 3차 방정식일 때는 K3이 만들어집니다. N차방정식일 때는 KN이라는 완전그래프가 되죠. 그런데 K1, K2, K3, K4는 연속적인 평면 움직임 만으로 2차원 상의 평면그래프로 바꿀 수 있습니다. 하지만 K5부터 K6, K7, ...은 평면 그래프가 아니게 되어버리죠. 그래서 5차 이상의 방정식의 대수적인 해는 존재하지 않는 것 아닐까 생각해 봅니다. 또한, K5는 2차원 상에서는 평면그래프가 될 수 없으나, 점 하나를 3차원으로 끌어올려 뿔 모양을 만들면 "3차원 상에서"는 평면 그래프가 되죠. 만약 2차원 상의 움직임을 대수적 해를 만드는 과정(사칙연산, 루트 등의 유한회의 조합)이라면, 3차원으로 움직이는 건 다른 수학적 기법을 사용한 것 아닐까 하는 생각이 듭니다. 예를 들어 로그적분함수같은 특이 함수를 사용한다던지? 그런 거요. 사실 5차 방정식도 대수적 해의 공식은 존재하지 않지만, 초월함수나 특이 함수를 쓰면 해를 나타낼 수 있다고 저는 알고 있습니다.
1. 제곱근은 하나의 표현이 두개의 값을 지칭하므로 함수가 아니다. 2. 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 근을 계수의 함수로 가정하면 하나의 정의역이 두개의 값을 가지는 모순이 발생한다. 3. 이차방정식의 근은 계수의 사칙연산으로 표현할 수 없다. 4. 사칙연산은 함수이기 때문이다.
1~3까지는 이해하신 바가 맞습니다. 제곱근을 방정식으로 보는게 조금 더 편할거예요. 제곱하면 49가 되는 수는 2개이다. : x^2=49 } x=49^(1/2) 그런데 4번은 사실 조금은 다른 얘기예요. 사칙연산은 이항연산자니까 일종의 2변수 함수로도 볼 수 있는건 사실이지만 (a+b=c 에서, +기호 양쪽에 존재하는 a와 b를 가지고 주물주물해서 c라는 유일한 값을 출력; f(a,b)=c) (보시면 아시겠지만, 실제로 여러 함수가 이러한 연산자들로 구성되는 편입니다.) 3번의 내용과 4번의 사칙연산이 함수이다 라는 것은 사실 서로 연관이 없는 별개의 이야기예요. 3번과 4번 전부 독단적으로는 맞는 얘기지만, 이 둘은 서로 인과관계를 가지고 있지 않습니다. 좀 더 따져보면, 말씀하신 2번 때문에 3번이 된 건 사실이지만, 그 속에서 함수가 되지 못한 결격사항은 제곱근의 출력값이 단 하나로 정의되지 않는다는 점이지 그 구성에 포함된 사칙연산들이 함수이다 아니다에 있지는 않거든요. 특히 이 '제곱근' 중에서도 여기서는 통상 '루트'로 칭하는 기호 'sqrt'가 문제가 되는것인데, 사실 기호를 썼다는 것 자체가 해당 기호로써 값을 유일하게 정하겠다는 것(Principle 값을 임의로 지정; 실수에서는 '양수'로 약속되어 있음)을 의미해서 개인적으로는 사실 함수가 맞다고 봐야 할 것 같구요.(근호를 썼으므로 기호에 삽입된 입력 하나당 출력이 양수라는 principle한 값 하나로 유일하게 임의로 대응시킴) 영상에서 해당 값이 두개다 라고 하는것은 근호 기호속에 음수가 들어가면 출력값이 복소수가 되는데, 복소수 특성상 제곱근 값 사이에 대소비교도 없고 그러한 값들이 아예 동등한 지위를 갖기 때문에, 따로 약속하지 않는이상 principle 값을 2가지 중 아무꺼나 정해도 상관없는 점을 강조한 것으로 봐야 할 것 같아요. 그러니까 sqrt 기호를 쓰긴 했는데, principle 값을 미리 약속하지 않아서 사실상 일반적인 함수가 아닌 x^(1/2)와 별반 다르지 않게 되는 셈인거죠. (사실, i=sqrt(-1) 처럼 어느정도 약속되어 있긴 하지만요.)
