MERCI pour cette vidéo d'une qualité et d'une clarté exceptionnelles ! Je rentre actuellement en prépa MPSI et venant d'un lycée très moyen, j'ai encore beaucoup de mal avec certains concepts élémentaires en prépa. Or, ce genre de vidéos permet un suivi attentif et suffisamment détaillé de la résolution exercice et SURTOUT de COMPRENDRE la solution 👌. Ça change de certains cahiers de vacances assez stériles pour ceux qui n'ont pas les moyens de se payer un professeur et où les résultats des corrections, même lorsque rédigés par des élèves, semblent une fois sur deux tomber du ciel ! Donc MERCI ÉNORMÉMENT pour cet excellent travail ❤ Hâte de la suite 🎉
Merci pour ce retour extraordinairement enthousiasmant 🙏🏻! Il me rappelle les raisons mêmes pour lesquelles j'ai entrepris d'animer cette chaîne lors de mes années d'enseignement en classes préparatoires, puis pourquoi j'ai décidé ensuite de m'y consacrer à plein temps 👨🏻🏫. J'ai aussi hâte de voir la suite 😇!
Un immense merci pour ce nouveau format de vidéo ! Je le trouve particulièrement intéressant, car il offre l’opportunité de te voir rédiger un exercice en direct. C’est une approche précieuse, surtout compte tenu de la qualité exceptionnelle de tes cours. On ne peux qu’en tirer de l’inspiration et s’efforcer de suivre ton exemple !
Concept intéressant pour cette nouvelle émission, elle apparaît un peu plus spontanée que les émissions habituelles, sans perdre en qualité. Bon boulot :)
Des explications d'une rare clarté (dû à une excellente compréhension de votre part) et une mise en scène d'oljen digne des plus grands acteurs. (c'est une très bonne chose)
Merci pour ce retour 😇! Il ne reste plus qu'à mettre en place les maths en FORCE, où je sacrifie toute la partie compréhension pour proposer de tout apprendre par cœur, coûte que coûte et en toutes circonstances 🤖 (peut-être qu'il vaut mieux que je m'abstienne, tout bien réfléchi… 😏).
Salut ! Je suis en dernière année d’école d’ingé. Je me rappelle de mes année de prépa où j’appréciais énormément vos vidéos. Rigueur, pédagogie, simplicité, élégance. Maintenant je continue d’être abonné pour garder un lien avec les maths. Merci encore pour tout le travail fourni.
Salutations, et merci beaucoup pour ce retour sympathique 😇! C'est chouette de garder un lien avec les maths et de ne pas « tout perdre », en effet, surtout après tant d'efforts fournis pour acquérir le niveau des concours des classes préparatoires 💪🏻.
Elles auront désormais toutes deux leur place sur la chaîne, l'autre étant réservé aux vidéos plus exceptionnelles (tant il est coûteux en temps de production) 😉.
Un peu ampoulé ce raisonnement par récurrence - du bricolage algébrique 😉. La comparaison série vs intégrale m'apparaît plus élégante et directe. Merci pour ces AR successifs entre les blocs logiques et la rédaction. Votre présence à l'écran donne encore plus d'impact à l'exposé et enrichi un édifice déja bien bâti et une démarche rôdée. Quelle finesse !!!
Merci pour ce retour très enthousiasmant 😇! J'ai longtemps attendu avant de produire un tel prototype, face à l'écran, mais je pense tenir quelque chose de prometteur. Il y en aura d'autres 🥳! PS : Oui, le raisonnement par récurrence tient, pourrait-on dire, du « passage en force ». Je l'ai mis en scène parce que l'hérédité pose souvent problème aux étudiants les moins « techniques ». Quant à la comparaison série-intégrale, c'est bien plus compréhensible, et comme l'écrivait Adam dans un commentaire, reconnaissable à ce majorant 2*sqrt(n) qui rappelle une primitive de la fonction qui à t associe 1/sqrt(t) dont on observe les valeurs dans la somme 👨🏻🏫.
Ce nouveau format "face caméra" est particulièrement réussi. 👏 Prodrome de magnifiques résolutions d'exercices, cette nouvelle section est un vrai bonheur pour mes incursions dans l'univers des mathématiques. 🥳 Merci pour cette initiative et ce formidable travail agrémenté de cette habituelle pédagogie sans failles. 😉 PS : peut-être éviter d'écrire en jaune sur fond blanc. 😬
Merci pour ce retour chaleureux 😇! J'espère être plus productif ainsi, sans trop sacrifier en qualité. L'autre format sera réservé aux « pépites » qui méritent vraiment que je passe 10 fois plus de temps que sur une vidéo de longueur égale à celle-ci. PS : Oui, je me suis complètement laissé embarquer par le cours des choses. Je ne suis sensé écrire qu'en noir / vert / bleu / rouge, et annoter, dessiner et décorer au jaune / orange / violet avec parcimonie… c'est raté pour cette fois 🤣.
