Super Video. Nun würde mich allerdings noch interessieren, wie man denn nachweist, dass der Grenzwert existiert. Ich weiß schon, dass es über das Monotoniekriterium funktioniert, aber bei rekursiven Folgen Monotonie und Beschränktheit nachzuweisen empfinde ich als relativ schwierig.
gut erklärt danke! jetzt würde mich allerdings noch interessieren was passiert, wenn man zwei Lösungen raus bekommt und man nicht so einfach sehen kann, welche Lösung richtig ist. Zum Beispiel habe ich die rekursive Folge a1 : = 0 an+1 : = 1/5*(an^2+a+3). Als Lösungen für a nach Ihrer Methode bekomme ich mit Termumformung und Anschließender pq-Formel 3 und 1 als Lösungen heraus. Mit Excel habe ich gesehen, dass 1 die richtige Lösung ist, aber wie kann ich das ohne ein Programm wie Excel erkennen?
mitraTentus Man könnte gucken, ob nur eine der beiden Lösungen attraktiv ist, das heißt, Werte aus der Umgebung dichter zu sich hin zieht. Siehe meine Videos zur Konvergenzgeschwindigkeit des Newton-Verfahrens: www.j3L7h.de/videos.html
Jörn Loviscach Was ist wenn man eine alternierende Folge hat zum beispiel bn+1 = bn²+bn-2 mit b1 = 1 nach der methode im video käme man auf die ergebnisse b = sqrt(2) , -sqrt(2). es alterniert aber zwischen 0 und -2...
Veier Glad Ich sage bei 0:56, dass ich annehme, dass die Folge konvergiert. Wenn sie nicht konvergiert, geht der Trick nicht. bn nähert sich ja nicht _einer_ Zahl.
Auch wenn das für Ihre Vorlesungen vielleicht nicht so interessant ist: Der Banachsche Fixpunktsatz hätte relativ schnell erklärt, warum im ersten Beispiel der Grenzwert überhaupt existiert. Und zudem noch eindeutig sein muss: Man definiert eine Funktion f : R -> R mittels f(x) = x/3 +1 und zeigt, dass dies eine starke Kontraktion ist, also | f(x) - f(y) |
Ja klar, aber das wäre für mein Publikum zu heftig. Bei diesem Problem hier kann man es ja leichter verstehen: Wenn der Wert zu klein ist, wird er bei der nächsten Iteration größer (aber nicht zu groß) und umgekehrt.
Danke für dieses sehr gute Video:)
Super Video. Nun würde mich allerdings noch interessieren, wie man denn nachweist, dass der Grenzwert existiert. Ich weiß schon, dass es über das Monotoniekriterium funktioniert, aber bei rekursiven Folgen Monotonie und Beschränktheit nachzuweisen empfinde ich als relativ schwierig.
Hier hätte ich zum Nachweis der Konvergenz eher an den Banachschen Fixpunktsatz gedacht.
Der ist mir leider noch nicht bekannt.
gut erklärt danke!
jetzt würde mich allerdings noch interessieren was passiert, wenn man zwei Lösungen raus bekommt und man nicht so einfach sehen kann, welche Lösung richtig ist.
Zum Beispiel habe ich die rekursive Folge a1 : = 0 an+1 : = 1/5*(an^2+a+3).
Als Lösungen für a nach Ihrer Methode bekomme ich mit Termumformung und Anschließender pq-Formel 3 und 1 als Lösungen heraus. Mit Excel habe ich gesehen, dass 1 die richtige Lösung ist, aber wie kann ich das ohne ein Programm wie Excel erkennen?
mitraTentus Man könnte gucken, ob nur eine der beiden Lösungen attraktiv ist, das heißt, Werte aus der Umgebung dichter zu sich hin zieht. Siehe meine Videos zur Konvergenzgeschwindigkeit des Newton-Verfahrens: www.j3L7h.de/videos.html
Jörn Loviscach Was ist wenn man eine alternierende Folge hat zum beispiel bn+1 = bn²+bn-2 mit b1 = 1
nach der methode im video käme man auf die ergebnisse b = sqrt(2) , -sqrt(2).
es alterniert aber zwischen 0 und -2...
Veier Glad Ich sage bei 0:56, dass ich annehme, dass die Folge konvergiert. Wenn sie nicht konvergiert, geht der Trick nicht. bn nähert sich ja nicht _einer_ Zahl.
Jörn Loviscach Danke für die schnelle Antwort. Hatte ich wohl überhört.
Wo bleibt der formelle Beweis?
+Google- Nirgendwo. Dies ist ja nicht aus einem Mathematik-Studiengang.
+Jörn Loviscach Schade. Hätte mich nämlich interessiert welche Beweismethode geschickt wäre.
+Google- Beweis analog zum Banachschen Fixpunktsatz.
Auch wenn das für Ihre Vorlesungen vielleicht nicht so interessant ist: Der Banachsche Fixpunktsatz hätte relativ schnell erklärt, warum im ersten Beispiel der Grenzwert überhaupt existiert. Und zudem noch eindeutig sein muss:
Man definiert eine Funktion f : R -> R mittels f(x) = x/3 +1 und zeigt, dass dies eine starke Kontraktion ist, also | f(x) - f(y) |
Ja klar, aber das wäre für mein Publikum zu heftig. Bei diesem Problem hier kann man es ja leichter verstehen: Wenn der Wert zu klein ist, wird er bei der nächsten Iteration größer (aber nicht zu groß) und umgekehrt.
danke schööööööööööön :)
kiki amelia Gerne!