약간 오류가 있어 정정하자면, 사칙연산은 엄밀히는 연산자이지 함수는 아닙니다. 2변수 함수로 볼 수 있다고는 했습니다만, 정확히는 제가 적은 2변수 함수의 정의에 사칙연산이 사용된다로 보시면 될 것 같아요. 사칙연산의 경우, 덧셈과 곱셈에서 출발하는데 이것은 a를 넣었더니 b가 나왔더라 하는 대응 관계라기 보다는, 비유하자면 징검다리를 한칸 건널까(+), 뒤로 건널까(-), 몇 칸씩 건너뛰어 볼까(×), 건너뛴만큼 다시 원래대로 되돌아 가볼까(÷)에 대한 것들이라서 함수랑은 좀 다른, 보다 근간을 이루는 요소들입니다
그니까 +-루트 라는 거 자체가 함수가 아니라는 것 즉 제곱근은 함수가 아니다 다만 y=루트x의 함수를 쓸때는 기호 제곱근을 양의 제곱근이라고 한정한다. 즉 전자와 후자는 다르며 제곱근은 사칙연산과 다르게 함수로 나타낼수 없는 함수이다. 근의 공식에서 b²-4ac 가 양수일때 루트와 b²-4ac가 음수일때 루트는 다른 루트이다 전자를 (a루트)[양의 제곱근] 후자를 (b루트)[제곱근]라고 했을때 +-(a루트)[양의제곱근] = ( b루트)[제곱근] 이다 그러므로 루트안이 음수일때는 b루트이므로 앞에 +-가 아닌 +만 붙는것이며 그러므로 근의공식은 +-가 있는 양수일때의 근의공식은 당연히 함수가 아니며 ☆언뜻 함수처럼 보이는 제곱근이 음수일때의 근의 공식 조차 함수가 아니다☆ 그렇다면 제곱근의 의미를 가지는 복소수의 함수의 존재는 불가능 한것인가? i가 -i와 본질적으로 루트-1로 같은 수라면 함수가 불가능할까? i = 제곱근 -1 y=xi = x(제곱근 -1)
생각해보니까 진짜 이상하네요 제곱근이 한 표현이 2개의 숫자를 나타낼 수 있다니... 더 생각해보니까 세제곱근은 3개 네 제곱근은 4개 n제곱근은 n개의 숫자를 나타낼 수 있잖아요 정확히는 저 중에 뭐를 대표 숫자로 정할지 상관이 없다는거겠죠 왜 이런 방식을 채택한걸까요 너무 이상한데...?너무 재밌네요ㅋㅋ
내용이 좀 잘못된것 같은데요. 제곱근을 취하는 값이 음수인 경우, 제곱근(루트 기호)가 2개의 값을 나타낸다고 말하는 것은 오해의 소지가 있는 잘못된 내용이라고 생각합니다. 실수체가 아닌 복소수에서라도 √-1 은 하나의 값으로 정의하는 것이 일반적인 정의입니다. 말씀하신 것처럼 (실수를 확장한 복소수 체계에서) 제곱해서 1이되는 원소가 두개가 있는 건 맞는데, 이중 하나를 i로 정의했을 때 다른 하나는 -i 임을 보일 수 있으므로 (엄밀하게 말하면 교환법칙과 결합법칙을 만족하는 덧셈을 먼저 정의하고 -i는 i에 대한 역원) 둘 중 어느것을 i로 정했어도 항상 동일한 복소수체 "C" 집합을 얻을 수 있으며 ±√b^2-4ac 가 딱 두 가지의 복소수해를 가리키니까 모순이나 문제가 없다고 설명해야지, √b^2-4ac 가 두개의 값을 가질 수 있다고 이야기하는 것은 잘못된 것 같습니다.
a,b,c가 복소수여서 b제곱 마이너스 4ac가 2i가 나왔다고 하면 루트 2i는 2i의 제곱근인 1+i와 -1-i 둘 중 뭘 지칭하게 되는 것일까요? a,b,c가 실수일때는 i를 정의함으로써 하나를 지칭하게 할 수 있지만, a,b,c가 일반적인 복소수라면 하나의 표현으로 두개의 수를 지칭하게 됩니다.