Au plaisir ! L'ancien format ne disparaît pas, mais il est tellement coûteux en temps de production que je le réserverai désormais aux vidéos un peu plus exceptionnelles. L'idée, c'est d'avoir à la fois le beurre, et l'argent du beurre 😏.
Magnifique ce nouveau format qui vous met en lumière. J'en profite pour vous demander si vous avez souvenir d'un théorème que l'on peut démontrer de 2 manières différentes l'un en utilisant des techniques d'analyse et l'autre en utilisant l'algèbre. Je me souviens qu'il en existe un au programme de prépa mais impossible de me souvenir duquel il s'agit.
Merci pour ce retour enthousiasmant 🙏🏻! Pour le théorème, la situation est terrible : j'ai moi aussi la sensation de voir le théorème auquel vous faites référence, mais je suis incapable de l'identifier. Un peu comme si j'avais un mot sur le bout de la langue, sans parvenir à le trouver 🤣. Si jamais je le croise, je répondrai à nouveau à ce commentaire, pour sûr !
@@Grojoe2016 Cela pourrait, puisque j'ai ceci qui va dans ce sens : uel.unisciel.fr/mathematiques/polynomes1/polynomes1_ch03/co/apprendre_ch3_2_05.html . Cela dit, la démonstration par l'analyse fait intervenir de l'analyse complexe, ce qui est assez loin des classes préparatoires. Je vais regarder s'il existe d'autres solutions plus accessibles.
on pourrait aussi justifier la technique de comparaison série intégrale en remarquant que le majorant qu'on souhaite exhiber n'est autre qu' une primitive de 1/\sqrt{x} évaluée en n :D
Habile 😉. Pour de futurs lecteurs : l'idée générale est « majorer par une autre somme que l'on sait calculer ». Dans la vidéo, j'ai juste majoré chaque terme par 1 par amusement, mais Louis propose de majorer chaque terme par 2 [ sqrt(k) - sqrt(k-1) ] (après calculs et intervention de l'expression conjuguée, ce qui est bien plus fin), ce qui fait apparaître une somme télescopique que l'on sait, en effet, calculer ✅.
Bonjour, merci pour cette vidéo nouveau format ! Ne pouvait-on pas conclure la récurrence plus rapidement par application du théorème des accroissements finis à la différence 2✓n+1- 2✓n (Puis en minorant le 1/✓c) ?
Salutations et merci pour le retour ! Oui ; faire apparaître une somme télescopique est tout à fait possible ainsi 😉. Je n'avais pas pensé à une telle solution étant donné que je m'étais dit « terminale », mais c'est très chouette, ça fait une troisième solution (ou même quatrième, ou cinquième, en fouillant dans les commentaires, d'ailleurs 🤩) !
on peut utiliser la comparaison serie integrale d'une maniere plus attirante pour la serie de terme general un/Sn^2 avec un positive stricte dont elle converge toujours
Bonjour , merci pour cette nouvelle vidéo . Tout est parfaitement expliqué , j ai juste une petite incompréhension . Tout à début je ne comprend pas d ou vient le majorant 2n*sqrt(n) ? Merci encore pour votre travail .
Salutations et merci pour le retour 😇! Je disais juste qu'avant de se lancer dans un raisonnement par récurrence, il convient de se demander si on ne peut pas obtenir une majoration directement. Si j'interroge un élève à l'oral et que je m'aperçois qu'il me dit « récurrence » sans même réfléchir, je modifierai l'énoncé en 2n*sqrt(n) en lui demandant d'établir cette nouvelle majoration. Et s'il procède par récurrence, je lui montrerai comment, en une ligne, démontrer l'inégalité, ce qui, je l'espère, lui servira d'aide-mémoire : explorer les pistes simples mentalement avant de se lancer dans le systématique 👨🏻🏫.
@@oljenmaths ah merci je comprend mieux l introduction maintenant ,et je me répète vos vidéos sont de qualité optimale ,captivantes et enthousiasmantes !!
Oui, c'est assez fascinant comment les solutions peuvent se répondre les unes les autres. Même une idée citée quelque part dans les commentaires, consistant à majorer par une somme télescopique (plutôt astucieuse), s'appuie sur l'expression conjuguée qu'on a vue intervenir ailleurs 👨🏻🏫.
L’intégrale de 0 à 1 de la fonction qui à t associe 1/sqrt(t) vaut, en effet, 2. Dans la vidéo, l’aire correspondante est décomposée comme l’aire du premier rectangle (qui est en fait un carré) qui vaut 1, et comme l’aire d’une surface « infinie », qui vaut également 1 (c’est l’unité manquante à laquelle il est fait référence).
Haha je viens de me souvenir que c'est le meme exo que nous a mis le prof lors de lexamen sur la logique P S: l'examen il etait tellement difficile stv je peux vous l'envoyer
Excellent format. Je pense que pour la première preuve, il serait intéressant d'apporter un peu d'intuition, une idée plus "concrète" derrière la preuve, notamment graphiquement. Toute l'idée (ou du moins une partie, corrigez moi si je me trompe) est de montrer que 2sqrt(n+1) -2sqrt(n) tend moins vite vers 0 que 1/sqrt(n+1) et donc peut être montrer la vitesse de convergence des deux fonctions vers 0 avec un graphique pour le visualiser (Desmos est un très bon logiciel pour ça). Aussi pour la première preuve, vous dites qu'il faut montrer l'inégalité pour montrer la récurrence certes c'est vrai mais de base on ne sait pas si l'inégalité note de musique est bien vérifiée? Peut être passer par l'intuition pour se dire que il y'a de bonnes chances qu'elles le soient, ce qui justifierait de se lancer dedans! Ce ne sont que des conseils peut être pour améliorer le format, en toute humilité, je vous considère comme mon sensei!
Merci pour ce partage 😇! De manière générale, je répondrais que chacun trouvera son « juste milieu » dans ce qu'il conviendra d'aborder comme intuition, et cela doit notamment s'adapter au public visé. Ici, je vise un étudiant de fin de terminale qui s'apprête à rentrer en première année, et je préfère limiter les concepts tels que « vitesse de convergence », par exemple. Cela dit, dès lors que l'étudiant en question aura abordé les notions de négligeabilité, alors je n'hésiterai pas à y avoir recours au besoin. En l'occurrence, je ne pense pas qu'un comportement asymptotique suffise à conclure ici étant donné qu'on souhaite démontrer une propriété universelle (et non pas seulement à partir d'un certain rang), mais j'ai peut-être mal compris la suggestion. Quant à l'inégalité (♪), étant donné que la seule majoration a été effectuée en s'appuyant sur P(n), on peut se dire qu'elle devrait être vraie puisqu'elle devrait être restée « assez fine » pour cela. Enfin, je suis preneur de tout retour quel qu'il soit ; il y a toujours quelque chose à apprendre 🙏🏻.
Merci beaucoup 🙏 ! Pour créer mes vidéos, j’utilise un assortiment de logiciels usuels, l’astuce consistant « simplement » à les utiliser avec créativité. 📝 Production des graphismes : GoodNotes, Desmos, Adobe Photoshop. 🎙️ Enregistrement et traitement du son : Adobe Audition. 🎬 Montage de la vidéo : Adobe Premiere. 💥 Post-production : Adobe After Effects. En somme, c'est un mélange d'artisanat pur et de programmation maison, et c'est pour ça que ça prend un temps fou… mais le résultat vaut le coup ! J’ai également décrit, de manière plus générale, les grandes étapes de mon procédé de production sur mon site internet. N'hésite pas à le visiter 😇 !
Voici une autre preuve pour le fun : on divise la somme allant de 1 a n en deux parties, une allant de 1 a m, et une autre avec les n-m restants. On verra ensuite quelle valeur on va choisir pour m. La premiere somme est inferieure a m×1 (le nombre de termes fois le plus grand terme) et la deuxieme somme par (n-m)*1/racine(m+1). Si on prend m=racine(n), ou plus precisement sa partie entiere, on se rend compte que chacune des deux sommes est inferieure a racine(n) d'ou le résultat.
Rah, j'aurais bien aimé que ça fonctionne, mais il me semble vraiment que ça ne fonctionne pas. Parce que j'adore ce genre de démonstrations avec des outils très simples 😆! En l'occurrence, le problème majeur avec l'idée, c'est que pour n = 100, par exemple, on majore les dix premiers termes de la somme par 1, ce qui est vraiment très grossier. Et quand on voit la relative « finesse » de la comparaison série intégrale, on se dit que la majoration obtenue par découpage sera vite trop grossière. J'ai fait les calculs avec Desmos, et je trouve qu'à partir de n = 10, le majorant « du découpage » dépasse 2*sqrt(n)… je suis frustré, mais c'était amusant 😇!
8:14 On pouvait aussi utiliser √(n+1) ≤ √n+1 donc en retirant 2√n de chaque côté de l’inégalité on obtient 1/√(n+1) ≤ 2 ce qui est plutôt vrai pour tout entier n≥0
Hélas, l'implication ne fonctionne pas dans « le bon sens ». L'inégalité (A) que je souhaite établir implique bel et bien l'inégalité (B) : 1/√(n+1) ≤ 2, inégalité qui est vraie. Mais cela ne permet pas de conclure que l'inégalité (A) est vraie… dommage, c'était joli et simple en même temps 😖.