@@12math 답변 감사드립니다. 복소수의 루트 (principal square root) -- 복소수의 제곱근은 2개임 --- 또한 유일하게 정의되며, 복소수 z = r (cos \theta + i sin \theta) (극좌표계 표현 (r, \theta)) 일 때 √ z = √r (cos \theta/2 + i sin \theta/2 ) 로 정의하는게 자연스럽고 가장 일반적인 정의입니다. 그래서 i 의 루트는 유일한 값으로 1/sqrt{2} (1 + i) 로 써야 자연스럽습니다. 물론 i의 제곱근은 두개입니다. 2i 의 복소평면에서의 각도는 90도고, 그래서 그것의 "루트" (제곱근 말고) 는 45도 방향에 있는 1+i 를 의미한다고 보아야 합니다 (일반적으로 통용되는 "복소수의 루트" 의 정의에 따르면). 덧붙여서 복소수의 루트는 2개의 원소를 가지는 "집합" 이라는 것도 복소수체가 실수체를 포함하는 더 넓은 개념이라고 봤을때 부자연스러운 정의입니다. 그렇다면 실수 x에 대해서는 루트 √x 를 왜 2개의 원소를 가지는 집합으로 정의하지 않고 양의 제곱근으로 정의할까요? 4는 실수이기도 하지만 복소수인데, 같은 이유라면 √4 도 2개의 원소를 나타내는 집합으로 생각해야 하나요? √x 를 x \in R 일 때는 양의 제곱근으로 정의하고 x ot\in R 일 때는 집합으로 정의한다? 물론 복소수의 루트를 가장 통용되는 principal square root (일종의 "양"의 제곱근과 비슷한 개념)이 아닌 제곱근의 "집합"으로 정의할 수도 있겠지만 그렇다면 여러가지 notation 상의 번거로움이 따라올 것 같습니다. 예를 들어, 그렇다면 √{√{i}} 는 무엇이 되어야 하나요? 다음 문서도 참고가 될 것 같습니다. en.wikipedia.org/wiki/Square_root#Principal_square_root_of_a_complex_number
@@신명석-n7w 제가 말씀한 것과 모순되지 않습니다. 이 영상에서도 루트와 제곱근의 의미를 명확하게 구별하고 있습니다. 제곱근은 여러 가지 값을 가질 수 있고 (복수수의 제곱근은 일반적으로 두개입니다), 제가 말한것은 음수든 복소수든 "루트" 가 유일하게 정의된다고 이야기하는 것입니다.
와 12형 이걸 제작해주다니ㅠㅠ 진짜 해주실 줄 몰랐는데 너무 감사해요ㅠㅠ
대칭식을 이용하면 더 쉽게 제곱근이 필요한 이유를 알 수 있죠. 라그랑주의 방식입니다.
이차방정식의 계수는 근 a,b에 관한 대칭식 -(a+b), ab 로 표현이 되는데, 이 식은 a와 b를 서로 바꿔도 계수가 변하지 않죠.
즉 계수들의 사칙연산으로 이루어진 근의 공식이 있다면 a = (사칙연산) 으로 표현이 될텐데 이 식에서 a를 b로, b를 a로 바꾸면 좌변은 b로 바뀌는데 우변은 그대로입니다. 이것은 모순이므로 이차방정식의 근의 공식은 제곱근이 필요합니다.
이것이 진정한 의미의 근과 계수와의 관계죠 근과계수와의 관계하면 그저 '마이너스 이에이분에 비'이러는것보다 이런걸 가르쳐야 하는데..