@@oljenmaths Oui c’est vrai ! Bon alors pour me rattraper voilà une solution alternative : 2√n + 1/√(n+1) ≤ 2√(n+1) ⇔ 2√(n²+n) ≤ 2n+1 ⇔ 2n²+2n ≤ 4n²+4n+1 ⇔ 0 ≤ 2n²+2n+1 = n²+(n+1)² or la dernière formule est vraie pour tout entier n≥0. Je précise que la première équivalence s’obtient en multipliant par √(n+1) et en retirant 1 qui sont deux opérations inversibles, la deuxième par passage au carré qui là encore est inversible car l’argument est positif, enfin pour la troisième j’ai tout mis du même côté donc pas de problème
On pouvait aussi juste utiliser l'inégalité des accroissements finis pour comparer chaque terme de la somme des 1/(2√ k) , avec ceux de la somme des √ k - √(k-1) , qui vaut √n par télescopage (car la dérivée de x -> √ x est x -> 1/(2√ x))
J'aurais pu écrire ça à une époque… mais finalement, cela revient à dire « P(1) est vraie car le ciel est bleu », dans la mesure où on ne sait pas vraiment à quoi correspondent ce 1 et ce 2. Précisément : la plupart des initialisations seraient justifiées par des « 0 = 0 », ou des « 1 = 1 », ce qui m'est un peu étrange. Du coup, je me suis rangé sur une approche polarisée : soit on justifie sérieusement, soit on ne justifie pas (ce qui passera d'autant mieux que la copie fait bonne impression par ailleurs). Je précise, à destination d'éventuels lecteurs, que ce n'est que mon avis et non pas une règle absolue 😇.
Je ne sais pas quel est le degré de précision à apporter à la réponse, mais le paradigme est le suivant : on peut démontrer que lorsque n tend vers l'infini, la somme des 1/sqrt(k) tend vers l'infini. Mais la question, c'est à quelle vitesse ? Parce que tendre vers l'infini, cela peut se faire tout autant à la vitesse d'un logarithme que d'une exponentielle ! Et bien dans le cadre de cet exercice, on démontrer qu'en tout cas, on monte vers l'infini, mais pas plus vite que 2*sqrt(n) 👨🏻🏫.
Cette option a été envisagée, mais c'était un peu « rude » sur les élèves tests ; ça ne laissait pas vraiment le temps d'infuser 😅. Du coup, on a laissé quelques secondes à chaque fois 😇.
Vous pouvez ne pas utilisé l'ident remarcable. 1/√[n+1] < 2/(√[n+1] + √[n]) 1/2√[n+1] < 1/(√[n+1] + √[n]) P: 1/(√[n+1] +√[n+1])< 1/(√[n+1] + √[n]) Or √[n+1]>√n => 1/√[n+1] < 1/√n Alors P est vrai 🎁
![[EXO#2] À l'aventure, guidés par l'injectivité ! (Exercice)](http://i.ytimg.com/vi/aAOz41JvwUM/mqdefault.jpg)
![[EXO#2] À l'aventure, guidés par l'injectivité ! (Exercice)](/img/tr.png)
![[EXO#16] Une équation fonctionnelle pour bétonner tes raisonnements (Exercice d'Olympiades)](/img/n.gif)
MERCI pour cette vidéo d'une qualité et d'une clarté exceptionnelles ! Je rentre actuellement en prépa MPSI et venant d'un lycée très moyen, j'ai encore beaucoup de mal avec certains concepts élémentaires en prépa. Or, ce genre de vidéos permet un suivi attentif et suffisamment détaillé de la résolution exercice et SURTOUT de COMPRENDRE la solution 👌. Ça change de certains cahiers de vacances assez stériles pour ceux qui n'ont pas les moyens de se payer un professeur et où les résultats des corrections, même lorsque rédigés par des élèves, semblent une fois sur deux tomber du ciel ! Donc MERCI ÉNORMÉMENT pour cet excellent travail ❤ Hâte de la suite 🎉
Merci pour ce retour extraordinairement enthousiasmant 🙏🏻! Il me rappelle les raisons mêmes pour lesquelles j'ai entrepris d'animer cette chaîne lors de mes années d'enseignement en classes préparatoires, puis pourquoi j'ai décidé ensuite de m'y consacrer à plein temps 👨🏻🏫. J'ai aussi hâte de voir la suite 😇!
Un immense merci pour ce nouveau format de vidéo ! Je le trouve particulièrement intéressant, car il offre l’opportunité de te voir rédiger un exercice en direct. C’est une approche précieuse, surtout compte tenu de la qualité exceptionnelle de tes cours. On ne peux qu’en tirer de l’inspiration et s’efforcer de suivre ton exemple !
Merci pour ce retour chaleureux 🥳! J'en ferai d'autres, pour sûr 😇!
Concept intéressant pour cette nouvelle émission, elle apparaît un peu plus spontanée que les émissions habituelles, sans perdre en qualité. Bon boulot :)
Des explications d'une rare clarté (dû à une excellente compréhension de votre part) et une mise en scène d'oljen digne des plus grands acteurs. (c'est une très bonne chose)
Ce nouveau Format est génialissime j'ai surkiffé cette vidéo
Impressionnant la qualité de tes vidéos
Merci 🙏🏻😇!
Excellente vidéo ! J'adore ce nouveau format. Ça c'est des maths en PUISSANCE !
Merci pour ce retour 😇! Il ne reste plus qu'à mettre en place les maths en FORCE, où je sacrifie toute la partie compréhension pour proposer de tout apprendre par cœur, coûte que coûte et en toutes circonstances 🤖 (peut-être qu'il vaut mieux que je m'abstienne, tout bien réfléchi… 😏).
Un beau travail qui mérite d'être encouragé
Merci beaucoup 🙏!
Merci beaucoup pour ces vidéo, ils sont ma madeleine de Proust. De beaux souvenirs montent avec le raisonnement 👍
Au plaisir 😇! Ce commentaire est aussi une madeleine ; « À la recherche du temps perdu » était au programme de français lors de ma MPSI 😅!
Salut ! Je suis en dernière année d’école d’ingé. Je me rappelle de mes année de prépa où j’appréciais énormément vos vidéos. Rigueur, pédagogie, simplicité, élégance. Maintenant je continue d’être abonné pour garder un lien avec les maths. Merci encore pour tout le travail fourni.
Salutations, et merci beaucoup pour ce retour sympathique 😇! C'est chouette de garder un lien avec les maths et de ne pas « tout perdre », en effet, surtout après tant d'efforts fournis pour acquérir le niveau des concours des classes préparatoires 💪🏻.
Je préfère ce genre de vidéo que ceux d'habitude même si elles sont aussi bien
Elles auront désormais toutes deux leur place sur la chaîne, l'autre étant réservé aux vidéos plus exceptionnelles (tant il est coûteux en temps de production) 😉.
c est le debut de olgen les maths en puissance super cool
trés bon pédagogue Bravo
merci pour cette vidéo très instructive !
Un peu ampoulé ce raisonnement par récurrence - du bricolage algébrique 😉. La comparaison série vs intégrale m'apparaît plus élégante et directe.
Merci pour ces AR successifs entre les blocs logiques et la rédaction.
Votre présence à l'écran donne encore plus d'impact à l'exposé et enrichi un édifice déja bien bâti et une démarche rôdée. Quelle finesse !!!
Voir ma solution si vous voulez 😉 un peu comme la solution 1 mais plus direct et moins “ampoule “
Merci pour ce retour très enthousiasmant 😇! J'ai longtemps attendu avant de produire un tel prototype, face à l'écran, mais je pense tenir quelque chose de prometteur. Il y en aura d'autres 🥳!
PS : Oui, le raisonnement par récurrence tient, pourrait-on dire, du « passage en force ». Je l'ai mis en scène parce que l'hérédité pose souvent problème aux étudiants les moins « techniques ». Quant à la comparaison série-intégrale, c'est bien plus compréhensible, et comme l'écrivait Adam dans un commentaire, reconnaissable à ce majorant 2*sqrt(n) qui rappelle une primitive de la fonction qui à t associe 1/sqrt(t) dont on observe les valeurs dans la somme 👨🏻🏫.
Merci pour le contenu !
Trop bien le le nouveau format😮
Merci pour le retour 😇!
Ce nouveau format "face caméra" est particulièrement réussi. 👏
Prodrome de magnifiques résolutions d'exercices, cette nouvelle section est un vrai bonheur pour mes incursions dans l'univers des mathématiques. 🥳
Merci pour cette initiative et ce formidable travail agrémenté de cette habituelle pédagogie sans failles. 😉
PS : peut-être éviter d'écrire en jaune sur fond blanc. 😬
Merci pour ce retour chaleureux 😇! J'espère être plus productif ainsi, sans trop sacrifier en qualité. L'autre format sera réservé aux « pépites » qui méritent vraiment que je passe 10 fois plus de temps que sur une vidéo de longueur égale à celle-ci.
PS : Oui, je me suis complètement laissé embarquer par le cours des choses. Je ne suis sensé écrire qu'en noir / vert / bleu / rouge, et annoter, dessiner et décorer au jaune / orange / violet avec parcimonie… c'est raté pour cette fois 🤣.
Première fois que je te vois 😎 visage d’un mathématicien
Merci beaucoup!
Parfait ... C est ce que j apelle "faire des mathématiques" !
Excellent
super
Merci Ø,
L'ancien format va beaucoup me manquer...
Au plaisir ! L'ancien format ne disparaît pas, mais il est tellement coûteux en temps de production que je le réserverai désormais aux vidéos un peu plus exceptionnelles. L'idée, c'est d'avoir à la fois le beurre, et l'argent du beurre 😏.
Magnifique ce nouveau format qui vous met en lumière. J'en profite pour vous demander si vous avez souvenir d'un théorème que l'on peut démontrer de 2 manières différentes l'un en utilisant des techniques d'analyse et l'autre en utilisant l'algèbre. Je me souviens qu'il en existe un au programme de prépa mais impossible de me souvenir duquel il s'agit.