@@peterjake1679 그렇다고 두근의 합과 계수와의 관계가 필요없는 내용은 아니잖아요? 꼭 기존의 것을 부정적으로 바라봐야한다는 강박관념을 버리세요
@@peterjake1679수학교육사적으로도 ‘진정한 의미의 수학’ 혹은 ‘현대수학의 정수‘를 보편적인 학생들에게 가르치려는 시도는 많았습니다. 우리가 수학짬을 먹을대로 먹은 사람이라 잘 보이는 것을 ’애들은 더 빨리 배웠으면 좋겠다‘해서 그게 그리 잘 되는 건 아니더라고요
루트의 진짜 의미에 대해 자세하게 다루는 이 영상은 정말로 흥미롭게 봤습니다. 5차방정식과 2차방정식의 근의 공식이 어떻게 표현되는지에 대한 내용이 명쾌하게 전달되면서, 강의자의 열정과 전문성을 느낄 수 있었습니다. 수학적인 개념을 깊이 있게 이해하고 싶은 사람들에게 추천하는 강의입니다.
얻어가는 지식
1. 루트는 함수가 아니고 두개의 값을 표현하는 기호이다. 물론 "양의 제곱근"이라고 정의할 수도 있지만 복소수로 가면 크게 의미가 없다.
2. 루트가 들어가는 2차방정식의 근의공식은 함수처럼 보이지만 함수가 아니다.
- 모순을 위해 2차방정식의 서로 다른 두 근 x, y (x != y) 가 각각 계수에 대한 함수 r1(a, b) = x, r2(a, b) = y 라고 가정하자. a와 b는 x와 y를 더하고 곱하여 표현 가능하고 덧셈과 곱셈은 교환법칙 commutative 하므로 x와 y를 서로 바꾸어도 a, b 값은 변하지 않는다. ("서로 바꾼다" 라는 표현을 더 정교하게 할 수 있을것 같지만 잘 모르겠네요 ㅋㅋ) 하지만 이는 y = r1(a, b) = x = r2(a, b) = y 라는 결과로 이어지고 x != y라는 가정에 모순을 얻었다. 따라서 r1, r2는 함수가 아니다.
3. 위 증명에서 r1, r2가 a, b에 대한 사칙연산이라면 함수여야 하는데 함수가 아니므로 사칙연산일 수 없다
정리해 봤습니다. 오류 있으면 알려주세요!
영상 언제 올리시나 내내 기다렸는데
귀한영상 올려주셔서 감사합니다
와 진짜 재밌습니다. 다음 영상 얼른 올려주세용
와우... 예고를 보니다음 영상이 되게 기대가 되네요
기대하겠습니다 😮
캬 다음 영상이 너무 기대됩니다.
갈루아 이론 너무 아름다워요
오랜만에 영상 올려주셔서 감사합니다
안녕하세요 12math님 영상 재밌게 보고 있는 초6입니다. 어차피 복소수엔 대소관계가 없는 데 i와. -i를 구분지어 사용하나 예전에 고민해본 적 있었는데…이렇게 영상에 나오니 신기하네요!😊😊
복소평면?
초6이시지만 사고력이 엄청나시네요
이제껏 이런 심도있는 수학 영상을 보려면 외국 유튜브를 뒤지는 수밖에 없었는데... 한국어 채널에서... 그것도 갈루아를 다루다니... 가슴이 막 벅차오르네요... 키야...
수학 채널을 취미로 보면서 우리가 왜 영어 공부를 열심히 해야 하는지 느낄 수 있음.
정말 원하던 내용인데 감사합니다~ 항상 잘보고가요
쉬운 주제이지만 설명하기는 어려운 주제인데 잘 배웠습니다.
다음 내용 너무 궁금합니다.
잘 봤습니다. 2부, 3부 영상 빨리 올려주세요^^
1:56 카아~ 쌍둥이. 그러네요. 잘 배우고 갑니다.
항상 좋은 영상 감사합니다.
고등학생들 복소수 단원 문제들보면
i=root{-1} 로 한다 라는 표현이 꼭 나와있는데 이런 의미때문에 그런 것이겠군요!