Merci pour ce retour enthousiasmant 🙏🏻! Pour le théorème, la situation est terrible : j'ai moi aussi la sensation de voir le théorème auquel vous faites référence, mais je suis incapable de l'identifier. Un peu comme si j'avais un mot sur le bout de la langue, sans parvenir à le trouver 🤣. Si jamais je le croise, je répondrai à nouveau à ce commentaire, pour sûr !
@@oljenmaths Il me semble que c'est le théorème fondamental de l'algèbre : Tout polynôme à coefficients complexe à au moins une racine complexe.
@@Grojoe2016 Cela pourrait, puisque j'ai ceci qui va dans ce sens : uel.unisciel.fr/mathematiques/polynomes1/polynomes1_ch03/co/apprendre_ch3_2_05.html . Cela dit, la démonstration par l'analyse fait intervenir de l'analyse complexe, ce qui est assez loin des classes préparatoires. Je vais regarder s'il existe d'autres solutions plus accessibles.
yes ! ça tombe bien j'allais acheter du doliprane en ville
Pourquoi vous n'avez pas détachées la somme puis fait une démonstration par récurrence ?
« Détaché » ? N'est-ce pas ce que je fais à 3:14 🤔 ?
@@oljenmaths désolé effectivement j'ai pas regardé la vidéo entière 😅 encore merci
on pourrait aussi justifier la technique de comparaison série intégrale en remarquant que le majorant qu'on souhaite exhiber n'est autre qu' une primitive de 1/\sqrt{x} évaluée en n :D
Une très bonne observation, assurément 😇!
perso la méthode via le calculus j'aime bien , je l'adopte 🎉
Il suffit de penser à la quantité conjuguée et au fait que 1/ racine de k plus petit que 2/ racine de k + racine de k-1 pour torcher l’exo 😮💨
En gros on se retrouve avec une somme télescopique à droite 😄
Habile 😉. Pour de futurs lecteurs : l'idée générale est « majorer par une autre somme que l'on sait calculer ». Dans la vidéo, j'ai juste majoré chaque terme par 1 par amusement, mais Louis propose de majorer chaque terme par 2 [ sqrt(k) - sqrt(k-1) ] (après calculs et intervention de l'expression conjuguée, ce qui est bien plus fin), ce qui fait apparaître une somme télescopique que l'on sait, en effet, calculer ✅.
@@oljenmathsyep ! Merci !
Bonjour, merci pour cette vidéo nouveau format ! Ne pouvait-on pas conclure la récurrence plus rapidement par application du théorème des accroissements finis à la différence 2✓n+1- 2✓n (Puis en minorant le 1/✓c) ?
Salutations et merci pour le retour ! Oui ; faire apparaître une somme télescopique est tout à fait possible ainsi 😉. Je n'avais pas pensé à une telle solution étant donné que je m'étais dit « terminale », mais c'est très chouette, ça fait une troisième solution (ou même quatrième, ou cinquième, en fouillant dans les commentaires, d'ailleurs 🤩) !
On peut aussi faire le théorie des accroissement finis
on peut utiliser la comparaison serie integrale d'une maniere plus attirante pour la serie de terme general un/Sn^2 avec un positive stricte dont elle converge toujours
Bonjour , merci pour cette nouvelle vidéo . Tout est parfaitement expliqué , j ai juste une petite incompréhension . Tout à début je ne comprend pas d ou vient le majorant 2n*sqrt(n) ? Merci encore pour votre travail .
Salutations et merci pour le retour 😇! Je disais juste qu'avant de se lancer dans un raisonnement par récurrence, il convient de se demander si on ne peut pas obtenir une majoration directement. Si j'interroge un élève à l'oral et que je m'aperçois qu'il me dit « récurrence » sans même réfléchir, je modifierai l'énoncé en 2n*sqrt(n) en lui demandant d'établir cette nouvelle majoration. Et s'il procède par récurrence, je lui montrerai comment, en une ligne, démontrer l'inégalité, ce qui, je l'espère, lui servira d'aide-mémoire : explorer les pistes simples mentalement avant de se lancer dans le systématique 👨🏻🏫.
@@oljenmaths ah merci je comprend mieux l introduction maintenant ,et je me répète vos vidéos sont de qualité optimale ,captivantes et enthousiasmantes !!
La recurrence est utile si on sait ce qu on veut trouver!
je dirais même plus:
la différence entre cette somme et 2.racine (n) tend (à l'infini) vers une limite qui vaut Zeta(1/2)
c est une des situation où en regardant comment la majoration se démontre par recurrence on peut en deduire une demonstration directe!
Oui, c'est assez fascinant comment les solutions peuvent se répondre les unes les autres. Même une idée citée quelque part dans les commentaires, consistant à majorer par une somme télescopique (plutôt astucieuse), s'appuie sur l'expression conjuguée qu'on a vue intervenir ailleurs 👨🏻🏫.
Que de souvenir... Merci !