좋은 설명 감사드립니다!!
5차방정식이야기 너무 기대돼용
쌤 자주 올려주세요..!
혹시 이야기나온 김에 힐베르트 문제 13번(임의의 7차방정식을 2변수 함수를 이용해 풀어라)도 소개 가능합니까? 이게 갈루아 이론 등을 총망라하는 주제로 아는데 이 문제가 대수학 갈루아 이론 쪽에서 최고난도 문제라고 하네요...
오.. 감사합니다
혹시 복소함수에서 역삼각함수 같은경우에 전공책에 따라 플마를 쓰는경우도 있는데 플러스만 써진 경우도 비슷하게 하나의
표현으로 두가지 값을 동시에 표현한다고 생각하면 편하겠어요!!
맨날 암기만 해서 뭐가 이상하지 했는데 사실 i랑 -i랑 바뀌어도 상관이 없는거였군여 ㄷㄷㄷ 소름
이야... 12쌤이 이 주제를 다뤄주시네요. 얼마전에 갈루아 이론 관련 책을 읽어봤는데, 중간에 지쳐버려서 좀 아쉬웠습니다. 넘 재밌을것 같아요, 잘 보겠습니다~
근의공식이 함수로 표현될 수 없는 이유가 제곱근 때문이라는 이야기를 쉽게 이해시켜주기 위해 앞쪽의 내용을 하신거군요
순서가 바뀐 것 같아요
함수로 표현이 안 되기 때문에 제곱근이 필요하다는 의미 같습니다
@@ratulee 아아 그렇네요
유익한 내용이네요.. 구독하고 갑니다
크~ 루트는 함수가 아니다! ㄷㄷ
"not all wrong" 의 "Why There's 'No' Quintic Formula (proof without Galois theory)" 인가요?
V. I. Arnold 의 63년 증명의 해설 비디오
ua-cam.com/video/RhpVSV6iCko/v-deo.html&ab_channel=BoazKatz 의 해설
의 해설 비디오
항상 영상 잘보고 있습니다
그럼 저 2차함수 복소수근을 나타내는 툴에서 좌측 (0,0) (-1,0)을 적당한경로로 돌려서 원래자리로 복귀하면
우측에서 (-1,0) (1,0)의 자리가 뒤바뀔수 있나요?
가능하다면 그걸 보여줬으면 훨씬 눈으로 같은 값의 함숫값이 다르게 나온다는게 직관적으로 이해가 쉬울거같아서요~
계수 점과 그 움직임에 따른 해의 점을 연속적으로 움직이는 툴을 보다가 갑자기 떠올랐는데요,
이런 생각은 어떨까요?
복소평면상에서 해집합을 모두 이어 하나의 그래프로 만들면,
2차방정식일 때는 K2가, 3차 방정식일 때는 K3이 만들어집니다.
N차방정식일 때는 KN이라는 완전그래프가 되죠.
그런데 K1, K2, K3, K4는 연속적인 평면 움직임 만으로 2차원 상의 평면그래프로 바꿀 수 있습니다.
하지만 K5부터 K6, K7, ...은 평면 그래프가 아니게 되어버리죠.
그래서 5차 이상의 방정식의 대수적인 해는 존재하지 않는 것 아닐까 생각해 봅니다.
또한, K5는 2차원 상에서는 평면그래프가 될 수 없으나,
점 하나를 3차원으로 끌어올려 뿔 모양을 만들면 "3차원 상에서"는 평면 그래프가 되죠.
만약 2차원 상의 움직임을 대수적 해를 만드는 과정(사칙연산, 루트 등의 유한회의 조합)이라면,
3차원으로 움직이는 건 다른 수학적 기법을 사용한 것 아닐까 하는 생각이 듭니다.
예를 들어 로그적분함수같은 특이 함수를 사용한다던지? 그런 거요.
사실 5차 방정식도 대수적 해의 공식은 존재하지 않지만, 초월함수나 특이 함수를 쓰면 해를 나타낼 수 있다고 저는 알고 있습니다.
대칭 구조를 이루는 군의 simple 여부와 관련이 있을까요?
혹시 테트레이션을 미분하거나 적분하면 어떻게 되는지 알려주실 수 있을까요?
Just one more pardox 이야기 한 번 해주세요
1. 제곱근은 하나의 표현이 두개의 값을 지칭하므로 함수가 아니다.
2. 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 근을 계수의 함수로 가정하면 하나의 정의역이 두개의 값을 가지는 모순이 발생한다.
3. 이차방정식의 근은 계수의 사칙연산으로 표현할 수 없다.
4. 사칙연산은 함수이기 때문이다.
영상 포인트를 정리해봤는데요
제가 이해한 내용이 맞을까요?
개인적으로 이차방정식의 근이 계수의 제곱근 형태로 표현 될 수 밖에 없는 과정도 그려주셨으면 좋을거 같습니다.
오늘 영상은 새로운 직관을 제시해서 개념을 이해시켜주시는게 참 좋네요
1~3까지는 이해하신 바가 맞습니다. 제곱근을 방정식으로 보는게 조금 더 편할거예요.
제곱하면 49가 되는 수는 2개이다. : x^2=49 } x=49^(1/2)
그런데 4번은 사실 조금은 다른 얘기예요.
사칙연산은 이항연산자니까 일종의 2변수 함수로도 볼 수 있는건 사실이지만
(a+b=c 에서, +기호 양쪽에 존재하는 a와 b를 가지고 주물주물해서 c라는 유일한 값을 출력; f(a,b)=c) (보시면 아시겠지만, 실제로 여러 함수가 이러한 연산자들로 구성되는 편입니다.)
3번의 내용과 4번의 사칙연산이 함수이다 라는 것은 사실 서로 연관이 없는 별개의 이야기예요. 3번과 4번 전부 독단적으로는 맞는 얘기지만, 이 둘은 서로 인과관계를 가지고 있지 않습니다.
좀 더 따져보면, 말씀하신 2번 때문에 3번이 된 건 사실이지만, 그 속에서 함수가 되지 못한 결격사항은 제곱근의 출력값이 단 하나로 정의되지 않는다는 점이지 그 구성에 포함된 사칙연산들이 함수이다 아니다에 있지는 않거든요.
특히 이 '제곱근' 중에서도 여기서는 통상 '루트'로 칭하는 기호 'sqrt'가 문제가 되는것인데, 사실 기호를 썼다는 것 자체가 해당 기호로써 값을 유일하게 정하겠다는 것(Principle 값을 임의로 지정; 실수에서는 '양수'로 약속되어 있음)을 의미해서 개인적으로는 사실 함수가 맞다고 봐야 할 것 같구요.(근호를 썼으므로 기호에 삽입된 입력 하나당 출력이 양수라는 principle한 값 하나로 유일하게 임의로 대응시킴)
영상에서 해당 값이 두개다 라고 하는것은 근호 기호속에 음수가 들어가면 출력값이 복소수가 되는데, 복소수 특성상 제곱근 값 사이에 대소비교도 없고 그러한 값들이 아예 동등한 지위를 갖기 때문에, 따로 약속하지 않는이상 principle 값을 2가지 중 아무꺼나 정해도 상관없는 점을 강조한 것으로 봐야 할 것 같아요.
그러니까 sqrt 기호를 쓰긴 했는데, principle 값을 미리 약속하지 않아서 사실상 일반적인 함수가 아닌 x^(1/2)와 별반 다르지 않게 되는 셈인거죠.
(사실, i=sqrt(-1) 처럼 어느정도 약속되어 있긴 하지만요.)
약간 오류가 있어 정정하자면, 사칙연산은 엄밀히는 연산자이지 함수는 아닙니다. 2변수 함수로 볼 수 있다고는 했습니다만, 정확히는 제가 적은 2변수 함수의 정의에 사칙연산이 사용된다로 보시면 될 것 같아요.