La madeleine de Proust ! Un élan de nostalgie 😇!
à 23:07 on ne trouve pas 1 mais 2
L’intégrale de 0 à 1 de la fonction qui à t associe 1/sqrt(t) vaut, en effet, 2. Dans la vidéo, l’aire correspondante est décomposée comme l’aire du premier rectangle (qui est en fait un carré) qui vaut 1, et comme l’aire d’une surface « infinie », qui vaut également 1 (c’est l’unité manquante à laquelle il est fait référence).
Haha je viens de me souvenir que c'est le meme exo que nous a mis le prof lors de lexamen sur la logique
P S: l'examen il etait tellement difficile stv je peux vous l'envoyer
Ouais mec. Tu peux me l envoyer?
Excellent format. Je pense que pour la première preuve, il serait intéressant d'apporter un peu d'intuition, une idée plus "concrète" derrière la preuve, notamment graphiquement. Toute l'idée (ou du moins une partie, corrigez moi si je me trompe) est de montrer que 2sqrt(n+1) -2sqrt(n) tend moins vite vers 0 que 1/sqrt(n+1) et donc peut être montrer la vitesse de convergence des deux fonctions vers 0 avec un graphique pour le visualiser (Desmos est un très bon logiciel pour ça). Aussi pour la première preuve, vous dites qu'il faut montrer l'inégalité pour montrer la récurrence certes c'est vrai mais de base on ne sait pas si l'inégalité note de musique est bien vérifiée? Peut être passer par l'intuition pour se dire que il y'a de bonnes chances qu'elles le soient, ce qui justifierait de se lancer dedans!
Ce ne sont que des conseils peut être pour améliorer le format, en toute humilité, je vous considère comme mon sensei!
Merci pour ce partage 😇!
De manière générale, je répondrais que chacun trouvera son « juste milieu » dans ce qu'il conviendra d'aborder comme intuition, et cela doit notamment s'adapter au public visé. Ici, je vise un étudiant de fin de terminale qui s'apprête à rentrer en première année, et je préfère limiter les concepts tels que « vitesse de convergence », par exemple. Cela dit, dès lors que l'étudiant en question aura abordé les notions de négligeabilité, alors je n'hésiterai pas à y avoir recours au besoin. En l'occurrence, je ne pense pas qu'un comportement asymptotique suffise à conclure ici étant donné qu'on souhaite démontrer une propriété universelle (et non pas seulement à partir d'un certain rang), mais j'ai peut-être mal compris la suggestion.
Quant à l'inégalité (♪), étant donné que la seule majoration a été effectuée en s'appuyant sur P(n), on peut se dire qu'elle devrait être vraie puisqu'elle devrait être restée « assez fine » pour cela.
Enfin, je suis preneur de tout retour quel qu'il soit ; il y a toujours quelque chose à apprendre 🙏🏻.
Avec quel logiciel écris-tu ? Quelle qualité de vidéo encore merci !
Merci beaucoup 🙏 !
Pour créer mes vidéos, j’utilise un assortiment de logiciels usuels, l’astuce consistant « simplement » à les utiliser avec créativité.
📝 Production des graphismes : GoodNotes, Desmos, Adobe Photoshop.
🎙️ Enregistrement et traitement du son : Adobe Audition.
🎬 Montage de la vidéo : Adobe Premiere.
💥 Post-production : Adobe After Effects.
En somme, c'est un mélange d'artisanat pur et de programmation maison, et c'est pour ça que ça prend un temps fou… mais le résultat vaut le coup ! J’ai également décrit, de manière plus générale, les grandes étapes de mon procédé de production sur mon site internet. N'hésite pas à le visiter 😇 !
Voici une autre preuve pour le fun : on divise la somme allant de 1 a n en deux parties, une allant de 1 a m, et une autre avec les n-m restants. On verra ensuite quelle valeur on va choisir pour m. La premiere somme est inferieure a m×1 (le nombre de termes fois le plus grand terme) et la deuxieme somme par (n-m)*1/racine(m+1). Si on prend m=racine(n), ou plus precisement sa partie entiere, on se rend compte que chacune des deux sommes est inferieure a racine(n) d'ou le résultat.
Rah, j'aurais bien aimé que ça fonctionne, mais il me semble vraiment que ça ne fonctionne pas. Parce que j'adore ce genre de démonstrations avec des outils très simples 😆!
En l'occurrence, le problème majeur avec l'idée, c'est que pour n = 100, par exemple, on majore les dix premiers termes de la somme par 1, ce qui est vraiment très grossier. Et quand on voit la relative « finesse » de la comparaison série intégrale, on se dit que la majoration obtenue par découpage sera vite trop grossière.
J'ai fait les calculs avec Desmos, et je trouve qu'à partir de n = 10, le majorant « du découpage » dépasse 2*sqrt(n)… je suis frustré, mais c'était amusant 😇!
Aie fausse bonne idée je suis allé un peu vite en besogne le second terme est en effet équivalent à n^(3/4)
@@SimoneChoule81 Tant pis, on apprécie la découpe 😌.
BOGOSS !
Merci khey ! Au fait, ton Marcel est devenu tout rouge 😱 ! ! !
@@oljenmaths il s'est exposé un peu trop longtemps au soleil qu'est la mathématique
8:14 On pouvait aussi utiliser
√(n+1) ≤ √n+1
donc en retirant 2√n de chaque côté de l’inégalité on obtient
1/√(n+1) ≤ 2
ce qui est plutôt vrai pour tout entier n≥0
Hélas, l'implication ne fonctionne pas dans « le bon sens ». L'inégalité (A) que je souhaite établir implique bel et bien l'inégalité (B) : 1/√(n+1) ≤ 2, inégalité qui est vraie. Mais cela ne permet pas de conclure que l'inégalité (A) est vraie… dommage, c'était joli et simple en même temps 😖.
@@oljenmaths Oui c’est vrai ! Bon alors pour me rattraper voilà une solution alternative :
2√n + 1/√(n+1) ≤ 2√(n+1)
⇔ 2√(n²+n) ≤ 2n+1
⇔ 2n²+2n ≤ 4n²+4n+1
⇔ 0 ≤ 2n²+2n+1 = n²+(n+1)²
or la dernière formule est vraie pour tout entier n≥0.
Je précise que la première équivalence s’obtient en multipliant par √(n+1) et en retirant 1 qui sont deux opérations inversibles, la deuxième par passage au carré qui là encore est inversible car l’argument est positif, enfin pour la troisième j’ai tout mis du même côté donc pas de problème
Je n'ai pas fais le même chemin pour démontrer l'inégalité dans la récurrence, peux tu me dire si c'est valable?
2 rac(n) + 1/(rac(n+1))
Dès lors que le raisonnement que tu présentes est rédigé avec des équivalences et que tu justifies chacune d'entre elles, c'est tout à fait valide 👍🏻.
On pouvait aussi juste utiliser l'inégalité des accroissements finis pour comparer chaque terme de la somme des 1/(2√ k) , avec ceux de la somme des √ k - √(k-1) , qui vaut √n par télescopage
(car la dérivée de x -> √ x est x -> 1/(2√ x))
P(1) est vraie car 1< 2 (comme ça pas de bluffe ;)) . On ne calcule pas la somme jusque n+1 mais on exprime cette somme ....
J'aurais pu écrire ça à une époque… mais finalement, cela revient à dire « P(1) est vraie car le ciel est bleu », dans la mesure où on ne sait pas vraiment à quoi correspondent ce 1 et ce 2. Précisément : la plupart des initialisations seraient justifiées par des « 0 = 0 », ou des « 1 = 1 », ce qui m'est un peu étrange. Du coup, je me suis rangé sur une approche polarisée : soit on justifie sérieusement, soit on ne justifie pas (ce qui passera d'autant mieux que la copie fait bonne impression par ailleurs). Je précise, à destination d'éventuels lecteurs, que ce n'est que mon avis et non pas une règle absolue 😇.
comparaison serie integrale un theoreme du math sup
Étant le candide des mathématiques,
Ça sert à quoi dans la vie de tous les jours...?
A faire fonctionner l objet que tu es en train d utiliser ?
@@tonyd5222 Les mathématiques oui,
Mais cette mystérieuse majoration en particulier....?
Je ne sais pas quel est le degré de précision à apporter à la réponse, mais le paradigme est le suivant : on peut démontrer que lorsque n tend vers l'infini, la somme des 1/sqrt(k) tend vers l'infini. Mais la question, c'est à quelle vitesse ? Parce que tendre vers l'infini, cela peut se faire tout autant à la vitesse d'un logarithme que d'une exponentielle ! Et bien dans le cadre de cet exercice, on démontrer qu'en tout cas, on monte vers l'infini, mais pas plus vite que 2*sqrt(n) 👨🏻🏫.
Très bon format. Peut être qu'afficher le texte plutôt que le voir s'écrire est plus dynamique et évite les silences
Cette option a été envisagée, mais c'était un peu « rude » sur les élèves tests ; ça ne laissait pas vraiment le temps d'infuser 😅. Du coup, on a laissé quelques secondes à chaque fois 😇.
Vous pouvez ne pas utilisé l'ident remarcable. 1/√[n+1] < 2/(√[n+1] + √[n]) 1/2√[n+1] < 1/(√[n+1] + √[n]) P: 1/(√[n+1] +√[n+1])< 1/(√[n+1] + √[n])
Or √[n+1]>√n => 1/√[n+1] < 1/√n
Alors P est vrai 🎁
Sans Ident Remarcable:
2√n √n+1 +1 < 2 √(n+1)^2
=> 2√n √n+1= 2√(n^2+n) < 2√n^2+2n+1🎁
Super 😁! Merci pour le partage !
Excellent