사칙연산의 경우, 덧셈과 곱셈에서 출발하는데 이것은 a를 넣었더니 b가 나왔더라 하는 대응 관계라기 보다는, 비유하자면 징검다리를 한칸 건널까(+), 뒤로 건널까(-), 몇 칸씩 건너뛰어 볼까(×), 건너뛴만큼 다시 원래대로 되돌아 가볼까(÷)에 대한 것들이라서 함수랑은 좀 다른, 보다 근간을 이루는 요소들입니다
🙌🙌🙌
루트는 당연히 양의 제곱근인줄 알았는데 실제로 양의제곱근과 그냥제곱근을 구분하나요?
그니까 +-루트 라는 거 자체가 함수가 아니라는 것 즉 제곱근은 함수가 아니다 다만 y=루트x의 함수를 쓸때는 기호 제곱근을 양의 제곱근이라고 한정한다.
즉 전자와 후자는 다르며 제곱근은 사칙연산과 다르게 함수로 나타낼수 없는 함수이다.
근의 공식에서 b²-4ac 가 양수일때 루트와
b²-4ac가 음수일때
루트는
다른 루트이다
전자를 (a루트)[양의 제곱근] 후자를 (b루트)[제곱근]라고 했을때
+-(a루트)[양의제곱근] = ( b루트)[제곱근]
이다
그러므로 루트안이 음수일때는 b루트이므로 앞에 +-가 아닌 +만 붙는것이며
그러므로 근의공식은 +-가 있는 양수일때의 근의공식은 당연히 함수가 아니며
☆언뜻 함수처럼 보이는 제곱근이 음수일때의 근의 공식 조차 함수가 아니다☆
그렇다면 제곱근의 의미를 가지는 복소수의 함수의 존재는 불가능 한것인가?
i가 -i와 본질적으로 루트-1로 같은 수라면 함수가 불가능할까?
i = 제곱근 -1
y=xi = x(제곱근 -1)
이거 2편 언제 나옴?
오늘 나옴
우와 잘 모르겠다..
원래도 잘 모르겠는데 뒤는 설명으로 쭉 이어지니 전혀 모르겠다..
저 i보니 문득 양자얽힘이 떠오르네요..
헉, 갈루아 이론의 서막..
생각해보니까 진짜 이상하네요
제곱근이 한 표현이 2개의 숫자를 나타낼 수 있다니...
더 생각해보니까 세제곱근은 3개
네 제곱근은 4개 n제곱근은 n개의 숫자를 나타낼 수 있잖아요
정확히는 저 중에 뭐를 대표 숫자로 정할지 상관이 없다는거겠죠
왜 이런 방식을 채택한걸까요
너무 이상한데...?너무 재밌네요ㅋㅋ
신기하네
내용이 좀 잘못된것 같은데요. 제곱근을 취하는 값이 음수인 경우, 제곱근(루트 기호)가 2개의 값을 나타낸다고 말하는 것은 오해의 소지가 있는 잘못된 내용이라고 생각합니다. 실수체가 아닌 복소수에서라도 √-1 은 하나의 값으로 정의하는 것이 일반적인 정의입니다. 말씀하신 것처럼 (실수를 확장한 복소수 체계에서) 제곱해서 1이되는 원소가 두개가 있는 건 맞는데, 이중 하나를 i로 정의했을 때 다른 하나는 -i 임을 보일 수 있으므로 (엄밀하게 말하면 교환법칙과 결합법칙을 만족하는 덧셈을 먼저 정의하고 -i는 i에 대한 역원) 둘 중 어느것을 i로 정했어도 항상 동일한 복소수체 "C" 집합을 얻을 수 있으며 ±√b^2-4ac 가 딱 두 가지의 복소수해를 가리키니까 모순이나 문제가 없다고 설명해야지, √b^2-4ac 가 두개의 값을 가질 수 있다고 이야기하는 것은 잘못된 것 같습니다.
a,b,c가 복소수여서 b제곱 마이너스 4ac가 2i가 나왔다고 하면 루트 2i는 2i의 제곱근인 1+i와 -1-i 둘 중 뭘 지칭하게 되는 것일까요? a,b,c가 실수일때는 i를 정의함으로써 하나를 지칭하게 할 수 있지만, a,b,c가 일반적인 복소수라면 하나의 표현으로 두개의 수를 지칭하게 됩니다.
복소수에서도 제곱근이 하나의 값으로 정의되는 것이 일반적인 방법이라면, 제가 대학에서 배운 다가함수로서의 제곱근은 '사이비 수학' 인 것일까요?
@@12math 답변 감사드립니다. 복소수의 루트 (principal square root) -- 복소수의 제곱근은 2개임 --- 또한 유일하게 정의되며, 복소수 z = r (cos \theta + i sin \theta) (극좌표계 표현 (r, \theta)) 일 때 √ z = √r (cos \theta/2 + i sin \theta/2 ) 로 정의하는게 자연스럽고 가장 일반적인 정의입니다. 그래서 i 의 루트는 유일한 값으로 1/sqrt{2} (1 + i) 로 써야 자연스럽습니다. 물론 i의 제곱근은 두개입니다. 2i 의 복소평면에서의 각도는 90도고, 그래서 그것의 "루트" (제곱근 말고) 는 45도 방향에 있는 1+i 를 의미한다고 보아야 합니다 (일반적으로 통용되는 "복소수의 루트" 의 정의에 따르면).
덧붙여서 복소수의 루트는 2개의 원소를 가지는 "집합" 이라는 것도 복소수체가 실수체를 포함하는 더 넓은 개념이라고 봤을때 부자연스러운 정의입니다. 그렇다면 실수 x에 대해서는 루트 √x 를 왜 2개의 원소를 가지는 집합으로 정의하지 않고 양의 제곱근으로 정의할까요? 4는 실수이기도 하지만 복소수인데, 같은 이유라면 √4 도 2개의 원소를 나타내는 집합으로 생각해야 하나요? √x 를 x \in R 일 때는 양의 제곱근으로 정의하고 x
ot\in R 일 때는 집합으로 정의한다? 물론 복소수의 루트를 가장 통용되는 principal square root (일종의 "양"의 제곱근과 비슷한 개념)이 아닌 제곱근의 "집합"으로 정의할 수도 있겠지만 그렇다면 여러가지 notation 상의 번거로움이 따라올 것 같습니다. 예를 들어, 그렇다면 √{√{i}} 는 무엇이 되어야 하나요?
다음 문서도 참고가 될 것 같습니다. en.wikipedia.org/wiki/Square_root#Principal_square_root_of_a_complex_number
@@신명석-n7w 제가 말씀한 것과 모순되지 않습니다. 이 영상에서도 루트와 제곱근의 의미를 명확하게 구별하고 있습니다. 제곱근은 여러 가지 값을 가질 수 있고 (복수수의 제곱근은 일반적으로 두개입니다), 제가 말한것은 음수든 복소수든 "루트" 가 유일하게 정의된다고 이야기하는 것입니다.
'루트'는 유일한 값이고 '제곱근'은 여러 값을 나타낸다는 데에 동의합니다.
5차방정식 보자마자 헐레벌떡 들어왔다
와 그럼 고등학교 때부터 잘못 배우고 있었던 거였네..
잘못배웠다기보단 개념의 확장이 맞지 않을까요?
뭘 잘못배움... 한마디 마렵네
@@Martin-ur7mc 생각해보니까 그러네요 친절하게 답글 달아주셔서 감사합니당
고등학교 때 잘못 배웠다기 보다는
이 내용이 학부 대수학에서 배우는 범위라서 그렇습니다.
@@Martin-ur7mc그 느낌이네요 초딩땐 작은수에서 큰수를 못 뺀다고 배우다가 중딩때 음수를 알 듯이, 중딩땐 제곱하면 0이상이라고 배우다가 고딩때 복소수를 배우듯이.
떴다 내 야동
단점) 현자타임 오려면 3번4번 봐야함
음 수포하자 이것도 이해못하는
이거 고등학교 2학년때 제대로 이해하기 좀 빡셌었는데
1학년 아닌가용?
지수법칙